المعادلات المثلثية جيب التمام x يساوي أ. المعادلة جتا س = أ

نحن نعلم أن قيم جيب التمام تقع في النطاق [-1؛ 1]، أي. -1 ≥ cos α ≥ 1. لذلك، إذا |a| > 1، فإن المعادلة cos x = a ليس لها جذور. على سبيل المثال، المعادلة cos x = -1.5 ليس لها جذور.

دعونا ننظر في العديد من المشاكل.

حل المعادلة cos x = 1/2.

حل.

تذكر أن cos x هو حدود نقطة على دائرة نصف قطرها يساوي 1، ويتم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة P (1; 0) بزاوية x حول نقطة الأصل.

الإحداثي المحوري 1/2 يقع عند نقطتين من الدائرة M 1 و M 2. بما أن 1/2 = cos π/3، يمكننا الحصول على النقطة M 1 من النقطة P (1؛ 0) بالتدوير بزاوية x 1 = π/3، وكذلك بالزوايا x = π/3 + 2πk، حيث k = +/-1، +/-2، ...

يتم الحصول على النقطة M 2 من النقطة P (1؛ 0) بالتدوير بزاوية x 2 = -π/3، وكذلك بالزوايا -π/3 + 2πk، حيث k = +/-1، +/-2 ، ...

لذا، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة cos x = 1/2 باستخدام الصيغ
س = ط/3 + 2ط ك
س = -π/3 + 2πك،

يمكن دمج الصيغتين المقدمتين في صيغة واحدة:

س = +/-π/3 + 2πك، ك € Z.

حل المعادلة cos x = -1/2.

حل.

نقطتان من الدائرة M 1 و M 2 لهما حدود تساوي – 1/2. بما أن -1/2 = cos 2π/3، فإن الزاوية x 1 = 2π/3، وبالتالي الزاوية x 2 = -2π/3.

وبالتالي، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة cos x = -1/2 باستخدام الصيغة: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

وبالتالي، فإن كل من المعادلات cos x = 1/2 وcos x = -1/2 لها عدد لا نهائي من الجذور. في الفترة 0 ≥ x ≥ π، كل من هذه المعادلات لها جذر واحد فقط: x 1 = π/3 هو جذر المعادلة cos x = 1/2 وx 1 = 2π/3 هو جذر المعادلة cos س = -1/2.

الرقم π/3 يسمى قوس جيب التمام للرقم 1/2 ويكتب: arccos 1/2 = π/3، والرقم 2π/3 يسمى قوس جيب التمام للرقم (-1/2) ويكتب : قوس قزح (-1/2) = 2π/3 .

بشكل عام، المعادلة cos x = a، حيث -1 ≥ a ≥ 1، لها جذر واحد فقط في الفترة 0 ≥ x ≥ π. إذا كانت ≥ 0، فإن الجذر موجود في الفاصل الزمني؛ إذا أ< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

وبالتالي، فإن قوس جيب التمام للرقم a € [-1؛ 1 ] هو الرقم € الذي يساوي جيب تمامه a:

arccos а = α، إذا cos α = а و 0 ≥ а ≥ π (1).

على سبيل المثال، arccos √3/2 = π/6، بما أن cos π/6 = √3/2 و0 ≥ π/6 ≥ π؛
arccos (-√3/2) = 5π/6، بما أن cos 5π/6 = -√3/2 و0 ≥ 5π/6 ≥ π.

بنفس الطريقة التي تم بها حل المسألتين 1 و 2، يمكن إثبات أن جميع جذور المعادلة cos x = a، حيث |a| ≥ 1، معبرًا عنها بالصيغة

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

حل المعادلة cos x = -0.75.

حل.

باستخدام الصيغة (2) نجد x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z.

يمكن العثور على قيمة القوس (-0.75) تقريبًا في الشكل عن طريق قياس الزاوية باستخدام المنقلة. يمكن أيضًا العثور على القيم التقريبية لقوس جيب التمام باستخدام جداول خاصة (جداول براديس) أو حاسبة صغيرة. على سبيل المثال، يمكن حساب قيمة arccos (-0.75) باستخدام حاسبة صغيرة لإعطاء قيمة تقريبية تبلغ 2.4188583. إذن، أركوس (-0.75) ≈ 2.42. ولذلك، أركوس (-0.75) ≈ 139°.

الجواب: أركوس (-0.75) ≈ 139 درجة.

حل المعادلة (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

حل.

1) 4cos x – 1 = 0، cos x = 1/4، x = +/-arcos 1/4 + 2 πn، n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0، cos 2x = -1/2، 2x = +/-2π/3 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn، n € Z.

إجابة. س = +/-أركوس 1/4 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn.

يمكن إثبات أنه مقابل أي يورو [-1؛ 1] صيغة arccos (-а) = π – arccos а (3) صالحة.

تتيح لك هذه الصيغة التعبير عن قيم جيب التمام للأرقام السالبة من خلال قيم جيب التمام للأرقام الموجبة. على سبيل المثال:

أركوس (-1/2) = π – أركوس 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

أركوس (-√2/2) = π – أركوس √2/2 = π – π/4 = 3π/4

من الصيغة (2) يترتب على ذلك أن جذور المعادلة cos x = a لـ a = 0 وa = 1 وa = -1 يمكن العثور عليها باستخدام صيغ أبسط:

كوس س = 0 س = π/2 + πn، n € Z (4)

كوس س = 1 س = 2ط، ن € ض (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

أبسط المعادلات المثلثية هي المعادلات

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) =a

المعادلة cos(x) = أ

الشرح والمبرر

1. جذور المعادلة cosx = a. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور، حيث | كوسكس |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

دع | أ |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

ص = كوس س. على الفترة، تقل الدالة y = cos x من 1 إلى -1. لكن الدالة التناقصية تأخذ كل قيمة من قيمها فقط عند نقطة واحدة من مجال تعريفها، وبالتالي فإن المعادلة cos x = a لها جذر واحد فقط في هذه الفترة، والذي، حسب تعريف أركوسين، يساوي: x 1 = arccos a (ولهذا الجذر cos x = A).

جيب التمام - حتى وظيفةلذلك، على الفاصل الزمني [-n؛ 0] المعادلة cos x = ولها أيضًا جذر واحد فقط - الرقم المقابل لـ x 1، أي

س 2 = -أركوس أ.

وهكذا، على الفاصل الزمني [-ن؛ p] (الطول 2p) معادلة cos x = a مع | أ |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

الدالة y = cos x دورية بفترة 2n، لذلك تختلف جميع الجذور الأخرى عن تلك الموجودة في 2n (n € Z). نحصل على الصيغة التالية لجذور المعادلة cos x = a متى

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. حالات خاصة لحل المعادلة cosx = a.

من المفيد أن نتذكر الرموز الخاصة لجذور المعادلة cos x = a متى

a = 0، a = -1، a = 1، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام دائرة الوحدة كمرجع.

بما أن جيب التمام يساوي حدود النقطة المقابلة لدائرة الوحدة، فإننا نحصل على cos x = 0 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة A أو النقطة B.

وبالمثل، cos x = 1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة C، وبالتالي،

س = 2ط، ك € Z.

أيضًا cos x = -1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة D، وبالتالي x = n + 2n،

المعادلة الخطيئة(س) = أ

الشرح والمبرر

1. جذور المعادلة sinx = a. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور، حيث أن | سينكس |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функции y = sinx).

تتمركز عند نقطة ما أ.
α - الزاوية المعبر عنها بالراديان.

تعريف
جيب (الخطيئة α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر والساق المثلث الأيمن, يساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الوتر |AC|.

جيب التمام (cos α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| إلى طول الوتر |AC|.

التدوينات المقبولة

;
;
.

;
;
.

رسم بياني لدالة الجيب، y = sin x

رسم بياني لدالة جيب التمام، y = cos x

خصائص الجيب وجيب التمام

الدورية

وظائف ص = الخطيئة سو ص = كوس سدورية مع فترة 2π.

التكافؤ

دالة الجيب غريبة. وظيفة جيب التمام حتى.

مجال التعريف والقيم، القصوى، الزيادة، النقصان

دوال الجيب وجيب التمام مستمرة في مجال تعريفها، أي لكل x (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).

	ص= الخطيئة س	ص= كوس س
النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مجموعة من القيم	-1 ≥ ص ≥ 1	-1 ≥ ص ≥ 1
زيادة
تنازلي
ماكسيما، ص = 1
الحد الأدنى، ص = - 1
أصفار، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص= 0	ص= 1

الصيغ الأساسية

مجموع مربعات الجيب وجيب التمام

صيغ الجيب وجيب التمام من المجموع والفرق

;
;

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

صيغ الجمع والفرق

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير من خلال الظل

; .

متى يكون لدينا :
; .

في :
; .

جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لقيم معينة للوسيطة.

التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

;

صيغة أويلر

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

;
;

المشتقات

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

اشتقاق الصيغ > > >

مشتقات الرتبة n:

القاطع، قاطع التمامإلى الجيب وجيب التمام هما أركسين وأركوسين، على التوالي.

أركسين، أركسين

أركوسين، أركوس

الأدب المستخدم:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

يمكنك الطلب حل مفصلمهمتك!!!

المساواة تحتوي على المجهول تحت العلامة وظيفة المثلثية(`sin x, cos x, tan x` أو `ctg x`) تسمى معادلة مثلثية، وصيغها هي التي سننظر فيها أكثر.

أبسط المعادلات تسمى `sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a`، حيث `x` هي الزاوية التي سيتم العثور عليها، `a` هو أي رقم. دعونا نكتب الصيغ الجذرية لكل منها.

1. المعادلة `sin x=a`.

بالنسبة إلى `|a|>1`، لا يوجد لها حلول.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. المعادلة `cos x=a`

بالنسبة إلى `|a|>1` - كما في حالة جيب الجيب، ليس لها حلول بين الأعداد الحقيقية.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x=a`

لديه عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. المعادلة `ctg x=a`

لديه أيضًا عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

صيغ جذور المعادلات المثلثية في الجدول

لجيب:
لجيب التمام:
بالنسبة للظل وظل التمام:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

حل أي معادلة مثلثية يتكون من مرحلتين:

• مع المساعدة في تحويله إلى الأبسط؛
• حل أبسط معادلة تم الحصول عليها باستخدام الصيغ الجذرية والجداول المكتوبة أعلاه.

دعونا نلقي نظرة على طرق الحل الرئيسية باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

تتضمن هذه الطريقة استبدال متغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

قم بالاستبدال: `cos(x+\frac \pi 6)=y`، ​​ثم `2y^2-3y+1=0`،

نجد الجذور: `y_1=1, y_2=1/2`، ويتبع منها حالتان:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

الإجابة: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`، `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x+cos x=1`.

حل. لننقل جميع حدود المساواة إلى اليسار: `sin x+cos x-1=0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وتحليل الجانب الأيسر:

`الخطيئة x - 2sin^2 x/2=0`،

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`،

`2سين x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`،

1. `الخطيئة x/2 =0`، `x/2 =\pi n`، `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

الإجابة: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

التخفيض إلى معادلة متجانسة

أولاً، عليك اختزال هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`خطيئة x+ب cos x=0` ( معادلة متجانسةالدرجة الأولى) أو `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم اقسم كلا الجزأين على `cos x \ne 0` - للحالة الأولى، وعلى `cos^2 x \ne 0` - للحالة الثانية. حصلنا على معادلات `tg x`: `a tg x+b=0` و`a tg^2 x + b tg x +c =0`، والتي تحتاج إلى حل باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن بالشكل `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x=` `الخطيئة^2 x+cos^2 x`,

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x -` ` الخطيئة^2 x — cos^2 x=0`

`الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — 2 cos^2 x=0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية، نقسم طرفيها الأيمن والأيسر على `cos^2 x\ne 0`، فنحصل على:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. دعنا نقدم الاستبدال `tg x=t`، مما يؤدي إلى `t^2 + t - 2=0`. جذور هذه المعادلة هي `t_1=-2` و`t_2=1`. ثم:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

إجابة. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

الانتقال إلى نصف الزاوية

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. دعونا نطبق صيغ الزاوية المزدوجة، مما يؤدي إلى: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 كوس ^2 س/2`

`4 تيراغرام^2 س/2 — 11 تيراغرام س/2 +6=0`

وبتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

مقدمة من الزاوية المساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x =c`، حيث a,b,c معاملات وx متغير، قسّم كلا الطرفين على `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ب^2))`.

المعاملات الموجودة على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ووحداتها ليست أكبر من 1. ولنرمز إليها كما يلي: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، ثم:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x+4 cos x=2`.

حل. نقسم طرفي المساواة على `sqrt (3^2+4^2)`، نحصل على:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 الخطيئة x+4/5 cos x=2/5`.

دعنا نشير إلى `3/5 = cos \varphi`، `4/5=sin \varphi`. بما أن `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، فإننا نأخذ `\varphi=arcsin 4/5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب المساواة لدينا في الشكل:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

`الخطيئة (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

المعادلات المثلثية العقلانية الكسرية

هذه هي المساواة مع الكسور التي تحتوي بسطها ومقاماتها على دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المساواة على `(1+cos x)`. ونتيجة لذلك نحصل على:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يساوي الصفر، نحصل على `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

دعونا نساوي بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin^2 x=0`، `sin x(1-sin x)=0`. ثم `sin x=0` أو `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

بالنظر إلى أن ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، الحلول هي `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `ن \في Z`.

إجابة. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

يُستخدم علم المثلثات، والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص، في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر، وهناك دائمًا مهام لامتحان الدولة الموحدة، لذا حاول أن تتذكر جميع الصيغ المعادلات المثلثية- ستكون مفيدة لك بالتأكيد!

ومع ذلك، لا تحتاج حتى إلى حفظها، والشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على استخلاصه. انها ليست صعبة كما يبدو. شاهد بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

نوع الدرس:تحديد مهمة التعلم.

أهداف الدرس:

التعليمية: تنظيم معرفة الطلاب حول طرق حل المعادلات المثلثية البسيطة، وتوحيد المهارات في العمل مع الدائرة والجدول.

التنموية: مواصلة العمل على تكوين القدرات الفكرية الإبداعية لدى الطلاب من خلال استخدام التقنيات المختلفة لحل المعادلات المثلثية.

التعليمية: تطوير مهارات النشاط العقلي الجماعي والدعم المتبادل وقبول وجهة نظر مختلفة عن وجهة نظر الفرد.

تقدم الدرس

1. حالة النجاح.

حل المعادلة: cosx=1; cosx=0; كوزكس = -1.

2. الوضع، الفجوة” بين المعرفة والجهل.

حل المعادلة: cosx=½; cosx=a.

مناقشة.

3. بيان المهمة التعليمية.

كيفية حل معادلة من هذا النوع؟

1) ما هو الإحداثي المحوري لنقطة على دائرة الوحدة يتم الحصول عليه بتدوير النقطة (1;0) حول نقطة الأصل بزاوية تساوي: ؟

2). ما يساوي: ?

إجابة:

3).ما يساوي : .

إجابة:

;

;

(1) .

كلمات المعلم: أطلق علماء الرياضيات على الكلمات عكس cos كلمة arccosine (arccos). قوس جيب التمام للرقم هو الرقم الذي يساوي جيب تمامه أ:
أركوسا = α، إذا كان cos α = a و 0 ± α π.

4). اكتب المساواة (1) باستخدام رمز arccos.

5). حل المعادلات: cosx=½، cosx=α.

الإجابة: x=arccos½، x=arccosa.

6). قم بتسمية زوايا دوران النقطة (1;0) لدائرة الوحدة التي يوجد بها حرف الإحداثي يساوي ½.

الإجابة: الإحداثي السيني يساوي ½ عندما يتم تدوير النقطة بزاوية تساوي π/3 و-π/3.

أي cosx=½ عند x=±arccos½
cosx=a عند x=±arccosa.

7). ما هي حدود النقاط التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة (1;0) بالزوايا: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πن.

الإجابة: الإحداثي السيني هو ½، وcosx=½ عند x=±arccos½+2πn،.
cosx=a عند x=±arccosa+2πn,.

8). الاستنتاج: المعادلة cosx=a

1) له جذور إذا كان ≥1،
2) ليس له جذور إذا كان >1.

9). ملخص الدرس:

أ) ما هي قيم a و α التي تجعل المساواة arccosa = α منطقية؟
ب) ما يسمى قوس جيب التمام ل؟
ج) في أي قيم a تكون للمعادلة cosx=a جذور؟
د) صيغة لإيجاد جذور المعادلة cosx=a.