التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. أساسيات نظرية الاحتمالات

خصائص DSV وخصائصها. القيمة المتوقعة، التشتت، الانحراف المعياري

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، عندما يكون من المستحيل العثور على قانون التوزيع، أو أن ذلك غير مطلوب، يمكنك الاكتفاء بإيجاد قيم تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي. وتحدد هذه القيم بعض القيمة المتوسطة التي تتجمع حولها قيم المتغير العشوائي، ودرجة تشتتها حول هذه القيمة المتوسطة.

التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.

يوجد التوقع الرياضي إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

ومن وجهة نظر الاحتمالية يمكننا القول أن التوقع الرياضي يساوي تقريباً الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

مثال. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل معروف. أوجد التوقع الرياضي.

X
ص	0.2	0.3	0.1	0.4

حل:

9.2 خصائص التوقع الرياضي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.

2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي.

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

تنطبق هذه الخاصية على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p.

نظرية.التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.

مثال. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

حل:

9.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل

ومع ذلك، لا يمكن للتوقع الرياضي أن يصف العملية العشوائية بشكل كامل. بالإضافة إلى التوقع الرياضي، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.

وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.

التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي المنفصل هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.

من الناحية العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم المتغيرات العشوائية.

ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.

نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.

دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M(X) ومربع التوقع الرياضي M2(X) هما كميتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:

مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.

X
× 2
ر	0.2	0.3	0.1	0.4

حل: .

9.4 خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر. .

2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. .

3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمالات الحدوث وعدم حدوثه. وقوع الحدث في كل تجربة.

9.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل

الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي الجذر التربيعيمن مجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه الكميات.

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، غالبًا ما يكون قانون التوزيع غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجموع، وتسمى هذه الأرقام الخصائص العدديةمتغير عشوائي. إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.

والتوقع الرياضي كما سيبين أدناه يساوي تقريباً متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. لحل العديد من المسائل، يكفي معرفة التوقع الرياضي. على سبيل المثال، إذا كان من المعروف أن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي سجلها الرامي الأول أكبر من التوقع الثاني، فإن الرامي الأول، في المتوسط، يسجل نقاطًا أكثر من الثاني، وبالتالي يسدد بشكل أفضل من الثانية.

التعريف4.1: التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها.

دع المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم فقط × 1، × 2، … × ن، والتي تكون احتمالاتها متساوية على التوالي ص 1، ص 2، … ص ن.ثم التوقع الرياضي م(X) متغير عشوائي Xيتم تحديدها بالمساواة

M (X) = x 1 ع 1 + x 2 ع 2 + …+ x n p n .

إذا كان متغير عشوائي منفصل Xيأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة، ثم

,

علاوة على ذلك، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

مثال.أوجد التوقع الرياضي لعدد مرات حدوث حدث ما أفي تجربة واحدة، إذا كان احتمال وقوع الحدث أيساوي ص.

حل:قيمة عشوائية X- عدد مرات حدوث الحدث ألديه توزيع برنولي، لذلك

هكذا، التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تجربة واحدة يساوي احتمال هذا الحدث.

المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي

دعها تنتج نالاختبارات التي فيها المتغير العشوائي Xقبلت م 1قيمة المرات × 1, م 2قيمة المرات × 2 ,…, م كقيمة المرات س ك، و م 1 + م 2 + …+ م ك = ن. ثم مجموع كل القيم المأخوذة X، متساوي س 1 م 1 + س 2 م 2 + …+ س ك م ك .

سيكون الوسط الحسابي لجميع القيم التي يأخذها المتغير العشوائي

سلوك م ط / ن- التردد النسبي دبليو ايقيم × طيساوي تقريبا احتمال وقوع الحدث باي، أين ، لهذا

المعنى الاحتمالي للنتيجة التي تم الحصول عليها هو كما يلي: التوقع الرياضي متساوي تقريبًا(كلما كانت الدقة أكبر، كلما زاد عدد الاختبارات) المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي

الخاصية 1:التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه

الخاصية 2:يمكن أخذ العامل الثابت إلى ما هو أبعد من علامة التوقع الرياضي

التعريف4.2: متغيرين عشوائيينوتسمى مستقل، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكمية الأخرى. خلاف ذلك المتغيرات العشوائية تعتمد.

التعريف4.3: عدة متغيرات عشوائيةمُسَمًّى مستقلة بشكل متبادل، إذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكميات الأخرى.

الخاصية3:التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

الملكية 4:التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية.

مثال.دعونا نحسب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ذي الحدين X –تاريخ وقوع الحدث أالخامس نالتجارب.

حل:الرقم الإجمالي Xحدوث الحدث أفي هذه التجارب هو مجموع عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية. دعونا نقدم المتغيرات العشوائية العاشر ط– عدد مرات حدوث الحدث أناالاختبار الرابع وهي متغيرات برنولي العشوائية مع التوقع الرياضي حيث . بواسطة خاصية التوقع الرياضي لدينا

هكذا، القيمة المتوقعة توزيع ثنائيمع المعلمات n و p يساوي المنتج np.

مثال.احتمال إصابة الهدف عند إطلاق النار ع = 0.6.أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الضربات إذا تم إطلاق ١٠ طلقات.

حل:لا تعتمد إصابة كل لقطة على نتائج اللقطات الأخرى، وبالتالي فإن الأحداث قيد النظر مستقلة، وبالتالي، التوقع الرياضي المطلوب

يمكن اعتبار مفهوم التوقع الرياضي باستخدام مثال رمي حجر النرد. مع كل رمية، يتم تسجيل النقاط المسقطة. وللتعبير عنها يتم استخدام القيم الطبيعية في النطاق 1 – 6.

بعد عدد معين من الرميات، باستخدام حسابات بسيطة، يمكنك العثور على المتوسط ​​الحسابي للنقاط التي تم رميها.

تمامًا مثل حدوث أي من القيم في النطاق، ستكون هذه القيمة عشوائية.

ماذا لو قمت بزيادة عدد الرميات عدة مرات؟ مع عدد كبير من الرميات، يقترب المتوسط ​​الحسابي للنقاط من رقم محدد، وهو ما يسمى في نظرية الاحتمالات بالتوقع الرياضي.

لذا، نعني بالتوقع الرياضي متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. يمكن أيضًا تقديم هذا المؤشر كمجموع مرجح لقيم القيمة المحتملة.

هذا المفهوم له عدة مرادفات:

• متوسط ​​القيمة؛
• متوسط ​​القيمة؛
• مؤشر الاتجاه المركزي.
• اللحظة الأولى.

بمعنى آخر، هو ليس أكثر من رقم تتوزع حوله قيم متغير عشوائي.

في مجالات مختلفة من النشاط البشري، ستكون أساليب فهم التوقعات الرياضية مختلفة إلى حد ما.

يمكن اعتباره كما يلي:

• متوسط ​​الفائدة التي يتم الحصول عليها من اتخاذ القرار، عندما يتم النظر في هذا القرار من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة؛
• المبلغ المحتمل للفوز أو الخسارة (نظرية المقامرة)، ويتم حسابه في المتوسط ​​لكل رهان. في العامية، تبدو هذه الكلمات مثل "ميزة اللاعب" (إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (سلبية للاعب)؛
• نسبة الربح المستلم من المكاسب.

التوقع ليس إلزاميا لجميع المتغيرات العشوائية. إنه غائب بالنسبة لأولئك الذين لديهم تناقض في المبلغ المقابل أو التكامل.

خصائص التوقع الرياضي

مثل أي معلمة إحصائية، فإن التوقع الرياضي له الخصائص التالية:

الصيغ الأساسية للتوقعات الرياضية

يمكن إجراء حساب التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية التي تتميز بالاستمرارية (الصيغة أ) والتمييز (الصيغة ب):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi، حيث xi هي قيم المتغير العشوائي، pi هي الاحتمالات:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx، حيث f(x) هي الكثافة الاحتمالية المحددة.

أمثلة على حساب التوقع الرياضي

مثال أ.

هل من الممكن معرفة متوسط ​​\u200b\u200bارتفاع الأقزام في حكاية سنو وايت؟ ومن المعروف أن كل من الأقزام السبعة كان له ارتفاع معين: 1.25؛ 0.98؛ 1.05؛ 0.71؛ 0.56؛ 0.95 و 0.81 م.

خوارزمية الحساب بسيطة للغاية:

• نجد مجموع كل قيم مؤشر النمو (متغير عشوائي):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• اقسم المبلغ الناتج على عدد التماثيل:
  6,31:7=0,90.

وهكذا فإن متوسط ​​ارتفاع التماثيل في الحكاية الخيالية هو 90 سم، وبعبارة أخرى، هذا هو التوقع الرياضي لنمو التماثيل.

صيغة العمل - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

التنفيذ العملي للتوقعات الرياضية

يتم اللجوء إلى حساب المؤشر الإحصائي للتوقع الرياضي في مختلف مجالات النشاط العملي. بادئ ذي بدء، نحن نتحدث عن المجال التجاري. بعد كل شيء، يرتبط تقديم هيغنز لهذا المؤشر بتحديد الفرص التي يمكن أن تكون مواتية، أو على العكس من ذلك، غير مواتية، لبعض الأحداث.

يُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع لتقييم المخاطر، خاصة عندما يتعلق الأمر بالاستثمارات المالية.
وبالتالي، في مجال الأعمال التجارية، يعمل حساب التوقعات الرياضية كوسيلة لتقييم المخاطر عند حساب الأسعار.

ويمكن أيضا استخدام هذا المؤشر لحساب فعالية بعض التدابير، على سبيل المثال، حماية العمال. بفضله، يمكنك حساب احتمالية وقوع حدث ما.

مجال آخر لتطبيق هذه المعلمة هو الإدارة. ويمكن أيضًا حسابه أثناء مراقبة جودة المنتج. على سبيل المثال، باستخدام حصيرة. التوقعات، يمكنك حساب العدد المحتمل للأجزاء المعيبة المنتجة.

كما تبين أن التوقع الرياضي لا يمكن الاستغناء عنه عند إجراء المعالجة الإحصائية للنتائج التي تم الحصول عليها أثناء ذلك بحث علمينتائج. يسمح لك بحساب احتمالية النتيجة المرغوبة أو غير المرغوب فيها لتجربة أو دراسة اعتمادًا على مستوى تحقيق الهدف. ففي نهاية المطاف، يمكن أن يرتبط إنجازه بالربح والمنفعة، ويمكن أن يرتبط فشله بالخسارة أو الخسارة.

استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

الاستخدام العمليهذه المعلمة الإحصائية ممكنة عند إجراء العمليات في سوق الصرف الأجنبي. بمساعدتها، يمكنك تحليل نجاح المعاملات التجارية. علاوة على ذلك، تشير الزيادة في قيمة التوقعات إلى زيادة في نجاحهم.

من المهم أيضًا أن نتذكر أن التوقعات الرياضية لا ينبغي اعتبارها المعلمة الإحصائية الوحيدة المستخدمة لتحليل أداء المتداول. يؤدي استخدام العديد من المعلمات الإحصائية إلى جانب القيمة المتوسطة إلى زيادة دقة التحليل بشكل كبير.

لقد أثبتت هذه المعلمة نفسها جيدًا في مراقبة ملاحظات حسابات التداول. بفضله، يتم إجراء تقييم سريع للعمل المنجز على حساب الوديعة. في الحالات التي يكون فيها نشاط المتداول ناجحًا ويتجنب الخسائر، لا يوصى باستخدام حساب التوقع الرياضي حصريًا. وفي هذه الحالات، لا تؤخذ المخاطر بعين الاعتبار، مما يقلل من فعالية التحليل.

تشير الدراسات التي أجريت حول تكتيكات المتداولين إلى ما يلي:

• التكتيكات الأكثر فعالية هي تلك التي تعتمد على الإدخال العشوائي؛
• الأقل فعالية هي التكتيكات التي تعتمد على مدخلات منظمة.

وفي تحقيق نتائج إيجابية، لا يقل أهمية ما يلي:

• تكتيكات إدارة الأموال؛
• استراتيجيات الخروج.

باستخدام مؤشر مثل التوقع الرياضي، يمكنك التنبؤ بالربح أو الخسارة عند استثمار دولار واحد. ومن المعروف أن هذا المؤشر المحسوب لجميع الألعاب التي تمارس في الكازينو هو لصالح المنشأة. هذا هو ما يسمح لك بكسب المال. في حالة وجود سلسلة طويلة من الألعاب، تزداد احتمالية خسارة أموال العميل بشكل كبير.

تقتصر الألعاب التي يلعبها اللاعبون المحترفون على فترات زمنية قصيرة، مما يزيد من احتمالية الفوز ويقلل من مخاطر الخسارة. ويلاحظ نفس النمط عند إجراء العمليات الاستثمارية.

يمكن للمستثمر كسب مبلغ كبير من خلال وجود توقعات إيجابية وإجراء عدد كبير من المعاملات في فترة زمنية قصيرة.

يمكن اعتبار التوقع هو الفرق بين نسبة الربح (PW) مضروبة في متوسط ​​الربح (AW) واحتمال الخسارة (PL) مضروبة في متوسط ​​الخسارة (AL).

على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار ما يلي: المركز – 12.5 ألف دولار، المحفظة – 100 ألف دولار، مخاطر الودائع – 1٪. تبلغ ربحية المعاملات 40٪ من الحالات بمتوسط ​​ربح 20٪. وفي حالة الخسارة يكون متوسط ​​الخسارة 5%. حساب التوقع الرياضي للمعاملة يعطي قيمة 625 دولارًا.

ستكون هناك أيضًا مشكلات يتعين عليك حلها بنفسك، ويمكنك رؤية الإجابات عليها.

التوقع والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغير العشوائي. وهي تصف أهم سمات التوزيع: موضعه ودرجة تشتته. غالبًا ما تسمى القيمة المتوقعة ببساطة بالمتوسط. متغير عشوائي. تشتت متغير عشوائي - خاصية التشتت وانتشار المتغير العشوائي حول توقعاتها الرياضية.

في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على الخاصية الكاملة والشاملة للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - أو لا تكون هناك حاجة إليها على الإطلاق. وفي هذه الحالات، يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

دعونا نأتي إلى مفهوم التوقع الرياضي. دع كتلة مادة ما تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن. علاوة على ذلك، فإن كل نقطة مادية لها كتلة مقابلة مع احتمال ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على محور الإحداثي، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط ​​المرجح للمتغير العشوائي X، والتي الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة Xويسمى توقعاتها الرياضية.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:

مثال 1.تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 فوز، منها 400 10 روبل. 300 - 20 روبل لكل منهما. 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط ​​المكاسب للشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟

حل. سنجد متوسط ​​المكاسب إذا قسمنا إجمالي مبلغ المكاسب، وهو 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، على 1000 (إجمالي مبلغ المكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن تقديم التعبير الخاص بحساب متوسط ​​المكاسب بالشكل التالي:

من ناحية أخرى، في هذه الظروف، يكون حجم الفوز متغيرًا عشوائيًا، والذي يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. ولذلك فإن متوسط ​​الربح المتوقع يساوي مجموع منتجات حجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.

مثال 2.قرر الناشر نشر كتاب جديد. يخطط لبيع الكتاب مقابل 280 روبل، سيحصل هو نفسه على 200 منها، 50 - مكتبة و 30 - المؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكاليف نشر كتاب واحتمال بيع عدد معين من نسخ الكتاب.

أوجد الربح المتوقع للناشر.

حل. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من المبيعات وتكلفة التكاليف. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:

رقم	ربح سأنا	احتمالا صأنا	سأنا صأنا
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
المجموع:		1,00	25000

وهكذا نحصل على التوقع الرياضي لربح الناشر:

.

مثال 3.احتمال الضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك المقذوفات التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الضربات يساوي 5.

حل. ومن نفس صيغة التوقع الرياضي التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القشرة:

.

مثال 4.تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة ص = 0,4 .

تلميح: أوجد احتمال قيم المتغيرات العشوائية بواسطة صيغة برنولي .

خصائص التوقع الرياضي

دعونا ننظر في خصائص التوقع الرياضي.

الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:

الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:

العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض ​​(يزيد) بنفس العدد:

عندما لا يمكنك أن تقتصر على التوقعات الرياضية فقط

في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل كافٍ.

دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

معنى X	احتمالا
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنى ي	احتمالا
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:

ومع ذلك، فإن أنماط توزيعها مختلفة. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تختلف قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط ​​الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على حصة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، لا يمكن للمرء أن يحكم من خلال التوقع الرياضي على أي انحرافات محتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين المتغير العشوائي.

تباين المتغير العشوائي المنفصل

التباينالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي :

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xتسمى القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:

.

مثال 5.حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، قوانين التوزيع موضحة في الجداول أعلاه.

حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت في ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:

ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يماكياج

.

وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغير جدًا، ولكنه متغير عشوائي ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلافات في توزيعها.

مثال 6.لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.

مشروع 1	المشروع 2	المشروع 3	المشروع 4
500, ص=1	1000, ص=0,5	500, ص=0,5	500, ص=0,5
	0, ص=0,5	1000, ص=0,25	10500, ص=0,25
		0, ص=0,25	9500, ص=0,25

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.

حل. دعونا نبين كيفية حساب هذه القيم للبديل الثالث:

يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.

جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - كلما زاد ارتفاعه، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد العالية في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع الأكبر الانحراف المعياري- المشروع 4.

خصائص التشتت

دعونا نقدم خصائص التشتت.

الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:

.

الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:

,

أين .

الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:

مثال 7.ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.

حل. دعونا نشير بواسطة صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. دعونا نشتق معادلة التوقع الرياضي:

ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,

حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .

قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	−3	7
ص	0,3	0,7

نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتشتت:

د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 8.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يقبل أكبر القيم 3 باحتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

مثال 9.هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. يتم سحب 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة الضرب الاحتمالية. قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	0	1	2	3
ص	1/30	3/10	1/2	1/6

ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:

م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

تباين متغير عشوائي معين هو:

د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على عكس المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون دالته وسيطة سأنايتغير فجأة؛ بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط ​​قيمته.

للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة الكثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنه يدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.

ويسمى المتوسط ​​الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .

2. أساسيات نظرية الاحتمالات

القيمة المتوقعة

النظر في متغير عشوائي مع القيم العددية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الدالة - "قيمته المتوسطة" أو، كما يقولون، " متوسط ​​القيمة"،" مؤشر الاتجاه المركزي ". لعدد من الأسباب، بعضها سوف يتضح لاحقا، عادة ما يستخدم التوقع الرياضي باعتباره "القيمة المتوسطة".

التعريف 3.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Xاتصل بالرقم

أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع مرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات الأحداث الأولية المقابلة.

مثال 6.دعونا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي يظهر على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3 ذلك

البيان 2.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2،…، ×م. ثم المساواة صحيحة

(5)

أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع مرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيما معينة.

على عكس (4)، حيث يتم تنفيذ الجمع مباشرة على الأحداث الأولية، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.

في بعض الأحيان يتم اعتبار العلاقة (5) بمثابة تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك، باستخدام التعريف 3، كما هو موضح أدناه، فمن الأسهل تحديد خصائص التوقع الرياضي اللازم لبناء نماذج احتمالية للظواهر الحقيقية من استخدام العلاقة (5).

ولإثبات العلاقة (5)، قمنا بتجميع (4) مصطلحات ذات قيم متماثلة للمتغير العشوائي:

وبما أن العامل الثابت يمكن إخراجه من إشارة المجموع، إذن

من خلال تحديد احتمال وقوع حدث ما

وباستخدام العلاقتين الأخيرتين نحصل على المطلوب:

يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الاحتمالية الإحصائية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. دعونا نضعها في نقاط × 1، × 2،…، ×معلى محور العدد الكتلي ص(X= س 1 ), ص(X= س 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ومن ثم فإن المساواة (5) تبين أن مركز ثقل هذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي، مما يدل على طبيعية التعريف 3.

البيان 3.يترك X- قيمة عشوائية، م (س)- توقعاتها الرياضية، أ– عدد معين . ثم

1) م(أ)=أ؛ 2) م(X-M(X))=0; 3M[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .

لإثبات ذلك، دعونا ننظر أولا في متغير عشوائي ثابت، أي. تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة أ. بما أن المضاعف الثابت يمكن أخذه خارج علامة المجموع، إذن

وإذا انقسم كل عضو من مجموع إلى حدين، فإن المجموع كله ينقسم إلى مجموعين، يتكون الأول منهما من الحد الأول، والثاني يتكون من الثاني. ولذلك، فإن التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين س+ص، المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، تساوي مجموع التوقعات الرياضية م (س)و م (ش)هذه المتغيرات العشوائية:

م(س+ص) = م(س) + م(ص).

وبالتالي م(X-M(X)) = م(س) - م(م(س)).كما هو مبين أعلاه، م(م(س)) = م (س).لذلك، م(X-M(X)) = م(X) - م(X) = 0.

بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، الذي - التي م[(س - أ) 2 ] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات العبارة 3، فإن التوقع الرياضي للثابت هو الثابت نفسه، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . بما أن المضاعف الثابت يمكن أخذه خارج علامة المجموع، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ)م(X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه، كما هو موضح أعلاه، م(X-M(X))=0.لذلك، م[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 ، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

ويترتب على ما سبق ذلك م[(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى أ، متساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م(س)،حيث أن الحد الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المحددة أ.

البيان 4.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2،…، ×مو f هي إحدى وظائف الوسيطة العددية. ثم

ولإثبات ذلك، دعونا نجمع على الجانب الأيمن من المساواة (4)، التي تحدد التوقع الرياضي، مصطلحات لها نفس القيم:

باستخدام حقيقة أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المجموع، وتعريف احتمال وقوع حدث عشوائي (2)، نحصل على

Q.E.D.

البيان 5.يترك Xو ش- المتغيرات العشوائية المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، أو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= أكون(X)+ بي ام(ي).

وباستخدام تعريف التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع نحصل على سلسلة من المتساويات:

وقد ثبت المطلوب.

ما سبق يوضح كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى نقطة مرجعية أخرى وإلى وحدة قياس أخرى (الانتقال ي=فأس+ب)، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. تُستخدم النتائج التي يتم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي، وفي تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة، أثناء الانتقال من عملة إلى أخرى في الحسابات الاقتصادية الأجنبية، وفي الوثائق التنظيمية والفنية، وما إلى ذلك. وتسمح النتائج قيد النظر استخدام نفس الصيغ الحسابية لمختلف المعلمات والتحول.

سابق