التعريف 2
المضلع الذي يستوفي شرط التعريف 1 يسمى مضلع حول دائرة.
الشكل 1. دائرة منقوشة
النظرية 1 (حول دائرة منقوشة في مثلث)
النظرية 1
يمكنك كتابة دائرة في أي مثلث، وواحد فقط.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. لنرسم فيه منصفات تتقاطع عند النقطة $O$ ونرسم خطوطًا متعامدة منه على جوانب المثلث (الشكل 2)
الشكل 2. رسم توضيحي للنظرية 1
الوجود: لنرسم دائرة مركزها النقطة $O$ ونصف قطرها $OK.\ $بما أن النقطة $O$ تقع على ثلاثة منصفات، فهي متساوية البعد عن أضلاع المثلث $ABC$. أي $OM=OK=OL$. وبالتالي فإن الدائرة المبنية تمر أيضًا بالنقطتين $M\ و\L$. بما أن $OM وOK\ و\OL$ متعامدة على جوانب المثلث، فمن خلال نظرية ظل الدائرة، فإن الدائرة المبنية تمس جوانب المثلث الثلاثة. لذلك، بسبب تعسف المثلث، يمكن إدراج دائرة في أي مثلث.
التفرد: لنفترض أن دائرة أخرى مركزها النقطة $O"$ يمكن إدراجها في المثلث $ABC$. مركزها متساوي البعد من جوانب المثلث، وبالتالي، يتزامن مع النقطة $O$ وله نصف قطر يساوي length $OK$ ولكن بعد ذلك ستتزامن هذه الدائرة مع الدائرة الأولى.
لقد تم إثبات النظرية.
النتيجة الطبيعية 1: يقع مركز الدائرة المرسومة في المثلث عند نقطة تقاطع منصفاتها.
فيما يلي بعض الحقائق الإضافية المتعلقة بمفهوم الدائرة المنقوشة:
ليس كل شكل رباعي يمكن أن يصلح لدائرة.
في أي شكل رباعي محدد، مجموع الأضلاع المتقابلة متساوي.
إذا كانت مجموع الأضلاع المتقابلة للشكل الرباعي المحدب متساوية، فيمكن كتابة دائرة فيه.
التعريف 3
إذا كانت جميع رؤوس المضلع تقع على دائرة، فإن الدائرة تسمى محيطة بالمضلع (الشكل 3).
التعريف 4
ويقال إن المضلع الذي يفي بالتعريف 2 مكتوب في دائرة.
الشكل 3. دائرة مقيدة
النظرية 2 (حول محيط المثلث)
النظرية 2
حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. لنرسم فيه منصفات متعامدة تتقاطع عند النقطة $O$ ونربطها مع رؤوس المثلث (شكل 4)
الشكل 4. رسم توضيحي للنظرية 2
الوجود: لنقم بإنشاء دائرة مركزها النقطة $O$ ونصف قطرها $OC$. النقطة $O$ متساوية البعد عن رؤوس المثلث، أي $OA=OB=OC$. وبالتالي، فإن الدائرة المبنية تمر بجميع رؤوس مثلث معين، مما يعني أنها محيطة بهذا المثلث.
التفرد: لنفترض أنه يمكن وصف دائرة أخرى حول المثلث $ABC$ ومركزها عند النقطة $O"$. مركزها متساوي البعد عن رؤوس المثلث، وبالتالي، يتزامن مع النقطة $O$ ولها نصف قطر يساوي الطول $OC $ ولكن بعد ذلك ستتزامن هذه الدائرة مع الدائرة الأولى.
لقد تم إثبات النظرية.
النتيجة الطبيعية 1: يتطابق مركز الدائرة المحيطة بالمثلث مع نقطة تقاطع عموديها النصفي.
فيما يلي بعض الحقائق الإضافية المتعلقة بمفهوم الدائرة المحيطة:
ليس من الممكن دائمًا وصف دائرة حول شكل رباعي.
في أي شكل رباعي دائري، مجموع الزوايا المتقابلة هو $(180)^0$.
إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي هو $(180)^0$، فيمكن رسم دائرة حوله.
مثال على مشكلة في مفاهيم الدوائر المنقوشة والمحدودة
مثال 1
في مثلث متساوي الساقين، طول قاعدته ٨ سم، وطول ضلعه ٥ سم.
حل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. من النتيجة الطبيعية 1، نعلم أن مركز الدائرة يقع عند تقاطع المنصفين. دعونا نرسم المنصفين $AK$ و$BM$، اللذين يتقاطعان عند النقطة $O$. لنرسم خطًا عموديًا $OH$ من النقطة $O$ إلى الجانب $BC$. دعونا نرسم صورة:
الشكل 5.
بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن $BM$ هو المتوسط والارتفاع. بواسطة نظرية فيثاغورس $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- نصف القطر المطلوب للدائرة المنقوشة. نظرًا لأن $MC$ و$CH$ هما قطعتان من المماسات المتقاطعة، فمن خلال نظرية الظلال المتقاطعة، لدينا $CH=MC=4\cm$. ولذلك، $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-ص$. من المثلث $OHB$ حسب نظرية فيثاغورس نحصل على:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
إجابة:$\فارك(4)(3)$.
التعريف 2
المضلع الذي يستوفي شرط التعريف 1 يسمى مضلع حول دائرة.
الشكل 1. دائرة منقوشة
النظرية 1 (حول دائرة منقوشة في مثلث)
النظرية 1
يمكنك كتابة دائرة في أي مثلث، وواحد فقط.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. لنرسم فيه منصفات تتقاطع عند النقطة $O$ ونرسم خطوطًا متعامدة منه على جوانب المثلث (الشكل 2)
الشكل 2. رسم توضيحي للنظرية 1
الوجود: لنرسم دائرة مركزها النقطة $O$ ونصف قطرها $OK.\ $بما أن النقطة $O$ تقع على ثلاثة منصفات، فهي متساوية البعد عن أضلاع المثلث $ABC$. أي $OM=OK=OL$. وبالتالي فإن الدائرة المبنية تمر أيضًا بالنقطتين $M\ و\L$. بما أن $OM وOK\ و\OL$ متعامدة على جوانب المثلث، فمن خلال نظرية ظل الدائرة، فإن الدائرة المبنية تمس جوانب المثلث الثلاثة. لذلك، بسبب تعسف المثلث، يمكن إدراج دائرة في أي مثلث.
التفرد: لنفترض أن دائرة أخرى مركزها النقطة $O"$ يمكن إدراجها في المثلث $ABC$. مركزها متساوي البعد من جوانب المثلث، وبالتالي، يتزامن مع النقطة $O$ وله نصف قطر يساوي length $OK$ ولكن بعد ذلك ستتزامن هذه الدائرة مع الدائرة الأولى.
لقد تم إثبات النظرية.
النتيجة الطبيعية 1: يقع مركز الدائرة المرسومة في المثلث عند نقطة تقاطع منصفاتها.
فيما يلي بعض الحقائق الإضافية المتعلقة بمفهوم الدائرة المنقوشة:
ليس كل شكل رباعي يمكن أن يصلح لدائرة.
في أي شكل رباعي محدد، مجموع الأضلاع المتقابلة متساوي.
إذا كانت مجموع الأضلاع المتقابلة للشكل الرباعي المحدب متساوية، فيمكن كتابة دائرة فيه.
التعريف 3
إذا كانت جميع رؤوس المضلع تقع على دائرة، فإن الدائرة تسمى محيطة بالمضلع (الشكل 3).
التعريف 4
ويقال إن المضلع الذي يفي بالتعريف 2 مكتوب في دائرة.
الشكل 3. دائرة مقيدة
النظرية 2 (حول محيط المثلث)
النظرية 2
حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. لنرسم فيه منصفات متعامدة تتقاطع عند النقطة $O$ ونربطها مع رؤوس المثلث (شكل 4)
الشكل 4. رسم توضيحي للنظرية 2
الوجود: لنقم بإنشاء دائرة مركزها النقطة $O$ ونصف قطرها $OC$. النقطة $O$ متساوية البعد عن رؤوس المثلث، أي $OA=OB=OC$. وبالتالي، فإن الدائرة المبنية تمر بجميع رؤوس مثلث معين، مما يعني أنها محيطة بهذا المثلث.
التفرد: لنفترض أنه يمكن وصف دائرة أخرى حول المثلث $ABC$ ومركزها عند النقطة $O"$. مركزها متساوي البعد عن رؤوس المثلث، وبالتالي، يتزامن مع النقطة $O$ ولها نصف قطر يساوي الطول $OC $ ولكن بعد ذلك ستتزامن هذه الدائرة مع الدائرة الأولى.
لقد تم إثبات النظرية.
النتيجة الطبيعية 1: يتطابق مركز الدائرة المحيطة بالمثلث مع نقطة تقاطع عموديها النصفي.
فيما يلي بعض الحقائق الإضافية المتعلقة بمفهوم الدائرة المحيطة:
ليس من الممكن دائمًا وصف دائرة حول شكل رباعي.
في أي شكل رباعي دائري، مجموع الزوايا المتقابلة هو $(180)^0$.
إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي هو $(180)^0$، فيمكن رسم دائرة حوله.
مثال على مشكلة في مفاهيم الدوائر المنقوشة والمحدودة
مثال 1
في مثلث متساوي الساقين، طول قاعدته ٨ سم، وطول ضلعه ٥ سم.
حل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. من النتيجة الطبيعية 1، نعلم أن مركز الدائرة يقع عند تقاطع المنصفين. دعونا نرسم المنصفين $AK$ و$BM$، اللذين يتقاطعان عند النقطة $O$. لنرسم خطًا عموديًا $OH$ من النقطة $O$ إلى الجانب $BC$. دعونا نرسم صورة:
الشكل 5.
بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن $BM$ هو المتوسط والارتفاع. بواسطة نظرية فيثاغورس $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- نصف القطر المطلوب للدائرة المنقوشة. نظرًا لأن $MC$ و$CH$ هما قطعتان من المماسات المتقاطعة، فمن خلال نظرية الظلال المتقاطعة، لدينا $CH=MC=4\cm$. ولذلك، $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-ص$. من المثلث $OHB$ حسب نظرية فيثاغورس نحصل على:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
إجابة:$\فارك(4)(3)$.
مثلث مكتوب- مثلث تقع جميع رؤوسه على الدائرة. ثم يقال أن الدائرة محصورة حول المثلث.
من الواضح أن المسافة من مركز الدائرة المحددة إلى كل رأس من رؤوس المثلث هي نفسها وتساوي نصف قطر هذه الدائرة.
حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط.
دائرة منقوشةإلى مثلث إذا لامس جميع جوانبه. ثم سيكون المثلث نفسه الموصوفةحول الدائرة. المسافة من مركز الدائرة المنقوشة إلى كل جانب من أضلاع المثلث تساوي نصف قطر هذه الدائرة.
يمكنك كتابة دائرة في أي مثلث، وواحد فقط.
حاول أن تصف دائرة حول مثلث بنفسك و يدخلدائرة في المثلث.
لماذا تعتقد أن مركز الدائرة هو نقطة تقاطع منصفات المثلث، ومركز الدائرة هو نقطة تقاطع عمودي المنصفات على جانبيها؟
في مهام امتحان الدولة الموحدةالأكثر شيوعًا هي المثلثات المنتظمة المنقوشة والمحدودة.
هناك مهام أخرى كذلك. لحلها سوف تحتاج صيغتان أخريان لمنطقة المثلث، وأيضا نظرية الجيب.
مربع مثلثيساوي نصف حاصل ضرب محيطه ونصف قطر الدائرة المحيطية.
ق = ص ص،
حيث ع = ( أ+ب+ج) - نصف محيط،
r هو نصف قطر الدائرة المدرج في المثلث.
هناك صيغة أخرى تستخدم بشكل رئيسي في المسائل الواردة في الجزء ج:
أين أ، ب، ج- جوانب المثلث، R - نصف قطر الدائرة المحدودة.
صحيح لأي مثلث نظرية الجيب:
1. نصف قطر الدائرة المرسومة في المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين هو 2. أوجد الوتر c لهذا المثلث. يرجى الإشارة في إجابتك.
المثلث مستطيل ومتساوي الساقين. وهذا يعني أن أرجلها هي نفسها. دع كل ساق تكون متساوية أ. إذن فإن الوتر متساوي أ .
نكتب مساحة المثلث ABC بطريقتين:
وبمساواة هذه التعبيرات نحصل على ذلك. منذ ذلك الحين حصلنا على ذلك. ثم .
سنكتب الجواب.
2. الضلع AB للمثلث المنفرج ABC يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة به. أوجد الزاوية C. اكتب إجابتك بالدرجات.
وفقا لقانون الجيوب الأنفية،
لقد حصلنا على الخطيئة C = . الزاوية C منفرجة. إذن فهي تساوي 150 درجة.
الجواب: 150.
3. عدد أضلاع المثلث المتساوي الساقين 40 والقاعدة 48. أوجد محيط نصف القطر لهذا المثلث.
زوايا المثلث غير معطاة. حسنًا، دعونا نعبر عن مساحتها بطريقتين مختلفتين.
S = آه، حيث ح هو ارتفاع المثلث. ليس من الصعب العثور عليه - ففي المثلث المتساوي الساقين، يكون الارتفاع أيضًا هو الوسيط، أي أنه يقسم الجانب AB إلى النصف. وباستخدام نظرية فيثاغورس نجد h = 32. ثم R = 25.
دراسة EGE » المواد التعليمية» الهندسة: من الصفر إلى C4 » الرباعيات المنقوشة والمحدودة
سنتذكر في هذا الدرس الأساسيات التي تقوم عليها نظرية الدوائر المحيطية والمحدودة، وسنذكر خصائص الأشكال الرباعية المحصورة والمحدودة. بالإضافة إلى ذلك، سنشتق صيغًا للعثور على نصف قطر الدائرة المقيدة والمدرجة في حالات مختلفة.
الموضوع: الدائرة
الدرس: الدوائر المنقوشة والمحدودة
بادئ ذي بدء، نحن نتحدث عن الدوائر المنقوشة والمحددة بالنسبة للمثلث. لقد أعددنا لهذا الموضوع لأننا درسنا خواص المنصفات والمنصفات العمودية للمثلث.
يمكن كتابة دائرة في أي مثلث (انظر الشكل 1).
أرز. 1
دليل:
نحن نعلم أن جميع منصفات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة - فليكن عند النقطة O. لنرسم المنصفات AO، BO، CO. نقطة تقاطعهما O متساوية البعد من جوانب المثلث. وهي متساوية البعد عن جانبي الزاوية - AC و AB، لأنها تنتمي إلى منصف هذه الزاوية. وكذلك فهو متساوي البعد من جوانب الزوايا وبالتالي من جوانب المثلث الثلاثة.
دعونا نسقط الخطوط المتعامدة من النقطة O إلى جوانب المثلث - OM إلى الجانب AC، OL إلى BC، OK إلى AB. هذه المتعامدة هي المسافات من النقطة O إلى أضلاع المثلث، وهي متساوية:
.
دعونا نشير إلى المسافة من النقطة O إلى جوانب المثلث بـ r ونعتبر دائرة مركزها عند النقطة O ونصف قطرها r.
الدائرة تلامس الخط المستقيم AB، لأن لها نقطة مشتركة K معها، ونصف القطر OK المرسوم إلى هذه النقطة يكون عموديًا على الخط المستقيم AB. وبالمثل، فإن الدائرة تمس الخطين AC وBC. وهكذا فإن الدائرة تمس جميع أضلاع المثلث، مما يعني أنها محفورة في المثلث.
إذن، تتقاطع منصفات المثلث الثلاثة عند نقطة هي مركز الدائرة.
دعونا نفكر في نظرية أخرى، تتعلق بنقطة تقاطع المنصفات العمودية للمثلث. ونحن نعلم أنهما يتقاطعان عند نقطة واحدة، وهذه النقطة تتوافق مع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.
يمكن رسم دائرة حول أي مثلث.
لذلك، يتم إعطاء مثلث. لنرسم المنصف p 1 إلى جانب المثلث BC، p 2 إلى الجانب AB، p 3 إلى الجانب AC (انظر الشكل 2).
وفقًا لنظرية خواص المنصفات المتعامدة، تكون النقطة التابعة للمنصف العمودي لقطعة ما على مسافة متساوية من طرفي القطعة. وبالتالي، لأن تنتمي النقطة Q إلى المنصف العمودي للقطعة AC. على نفس المنوال. وبالتالي، فإن النقطة Q تكون على مسافة متساوية من رؤوس المثلث. ومن ثم فإن ضمان الجودة، QB، مراقبة الجودة هي أنصاف الأقطار
أرز. 2
دائرة محاطة بمثلث. دعنا نشير إلى نصف القطر بالرمز R. النقطة O من تقاطع الخطوط العمودية النصفية هي مركز الدائرة المقيدة.
دعونا نفكر في دائرة منقوشة في شكل رباعي معين وخصائص هذا الشكل الرباعي (انظر الشكل 3).
دعونا نتذكر خصائص النقطة الواقعة على منصف الزاوية.
معطاة زاوية، منصفها هو AL، والنقطة M تقع على المنصف.
إذا كانت النقطة M تقع على منصف الزاوية، فهي متساوية البعد من جوانب الزاوية، أي أن المسافات من النقطة M إلى AC وإلى BC لجوانب الزاوية متساوية.
أرز. 3
المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي. من النقطة M نرسم عموديين MK على الجانب AB و MR على الجانب AC.
النظر في المثلثات و . هذا المثلثات الصحيحة، وهم متساوون، لأن لهما وتر مشترك AM، والزوايا متساوية، لأن AL هو منصف الزاوية. وهكذا فإن المثلثات القائمة متساوية في الوتر والزاوية الحادة، ويتبع ذلك، وهو ما يحتاج إلى إثبات. ومن ثم، فإن النقطة الواقعة على منصف الزاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي تلك الزاوية.
بالإضافة إلى الساقين. وبذلك تكون قطع مماس الدائرة المرسومة من نقطة واحدة متساوية.
لذلك دعونا نعود إلى الشكل الرباعي. الخطوة الأولى هي رسم منصفات فيه.
تتقاطع جميع منصفات الشكل الرباعي عند نقطة واحدة - النقطة O، مركز الدائرة المنقوشة.
من النقطة O نخفض الخطوط المتعامدة على جوانب الشكل الرباعي إلى النقاط K، L، M، N ونحدد نقاط التماس (انظر الشكل 3).
المماسات المرسومة للدائرة من نقطة واحدة متساوية مع بعضها البعض، وبالتالي يخرج زوج من المماسات المتساوية من كل رأس: , , , .
أرز. 3
إذا أمكن رسم دائرة في شكل رباعي، فإن مجموع أضالعها المتقابلة يكون متساويًا. من السهل إثبات:
دعونا نوسع الأقواس:
وهكذا، أثبتنا نظرية بسيطة ولكنها مهمة.
إذا أمكن رسم دائرة في شكل رباعي، فإن مجموع أضالعها المتقابلة يكون متساويًا.
عدل نظرية العكس.
إذا كانت مجموع الأضلاع المتقابلة متساوية في الشكل الرباعي، فيمكن كتابة دائرة فيه.
النظر في دائرة محددة حول شكل رباعي.
معطاة بدائرة مركزها O وشكل رباعي ABCD. دعونا نفكر في خصائص هذا الشكل الرباعي. تتقاطع جميع المنصفات المتعامدة الأربعة لشكل رباعي معين عند نقطة واحدة: هذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة.
إن إثبات أن المنصفات المتعامدة الأربعة تتقاطع عند نقطة واحدة سيكون أمرًا شاقًا. هناك علامة أخرى. لننظر إلى الزاوية ےА، هذه هي الزاوية المحيطية للدائرة، وهي تقع على قوس وتقاس بنصف درجة قياس هذا القوس (انظر الشكل 4). دعونا نشير إلى الزاوية ےА ثم القوس . وبالمثل نحدد الزاوية المقابلة ےС، وهي محصورة في الدائرة وترتكز على القوس. ومن هنا القوس.
أرز. 4
تشكل الأقواس دائرة كاملة. من هنا:
, 
بقسمة التعبير الناتج على اثنين نحصل على:
وبذلك نكون قد أثبتنا النظرية المباشرة.
نظرية
إذا كانت الدائرة محاطة بشكل رباعي فإن مجموع الزوايا المتقابلة لها هو .
وهذه علامة ضرورية وكافية، أي أن نظرية العكس صحيحة.
إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة في شكل رباعي هو , فيمكن رسم دائرة حول هذا الشكل الرباعي.
وبناء على هذه النظريات نلاحظ أنه من المستحيل وصف دائرة حول متوازي الأضلاع، لأن الزوايا المتقابلة لها متساوية ومجموعها غير متساوي (انظر الشكل 5).
أرز. 5
يمكن وصف الدائرة حول متوازي الأضلاع إذا كانت الزوايا المقابلة لها تساوي 90 درجة، أي إذا كانت مستطيلة، فيمكن وصف دائرة حول مستطيل (انظر الشكل 6).
أرز. 6
من المستحيل أيضًا وصف دائرة حول المعين، ولكن يمكن نقشها، نظرًا لأن جميع جوانب المعين متساوية، وبالتالي فإن مجموع الجوانب المتقابلة للمعين متساوٍ.
بالإضافة إلى ذلك، في المعين، يكون كل قطري منصفًا؛ وتكون نقطة تقاطع المنصفات على مسافة متساوية من جميع جوانب المعين (انظر الشكل 7).
أرز. 7
وبذلك أثبتنا أنه يمكن رسم دائرة في أي مثلث، ويتطابق مركز هذه الدائرة مع نقطة تقاطع منصفات المثلث. كما أثبتنا أنه يمكن وصف الدائرة حول أي مثلث، ويكون مركزها متطابقًا مع نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين. بالإضافة إلى ذلك، رأينا أنه من الممكن أن تكون بعض الأشكال الرباعية محفورة بدائرة، وللقيام بذلك من الضروري أن يكون مجموع الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساويًا. كما بينا أنه يمكن وصف دائرة حول بعض الأشكال الرباعية، والشرط الضروري والكافي لذلك هو تساوي مجموع الزوايا المتقابلة.
مراجع
- ألكساندروف أ.د. وغيرها، الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
- بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
- Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
العمل في المنزل
تحتوي هذه المقالة على الحد الأدنى من معلومات الدائرة المطلوبة الانتهاء بنجاحامتحان الدولة الموحد في الرياضيات.
محيط هي مجموعة من النقاط تقع على مسافة واحدة من نقطة معينة تسمى مركز الدائرة.
بالنسبة لأي نقطة تقع على الدائرة، يتم تحقيق المساواة (طول القطعة يساوي نصف قطر الدائرة.
يسمى الجزء المستقيم الذي يصل بين نقطتين على الدائرة وتر.
يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة القطر دائرة() .
محيط:
منطقة الدائرة:
قوس الدائرة:
يسمى الجزء من الدائرة المحصور بين نقطتين قوس الدوائر. نقطتان على الدائرة تحددان قوسين. الوتر يقابل قوسين : و . الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية.
تسمى الزاوية المحصورة بين نصفي قطرين الزاوية المركزية :
ولإيجاد طول القوس نحسب نسبة:
أ) يتم تحديد الزاوية بالدرجات:
ب) يتم إعطاء الزاوية بالراديان:
القطر عمودي على الوتر ، يقسم هذا الوتر والأقواس التي يتبعها إلى النصف:
لو الحبال و تتقاطع الدوائر في نقطة ما ، فإن منتجات قطع الوتر التي تنقسم إليها بنقطة تكون متساوية مع بعضها البعض:
المماس لدائرة.
يسمى الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة مع الدائرة الظلإلى الدائرة. يسمى الخط المستقيم الذي يشترك في نقطتين مع الدائرة قاطع
مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم لنقطة التماس.
إذا تم رسم مماسين من نقطة معينة إلى دائرة، إذن شرائح الظل متساوية مع بعضها البعضويقع مركز الدائرة على منصف الزاوية التي يكون رأسها عند هذه النقطة:
إذا تم رسم المماس والقاطع من نقطة معينة إلى الدائرة، إذن مربع طول القطعة المماس يساوي المنتجالجزء بأكمله قاطع لجزء الخارجي منه :
عاقبة: حاصل ضرب القطعة الكاملة لقاطع واحد وجزءه الخارجي يساوي منتج القطعة الكاملة لقاطع آخر وجزءه الخارجي:
زوايا في دائرة.
قياس درجة الزاوية المركزية يساوي قياس درجة القوس الذي تقع عليه:
تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويحتوي ضلعها على أوتار زاوية مكتوبة . تقاس الزاوية المحيطية بنصف القوس الذي تقع عليه:
∠∠
الزاوية المحيطية المقابلة للقطر صحيحة:
∠∠∠
الزوايا المحيطية المقابلة لقوس واحد متساوية :
الزوايا المحيطية التي يقابلها وتر واحد متساوية أو مجموعها يساوي
∠∠
رؤوس المثلثات التي لها قاعدة معينة وزوايا رؤوس متساوية تقع على نفس الدائرة:
الزاوية بين وترين (زاوية رأسها داخل دائرة) تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل زاوية معينة وداخل زاوية رأسية.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
الزاوية بين قاطعين (الزاوية التي رأسها خارج الدائرة) تساوي نصف فرق القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
دائرة مكتوبة.
الدائرة تسمى مكتوب في مضلع ، إذا مس جوانبه. مركز الدائرة المنقوشة تقع عند نقطة تقاطع منصفات زوايا المضلع.
لا يمكن لكل مضلع أن يتسع لدائرة.
مساحة المضلع الذي تم إدراج الدائرة فيه يمكن العثور عليها باستخدام الصيغة
هنا هو نصف محيط المضلع، وهو نصف قطر الدائرة المنقوشة.
من هنا نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي
إذا كانت الدائرة محصورة في شكل رباعي محدب فإن مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة فيها متساوي . على العكس من ذلك: إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي المحدب متساويًا، فيمكن كتابة دائرة في الشكل الرباعي:
يمكنك كتابة دائرة في أي مثلث، وواحد فقط. يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث.
نصف قطر الدائرة المنقوشة
يساوي . هنا 
دائرة محصورة.
الدائرة تسمى وصف حول المضلع ، إذا مر بجميع رؤوس المضلع. يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لأضلاع المضلع. يتم حساب نصف القطر على أنه نصف قطر الدائرة التي يحدها المثلث المحدد بأي ثلاثة رؤوس للمضلع المحدد:
يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إذا وفقط إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي .
حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. ويقع مركزه عند نقطة تقاطع منصفات أضلاع المثلث:
محيطمحسوبة باستخدام الصيغ:
أين أطوال أضلاع المثلث ومساحته؟
نظرية بطليموس
في الشكل الرباعي الدائري، يكون حاصل ضرب قطريه يساوي مجموع حاصل ضرب ضلعيه المتقابلين: