كيفية إيجاد معادلة المستوى المماس. كيف تجد معادلات المستوى المماس والسطح العمودي عند نقطة معينة؟ قسم عادي وعادي

دعنا نحصل على سطح معطى بمعادلة الشكل

نقدم التعريف التالي.

التعريف 1. يسمى الخط المستقيم ظل السطح عند نقطة ما إذا كان كذلك

ظل بعض المنحنى ملقى على السطح ويمر عبر النقطة.

نظرًا لأن عددًا لا حصر له من المنحنيات المختلفة الموجودة على السطح يمر عبر النقطة P ، فسيكون هناك بشكل عام عدد لا حصر له من الظلال على السطح الذي يمر عبر هذه النقطة.

دعونا نقدم مفهوم النقاط الفردية والعادية للسطح

إذا كانت جميع المشتقات الثلاثة عند نقطة ما تساوي صفرًا أو إذا كان أحد هذه المشتقات على الأقل غير موجود ، فإن النقطة M تسمى نقطة مفردة على السطح. إذا كانت جميع المشتقات الثلاثة موجودة ومستمرة عند نقطة ما ، وكان أحدها على الأقل مختلفًا عن الصفر ، فإن النقطة M تسمى نقطة عادية على السطح.

الآن يمكننا صياغة النظرية التالية.

نظرية. جميع خطوط المماس لسطح معين (1) عند نقطته العادية P تقع في نفس المستوى.

دليل. دعونا نفكر في خط معين L على السطح (الشكل 206) يمر عبر نقطة معينة P من السطح. دع المنحنى قيد النظر يتم إعطاؤه بواسطة المعادلات البارامترية

يكون المماس للمنحنى مماسًا للسطح. معادلات هذا المماس لها الشكل

إذا تم استبدال التعبيرات (2) في المعادلة (1) ، تصبح هذه المعادلة مطابقة فيما يتعلق بـ t ، حيث أن المنحنى (2) يقع على السطح (1). التفريق بينه وبين ما نحصل عليه

تعتمد إسقاطات هذا المتجه على - إحداثيات النقطة Р ؛ لاحظ أنه نظرًا لأن النقطة P عادية ، فإن هذه الإسقاطات عند النقطة P لا تختفي في نفس الوقت ، وبالتالي

مماس للمنحنى المار بالنقطة P والموجود على السطح. يتم حساب إسقاطات هذا المتجه على أساس المعادلات (2) مع قيمة المعلمة t المقابلة للنقطة Р.

دعونا نحسب الناتج القياسي للمتجهات N والذي يساوي مجموع منتجات الإسقاطات التي تحمل الاسم نفسه:

بناءً على المساواة (3) ، فإن التعبير الموجود على الجانب الأيمن يساوي صفرًا ، لذلك ،

ويترتب على المساواة الأخيرة أن متجه LG والمتجه المماس للمنحنى (2) عند النقطة P متعامدان. المنطق أعلاه صالح لأي منحنى (2) يمر عبر النقطة P ويستلقي على السطح. وبالتالي ، فإن كل ظل للسطح عند النقطة P يكون عموديًا على نفس المتجه N ، وبالتالي تقع كل هذه الظلال في نفس المستوى المتعامد مع المتجه LG. لقد تم إثبات النظرية.

التعريف 2. المستوى الذي توجد فيه جميع خطوط الظل على الخطوط الموجودة على السطح التي تمر عبر النقطة المعينة P يسمى المستوى المماس للسطح عند النقطة P (الشكل 207).

لاحظ أن المستوى المماس قد لا يكون موجودًا عند نقاط مفردة من السطح. في مثل هذه النقاط ، قد لا تقع خطوط الظل على السطح في نفس المستوى. لذلك ، على سبيل المثال ، رأس السطح المخروطي هو نقطة مفردة.

لا تكمن ظلال السطح المخروطي عند هذه النقطة في نفس المستوى (هم أنفسهم يشكلون سطحًا مخروطيًا).

دعونا نكتب معادلة المستوى المماس على السطح (1) عند نقطة عادية. بما أن هذا المستوى عمودي على المتجه (4) ، إذن ، فإن معادلته لها الشكل

إذا تم تقديم معادلة السطح في الشكل أو تأخذ معادلة المستوى المماس في هذه الحالة الشكل

تعليق. إذا قمنا بالتعيين في الصيغة (6) ، فستأخذ هذه الصيغة الشكل

جانبها الأيمن هو التفاضل الكلي للدالة. لذلك، . وبالتالي ، فإن التفاضل الكلي لدالة متغيرين عند النقطة المقابلة لزيادات المتغيرين المستقلين x و y يساوي الزيادة المقابلة لتطبيق مستوى الظل على السطح ، وهو الرسم البياني لهذه الوظيفة.

التعريف 3. يسمى الخط المستقيم المرسوم من خلال نقطة من السطح (1) متعامدة مع مستوى الظل الخط العمودي على السطح (الشكل 207).

لنكتب المعادلات العادية. نظرًا لأن اتجاهه يتزامن مع اتجاه المتجه N ، فإن معادلاته سيكون لها الشكل

الرسم البياني لوظيفة من متغيرين z = f (x ، y) هو سطح مسقط على مستوى XOY في مجال الوظيفة D.
ضع في اعتبارك السطح σ ، معطى بالمعادلة z = f (x ، y) ، حيث f (x ، y) دالة قابلة للتفاضل ، والسماح لـ M 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) أن تكون نقطة ثابتة على السطح σ ، أي z0 = f (x0، y0). ميعاد. تم تصميم الآلة الحاسبة على الإنترنت للعثور على المماس المستوي والسطح المعادلات العادية. يتم اتخاذ القرار بتنسيق Word. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد معادلة المماس للمنحنى (y = f (x)) ، فأنت بحاجة إلى استخدام هذه الخدمة.

قواعد إدخال الوظيفة:

قواعد إدخال الوظيفة:

1. يتم التعبير عن جميع المتغيرات بدلالة x و y و z

ظل الطائرة إلى السطح σ في وجهة نظرها م 0 هو المستوى الذي تكمن فيه مماسات جميع المنحنيات المرسومة على السطح σ من خلال نقطة م 0 .
معادلة المستوى المماس للسطح المعطاة بالمعادلة z = f (x، y) عند النقطة M 0 (x 0، y 0، z 0) لها الشكل:

ض - ض 0 \ u003d و 'س (س 0 ، ص 0) (س - س 0) + و' ص (س 0 ، ص 0) (ص - ص 0)

يسمى المتجه متجه السطح الطبيعي σ عند النقطة م 0. المتجه العادي عمودي على المستوى المماس.
عادي على السطح σ في هذه النقطة م 0 هو خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة وله اتجاه المتجه N.
المعادلات الأساسية للخط العمودي للسطح المعطاة بالمعادلة z = f (x، y) عند النقطة M 0 (x 0، y 0، z 0) ، حيث z 0 = f (x 0، y 0) ، لديك النموذج:

مثال 1. السطح مُعطى بالمعادلة x 3 + 5y. أوجد معادلة المستوى المماس للسطح عند النقطة م 0 (0 ؛ 1).
حل. دعونا نكتب معادلات المماس في نظرة عامة: z - z 0 \ u003d f "x (x 0، y 0، z 0) (x - x 0) + f" y (x 0، y 0، z 0) (y - y 0)
حسب حالة المشكلة x 0 = 0 ، y 0 = 1 ، ثم z 0 = 5
أوجد المشتقات الجزئية للدالة z = x ^ 3 + 5 * y:
f "x (x، y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
و "س (س ، ص) = (س 3 +5 ص)" ص = 5
عند النقطة M 0 (0.1) ، قيم المشتقات الجزئية:
f "x (0 ؛ 1) = 0
و "ص (0 ؛ 1) = 5
باستخدام الصيغة ، نحصل على معادلة المستوى المماس للسطح عند النقطة M 0: z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) أو -5 y + z = 0

المثال رقم 2. السطح معطى ضمنيًا y 2-1 / 2 * x 3 -8z. أوجد معادلة المستوى المماس للسطح عند النقطة م 0 (1 ؛ 0 ؛ 1).
حل. نجد مشتقات جزئية للدالة. نظرًا لأن الدالة معطاة بصيغة ضمنية ، فإننا نبحث عن مشتقات بالصيغة:

لوظيفتنا:

ثم:

عند النقطة M 0 (1،0،1) قيم المشتقات الجزئية:
و "× (1 ؛ 0 ؛ 1) \ u003d -3 / 16
f "y (1 ؛ 0 ؛ 1) = 0
باستخدام الصيغة ، نحصل على معادلة المستوى المماس للسطح عند النقطة M 0: z - 1 \ u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) أو 3/16 x + z- 19 / 16 \ u003d 0

مثال. سطح σ من المعادلة ض= ص / س + س ص – 5x 3. أوجد معادلة المستوى المماس والمستوى العمودي على السطح σ في هذه النقطة م 0 (x 0 ,ذ 0 ,ض 0) تنتمي إليها إذا x 0 = –1, ذ 0 = 2.
لنجد المشتقات الجزئية للدالة ض= F(x,ذ) = ص / س + س ص – 5x 3:
و x '( x,ذ) = (ص / س + س ص – 5x 3) 'س \ u003d - ص / س 2 + ذ – 15x 2 ;
و ص '( x,ذ) = (ص / س + س ص – 5x 3) 'ص = 1 / س + x.
نقطة م 0 (x 0 ,ذ 0 ,ض 0) ينتمي إلى السطح σ ، حتى نتمكن من الحساب ض 0 ، استبدال المعطى x 0 = -1 و ذ 0 = 2 في معادلة السطح:

ض= ص / س + س ص – 5x 3

ض 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
في هذه النقطة م 0 (-1 ، 2 ، 1) قيم المشتقات الجزئية:
و x '( م 0) = –1 / (- 1) 2 + 2 - 15 (–1) 2 = –15 ؛ fy '( م 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
باستخدام الصيغة (5) ، نحصل على معادلة المستوى المماس للسطح σ في هذه النقطة م 0:
ض – 1= –15(x + 1) – 2(ذ – 2) ض – 1= –15x – 15 – 2ذ + 4 15x + 2ذ + ض + 10 = 0.
باستخدام الصيغة (6) ، نحصل على المعادلات المتعارف عليها من الطبيعي إلى السطح σ في هذه النقطة م 0: .
الإجابات: معادلة المستوى المماس: 15 x + 2ذ + ض+ 10 = 0 ؛ المعادلات العادية: .

مثال 1. إعطاء دالة z \ u003d f (x، y) ونقطتين A (x 0، y 0) و B (x 1، y 1). مطلوب: 1) احسب القيمة z 1 للوظيفة عند النقطة B ؛ 2) احسب القيمة التقريبية z 1 للدالة عند النقطة B بناءً على القيمة z 0 للوظيفة عند النقطة A ، مع استبدال الزيادة في الوظيفة أثناء الانتقال من النقطة A إلى النقطة B بفارق ؛ 3) يؤلف معادلة المستوى المماس للسطح z = f (x، y) عند النقطة C (x 0، y 0، z 0).
حل.
نكتب معادلات الظل بشكل عام:
z - z 0 \ u003d f "x (x 0، y 0، z 0) (x - x 0) + f" y (x 0، y 0، z 0) (y - y 0)
وفقًا لحالة المشكلة x 0 = 1 ، y 0 = 2 ، ثم z 0 = 25
أوجد المشتقات الجزئية للدالة z = f (x، y) x ^ 2 + 3 * x * y * + y ^ 2:
f "x (x، y) \ u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \ u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x، y) \ u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \ u003d 9 x y 2
عند النقطة M 0 (1.2) ، قيم المشتقات الجزئية:
f "x (1 ؛ 2) = 26
و "ص (1 ؛ 2) = 36
باستخدام الصيغة ، نحصل على معادلة المستوى المماس للسطح عند النقطة M 0:
ض - 25 = 26 (س - 1) + 36 (ص - 2)
أو
-26 س -36 ص + ع + 73 = 0

المثال رقم 2. اكتب معادلات المستوى المماس والمستوى العمودي للمكافئ البيضاوي z = 2x 2 + y 2 عند النقطة (1 ؛ -1 ؛ 3).

وهي حول ما تراه في العنوان. من حيث الجوهر ، هذا هو "التناظرية المكانية" مشاكل العثور على الظلو الأعرافللرسم البياني لدالة متغير واحد ، وبالتالي لا ينبغي أن تنشأ صعوبات.

لنبدأ بالأسئلة الأساسية: ما هو مستوى الظل وما هو الطبيعي؟ يدرك الكثيرون هذه المفاهيم على مستوى الحدس. أبسط نموذج يتبادر إلى الذهن هو كرة توضع عليها كرتون مسطح رفيع. يقع الورق المقوى بالقرب من الكرة بقدر الإمكان ويلامسه في نقطة واحدة. بالإضافة إلى ذلك ، عند نقطة التلامس ، يتم تثبيته بإبرة ملتصقة بشكل مستقيم.

من الناحية النظرية ، هناك تعريف ذكي إلى حد ما للمستوى المماس. تخيل تعسفيا سطحوالنقطة التي تنتمي إليها. من الواضح أن الكثير يمر عبر هذه النقطة. خطوط مكانيةالتي تنتمي إلى هذا السطح. من لديه أي جمعيات؟ =)… أنا شخصياً قدمت الأخطبوط. افترض أن كل سطر من هذا القبيل لديه الظل المكانيعند نقطة .

التعريف 1: طائرة تماسيةإلى السطح عند نقطة ما طائرة، التي تحتوي على مماسات جميع المنحنيات التي تنتمي إلى سطح معين وتمر عبر النقطة.

التعريف 2: طبيعيإلى السطح عند نقطة ما مستقيميمر من خلال نقطة معينة عمودية على المستوى المماس.

بسيط وأنيق. بالمناسبة ، حتى لا تموت من الملل من بساطة المادة ، بعد ذلك بقليل سأشاركك سرًا واحدًا أنيقًا يسمح لك بنسيان حشو التعريفات المختلفة مرة واحدة وإلى الأبد.

سوف نتعرف على صيغ العمل وخوارزمية الحل مباشرة على مثال محدد. في الغالبية العظمى من المشكلات ، يلزم تكوين معادلة المستوى المماس ومعادلة المستوى العادي:

مثال 1

حل: إذا كان السطح معطى بالمعادلة (أي ضمنيًا)، ثم يمكن إيجاد معادلة المستوى المماس لسطح معين عند نقطة ما بالصيغة التالية:

أولي اهتمامًا خاصًا للمشتقات الجزئية غير العادية - الخاصة بهم لا ينبغي الخلطمع المشتقات الجزئية لوظيفة محددة ضمنيًا (على الرغم من أن السطح محدد ضمنيًا). عند إيجاد هذه المشتقات ، يجب الاسترشاد بها قواعد اشتقاق دالة من ثلاثة متغيراتأي عند التفريق بالنسبة لأي متغير يعتبر الحرفان الآخران ثوابت:

دون الخروج من السجل النقدي ، نجد المشتق الجزئي عند النقطة:

بصورة مماثلة:

كانت هذه أكثر اللحظات غير السارة في القرار ، حيث يتخيل الخطأ باستمرار ، إن لم يكن مسموحًا به. ومع ذلك ، هناك تقنية تحقق فعالة هنا ، والتي تحدثت عنها في الدرس. المشتق الاتجاهي والتدرج.

تم العثور على جميع "المكونات" ، والأمر متروك الآن لاستبدال دقيق مع مزيد من التبسيط:

– معادلة عامةالمستوى المماس المطلوب.

أوصي بشدة بالتحقق من هذه المرحلة من القرار. تحتاج أولاً إلى التأكد من أن إحداثيات نقطة الاتصال تلبي حقًا المعادلة التي تم العثور عليها:

- المساواة الحقيقية.

نقوم الآن "بإزالة" معاملات المعادلة العامة للمستوى والتحقق منها بحثًا عن المصادفة أو التناسب مع القيم المقابلة. في هذه الحالة تكون متناسبة. كما تتذكر من دورة في الهندسة التحليلية، - هذا ناقلات الطبيعيطائرة مماسة ، وهو - ناقلات التوجيهخط مستقيم عادي. دعونا نؤلف المعادلات المتعارف عليهاالأعراف عن طريق متجه النقطة والاتجاه:

من حيث المبدأ ، يمكن اختزال القواسم بمقدار "اثنين" ، لكن لا توجد حاجة خاصة لذلك.

إجابة:

لا يمنع تسمية المعادلات ببعض الحروف ، ولكن مرة أخرى - لماذا؟ هنا وهكذا فمن الواضح جدا ما هو.

المثالان التاليان مخصصان لحل مستقل. أداة صغيرة لللسان الرياضي:

مثال 2

أوجد معادلات المستوى المماس والخط العمودي للسطح عند النقطة.

ومهمة شيقة من الناحية الفنية:

مثال 3

قم بتكوين معادلات المستوى المماس والخط العمودي للسطح عند نقطة ما

في هذه النقطة.

هناك الكثير من الفرص ليس فقط للارتباك ، ولكن أيضًا لمواجهة الصعوبات عند الكتابة. المعادلات الأساسية للخط. والمعادلات العادية ، كما فهمت على الأرجح ، تكتب عادة بهذه الصيغة. على الرغم من النسيان أو الجهل ببعض الفروق الدقيقة ، فإن الشكل البارامترى أكثر من مقبول.

أمثلة على حلول النهاية في نهاية الدرس.

هل هناك مستوى ظل عند أي نقطة على السطح؟ بشكل عام ، بالطبع لا. المثال الكلاسيكي سطح مخروطي والنقطة - تشكل الظلال عند هذه النقطة سطحًا مخروطيًا بشكل مباشر ، وبالطبع لا تقع في نفس المستوى. من السهل التحقق من الخلاف وتحليليًا:.

مصدر آخر للمشاكل هو الحقيقة عدم وجودبعض المشتقات الجزئية عند نقطة. ومع ذلك ، هذا لا يعني أنه لا يوجد مستوى واحد مماس عند نقطة معينة.

لكنها كانت علمًا شائعًا أكثر منها معلومات مهمة عمليًا ، ونعود إلى الأمور الملحة:

كيفية كتابة معادلات المستوى المماس والمستوى العادي عند نقطة ما ،
إذا تم إعطاء السطح من خلال وظيفة صريحة?

دعونا نعيد كتابته ضمنيًا:

وبنفس المبادئ نجد مشتقات جزئية:

وهكذا ، تتحول صيغة المستوى المماسي إلى المعادلة التالية:

وبناءً عليه ، فإن المعادلات الأساسية للعادي:

كما هو سهل التخمين - انه حقيقي" المشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرينعند النقطة التي اعتدنا تعيينها بالحرف "Z" وتم العثور عليها 100500 مرة.

لاحظ أنه في هذه المقالة يكفي أن نتذكر الصيغة الأولى ، والتي من السهل ، إذا لزم الأمر ، اشتقاق كل شيء آخر. (من الواضح ، الحصول على مستوى أساسي من التدريب). هذا هو النهج الذي يجب استخدامه في سياق دراسة العلوم الدقيقة ، أي من الحد الأدنى من المعلومات ، يجب على المرء أن يسعى إلى "سحب" أقصى قدر من الاستنتاجات والعواقب. "Soobrazhalovka" والمعرفة الموجودة بالفعل للمساعدة! هذا المبدأ مفيد أيضًا لأنه من المرجح جدًا أن ينقذك في موقف حرج عندما تعرف القليل جدًا.

دعنا نضع الصيغ "المعدلة" ببعض الأمثلة:

مثال 4

يؤلف معادلات المستوى المماس والعادي على السطح عند نقطة .

ظهر تراكب صغير هنا برموز - الآن يشير الحرف إلى نقطة في الطائرة ، لكن ما الذي يمكنك فعله - مثل هذا الحرف المشهور ....

حل: سنقوم بتكوين معادلة مستوى الظل المطلوب وفقًا للصيغة:

دعنا نحسب قيمة الوظيفة عند النقطة:

إحصاء - عد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولىعند هذه النقطة:

هكذا:

بعناية ، لا تتسرع:

دعونا نكتب المعادلات الأساسية للعادي عند النقطة:

إجابة:

ومثال أخير لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 5

قم بتكوين معادلات المستوى المماس والخط العمودي للسطح عند النقطة.

النقطة الأخيرة هي ، في الواقع ، لقد شرحت جميع النقاط الفنية ولا يوجد شيء خاص يمكن إضافته. حتى الوظائف نفسها المقدمة في هذه المهمة مملة ورتيبة - عمليًا يكاد يكون من المضمون أن تصادف "متعدد الحدود" ، وبهذا المعنى ، فإن المثال رقم 2 مع الأس يبدو مثل "الخروف الأسود". بالمناسبة ، من المرجح أن تلتقي بسطح معين بواسطة معادلة ، وهذا سبب آخر لإدراج الوظيفة في المقالة كـ "الرقم الثاني".

وأخيرًا ، السر الموعود: فكيف نتجنب حشر التعريفات؟ (بالطبع ، لا أقصد الموقف عندما يكون الطالب مكتظًا بشيء ما قبل الامتحان)

إن تعريف أي مفهوم / ظاهرة / كائن ، أولاً وقبل كل شيء ، يعطي إجابة على السؤال التالي: ما هو؟ (من / مثل / مثل / مثل). بوعيفي الإجابة على هذا السؤال ، يجب أن تحاول التفكير بارِزعلامات، قطعاًتحديد هذا المفهوم / الظاهرة / الشيء أو ذاك. نعم ، في البداية اتضح أنها مرتبطة إلى حد ما باللسان وغير دقيقة وزائدة عن الحاجة (سيصحح المعلم =)) ، ولكن بمرور الوقت ، يتطور خطاب علمي جدير إلى حد ما.

تدرب على أكثر الأشياء تجريدًا ، على سبيل المثال ، أجب على السؤال: من هو Cheburashka؟ الأمر ليس بهذه البساطة ؛-) هل هي "شخصية خيالية ذات آذان كبيرة وعيون وشعر بني"؟ بعيدًا وبعيدًا جدًا عن التعريف - فأنت لا تعرف أبدًا أن هناك شخصيات بمثل هذه الخصائص .... لكن هذا أقرب بكثير إلى التعريف: "Cheburashka هي شخصية اخترعها الكاتب Eduard Uspensky في عام 1966 ، والتي ... (سرد السمات المميزة الرئيسية)". انتبه إلى كيف بدأت بشكل جيد

1 درجة

1 درجة. معادلات المستوى المماس والعادي لحالة المواصفات الصريحة للسطح.

ضع في اعتبارك أحد التطبيقات الهندسية للمشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين. دع الوظيفة ض = F(العاشر ؛ذ)قابل للتفاضل عند نقطة ما (× 0; في 0)بعض المنطقة دÎ R2. دعونا نقطع السطح س ،تصوير الوظيفة ض ،طائرات س = س 0و ص = ص 0(الشكل 11).

طائرة X = × 0يعبر السطح سعلى طول بعض الخطوط ض 0 (ذ) ،التي يتم الحصول على معادلتها بالتعويض في التعبير عن الوظيفة الأصلية ض ==F(العاشر ؛ذ)بدلاً من Xأعداد × 0.نقطة م 0 (× 0 ؛y0 ،F(× 0 ؛ص 0))ينتمي إلى المنحنى ض 0 (ذ).بسبب وظيفة التفاضل ضفي هذه النقطة م 0وظيفة ض 0 (ذ)هو أيضا قابل للاشتقاق عند هذه النقطة ص = ص 0.لذلك ، في هذه المرحلة من المستوى س = س 0إلى المنحنى ض 0 (ذ)يمكن استخلاص الظل ل 1.

إجراء نفس المنطق للقسم في = ص 0 ،بناء الظل ل 2إلى المنحنى ض 0 (x)في هذه النقطة X = × 0 -مباشر 1 1 و 1 2 تحديد طائرة تسمى طائرة تماسيةإلى السطح سفي هذه النقطة م 0.

دعونا نجعل معادلة لها. لأن الطائرة تمر بالنقطة شهر(× 0 ؛ذ 0 ؛z0) ،ثم يمكن كتابة معادلته كـ

A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \ u003d 0 ،

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

ض -z 0 \ u003d أ 1 (س - س 0) + ب 1 (ص - ص 0) (1)

(قسمة المعادلة على -C والدلالة ).

لنجد أ 1و B1.

معادلات الظل 1 1 و 1 2 يبدو مثل

على التوالى.

الظل ل 1تقع في الطائرة أ , ومن هنا إحداثيات جميع النقاط ل 1تلبية المعادلة (1). يمكن كتابة هذه الحقيقة كنظام

حل هذا النظام فيما يتعلق ب 1 ، نحصل على ذلك ل 3، فمن السهل إثبات ذلك.

استبدال القيم أ 1و B 1 في المعادلة (1) ، نحصل على المعادلة المرغوبة لمستوى الظل:

خط يمر بنقطة م 0والعمودي على المستوى المماس الذي تم إنشاؤه عند هذه النقطة على السطح يسمى مستواه طبيعي.

باستخدام حالة عمودي الخط والمستوى ، من السهل الحصول على المعادلات الأساسية للخط العمودي:

تعليق.يتم الحصول على الصيغ الخاصة بمستوى الظل والخط العمودي للسطح للنقاط العادية ، أي ليست منفردة ، على السطح. نقطة م 0السطح يسمى خاص،إذا كانت جميع المشتقات الجزئية في هذه المرحلة تساوي صفرًا أو إذا كان أحدها على الأقل غير موجود. نحن لا نعتبر مثل هذه النقاط.

مثال. اكتب معادلات المستوى المماس والخط العمودي على السطح عند نقطته م (2 ؛ -1 ؛ 1).

حل. أوجد المشتقات الجزئية لهذه الدالة وقيمها عند النقطة م

ومن ثم ، عند تطبيق الصيغتين (2) و (3) ، سيكون لدينا: ض -1 = 2 (س -2) +2 (ص + 1)أو 2x + 2y-z-1 = 0- معادلة المستوى المماس و هي المعادلات العادية.

2 درجة. مستوى الظل والمعادلات العادية لحالة المواصفات السطحية الضمنية.

إذا كان السطح سمن المعادلة F(العاشر ؛ ذ ؛ض)= 0 ، ثم المعادلتان (2) و (3) ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أنه يمكن إيجاد المشتقات الجزئية كمشتقات لدالة ضمنية.

تعريف.تسمى النقطة الموجودة على سطح من الدرجة الثانية التي تقدمها المعادلة العامة (1) فيما يتعلق بـ ODSC غير المفرد إذا كان من بين الأرقام الثلاثة: هناك واحد على الأقل لا يساوي الصفر.

وبالتالي ، فإن النقطة الواقعة على سطح من الدرجة الثانية ليست مفردة إذا وفقط إذا كانت مركزها ، وإلا عندما يكون السطح مخروطي الشكل ، والنقطة هي رأس هذا السطح.

تعريف.الخط المستقيم المماس لسطح من الدرجة الثانية عند نقطة غير مفردة معينة عليه هو خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة ، يتقاطع مع السطح من الدرجة الثانية عند نقطة مزدوجة ، أو كونه مصفوفة مستقيمة للسطح.

نظرية 3.الخطوط المماس لسطح من الدرجة الثانية عند نقطة غير مفردة معينة عليه تقع في نفس المستوى ، يسمى المستوى المماس للسطح عند النقطة قيد النظر. معادلة المستوى المماس لها

دليل. لنكن ، معادلات حدودية لخط مستقيم يمر عبر نقطة غير مفردة لسطح الدرجة الثانية المعطاة بواسطة المعادلة (1). بالتعويض في المعادلة (1) ، بدلاً من ، ، نحصل على:

نظرًا لأن النقطة تقع على السطح (1) ، فإننا نجد أيضًا من المعادلة (3) (هذه القيمة تقابل النقطة). من أجل أن تكون نقطة تقاطع الخط مع السطح (1) مزدوجة ، أو لكي يقع الخط بالكامل على السطح ، من الضروري والكافي أن تتحقق المساواة:

إذا كان في نفس الوقت:

ثم تكون نقطة تقاطع الخط المستقيم مع السطح (1) مزدوجة. و إذا:

ثم يقع الخط بالكامل على السطح (1).

من العلاقات (4) ، ويترتب على ذلك أن إحداثيات أي نقطة ملقاة على أي مماس للسطح (1) تفي بالمعادلة:

على العكس من ذلك ، إذا كانت إحداثيات نقطة ما بخلاف هذه المعادلة تفي بهذه المعادلة ، فإن إحداثيات المتجه تفي بعلاقة (4) ، مما يعني أن الخط يكون مماسًا للسطح قيد الدراسة.

بما أن النقطة هي نقطة غير مفردة من السطح (1) ، إذن من بين الأرقام ، هناك واحدة على الأقل لا تساوي الصفر ؛ لذا فإن المعادلة (5) هي معادلة من الدرجة الأولى بالنسبة إلى. هذه هي معادلة المماس المستوي للسطح (1) عند نقطة غير قطرية معطاة عليها.

قائم على المعادلات المتعارف عليهاالأسطح من الدرجة الثانية ، من السهل تكوين معادلات من المستويات المماس إلى شكل بيضاوي ، وقطعي زائد ، وما إلى ذلك. في نقطة معينة عليهم.

1). مستوى الظل إلى الشكل الإهليلجي:

2). المستوى المماسي إلى الزائدين المفرطين والمزدوجين:

3). مستوى الظل إلى القطع المكافئ الإهليلجي والقطعي:

§ 161 تقاطع مستوي ظل مع سطح من الدرجة الثانية.

نأخذ نقطة غير مفردة لسطح الترتيب الثاني كأصل إحداثيات ODSC ، والمحور ونضعها في المستوى المماس للسطح عند النقطة. ثم في المعادلة العامة للسطح (1) ، المصطلح الحر يساوي صفر: ، ويجب أن تبدو معادلة المستوى الذي يلامس السطح عند الأصل كما يلي:.

لكن معادلة المستوى الذي يمر عبر الأصل لها الشكل:.

وبما أن هذه المعادلة يجب أن تكون مكافئة للمعادلة ، إذن ،.

لذلك ، في نظام الإحداثيات المختار ، يجب أن تبدو معادلة السطح (1) كما يلي:

على العكس من ذلك ، إذا كانت المعادلة (6) هي معادلة السطح الذي يمر عبر أصل الإحداثيات ، والمستوى هو المستوى المماس لهذا السطح عند النقطة. معادلة الخط الذي يتقاطع على طوله المستوى المماس مع السطح عند نقطة ما مع السطح (6) لها الشكل:

لو . هذا ثابت في النظرية الثابتة للخطوط من الدرجة الثانية. معادلة (7)

هذا هو السطر الثاني. على شكل هذا الخط ، فإن الثابت هو:

هناك خطان متقاطعان وهميان.

متى - خطان متقاطعان حقيقيان.

إذا كان أحد المعاملين على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإن خط التقاطع (7) يكون خطين متطابقين.

أخيرًا ، إذا ، إذن الطائرة

هو جزء من سطح معين ، وبالتالي فإن السطح نفسه ينقسم إلى زوج من المستويات

§ 162. النقاط الإهليلجية أو القطعية أو المكافئة لسطح من الرتبة الثانية.

1. دع المستوى المماس إلى سطح الترتيب الثاني عند نقطة يتقاطع معه على طول خطين مستقيمين متقاطعين وهميين. في هذه الحالة ، تسمى النقطة النقطة الإهليلجية للسطح.

2. دع المستوى المماس إلى سطح الترتيب الثاني عند نقطة يتقاطع معه على طول خطين حقيقيين يتقاطعان عند نقطة التلامس. في هذه الحالة ، تسمى النقطة النقطة الزائدية على السطح.

3. دع المستوى المماس إلى سطح الترتيب الثاني عند نقطة يتقاطع معه على طول خطين مستقيمين متطابقين. في هذه الحالة ، تسمى النقطة النقطة المكافئة للسطح.

نظرية 4.دع السطح من الدرجة الثانية فيما يتعلق بـ ODSC يتم إعطاؤه بواسطة المعادلة (1) وهذه المعادلة (1) هي معادلة السطح الحقيقي غير المتحلل من الدرجة الثانية. ثم إذا ؛ ثم تكون جميع نقاط السطح بيضاوية.

دليل. دعنا نقدم نظام إحداثيات جديدًا ، نختار أي نقطة غير مفردة للسطح المحدد كأصل للإحداثيات ونضع المحاور وفي المستوى المماس للسطح عند النقطة. يتم تحويل المعادلة (1) في نظام الإحداثيات الجديد إلى النموذج:

أين . دعونا نحسب الثابت لهذه المعادلة.

نظرًا لأن العلامة لا تتغير أثناء الانتقال من ODSC إلى آخر ، فإن الإشارات تكون معاكسة لذلك ، إذا ، إذن ؛ وعلى النحو التالي من التصنيف (انظر الفقرة 161) ، يتقاطع المستوى المماس إلى السطح عند نقطة مع السطح على طول خطين متقاطعين وهميين ، أي هي نقطة بيضاوية.

2) يتكون الشكل الزائد أحادي الورقة والقطع المكافئ القطعي من نقاط زائدية.

3) المخروط الحقيقي من الرتبة الثانية (تم استبعاد الرأس) ، الأسطوانات الناقصية (الحقيقية) ، القطعية والقطع المكافئ تتكون من نقاط مكافئة.

اسطوانة مكافئ.

لتحديد موقع الأسطوانة المكافئة ، يكفي معرفة:

1) مستوى تناظر موازٍ لمولدات الاسطوانة ؛

2) مستوى مماس على الأسطوانة ، عمودي على مستوى التناظر هذا ؛

3) متجه عمودي على هذا المستوى المماس وموجه نحو تقعر الأسطوانة.

لو معادلة عامةيعرّف الأسطوانة المكافئة ، ويمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

دعنا نختار مبحيث الطائرة

سيكون متعامدًا بشكل متبادل:

بهذه القيمة مطائرة

سيكون مستوى التماثل الموازي لمولدات الاسطوانة.

طائرة

سيكون المستوى المماس للأسطوانة ، عموديًا على مستوى التماثل المشار إليه ، والمتجه

سيكون عموديًا على المستوى المماس الموجود وموجهًا نحو تقعر الأسطوانة.