10 طرق لحل المربعات. ورقة بحثية "10 طرق لحل المعادلات التربيعية"

كوبيفسكايا الثانوية الريفية .مدرسة ثانوية

10 حلول المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس الرياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x.

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

في2 - 20 يو + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

أوه2 + بس = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمةكانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تحجب الشمس النجوم بريقها كذلك" رجل متعلمكسوف مجد شخص آخر في المجالس الشعبية من خلال اقتراح وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما كانت المهام تُلبس شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

(س/8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

X2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

X2 - 64س + 322 = -768 + 1024,

(س - 32)2 = 256,

س - 32 = ± 16،

X1 = 16، س2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: أوه2 + س =بX.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: أوه2 = س.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: أوه2 + س =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: أوه2 + bx= س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي:bx+ ج = اه2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول

الخوارزمي، مثل كل علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة الخوارزمي على الجزئيات أمثلة رقميةويضع قواعد الحل ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (بافتراض جذر المعادلة x2 + 21 = 10س).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر- السابع عشرب

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. هذا العمل الضخم الذي يعكس تأثير الرياضيات في كل من الدول الإسلامية و اليونان القديمة، يتميز بالاكتمال والوضوح في العرض. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

PAGE_BREAK--

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

X2 + bx= ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من فيث، لكن فيث لم يتعرف إلا على الجذور الموجبة. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب+ د، مضروبا في أ- أ2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، حروف العلة في،د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ب)س - س2 = أب,

X2 - (أ+ب)س + أب= 0,

X1 = أ، س2 = ب.

التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات الصيغ العامة، مكتوبة باستخدام الرموز، أنشأت فييت التوحيد في أساليب حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن ذلك نظرة حديثة. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

في دورة المدرسةيدرس علماء الرياضيات صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة وكفاءة كبيرة. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

X2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

X2 + 10س - 24 = س2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

بما أن حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن أحد عوامله على الأقل يساوي صفرًا. وبالتالي يصبح الطرف الأيسر من المعادلة صفرًا س = 2، وأيضا متى س = - 12. وهذا يعني أن العدد 2 و - 12 هي جذور المعادلة X2 + 10س - 24 = 0.

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة X2 + 6س - 7 = 0.

اختر على الجانب الأيسر مربع مثالي.

للقيام بذلك نكتب التعبير x2 + 6x بالشكل التالي:

X2 + 6س = س2 + 2 × 3.

في التعبير الناتج، الحد الأول هو مربع الرقم x، والثاني هو المنتج المزدوج لـ x في 3. لذلك، للحصول على مربع كامل، تحتاج إلى إضافة 32، حيث

×2+ 2 × 3 + 32 = (س + 3)2 .

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

X2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 32. لدينا:

X2 + 6س - 7 =×2+ 2 × 3 + 32 - 3 2 - 7 = (س + 3)2 - 9 - 7 = (س + 3)2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3)2 - 16 =0، (س + 3)2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، س1 = 1، أو س + 3 = -4، س2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

أوه2 + بس + ج = 0، أ ≠ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4 أ2 X2 + 4 أبس + 4ac = 0،

((2 آه)2 + 2 آهب+ ب2 ) - ب2 + 4 تيار متردد= 0,

(2أكس + ب)2 = ب2 - 4ac،

2أكس + ب = ± √ ب2 - 4ac،

2أكس = - ب ± √ ب2 - 4ac،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4x2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ج = 3،د= ب2 - 4 تيار متردد= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

د> 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب2 - 4 تيار متردد>0 المعادلة أوه2 + بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4x2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د= ب2 - 4 تيار متردد= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

د= 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب2 - 4 تيار متردد= 0 ، ثم المعادلة

أوه2 + بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2x2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د= ب2 - 4 تيار متردد= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, د< 0.

استمرار
--PAGE_BREAK--

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب2 - 4 تيار متردد< 0 ,

معادلة أوه2 + بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فيتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

X2 + بكسل+ ج= 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يبدو

/>س1 س2 = س,

س1 + س2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س> 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ص< 0 ، فإن كلا الجذرين سالبين إذا ص< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س2 – 3 س+ 2 = 0; س1 = 2 و س2 = 1, لأن س= 2 > 0 و ص= - 3 < 0;

س2 + 8 س+ 7 = 0; س1 = - 7 و س2 = - 1, لأن س= 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س< 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص< 0 أو سلبيا إذا ص> 0 .

على سبيل المثال،

س2 + 4 س– 5 = 0; س1 = - 5 و س2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص= 4 > 0;

س2 – 8 س– 9 = 0; س1 = 9 و س2 = - 1, لأن س= - 9 < 0 و ص= - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

أوه2 + بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ2 X2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

في2 + بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في1 و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

X1 = ص1 /أو X1 = ص2 /أ.

مع هذه الطريقة المعامل أمضروباً باللفظ الحر، كأنه "ألقي" إليه، ولهذا سمي طريقة النقل. تُستخدم هذه الطريقة عندما يمكنك بسهولة العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2x2 – 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

في2 – 11 يو + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

/>/>/>/>/>في1 = 5 س1 = 5/2 س1 = 2,5

في2 = 6 س2 = 6/2 س2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

أوه2 + بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي مجموع المعاملات صفر)، ثم س1 = 1,

X2 = ق / أ.

دليل.بقسمة طرفي المعادلة على ≠ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة

س2 + ب/ أ س+ ج/ أ= 0.

/>وفقًا لنظرية فييتا

س1 + س2 = - ب/ أ,

س1 س2 = 1 ج/ أ.

بالشرط أ -ب+ ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

/>س1 +س2 = - أ+ ب/أ= -1 – ج/أ،

س1 س2 = - 1 (- ج/أ)،

أولئك. X1 = -1 و X2 = ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

دعونا نحل المعادلة 345x2 – 137س – 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

X1 = 1، س2 = ج/ أ= -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132x2 – 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

X1 = 1، س2 = ج/ أ= 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني ب= 2 كهو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

استمرار
--PAGE_BREAK--

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= - 14، ق = 16،ك= - 7 ;

د= ك2 – تيار متردد= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د> 0, جذرين مختلفين؛

الجواب: 2؛ 8/3

في. معادلة مخفضة

X2 + بيكسل +س= 0

يتوافق مع المعادلة منظر عام، فيها أ = 1, ب= صو ج =س. لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة، فإن صيغة الجذر هي

يأخذ الشكل:

الصيغة (3) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عندما ص- عدد زوجي.

مثال.دعونا نحل المعادلة X2 – 14س – 15 = 0.

حل.لدينا: X1,2 =7±

الجواب: ×1 = 15؛ X2 = -1.

7. الطريقة: الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.

إذا كان في مكافئ.

X2 + بكسل+ س= 0

انقل الحدين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن، نحصل على

X2 = - بكسل- س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للاعتماد y = x2 و y = - px- q.

الرسم البياني للاعتماد الأول هو القطع المكافئ الذي يمر عبر الأصل. الرسم البياني الثاني للتبعية -

مستقيم (الشكل 1). الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين، وتكون حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية؛

يمكن للخط المستقيم والقطع المكافئ أن يتلامسا (نقطة مشتركة واحدة فقط)، أي. المعادلة لها حل واحد؛

لا يوجد في الخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة، أي. المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة بيانيا X2 - 3س - 4 = 0(الشكل 2).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 3س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشرة ص = 3س + 4. مباشر

ص = 3س + 4يمكن بناؤها من نقطتين م (0 ؛ 4)و

ن(3; 13) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين

أو فيمع الإحداثيات X1 = - 1 و X2 = 4 . إجابة : العاشر1 = - 1;

X2 = 4.

2) دعونا نحل المعادلة بيانيا (الشكل 3) X2 - 2س + 1 = 0.

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 2س - 1.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشر ص = 2س - 1.

مباشر ص = 2س - 1بناء من نقطتين م (0؛ - 1)

و ن(1/2; 0) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطة ما أمع

الإحداثي السيني س = 1. إجابة: س = 1.

3) دعونا نحل المعادلة بيانيا X2 - 2س + 5 = 0(الشكل 4).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 5س - 5. دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشرة ص = 2س - 5. مباشر ص = 2س - 5دعونا نبني من نقطتين M(0; - 5) وN(2.5; 0). الخط المستقيم والقطع المكافئ ليس لهما نقاط تقاطع، أي. هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابة.معادلة X2 - 2س + 5 = 0ليس له جذور.

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة.

الطريقة الرسومية لحل المعادلات التربيعية باستخدام القطع المكافئ غير مريحة. إذا قمت ببناء قطع مكافئ نقطة بنقطة، فسيستغرق الأمر الكثير من الوقت، وتكون درجة دقة النتائج التي تم الحصول عليها منخفضة.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 5).

لنفترض أن الدائرة المطلوبة تتقاطع مع المحور

الإحداثي السيني في النقاط ب(س1 ; 0) و د(x2 ; 0), أين X1 و X2 - جذور المعادلة أوه2 + بس + ج = 0، ويمر عبر النقاط

أ(0; 1)و ج(0;ج/ أ) على المحور الإحداثي. إذن، وفقًا لنظرية القاطع، لدينا أو.ب. التطوير التنظيمي= الزراعة العضوية. أوه سي.، أين أوه سي.= أو.ب. التطوير التنظيمي/ الزراعة العضوية.= س1 X2 / 1 = ج/ أ.

يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع العمودين سادسو إس.ك.، تم ترميمه في منتصف الأوتار تيار متردد.و دينار بحريني، لهذا السبب

1) بناء النقاط (مركز الدائرة) و أ(0; 1) ;

2) ارسم دائرة نصف قطرها S. A.;

3) حدود نقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحور أوههي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة، ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (مثل> إس.ك.، أور> أ+ ج/2 أ) ، تتقاطع الدائرة مع محور الثور عند نقطتين (شكل 6، أ) ب(س1 ; 0) و د(x2 ; 0) ، أين X1 و X2 - جذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (مثل= إس بي.، أور= أ+ ج/2 أ) ، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 6، ب) عند هذه النقطة ب(س1 ; 0) ، حيث x1 هو جذر المعادلة التربيعية.

استمرار
--PAGE_BREAK--

3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثي المركز؛ ولا تحتوي الدائرة على نقاط مشتركة مع محور الإحداثي الإحداثي (الشكل 6، ج)، وفي هذه الحالة ليس للمعادلة حل.

مثال.

دعونا نحل المعادلة X2 - 2س - 3 = 0(الشكل 7).

حل.لنحدد إحداثيات النقطة المركزية للدائرة باستخدام الصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA، حيث A (0؛ 1).

إجابة:X1 = - 1؛ X2 = 3.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

هذه طريقة قديمة ومنسية بشكل غير مستحق لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 (انظر Bradis V.M. الجداول الرياضية المكونة من أربعة أرقام. - M.، Prosveshchenie، 1990).

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض2 + pz+ س= 0 . يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة باستخدام معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11):

الاعتقاد نظام التشغيل = ص،الضعف الجنسي= س، عمر الفاروق = أ(الكل بالسنتيمتر)، من تشابه المثلثات سانو سي دي إفنحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة

ض2 + pz+ س= 0,

والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أمثلة.

1) للمعادلة ض2 - 9 ض+ 8 = 0 الرسم البياني يعطي الجذور

ض1 = 8,0 و ض2 = 1,0 (الشكل 12).

2) باستخدام الرسم البياني، نحل المعادلة

2 ض2 - 9 ض+ 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة

ض2 - 4,5 ض+ 1 = 0.

Nomogram يعطي الجذور ض1 = 4 و ض2 = 0,5.

3) للمعادلة

ض2 - 25 ض+ 66 = 0

المعاملات p و q خارج المقياس، فلنجري عملية الاستبدال ض= 5 ر، نحصل على المعادلة

ر2 - 5 ر+ 2,64 = 0,

الذي نحله باستخدام الرسم البياني ونحصل عليه ر1 = 0,6 و ر2 = 4,4, أين ض1 = 5 ر1 = 3,0 و ض2 = 5 ر2 = 22,0.

10. الطريقة: الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

في العصور القديمة، عندما كانت الهندسة أكثر تطورا من الجبر، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبريا، ولكن هندسيا. وسأضرب مثلا مشهورا من "جبر" الخوارزمي.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة X2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "مربع وعشرة جذور يساوي 39" (الشكل 15).

حل.لنفترض مربعًا ضلعه x، تم إنشاء مستطيلات على جوانبه بحيث يكون الضلع الآخر لكل منها 2.5، وبالتالي تكون مساحة كل منها 2.5x. يتم بعد ذلك إضافة الشكل الناتج إلى مربع جديد ABCD، وبناء أربعة مربعات متساوية في الزوايا، طول ضلع كل منها 2.5، والمساحة 6.25.

مربع سمربع ABCDيمكن تمثيلها كمجموع المساحات: المربع الأصلي X2 ، أربعة مستطيلات (4 2.5س = 10س)وأربعة مربعات مرفقة (6,25 4 = 25) ، أي. س= X2 + 10x + 25.استبدال

X2 + 10xرقم 39 لقد حصلنا على ذلك س= 39 + 25 = 64 مما يعني أن جانب المربع ABCD، أي. شريحة أب = 8. للجهة المطلوبة Xنحصل على المربع الأصلي

2) ولكن، على سبيل المثال، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلة في2 + 6 يو - 16 = 0.

حليظهر في الشكل. 16، حيث

في2 + 6y = 16، أو y2 + 6ص + 9 = 16 + 9.

حل.التعبيرات في2 + 6 يو + 9و 16 + 9 تمثل هندسيا نفس المربع، والمعادلة الأصلية في2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- نفس المعادلة. ومن أين لنا ذلك ص + 3 = ± 5،أو في1 = 2، ص2 = - 8 (الشكل 16).

3) حل المعادلة الهندسية في2 - 6 يو - 16 = 0.

تحويل المعادلة، نحصل على

في2 - 6ص = 16.

في الشكل. 17 العثور على "صور" من التعبير في2 - 6 ش،أولئك. من مساحة المربع الذي طول ضلعه y، اطرح مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي 3 . وهذا يعني أنه إذا كان للتعبير في2 - 6 يويضيف 9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع الجانب ص - 3. استبدال التعبير في2 - 6 يوورقم يساوي 16

نحصل على: (ص - 3)2 = 16 + 9, أولئك. ص - 3 = ± √25أو ص - 3 = ± 5، حيث في1 = 8 و في2 = - 2.

خاتمة

تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية.

ومع ذلك، فإن أهمية المعادلات التربيعية لا تكمن فقط في أناقة وإيجاز حل المسائل، رغم أن هذا مهم للغاية. ومن المهم بنفس القدر أنه نتيجة لاستخدام المعادلات التربيعية في حل المشكلات، غالبًا ما يتم اكتشاف تفاصيل جديدة، ويمكن إجراء تعميمات مثيرة للاهتمام وتقديم توضيحات، والتي يقترحها تحليل الصيغ والعلاقات الناتجة.

أود أيضًا أن أشير إلى أن الموضوع المطروح في هذا العمل لم تتم دراسته كثيرًا على الإطلاق، فهو ببساطة لم تتم دراسته، لذا فهو محفوف بالكثير من الأشياء المخفية وغير المعروفة، مما يوفر فرصة ممتازة لمزيد من العمل عليه.

لقد تطرقت هنا إلى مسألة حل المعادلات التربيعية، وماذا،

إذا كان هناك طرق أخرى لحلها؟! مرة أخرى، ابحث عن أنماط جميلة، وبعض الحقائق، والتوضيحات، وقم بالتعميمات، واكتشف المزيد والمزيد من الأشياء الجديدة. لكن هذه أسئلة للعمل المستقبلي.

لتلخيص ذلك، يمكننا أن نستنتج: المعادلات التربيعية تلعب دورا كبيرا في تطوير الرياضيات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج. هذه المعرفة يمكن أن تكون مفيدة لنا طوال حياتنا.

وبما أن هذه الطرق لحل المعادلات التربيعية سهلة الاستخدام، فمن المؤكد أنها ستكون ذات فائدة للطلاب المهتمين بالرياضيات. عملي يجعل من الممكن النظر بشكل مختلف إلى المهام التي تطرحها علينا الرياضيات.

الأدب:

1. عليموف ش.أ.، إيلين ف.أ. والجبر، 6-8. كتاب تجريبي للصفوف 6-8 مدرسة ثانوية. - م. تربية، 1981.

2. براديس ف.م. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام للمدرسة الثانوية. 57. - م. التربية، 1990. ص83.

3. كروزيبوف أ.ك.، روبانوف أ.ت. كتاب مسائل في الجبر و وظائف أولية. درس تعليميللثانوية الخاصة المؤسسات التعليمية. - م. الثانوية العامة 1969.

4. أوكونيف أ.ك. الدوال التربيعية والمعادلات والمتباينات. دليل المعلم. - م. تربية، 1972.

5. بريسمان أ.أ. حل معادلة تربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة. - م، كفانت، رقم 4/72. ص 34.

6. سولومنيك ضد، ميلوف بي. مجموعة من الأسئلة والمشاكل في الرياضيات. إد. - الرابع، إضافي - م.، تخرج من المدرسه, 1973.

7. خودوبين أ. مجموعة من المسائل في الجبر والوظائف الأولية. دليل المعلم. إد. الثاني. - م. تربية، 1970.

تدرس دورة الرياضيات المدرسية صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة وكفاءة كبيرة. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

X 2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

X 2 + 10س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

2. الطريقة: طريقة استخراج المربع الكامل.

دعونا نحل المعادلة X 2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

X 2 + 6س = س 2 + 2* س * 3.

× 2+ 2* س * 3 + 3 2 = (س + 3) 2 .

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

X 2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 3 2. لدينا:

X 2 + 6س - 7 =× 2+ 2* س * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 =0، (س + 3) 2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، س 1 = 1، أو س + 3 = -4، س 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

أوه 2 + ب س + ج = 0، هاه؟ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4 أ 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0،

((2 آه) 2 + 2ف * ب + ب 2 ) - ب 2 + 4ac = 0،

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4ac،

2أكس + ب = ± الخامس ب 2 - 4ac،

2ax = - ب ± الخامس ب 2 - 4ac،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4x 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4، ب = 7، ج = 3، د = ب 2 - 4ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0،جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب 2 - 4ac>0المعادلة أوه 2 + ب س + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4x 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4، ب = - 4، ج = 1، د = ب 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

د = 0،جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. b2 - 4ac = 0، ثم المعادلة

أوه 2 + ب س + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2x 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2، ب = 3، ج = 4، د = ب 2 - 4ac = 3 2 - 4 * 2 *4 = 9 - 32 = - 13 , د< 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب 2 - 4ac< 0 ,

معادلة أوه 2 + ب س + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية أوه 2 + ب س + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فيتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

X 2 + بيكسل + ج = 0.(1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يبدو

س 1 س 2 = ف،

س 1 + س 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س > 0) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ص< 0 ، فإن كلا الجذرين سالبين إذا ص< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س 2 - 3س + 2 = 0؛ س 1 = 2 و س 2 = 1, لأن ف = 2 > 0و ع = - 3< 0;

س 2 + 8س + 7 = 0; س 1 = - 7 و س 2 = - 1, لأن ف = 7 > 0و ع= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س< 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص< 0 أو سلبيا إذا ع > 0 .

على سبيل المثال،

س 2 + 4س - 5 = 0؛ س 1 = - 5 و س 2 = 1, لأن س= - 5< 0 و ع = 4 > 0؛

س 2 - 8س - 9 = 0؛ س 1 = 9 و س 2 = - 1, لأن ف = - 9< 0 و ع = - 8< 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

أوه 2 + ب س + ج = 0،أين أ؟ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ 2 X 2 + أبx + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

في 2 + بواسطة + التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في 1 و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

X 1 = ص 1 /أو X 1 = ص 2 /أ.

دعونا نحل المعادلة 2x 2 - 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

في 2 - 11 يو + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

في 1 = 5 س 1 = 5/2 س 1 = 2,5

في 2 = 6 س 2 = 6/2 س 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

أوه 2 + ب س + ج = 0،أين أ؟ 0.

1) إذا كان a+ b + c = 0 (أي مجموع المعاملات صفر)، فإن x 1 = 1,

X 2 = ق / أ.

دليل.دعونا نقسم طرفي المعادلة على أ؟ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة

س 2 + ب/أ* س + ج/أ = 0.

وفقا لنظرية فييتا

س 1 +س 2 = - ب/أ،

س 1 س 2 = 1* ج/أ.

بالشرط أ - ب + ج = 0،أين ب = أ + ج.هكذا،

س 1 +س 2 = - أ + ب/أ= -1 - ج/أ،

س 1 س 2 = - 1* (- ج/أ)،

أولئك. X 1 = -1 و X 2 = ج/أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

1) دعونا نحل المعادلة 345x 2 - 137س - 208 = 0.

حل.لأن أ + ب + ج = 0 (345 - 137 - 208 = 0)،الذي - التي

X 1 = 1، س 2 = ج/أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132x 2 - 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ + ب + ج = 0 (132 - 247 + 115 = 0)،الذي - التي

X 1 = 1، س 2 = ج/أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني b = 2k رقمًا زوجيًا، فإن صيغة الجذر

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 -- 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3، ب = - 14، ج = 16، ك = - 7;

د = ك 2 - التيار المتردد = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1، د > 0،جذرين مختلفين؛

الجواب: 2؛ 8/3

في. معادلة مخفضة

X 2 + بكسل + ف= 0

يتزامن مع معادلة عامة فيها أ = 1, ب = صو ج = ف. لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة، فإن صيغة الجذر هي

يأخذ الشكل:

الصيغة (3) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عندما ص- عدد زوجي.

مثال.دعونا نحل المعادلة X 2 - 14س - 15 = 0.

حل.لدينا: X 1,2 =7±

الجواب: × 1 = 15؛ X 2 = -1.

7. الطريقة: الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.

إذا كان في مكافئ.

X 2 + بيكسل + ف = 0

انقل الحدين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن، نحصل على

X 2 = - بكسل - س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للاعتماد y = x 2 و y = - px - q.

الرسم البياني للاعتماد الأول هو القطع المكافئ الذي يمر عبر الأصل. الرسم البياني الثاني للتبعية -

مستقيم (الشكل 1). الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين، وتكون حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية؛

يمكن للخط المستقيم والقطع المكافئ أن يتلامسا (نقطة مشتركة واحدة فقط)، أي. المعادلة لها حل واحد؛

لا يوجد في الخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة، أي. المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

1) دعونا نحل المعادلة بيانيا X 2 - 3س - 4 = 0(الشكل 2).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X 2 = 3س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 3س + 4. مباشر

ص = 3س + 4يمكن بناؤها من نقطتين م (0 ؛ 4)و

ن (3; 13). يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين

أو فيمع الإحداثيات X 1 = - 1 و X 2 = 4 . إجابة : العاشر 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) دعونا نحل المعادلة بيانيا (الشكل 3) X 2 - 2س + 1 = 0.

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X 2 = 2س - 1.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 2س - 1.

مباشر ص = 2س - 1بناء من نقطتين م (0؛ - 1)

و ن(1/2; 0). يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطة ما أمع

الإحداثي السيني س = 1. إجابة: س = 1.

3) دعونا نحل المعادلة بيانيا X 2 - 2س + 5 = 0(الشكل 4).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X 2 = 5س - 5. دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 2س - 5. مباشر ص = 2س - 5دعونا نبني من نقطتين M(0; - 5) وN(2.5; 0). الخط المستقيم والقطع المكافئ ليس لهما نقاط تقاطع، أي. هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابة.معادلة X 2 - 2س + 5 = 0ليس له جذور.

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + ب س + ج = 0باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 5).

لنفترض أن الدائرة المطلوبة تتقاطع مع المحور

الإحداثي السيني في النقاط ب(س 1 ; 0) و د(خ 2 ; 0), أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة أوه 2 + ب س + ج = 0، ويمر عبر النقاط

أ(0; 1)و س(0؛ ج/أ)على المحور الإحداثي. إذن، وفقًا لنظرية القاطع، لدينا OB * OD = الزراعة العضوية * OC، أين أوك = أوب * أود/ الزراعة العضوية = س 1 X 2 / 1 = ج/أ.

1) بناء النقاط (مركز الدائرة) و أ(0; 1);

2) ارسم دائرة نصف قطرها S. A.;

3) حدود نقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحور أوههي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة، ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (AS > SK، أو R > a + c/2a)، تتقاطع الدائرة مع محور الثور عند نقطتين (الشكل 6،أ) ب(س 1 ; 0) و د(خ 2 ; 0) ، أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + ب س + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (AS = SB، أو R = a + c/2a)، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 6،ب) عند هذه النقطة ب(س 1 ; 0) ، حيث x 1 هو جذر المعادلة التربيعية.

دعونا نحل المعادلة X 2 - 2س - 3 = 0(الشكل 7).

حل.لنحدد إحداثيات النقطة المركزية للدائرة باستخدام الصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA، حيث A (0؛ 1).

إجابة: X 1 = - 1؛ X 2 = 3.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض 2 + بز + ف = 0. يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة باستخدام معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11):

بافتراض أن OS = p، ED = q، OE = a (الكل بالسنتيمتر)، من تشابه المثلثات SAN وCDF نحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة

ض 2 + بز + ف = 0،

والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

1) للمعادلة ض 2 - 9ز + 8 = 0الرسم البياني يعطي الجذور

ض 1 = 8,0 و ض 2 = 1,0 (الشكل 12).

2) دعونا نحل المعادلة باستخدام الرسم البياني

2z 2 - 9ز + 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة

ض 2 - 4.5 ض + 1 = 0.

Nomogram يعطي الجذور ض 1 = 4 و ض 2 = 0,5.

3) للمعادلة

ض 2 - 25ز + 66 = 0

المعاملات p و q خارج المقياس، فلنجري عملية الاستبدال ض = 5 طن، نحصل على المعادلة

ر 2 - 5ط + 2.64 = 0،

الذي نحله باستخدام الرسم البياني ونحصل عليه ر 1 = 0,6 و ر 2 = 4,4, أين ض 1 = 5 طن 1 = 3,0 و ض 2 = 5 طن 2 = 22,0.

10. الطريقة: الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

1) دعونا نحل المعادلة X 2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "مربع وعشرة جذور يساوي 39" (الشكل 15).

مربع سمربع ABCDيمكن تمثيلها كمجموع المساحات: المربع الأصلي X 2 ، أربعة مستطيلات (4*2.5س = 10س)وأربعة مربعات مرفقة (6,25* 4 = 25) ، أي. س= X 2 + 10x + 25.استبدال

X 2 + 10xرقم 39 لقد حصلنا على ذلك س = 39 + 25 = 64مما يعني أن جانب المربع ABCD، أي. شريحة أب = 8. للجهة المطلوبة Xنحصل على المربع الأصلي

2) ولكن، على سبيل المثال، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلة في 2 + 6 يو - 16 = 0.

حليظهر في الشكل. 16، حيث

في 2 + 6y = 16، أو y 2 + 6ص + 9 = 16 + 9.

حل.التعبيرات في 2 + 6 يو + 9و 16 + 9 تمثل هندسيا نفس المربع، والمعادلة الأصلية في 2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- نفس المعادلة. ومن أين لنا ذلك ص + 3 = ± 5،أو في 1 = 2، ص 2 = - 8 (الشكل 16).

3) حل المعادلة الهندسية في 2 - 6 يو - 16 = 0.

تحويل المعادلة، نحصل على

في 2 - 6ص = 16.

في الشكل. 17 العثور على "صور" من التعبير في 2 - 6 ش،أولئك. من مساحة المربع الذي طول ضلعه y، اطرح مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي 3 . وهذا يعني أنه إذا كان للتعبير في 2 - 6 يويضيف 9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع الجانب ص - 3. استبدال التعبير في 2 - 6 يوورقم يساوي 16

نحصل على: (ص - 3) 2 = 16 + 9, أولئك. ص - 3 = ± v25أو ص - 3 = ± 5، حيث في 1 = 8 و في 2 = - 2.

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس الرياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

اه 2+بس = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

(س/8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج =بX.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+bx= س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي:bx+ ج = الفأس 2 .

الخوارزمي، مثل كل علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر - السابع عشرب

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

× 2+bx= ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا في أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د».

(أ+ب)س - س 2 =أب,

× 2 - (أ +ب)س + أب = 0,

س 1 = أ، س 2 =ب.

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

× 2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

س 2 + 10س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة × 2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

× 2 + 6س = × 2 + 2 × 3.

× 2+ 2 × 3 + 3 2 = (س + 3) 2.

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

× 2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 3 2. لدينا:

× 2 + 6س - 7 =× 2+ 2 × 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 = 0، (س + 3) 2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، × 1 = 1، أو س + 3 = -4، × 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

اه 2+بس + ج = 0، أ ≠ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4أ 2 × 2 + 4أبس + 4ac = 0،

((2ax) 2 + 2axب + ب 2 ) - ب 2 + 4 تيار متردد = 0,

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4أ،

2أكس + ب = ± √ ب 2 - 4أك،

2أكس = - ب ± √ ب 2 - 4أك،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ج = 3،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب 2 - 4 تيار متردد >0 المعادلة اه 2+بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د = ب 2 - 4 تيار متردد = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

د = 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب 2 - 4 تيار متردد = 0 ، ثم المعادلة

اه 2+بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2س 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , د < 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب 2 - 4 تيار متردد < 0 ,

معادلة اه 2+بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية اه 2+بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فيتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

× 2+بكسل + ج = 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يبدو

س 1 س 2 = س,

س 1 + س 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س > 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ص< 0 ، فإن كلا الجذرين سالبين إذا ص< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س 2 – 3 س + 2 = 0; س 1 = 2 و س 2 = 1, لأن س = 2 > 0 و ص = - 3 < 0;

س 2 + 8 س + 7 = 0; س 1 = - 7 و س 2 = - 1, لأن س = 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س < 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص < 0 أو سلبيا إذا ص > 0 .

على سبيل المثال،

س 2 + 4 س – 5 = 0; س 1 = - 5 و س 2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص = 4 > 0;

س 2 – 8 س – 9 = 0; س 1 = 9 و س 2 = - 1, لأن س = - 9 < 0 و ص = - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ 2 × 2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

ذ 2+بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في 1و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

س 1 = ص 1 /أو س 1 = ص 2 /أ.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2س 2 – 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ص 2 - 11ص + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

ص 1 = 5 × 1 = 5/2س 1 = 2,5

ص 2 = 6س 2 = 6/2 س 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي أن مجموع المعاملات هو صفر)، ثم س 1 = 1،

س 2 = ق / أ.

دليل.بقسمة طرفي المعادلة على ≠ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة

س 2 + ب/ أ س + ج/ أ = 0.

وفقا لنظرية فييتا

س 1 + س 2 = - ب/ أ,

س 1 س 2 = 1 ج/ أ.

بالشرط أ -ب+ ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

س 1 + س 2 = -أ+ ب/أ= -1 – ج/أ،

× 1 × 2 = - 1 (- ج/أ)،

أولئك. × 1 = -1و × 2 =ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة 345س2 – 137س – 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132س2 – 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني ب = 2 كهو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= - 14، ق = 16،ك = - 7 ;

د = ك 2 – تيار متردد = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د > 0, جذرين مختلفين؛

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس الرياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1 .1 المعادلات المربعةالخلافات في بابل القديمة

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

في 2 - 20 يو + 96 = 0. (2)

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

أوه 2 + بس = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

(س/8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

X 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

X 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024,

(س - 32) 2 = 256,

س - 32 = ± 16،

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 المعادلات المربعةنينيا الخوارزمي

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: أوه 2 + س =بX.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: أوه 2 = س.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: أوه 2 + س =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: أوه 2 + bx= س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: bx+ ج = اه 2 .

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10س).

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر - السابع عشرب

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

X 2 + bx= ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا في أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د».

(أ+ب)س - س 2 = أب,

X 2 - (أ+ب)س + أب = 0,

X 1 = أ، X 2 = ب.

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. وفي الوقت نفسه، لا تزال رمزية فيتنام بعيدة عن مظهرها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

تدرس دورة الرياضيات المدرسية صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. وفي الوقت نفسه، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية، والتي تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة كبيرة وبعقلانية. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

X 2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

X 2 + 10س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة X 2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

X 2 + 6س = س 2 + 2* س * 3.

× 2+ 2* س * 3 + 3 2 = (س + 3) 2 .

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

X 2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 3 2. لدينا:

X 2 + 6س - 7 =× 2+ 2* س * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 =0, (س + 3) 2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، س 1 = 1، أو س + 3 = -4، س 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

أوه 2 + بس + ج = 0، هاه؟ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4 أ 2 X 2 + 4 أبس + 4ac = 0،

((2 آه) 2 + 2 آه *ب + ب 2 ) - ب 2 + 4 تيار متردد = 0,

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4ac،

2أكس + ب = ± الخامس ب 2 - 4ac،

2ax = - ب ± الخامس ب 2 - 4ac،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4x 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ج = 3،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب 2 - 4 تيار متردد >0 المعادلة أوه 2 + بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4x 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د = ب 2 - 4 تيار متردد = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

د = 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب 2 - 4 تيار متردد = 0 ، ثم المعادلة

أوه 2 + بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2x 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , د < 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب 2 - 4 تيار متردد < 0 ,

معادلة أوه 2 + بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فيتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

X 2 + بكسل + ج = 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يبدو

س 1 س 2 = س,

س 1 + س 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س > 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ص< 0 ، فإن كلا الجذرين سالبين إذا ص< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س 2 - 3 س + 2 = 0; س 1 = 2 و س 2 = 1, لأن س = 2 > 0 و ص = - 3 < 0;

س 2 + 8 س + 7 = 0; س 1 = - 7 و س 2 = - 1, لأن س = 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س < 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص < 0 أو سلبيا إذا ص > 0 .

على سبيل المثال،

س 2 + 4 س - 5 = 0; س 1 = - 5 و س 2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص = 4 > 0;

س 2 - 8 س - 9 = 0; س 1 = 9 و س 2 = - 1, لأن س = - 9 < 0 و ص = - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

أوه 2 + بس + ج = 0،أين أ؟ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ 2 X 2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

في 2 + بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في 1 و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

X 1 = ص 1 /أ و X 1 = ص 2 /أ.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2x 2 - 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

في 2 - 11 يو + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

في 1 = 5 X 1 = 5/2 س 1 = 2,5

في 2 = 6 س 2 = 6/2 س 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ.دعونا نعطي معادلة تربيعية

أوه 2 + بس + ج = 0،أين أ؟ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي مجموع المعاملات صفر)، ثم س 1 = 1,

X 2 = ق / أ.

دليل.دعونا نقسم طرفي المعادلة على أ؟ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة

س 2 + ب/ أ * س + ج/ أ = 0.

وفقا لنظرية فييتا

س 1 + س 2 = - ب/ أ,

س 1 س 2 = 1* ج/ أ.

بالشرط أ -ب + ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

س 1 +س 2 = - أ+ ب/أ= -1 - ج/أ،

س 1 س 2 = - 1* (- ج/أ)،

أولئك. X 1 = -1 و X 2 = ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة 345x 2 - 137س - 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 - 137 - 208 = 0)،الذي - التي

X 1 = 1, X 2 = ج/ أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132x 2 - 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 - 247 + 115 = 0)،الذي - التي

X 1 = 1, X 2 = ج/ أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب.إذا كان المعامل الثاني ب = 2 ك هو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 -- 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= -- 14، ق = 16،ك = -- 7 ;

د = ك 2 - تيار متردد = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, د > 0, جذرين مختلفين؛

الجواب: 2؛ 8/3

في.معادلة مخفضة

X 2 + بيكسل +س= 0

يتزامن مع معادلة عامة فيها أ = 1, ب= صو ج =س. لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة، فإن صيغة الجذر هي

يأخذ الشكل:

الصيغة (3) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عندما ص- عدد زوجي.

مثال.دعونا نحل المعادلة X 2 - 14س - 15 = 0.

حل.لدينا: X 1,2 =7±

الجواب: × 1 = 15؛ X 2 = -1.

7. الطريقة: الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.

إذا كان في مكافئ.

X 2 + بكسل + س = 0

انقل الحدين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن، نحصل على

X 2 = - بكسل - س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للاعتماد y = x 2 و y = - px - q.

الرسم البياني للاعتماد الأول هو القطع المكافئ الذي يمر عبر الأصل. الرسم البياني الثاني للتبعية -

مستقيم (الشكل 1). الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين، وتكون حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية؛

يمكن للخط المستقيم والقطع المكافئ أن يتلامسا (نقطة مشتركة واحدة فقط)، أي. المعادلة لها حل واحد؛

لا يوجد في الخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة، أي. المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة بيانيا X 2 - 3س - 4 = 0(الشكل 2).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X 2 = 3س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 3س + 4. مباشر

ص = 3س + 4يمكن بناؤها من نقطتين م (0 ؛ 4)و

ن (3; 13) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين

أو فيمع الإحداثيات X 1 = - 1 و X 2 = 4 . إجابة: العاشر 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) دعونا نحل المعادلة بيانيا (الشكل 3) X 2 - 2س + 1 = 0.

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X 2 = 2س - 1.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س 2 ومباشر ص = 2س - 1.

مباشر ص = 2س - 1بناء من نقطتين م (0؛ - 1)

و ن(1/2; 0) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطة ما أمع

الإحداثي السيني س = 1. إجابة:س = 1.

3) دعونا نحل المعادلة بيانيا X 2 - 2س + 5 = 0(الشكل 4).

إجابة.معادلة X 2 - 2س + 5 = 0ليس له جذور.

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلات و الحكام.

الطريقة الرسومية لحل المعادلات التربيعية باستخدام القطع المكافئ غير مريحة. إذا قمت ببناء القطع المكافئ من النقاط، فسيستغرق الأمر الكثير من الوقت، ومع كل هذا تكون درجة دقة النتائج التي تم الحصول عليها منخفضة.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 5).

لنفترض أن الدائرة المطلوبة تتقاطع مع المحور

الإحداثي السيني في النقاط ب(س 1 ; 0) و د(x 2 ; 0), أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة أوه 2 + بس + ج = 0، ويمر عبر النقاط

أ(0; 1)و ج(0;ج/ أ) على المحور الإحداثي. إذن، وفقًا لنظرية القاطع، لدينا أو.ب. * التطوير التنظيمي = الزراعة العضوية. * أوه سي.، أين أوه سي. = أو.ب. * التطوير التنظيمي/ الزراعة العضوية.= س 1 X 2 / 1 = ج/ أ.

1) بناء النقاط (مركز الدائرة) و أ(0; 1) ;

2) ارسم دائرة نصف قطرها S. A.;

3) حدود نقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحور أوههي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة، ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (مثل > إس.ك.، أو ر > أ + ج/2 أ) ، تتقاطع الدائرة مع محور الثور عند نقطتين (الشكل 6،أ) ب(س 1 ; 0) و د(x 2 ; 0) ، أين X 1 و X 2 - جذور المعادلة التربيعية أوه 2 + بس + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (مثل = إس بي.، أور = أ + ج/2 أ) ، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 6،ب) عند هذه النقطة ب(س 1 ; 0) ، حيث x 1 هو جذر المعادلة التربيعية.

مثال.

دعونا نحل المعادلة X 2 - 2س - 3 = 0 (الشكل 7).

حل.لنحدد إحداثيات النقطة المركزية للدائرة باستخدام الصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA، حيث A (0؛ 1).

إجابة: X 1 = - 1؛ X 2 = 3.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام nomograms.

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض 2 + pz + س = 0 . يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة باستخدام معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11):

الاعتقاد نظام التشغيل = ص،الضعف الجنسي = س، عمر الفاروق = أ(الكل بالسنتيمتر)، من تشابه المثلثات سانو سي دي إفنحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة

ض 2 + pz + س = 0,

والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أمثلة.

1) للمعادلة ض 2 - 9 ض + 8 = 0 الرسم البياني يعطي الجذور

ض 1 = 8,0 و ض 2 = 1,0 (الشكل 12).

2) باستخدام الرسم البياني، نحل المعادلة

2 ض 2 - 9 ض + 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة

ض 2 - 4,5 ض + 1 = 0.

Nomogram يعطي الجذور ض 1 = 4 و ض 2 = 0,5.

3) للمعادلة

ض 2 - 25 ض + 66 = 0

المعاملات p و q خارج المقياس، فلنجري عملية الاستبدال ض = 5 ر، نحصل على المعادلة

ر 2 - 5 ر + 2,64 = 0,

الذي نحله باستخدام الرسم البياني ونحصل عليه ر 1 = 0,6 و ر 2 = 4,4, أين ض 1 = 5 ر 1 = 3,0 و ض 2 = 5 ر 2 = 22,0.

10. الطريقة: الطريقة الهندسية لحل المربعات المعادلات.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة X 2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "مربع وعشرة جذور يساوي 39" (الشكل 15).

مربع س مربع ABCDيمكن تمثيلها كمجموع المساحات: المربع الأصلي X 2 ، أربعة مستطيلات (4*2.5س = 10س)وأربعة مربعات مرفقة (6,25* 4 = 25) ، أي. س = X 2 + 10x + 25.استبدال

X 2 + 10xرقم 39 لقد حصلنا على ذلك س = 39 + 25 = 64 مما يعني أن جانب المربع ABCD، أي. شريحة أب = 8. للجهة المطلوبة Xنحصل على المربع الأصلي

2) ولكن، على سبيل المثال، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلة في 2 + 6 يو - 16 = 0.

حليظهر في الشكل. 16، حيث

في 2 + 6у = 16، أو في 2 + 6ص + 9 = 16 + 9.

حل.التعبيرات في 2 + 6 يو + 9و 16 + 9 تمثل هندسيا نفس المربع، والمعادلة الأصلية في 2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- نفس المعادلة. ومن أين لنا ذلك ص + 3 = ± 5،أو في 1 = 2، ص 2 = - 8 (الشكل 16).

3) حل المعادلة الهندسية في 2 - 6ص - 16 = 0.

تحويل المعادلة، نحصل على

في 2 - 6ص = 16.

في الشكل. 17 العثور على "صور" من التعبير في 2 - 6u,أولئك. من مساحة المربع الذي طول ضلعه y، اطرح مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي 3 . وهذا يعني أنه إذا كان للتعبير في 2 - 6u يضيف 9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع الجانب في - 3 . استبدال التعبير في 2 - 6u ورقم يساوي 16

نحصل على: (ص - 3) 2 = 16 + 9, أولئك. ص - 3 = ± v25أو ص - 3 = ± 5، حيث في 1 = 8 و في 2 = - 2.

خاتمة

وفي الوقت نفسه، فإن أهمية المعادلات التربيعية لا تكمن فقط في أناقة وإيجاز حل المشكلات، رغم أن هذا مهم للغاية. ومن المهم بنفس القدر أنه نتيجة لاستخدام المعادلات التربيعية في حل المشكلات، غالبًا ما يتم اكتشاف تفاصيل جديدة، ويمكن إجراء تعميمات مثيرة للاهتمام وتقديم توضيحات، والتي يقترحها تحليل الصيغ والعلاقات الناتجة.

لقد تطرقت هنا إلى مسألة حل المعادلات التربيعية، وماذا،

الأدب:

1. عليموف ش.أ.، إيلين ف.أ. والجبر، 6-8. كتاب تجريبي للصف 6-8 في المدرسة الثانوية. - م. تربية، 1981.

2. براديس ف.م. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام للمدرسة الثانوية. 57. - م. التربية، 1990. ص83.

3. كروزيبوف أ.ك.، روبانوف أ.ت. كتاب مسائل في الجبر والدوال الأولية. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية الثانوية المتخصصة. - م. الثانوية العامة 1969.

4. أوكونيف أ.ك. الدوال التربيعية والمعادلات والمتباينات. دليل المعلم. - م. تربية، 1972.

5. بريسمان أ.أ. حل معادلة تربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة. - م، كفانت، رقم 4/72. ص 34.

6. سولومنيك ضد، ميلوف بي. مجموعة من الأسئلة والمشاكل في الرياضيات. إد. - الرابع، إضافي - م. الثانوية العامة 1973.

7. خودوبين أ. مجموعة من المسائل في الجبر والوظائف الأولية. دليل المعلم. إد. الثاني. - م. تربية، 1970.