"وحدات قياس الكميات الفيزيائية" - الخطأ المطلق يساوي نصف قيمة القسمة لجهاز القياس. ميكرومتر. يتم الحصول على النتيجة مباشرة باستخدام جهاز القياس. طول العلبة: 4 سم بالنقص، 5 سم بالزيادة. لكل الكمية الماديةهناك وحدات القياس المقابلة. يشاهد. خطأ نسبي.
"قيم الطول" - 2. ما هي الكميات التي يمكن مقارنتها مع بعضها البعض: 2. اشرح سبب حل المشكلة التالية باستخدام الجمع: 2. برر اختيار الإجراء عند حل المشكلة. كم عدد الحزم التي حصلت عليها؟ كم عدد الأقلام الموجودة في ثلاثة من هذه الصناديق؟ صُنعت الفساتين من قماش طوله 12 م، بواقع 4 م لكل فستان.
"الكميات الفيزيائية" - الحدود التي تفصل بين الفيزياء وغيرها العلوم الطبيعية، مشروط تاريخيا. تحتوي نتيجة أي قياس دائمًا على بعض الأخطاء. موضوع جديد. سرعة. تفاعل الهيئات. القوانين الفيزيائيةيتم تقديمها في شكل علاقات كمية معبراً عنها بلغة الرياضيات. خطأ في القياس.
"الرقم نتيجة قياس الكمية" - "الرقم نتيجة قياس الكمية" درس الرياضيات في الصف الأول. قياس طول القطعة باستخدام عصا القياس.
"الأعداد والكميات" - مقدمة لمفهوم الكتلة. مقارنة الكتل بدون قياسات. الترقيم المكتوب بالرومانية. سعة. سوف يتعلم الطالب: الأعداد والكميات (30 ساعة) الشعاع الإحداثي مفهوم الشعاع الإحداثي. نتائج المقررات الدراسية لقسم الأعداد والكميات للصف الثاني الابتدائي. المبدأ العامتكوين الأعداد الأصلية في حدود الأعداد المدروسة.
"كمية الطلب" - أسباب التغيرات في الطلب. يُطلق على منحنى DD الذي تم الحصول عليه على الرسم البياني (من الطلب الإنجليزي - "الطلب") اسم منحنى الطلب. الطلب المرن (Epd> 1). كمية الطلب. العوامل المؤثرة على الطلب. يسمى اعتماد الكمية المطلوبة على مستوى السعر بمقياس الطلب. الطلب غير المرن على الإطلاق (Epd=0).
التوقع الرياضي. التوقع الرياضيمتغير عشوائي منفصل X، مع أخذ عدد محدود من القيم Xأنامع الاحتمالات صأنا، ويسمى المبلغ:
التوقع الرياضيمتغير عشوائي مستمر Xويسمى تكامل منتج قيمه Xعلى كثافة التوزيع الاحتمالي و(س):
(6ب)
التكامل غير الصحيح (6 ب) من المفترض أن تكون متقاربة تمامًا (وإلا فإنهم يقولون أن التوقع الرياضي م(X) غير موجود). يتميز التوقع الرياضي متوسط القيمةمتغير عشوائي X. ويتطابق بعده مع بعد المتغير العشوائي.
خصائص التوقع الرياضي:
تشتت. التباينمتغير عشوائي Xالرقم يسمى:
التباين هو خاصية التشتتقيم متغيرة عشوائية Xنسبة إلى متوسط قيمته م(X). بعد التباين يساوي مربع أبعاد المتغير العشوائي. بناءً على تعريفات التباين (8) والتوقع الرياضي (5) للمتغير العشوائي المنفصل و(6) للمتغير العشوائي المستمر، نحصل على تعبيرات مماثلة للتباين:
(9)
هنا م = م(X).
خصائص التشتت:
الانحراف المعياري:
(11)
وبما أن الانحراف المعياري له نفس البعد كمتغير عشوائي، فإنه غالبا ما يستخدم كمقياس للتشتت من التباين.
لحظات التوزيع. تعتبر مفاهيم التوقع الرياضي والتشتت حالات خاصة لأكثر من ذلك مفهوم عامللخصائص العددية المتغيرات العشوائية – لحظات التوزيع. يتم تقديم لحظات توزيع المتغير العشوائي كتوقعات رياضية لبعض الدوال البسيطة للمتغير العشوائي. إذن، لحظة النظام كنسبة إلى النقطة X 0 يسمى التوقع الرياضي م(X–X 0 )ك. لحظات حول الأصل X= 0 يتم استدعاؤها اللحظات الأوليةويتم تعيينها:
(12)
اللحظة الأولية للترتيب الأول هي مركز توزيع المتغير العشوائي قيد النظر:
(13)
لحظات حول مركز التوزيع X= ميتم استدعاؤها النقاط المركزيةويتم تعيينها:
(14)
من (7) يترتب على ذلك أن العزم المركزي من الدرجة الأولى يساوي دائمًا الصفر:
لا تعتمد العزوم المركزية على أصل قيم المتغير العشوائي، إذ عندما يتم إزاحتها بقيمة ثابتة معيتغير مركز التوزيع بنفس القيمة معولا يتغير الانحراف عن المركز: X – م = (X – مع) – (م – مع).
الآن أصبح من الواضح ذلك تشتت- هذا اللحظة المركزية من الدرجة الثانية:
عدم التماثل. اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة:
(17)
يخدم للتقييم عدم تناسق التوزيع. إذا كان التوزيع متماثلا حول هذه النقطة X= م، فإن العزم المركزي من الدرجة الثالثة سيكون مساوياً للصفر (مثل كل العزوم المركزية ذات الرتب الفردية). لذلك، إذا كانت العزم المركزي من الدرجة الثالثة مختلفًا عن الصفر، فلا يمكن أن يكون التوزيع متماثلًا. يتم تقييم حجم عدم التماثل باستخدام الأبعاد معامل عدم التماثل:
(18)
تشير علامة معامل عدم التماثل (18) إلى عدم التماثل في الجانب الأيمن أو الجانب الأيسر (الشكل 2).
أرز. 2. أنواع عدم تناسق التوزيع.
إفراط. اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة:
(19)
يعمل على تقييم ما يسمى إفراط، الذي يحدد درجة الانحدار (الوضوح) لمنحنى التوزيع بالقرب من مركز التوزيع بالنسبة للمنحنى التوزيع الطبيعي. نظرًا لأنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي، فإن القيمة المأخوذة للتفرطح هي:
(20)
في الشكل. ويبين الشكل 3 أمثلة على منحنيات التوزيع بقيم التفرطح المختلفة. للتوزيع الطبيعي ه= 0. المنحنيات التي تبلغ ذروتها أكثر من المعتاد يكون لها تفلطح إيجابي، وتلك التي تكون ذات قمة مسطحة أكثر يكون لها تفلطح سلبي.
أرز. 3. منحنيات التوزيع بدرجات متفاوتة من الانحدار (التفرطح).
لا تُستخدم عادةً العزوم ذات الترتيب الأعلى في التطبيقات الهندسية للإحصاء الرياضي.
موضة
منفصلةالمتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. موضة مستمرالمتغير العشوائي هو قيمته التي تكون فيها كثافة الاحتمال القصوى (الشكل 2). إذا كان لمنحنى التوزيع حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع com.unimodal. إذا كان لمنحنى التوزيع أكثر من حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع الوسائط المتعددة. في بعض الأحيان توجد توزيعات تحتوي منحنياتها على حد أدنى وليس حد أقصى. تسمى هذه التوزيعات مضاد للوسائط. في الحالة العامة، لا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وفي حالة خاصة، ل مشروط، أي. وجود نمط، توزيع متماثل، وبشرط وجود توقع رياضي، فإن الأخير يتزامن مع نمط ومركز تناظر التوزيع.
متوسط متغير عشوائي X- وهذا هو معناها مه، والتي تقوم عليها المساواة: أي. فمن المحتمل أيضا أن المتغير العشوائي Xسيكون أقل أو أكثر مه. هندسيا متوسطهي النقطة التي تنقسم عندها المنطقة الواقعة تحت منحنى التوزيع إلى النصف (الشكل 2). في حالة التوزيع النموذجي المتماثل، يكون الوسيط والوضع والتوقع الرياضي متماثلين.
عند حل العديد من المسائل العملية، ليس من الضروري دائمًا وصف المتغير العشوائي بشكل كامل، أي تحديد قوانين التوزيع. بالإضافة إلى ذلك، فإن بناء دالة أو سلسلة من التوزيعات لمتغير عشوائي منفصل وكثافة لمتغير عشوائي مستمر أمر مرهق وغير ضروري.
في بعض الأحيان يكفي الإشارة إلى المعلمات الرقمية الفردية التي تميز ميزات التوزيع جزئيًا. ومن الضروري معرفة بعض القيمة المتوسطة لكل متغير عشوائي يتم تجميع حول قيمته المحتملة، أو درجة تشتت هذه القيم بالنسبة للمتوسط، الخ.
تسمى خصائص السمات الأكثر أهمية للتوزيع بالخصائص العددية متغير عشوائي.وبمساعدتهم، يصبح من الأسهل حل العديد من المشكلات الاحتمالية دون تحديد قوانين التوزيع الخاصة بها.
إن أهم خاصية لموضع المتغير العشوائي على محور العدد هي توقع رياضي م[X]= أ،والذي يسمى أحيانا متوسط المتغير العشوائي. ل المتغير العشوائي المتقطع Xالقيم الممكنة س 1 , س 2 , … , س نوالاحتمالات ص 1 , ص 2 ,… , ص نيتم تحديده بواسطة الصيغة
باعتبار أن =1، يمكننا الكتابة
هكذا، توقع رياضي المتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات قيمه المحتملة واحتمالاتها.مع عدد كبير من التجارب، يقترب الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي من توقعه الرياضي.
ل المتغير العشوائي المستمر Xلا يتم تحديد التوقع الرياضي من خلال المبلغ، ولكن أساسي
أين و(س) - كثافة توزيع الكمية X.
التوقع الرياضي غير موجود لجميع المتغيرات العشوائية. بالنسبة لبعضهم، يتباين المجموع أو التكامل، وبالتالي لا يوجد توقع رياضي. في هذه الحالات، ولأسباب تتعلق بالدقة، يجب أن يكون نطاق التغييرات المحتملة في المتغير العشوائي محدودًا X،حيث سيتقارب المجموع أو التكامل.
ومن الناحية العملية، يتم أيضًا استخدام خصائص موضع المتغير العشوائي مثل الوضع والوسيط.
الوضع المتغير العشوائيقيمتها الأكثر احتمالا تسمى.بشكل عام، الوضع والتوقع الرياضي لا يتطابقان.
متوسط المتغير العشوائيX هي قيمتها بالنسبة إلى احتمال الحصول على قيمة أكبر أو أصغر للمتغير العشوائي، أي هذا هو الحد الفاصل للنقطة التي تنقسم عندها المساحة المحددة بمنحنى التوزيع إلى النصف. بالنسبة للتوزيع المتماثل، فإن الخصائص الثلاث هي نفسها.
بالإضافة إلى التوقع الرياضي والوضع والوسيط، يتم استخدام خصائص أخرى في نظرية الاحتمالات، وتصف كل منها خاصية محددة للتوزيع. على سبيل المثال، الخصائص العددية التي تميز تشتت متغير عشوائي، أي إظهار مدى قرب تجميع قيمه المحتملة حول التوقع الرياضي، هي التشتت والانحراف المعياري. إنها تكمل بشكل كبير المتغير العشوائي، لأنه في الممارسة العملية غالبا ما تكون هناك متغيرات عشوائية ذات توقعات رياضية متساوية، ولكن توزيعات مختلفة. عند تحديد خصائص التشتت، استخدم الفرق بين المتغير العشوائي Xوتوقعاتها الرياضية، أي.
أين أ = م[X] - توقع رياضي.
ويسمى هذا الاختلاف متغير عشوائي متمركز,القيمة المقابلة X،ويتم تعيينه :
تباين متغير عشوائيهو التوقع الرياضي لمربع انحراف قيمة ما عن توقعها الرياضي، أي:
د[ X]=م[( X-أ) 2]، أو
د[ X]=م[ 2 ].
يعد تشتت المتغير العشوائي من الخصائص الملائمة لتشتت وتشتت قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. ومع ذلك، فهو غير واضح، لأنه يحتوي على بعد مربع لمتغير عشوائي.
لتوصيف التشتت بصريًا، يكون من الملائم أكثر استخدام قيمة يتطابق بُعدها مع بُعد المتغير العشوائي. هذه الكمية الانحراف المعياري المتغير العشوائي، وهو الجذر التربيعي الموجب لتباينه.
التوقع، المنوال، الوسيط، التباين، الانحراف المعياري - الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغيرات العشوائية. عند حل المشكلات العملية، عندما يكون من المستحيل تحديد قانون التوزيع، فإن الوصف التقريبي للمتغير العشوائي هو خصائصه العددية، التي تعبر عن بعض خصائص التوزيع.
بالإضافة إلى الخصائص الرئيسية لتوزيع المركز (التوقع الرياضي) والتشتت (التشتت)، غالبا ما يكون من الضروري وصف خصائص أخرى مهمة للتوزيع - التناظرو الإشارة,والتي يمكن تمثيلها باستخدام لحظات التوزيع.
يتم تحديد توزيع المتغير العشوائي بشكل كامل إذا كانت جميع لحظاته معروفة.ومع ذلك، يمكن وصف العديد من التوزيعات بشكل كامل باستخدام العزوم الأربع الأولى، وهي ليست فقط معلمات تصف التوزيعات، ولكنها مهمة أيضًا في اختيار التوزيعات التجريبية، أي عن طريق حساب القيم العددية للعزوم لفترة معينة. سلسلة إحصائيةوباستخدام الرسوم البيانية الخاصة، يمكنك تحديد قانون التوزيع.
في نظرية الاحتمالات، يتم التمييز بين العزوم من نوعين: الأولية والمركزية.
اللحظة الأولية لأمر kمتغير عشوائي تيسمى التوقع الرياضي للكمية إكس كيه،أي.
وبالتالي، بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم التعبير عنه بالمجموع
وللمستمر – بالتكامل
من بين اللحظات الأولية للمتغير العشوائي معنى خاصلديه لحظة من الدرجة الأولى، وهو التوقع الرياضي. يتم استخدام اللحظات الأولية ذات الترتيب الأعلى بشكل أساسي لحساب اللحظات المركزية.
اللحظة المركزية لترتيب kالمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي للقيمة ( اكس - م [X])ك
أين أ = م [X].
بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل يتم التعبير عنه بالمجموع
أللمستمر - عن طريق التكامل
من بين اللحظات المركزية للمتغير العشوائي، أهمية خاصة اللحظة المركزية من الدرجة الثانية,والذي يمثل تباين المتغير العشوائي.
العزم المركزي من الدرجة الأولى هو دائمًا صفر.
لحظة البداية الثالثةيميز عدم تناسق (انحراف) التوزيع، واستنادا إلى نتائج الملاحظات للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، يتم تحديده بواسطة التعبيرات المقابلة:
وبما أنه يحتوي على بعد مكعب لمتغير عشوائي، للحصول على خاصية بلا أبعاد، م 3مقسوما على الانحراف المعياري للقوة الثالثة
تسمى القيمة الناتجة معامل عدم التماثل، واعتمادًا على الإشارة، تميز القيمة الإيجابية ( مثل> 0) أو سلبي ( مثل< 0) انحراف التوزيع (الشكل 2.3).
71، الخصائص العددية للمتغيرات العشوائيةتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية لحساب مؤشرات الموثوقية. في العديد من القضايا العملية ليست هناك حاجة لتوصيف متغير عشوائي بشكل كامل وشامل. في كثير من الأحيان يكفي الإشارة إلى المعلمات العددية فقط التي تميز إلى حد ما السمات الأساسية لتوزيع متغير عشوائي، على سبيل المثال: متوسط القيمة ، حيث يتم تجميع القيم المحتملة للمتغير العشوائي؛ رقم يميز تشتت متغير عشوائي نسبة إلى القيمة المتوسطة، وما إلى ذلك. تسمى المعلمات العددية التي تسمح بالتعبير بشكل مضغوط عن أهم ميزات المتغير العشوائي بالخصائص العددية للمتغير العشوائي.
أ) ب)
أرز. 11 تعريف التوقع الرياضي
الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية المستخدمة في نظرية الموثوقية موضحة في الجدول. 1.
72،التوقع الرياضي(القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي مستمر تنتمي قيمه المحتملة إلى الفاصل الزمني 
يمثل تكامل محدد(الشكل 11، ب)
. (26)
يمكن التعبير عن التوقع الرياضي من خلال تكملة الدالة التكاملية. للقيام بذلك، نعوض بـ (11) في (26) وندمج التعبير الناتج بالأجزاء
, (27)
لأن 
و 
، الذي - التي
. (28)
للمتغيرات العشوائية غير السالبة التي تنتمي قيمها المحتملة إلى الفاصل الزمني ، الصيغة (28) تأخذ الشكل
. (29)
أي التوقع الرياضي لمتغير عشوائي غير سلبي تنتمي قيمه المحتملة إلى الفترة ، تساوي عدديًا المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني لتكملة الدالة التكاملية (الشكل، 11، أ).
73، متوسط الوقت حتى الفشل الأول حسب المعلومات الإحصائيةتحددها الصيغة
, (30)
أين هو الوقت المناسب للفشل الأول أنا-الكائن؛ ن- عدد الكائنات التي تم اختبارها.
يتم تحديد متوسط المورد ومتوسط عمر الخدمة ومتوسط وقت الاسترداد ومتوسط مدة الصلاحية بالمثل.
74، تشتت المتغير العشوائي حول توقعه الرياضيتم تقييمها باستخدام تباين الانحراف المعياري(RMS) و معامل الاختلاف.
تباين المتغير العشوائي المستمر X هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي ويتم حسابه بالصيغة
. (31)
تشتتله بُعد متغير عشوائي مربع، وهو ليس مناسبًا دائمًا.
75، الانحراف المعياريالمتغير العشوائي هو الجذر التربيعيمن التباين ولها بعد المتغير العشوائي
. (32)
76،معامل الاختلافهو مؤشر نسبي لتشتت متغير عشوائي ويعرف بأنه نسبة الانحراف المعياري إلى توقع رياضي
. (33)
77، جاما - القيمة المئوية لمتغير عشوائي- قيمة المتغير العشوائي الموافق لاحتمال معين 
أن المتغير العشوائي سيأخذ قيمة أكبر من ,
. (34)
78. جاما - يمكن تحديد القيمة المئوية للمتغير العشوائي من خلال الوظيفة التكاملية والوظيفة التكميلية والتفاضلية (الشكل 12). إن قيمة النسبة المئوية لجاما للمتغير العشوائي هي مقدار الاحتمال (الشكل 12، أ)
. (35)
استخدامات نظرية الموثوقية قيمة النسبة المئوية لجاما للموارد وعمر الخدمة ومدة الصلاحية(الجدول 1). نسبة جاما هي المورد، ومدة الخدمة، ومدة الصلاحية،التي تحتوي (وتتجاوز) النسبة المئوية للكائنات من نوع معين.
أ) ب)
الشكل 12: تحديد قيمة النسبة المئوية لجاما لمتغير عشوائي
مصدر النسبة المئوية لجامايميز متانةعلى المستوى المختار 
احتمال عدم التدمير. يتم تعيين مورد النسبة المئوية لجاما مع الأخذ في الاعتبار مسؤولية الكائنات. على سبيل المثال، بالنسبة للمحامل الدوارة، يتم استخدام عمر خدمة بنسبة 90 بالمائة في أغلب الأحيان بالنسبة لمحامل العناصر الأكثر أهمية، ويتم اختيار عمر خدمة بنسبة 95 بالمائة وما فوق، مما يجعلها أقرب إلى 100 بالمائة إذا كان الفشل يشكل خطورة على حياة الإنسان. .
79، متوسط المتغير العشوائيهي قيمة النسبة المئوية لجاما في 
. للوسيط 
ومن المرجح أيضًا أن يكون المتغير العشوائي تأكثر أو أقل منه، أي.
هندسيًا، الوسيط هو الإحداثي المحوري لنقطة تقاطع دالة التوزيع المتكاملة ومكملها (الشكل 12، ب). يمكن تفسير الوسيط على أنه حدود النقطة التي يشطر عندها إحداثي الدالة التفاضلية المنطقة المحددة بمنحنى التوزيع (الشكل 12، V).
يتم استخدام متوسط المتغير العشوائي في نظرية الموثوقية كخاصية عددية للمورد وعمر الخدمة ومدة الصلاحية (الجدول 1).
هناك اتصال وظيفي بين مؤشرات موثوقية الكائنات. معرفة إحدى الوظائف 
يسمح لك بتحديد مؤشرات الموثوقية الأخرى. ويرد في الجدول ملخص للعلاقات بين مؤشرات الموثوقية. 2.
الجدول 2. العلاقة الوظيفية بين مؤشرات الموثوقية