دع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد $ (X، Y) $ يُعطى.
التعريف 1
قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد $ (X، Y) $ هو مجموعة الأزواج المحتملة من الأرقام $ (x_i، \ y_j) $ (حيث $ x_i \ epsilon X، \ y_j \ epsilon Y $) الاحتمالات $ p_ (ij) $.
في أغلب الأحيان ، تتم كتابة قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد في شكل جدول (الجدول 1).
الشكل 1. قانون توزيع متغير عشوائي ثنائي الأبعاد.
دعونا نتذكر الآن نظرية في إضافة احتمالات الأحداث المستقلة.
نظرية 1
يتم حساب احتمال مجموع عدد محدد من الأحداث المستقلة $ (\ A) _1 $، $ (\ A) _2 $، ...، $ \ (\ A) _n $ بواسطة الصيغة:
باستخدام هذه الصيغة ، يمكن للمرء الحصول على قوانين التوزيع لكل مكون من متغير عشوائي ثنائي الأبعاد ، أي:
من هنا سيتبع أن مجموع كل الاحتمالات لنظام ثنائي الأبعاد له الشكل التالي:
دعونا نفكر بالتفصيل (خطوة بخطوة) في المشكلة المرتبطة بمفهوم قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد.
مثال 1
يوضح الجدول التالي قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد:
الشكل 2.
أوجد قوانين توزيع المتغيرات العشوائية $ X، \ Y $، $ X + Y $ وتحقق في كل حالة من أن إجمالي الاحتمالات يساوي واحدًا.
- لنجد أولاً توزيع المتغير العشوائي $ X $. يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي $ X $ القيم $ x_1 = 2 ، $ x_2 = 3 $ ، $ x_3 = 5 $. لإيجاد التوزيع ، سنستخدم النظرية 1.
لنجد أولاً مجموع الاحتمالات $ x_1 $ على النحو التالي:
الشكل 3
وبالمثل ، نجد $ P \ left (x_2 \ right) $ و $ P \ left (x_3 \ right) $:
\ \
الشكل 4
- لنجد الآن توزيع المتغير العشوائي $ Y $. يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي $ Y $ القيم $ x_1 = 1 ، $ x_2 = 3 $ ، $ x_3 = 4 $. لإيجاد التوزيع ، سنستخدم النظرية 1.
لنجد أولاً مجموع الاحتمالات $ y_1 $ على النحو التالي:
الشكل 5
وبالمثل ، نجد $ P \ left (y_2 \ right) $ و $ P \ left (y_3 \ right) $:
\ \
ومن ثم ، فإن قانون توزيع الكمية $ X $ له الشكل التالي:
الشكل 6
دعنا نتحقق من تحقيق المساواة في المجموع الكلي للاحتمالات:
- يبقى إيجاد قانون توزيع المتغير العشوائي $ X + Y $.
دعنا نخصصها للراحة من خلال $ Z $: $ Z = X + Y $.
أولاً ، لنجد القيم التي يمكن أن تأخذها هذه الكمية. للقيام بذلك ، سنضيف قيم $ X $ و $ Y $. نحصل على القيم التالية: 3 ، 4 ، 6 ، 5 ، 6 ، 8 ، 6 ، 7 ، 9. الآن ، بغض النظر عن القيم المتطابقة ، نحصل على أن المتغير العشوائي $ X + Y $ يمكن أن يأخذ القيم $ z_1 = 3، \ z_2 = 4، \ z_3 = 5، \ z_4 = 6، \ z_5 = 7، \ z_6 = 8، \ z_7 = 9. \ $
أولاً ، لنجد $ P (z_1) $. نظرًا لأن قيمة $ z_1 $ مفردة ، فقد تم العثور عليها على النحو التالي:
الشكل 7
تم العثور على جميع الاحتمالات بشكل مشابه ، باستثناء $ P (z_4) $:
لنجد الآن $ P (z_4) $ على النحو التالي:
الشكل 8
ومن ثم ، فإن قانون توزيع $ Z $ له الشكل التالي:
الشكل 9
دعنا نتحقق من تحقيق المساواة في المجموع الكلي للاحتمالات:
الزوج المرتب (X ، Y) من المتغيرات العشوائية X و Y يسمى متغير عشوائي ثنائي الأبعاد ، أو متجه عشوائي لمساحة ثنائية الأبعاد. المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) يسمى أيضًا نظام المتغيرات العشوائية X و Y. تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاتها قانون التوزيع لهذا المتغير العشوائي. يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X ، Y) معطى إذا كان قانون التوزيع الخاص به معروفًا:
الفوسفور (X = x i ، Y = y j) = p ij ، i = 1،2 ... ، n ، j = 1،2 ... ، م
مهمة الخدمة. باستخدام الخدمة ، وفقًا لقانون التوزيع المحدد ، يمكنك العثور على:
- سلسلة التوزيع X و Y ، التوقع الرياضي M [X] ، M [Y] ، التباين D [X] ، D [Y] ؛
- التغاير cov (x ، y) ، معامل الارتباط r x ، y ، سلسلة التوزيع الشرطي X ، التوقع الشرطي M ؛
تعليمات. حدد أبعاد مصفوفة توزيع الاحتمالات (عدد الصفوف والأعمدة) وشكلها. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word.
مثال 1. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد على جدول توزيع:
| نعم / س | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | ف |
قرار. نجد القيمة q من الشرط Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + ... + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91 + q = 1. من أين q = 0.09
باستخدام الصيغة ∑P (x أنا، ذ ي) = ص أنا(j = 1..n) ، ابحث عن سلسلة التوزيع X.
م [ص] = 1 * 0.05 + 2 * 0.46 + 3 * 0.34 + 4 * 0.15 = 2.59
تشتت D [Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
الانحراف المعياريσ (ص) = الجذر التربيعي (D [Y]) = الجذر التربيعي (0.64) = 0.801
التغاير cov (X، Y) = M - M [X] M [Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 2 30 0.11 + 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
معامل الارتباط rxy = cov (x، y) / σ (x) & sigma (y) = -0.068 / (11.531 * 0.801) = -0.00736
مثال 2. تنعكس بيانات المعالجة الإحصائية للمعلومات المتعلقة بمؤشرين X و Y في جدول الارتباط. مطلوب:
- كتابة سلسلة التوزيع لـ X و Y وحساب متوسط العينة وعينة الانحرافات المعيارية لها ؛
- كتابة سلسلة التوزيع الشرطية Y / x وحساب المتوسطات الشرطية Y / x ؛
- تصور بيانياً اعتماد المتوسطات الشرطية Y / x على قيم X ؛
- حساب معامل ارتباط العينة Y على X ؛
- كتابة نموذج معادلة الانحدار المباشر ؛
- تمثل هندسيًا بيانات جدول الارتباط وتبني خط الانحدار.
تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاته قانون التوزيع لهذا المتغير العشوائي.
يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X ، Y) معطى إذا كان قانون التوزيع الخاص به معروفًا:
الفوسفور (X = x i ، Y = y j) = p ij ، أنا = 1،2 ... ، ن ، ي = 1،2 ... ، م
| X / Y. | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. اعتماد المتغيرات العشوائية X و Y.
ابحث عن سلسلتي التوزيع X و Y.
باستخدام الصيغة ∑P (x أنا، ذ ي) = ص أنا(j = 1..n) ، ابحث عن سلسلة التوزيع X. التوقع الرياضي M [Y].
م [ص] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42.3
تشتت D [Y].
د [ص] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42.3 2 = 99.71
الانحراف المعياري σ (ص).
منذ ذلك الحين ، P (X = 11 ، Y = 20) = 2 2 6 ، ثم المتغيرات العشوائية X و Y متكل.
2. قانون التوزيع المشروط X.
قانون التوزيع المشروط X (Y = 20).
الفوسفور (س = 11 / ص = 20) = 2/6 = 0.33
الفوسفور (س = 16 / ص = 20) = 4/6 = 0.67
P (X = 21 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 26 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 31 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 36 / Y = 20) = 0/6 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0.33 + 16 * 0.67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14.33
التباين الشرطي D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X (Y = 30).
P (X = 11 / Y = 30) = 0/9 = 0
الفوسفور (س = 16 / ص = 30) = 6/9 = 0.67
الفوسفور (س = 21 / ص = 30) = 3/9 = 0.33
P (X = 26 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 31 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 36 / Y = 30) = 0/9 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0 + 16 * 0.67 + 21 * 0.33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17.67
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X (Y = 40).
P (X = 11 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 16 / Y = 40) = 0/55 = 0
الفوسفور (س = 21 / ص = 40) = 6/55 = 0.11
P (X = 26 / Y = 40) = 45/55 = 0.82
الفوسفور (س = 31 / ص = 40) = 4/55 = 0.0727
P (X = 36 / Y = 40) = 0/55 = 0
التوقع المشروط م = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.11 + 26 * 0.82 + 31 * 0.0727 + 36 * 0 = 25.82
التباين الشرطي د = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
قانون التوزيع المشروط X (Y = 50).
P (X = 11 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 16 / Y = 50) = 0/16 = 0
الفوسفور (س = 21 / ص = 50) = 2/16 = 0.13
P (X = 26 / Y = 50) = 8/16 = 0.5
P (X = 31 / Y = 50) = 6/16 = 0.38
P (X = 36 / Y = 50) = 0/16 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.13 + 26 * 0.5 + 31 * 0.38 + 36 * 0 = 27.25
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
قانون التوزيع المشروط X (Y = 60).
P (X = 11 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 16 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 21 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 26 / Y = 60) = 4/14 = 0.29
P (X = 31 / Y = 60) = 7/14 = 0.5
P (X = 36 / Y = 60) = 3/14 = 0.21
التوقع المشروط M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0.29 + 31 * 0.5 + 36 * 0.21 = 30.64
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون التوزيع المشروط Y.
قانون التوزيع المشروط Y (X = 11).
الفوسفور (ص = 20 / س = 11) = 2/2 = 1
الفوسفور (ص = 30 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 50 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 11) = 0/2 = 0
التوقع المشروط M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
التباين الشرطي D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
قانون التوزيع المشروط Y (X = 16).
الفوسفور (ص = 20 / س = 16) = 4/10 = 0.4
الفوسفور (ص = 30 / س = 16) = 6/10 = 0.6
الفوسفور (ص = 40 / س = 16) = 0/10 = 0
الفوسفور (ص = 50 / س = 16) = 0/10 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 16) = 0/10 = 0
التوقع الشرطي M = 20 * 0.4 + 30 * 0.6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
التباين الشرطي D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
قانون التوزيع المشروط ص (س = 21).
P (Y = 20 / X = 21) = 0/11 = 0
P (ص = 30 / س = 21) = 3/11 = 0.27
P (ص = 40 / س = 21) = 6/11 = 0.55
P (Y = 50 / X = 21) = 2/11 = 0.18
P (Y = 60 / X = 21) = 0/11 = 0
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0.27 + 40 * 0.55 + 50 * 0.18 + 60 * 0 = 39.09
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
قانون التوزيع المشروط Y (X = 26).
الفوسفور (ص = 20 / س = 26) = 0/57 = 0
الفوسفور (ص = 30 / س = 26) = 0/57 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 26) = 45/57 = 0.79
الفوسفور (ص = 50 / س = 26) = 8/57 = 0.14
الفوسفور (ص = 60 / س = 26) = 4/57 = 0.0702
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.79 + 50 * 0.14 + 60 * 0.0702 = 42.81
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون التوزيع المشروط Y (X = 31).
الفوسفور (ص = 20 / س = 31) = 0/17 = 0
الفوسفور (ص = 30 / س = 31) = 0/17 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 31) = 4/17 = 0.24
الفوسفور (ص = 50 / س = 31) = 6/17 = 0.35
الفوسفور (ص = 60 / س = 31) = 7/17 = 0.41
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.24 + 50 * 0.35 + 60 * 0.41 = 51.76
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون التوزيع المشروط Y (X = 36).
P (Y = 20 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 30 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 40 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 50 / X = 36) = 0/3 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 36) = 3/3 = 1
التوقع المشروط M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
التغاير.
cov (X ، Y) = M - M [X] M [Y]
cov (X، Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25.3 42.3 = 38.11
إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة ، فإن تغايرها هو صفر. في حالتنا cov (X ، Y) ≠ 0.
معامل الارتباط.
معادلة الانحدار الخطي من y إلى x هي:
معادلة الانحدار الخطي من x إلى y هي:
ابحث عن الخصائص العددية الضرورية.
العينة تعني:
س = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42.3
ص = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25.3
تشتت:
σ 2 س = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) ) / 100-42.3 2 = 99.71
σ 2 ص = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100-25.3 2 = 24.01
من أين نحصل على الانحرافات المعيارية:
σ س = 9.99 و ص = 4.9
والتغاير:
Cov (x، y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42.3 25.3 = 38.11
دعنا نحدد معامل الارتباط:
دعنا نكتب معادلات خطوط الانحدار y (x):
ونحسب ، نحصل على:
ص س = 0.38 س + 9.14
دعنا نكتب معادلات خطوط الانحدار x (y):
ونحسب ، نحصل على:
س ص = 1.59 ص + 2.15
إذا قمنا ببناء النقاط التي حددها الجدول وخطوط الانحدار ، فسنرى أن كلا الخطين يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (42.3 ؛ 25.3) وتقع النقاط بالقرب من خطوط الانحدار.
معامل الارتباط دلالة.
وفقًا لجدول الطالب بمستوى الأهمية α = 0.05 ودرجات الحرية k = 100-m-1 = 98 ، نجد t crit:
ر كريت (ن م -1 ؛ α / 2) = (98 ؛ 0.025) = 1.984
حيث م = 1 هو عدد المتغيرات التفسيرية.
إذا كانت t ob> t حرجة ، فسيتم التعرف على القيمة التي تم الحصول عليها لمعامل الارتباط على أنها مهمة (يتم رفض الفرضية الصفرية التي تؤكد أن معامل الارتباط يساوي الصفر).
نظرًا لأن t obl> t crit ، فإننا نرفض الفرضية القائلة بأن معامل الارتباط يساوي 0. وبعبارة أخرى ، فإن معامل الارتباط ذو دلالة إحصائية.
المهمة. يرد في الجدول عدد مرات الدخول لأزواج قيم المتغيرات العشوائية X و Y في الفترات المقابلة. من هذه البيانات ، أوجد معامل ارتباط العينة ومعادلات العينة لخطوط الانحدار المستقيمة Y على X و X على Y.
قرار
مثال. يتم إعطاء توزيع الاحتمالية لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) بواسطة جدول. أوجد قوانين توزيع الكميات المكونة س ، ص ومعامل الارتباط ص (س ، ص).
تنزيل الحل
المهمة. 2 د كمية منفصلة(X، Y) يعطى بموجب قانون التوزيع. أوجد قوانين التوزيع لمركبتي X و Y ، والتغاير ، ومعامل الارتباط.
التوزيع المنفصل ثنائي المتغير عشوائي
غالبًا ما يتم وصف نتيجة التجربة بعدة متغيرات عشوائية:. على سبيل المثال ، يمكن تمييز الطقس في مكان معين في وقت معين من اليوم بالمتغيرات العشوائية التالية: X 1 - درجة الحرارة ، X 2 - الضغط ، X 3 - رطوبة الهواء ، X 4 - سرعة الرياح.
في هذه الحالة ، يتحدث المرء عن متغير عشوائي متعدد الأبعاد أو نظام من المتغيرات العشوائية.
ضع في اعتبارك متغير عشوائي ثنائي الأبعاد تكون قيمه المحتملة عبارة عن أزواج من الأرقام. هندسيًا ، يمكن تفسير المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد كنقطة عشوائية على المستوى.
إذا كانت المكونات Xو صمتغيرات عشوائية منفصلة ، ثم متغير عشوائي ثنائي الأبعاد منفصل ، وإذا Xو صتكون مستمرة ، ثم متغير عشوائي ثنائي الأبعاد مستمر.
قانون التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد هو التطابق بين القيم المحتملة واحتمالاتها.
يمكن إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد في شكل جدول إدخال مزدوج (انظر الجدول 6.1) ، حيث يكون احتمال أن يكون المكون Xتولى المعنى x أناوالمكون ص- المعنى ذ ي .
الجدول 6.1.1.
|
ذ 1 |
ذ 2 |
ذ ي |
ذ م |
|||
|
x 1 |
ص 11 |
ص 12 |
ص 1 ي |
ص 1 م |
||
|
x 2 |
ص 21 |
ص 22 |
ص 2 ي |
ص 2 م |
||
|
x أنا |
ص أنا 1 |
ص i2 |
ص اي جاي |
ص انا |
||
|
x ن |
ص n1 |
ص n2 |
ص نيوجيرسي |
ص نانومتر |
نظرًا لأن الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة مع الزوج ، فإن مجموع الاحتمالات يساوي 1 ، أي
من الجدول 6.1 يمكنك إيجاد قوانين توزيع المكونات أحادية البعد Xو ص.
مثال 6.1.1 . أوجد قوانين توزيع المكونات Xو نعم ،إذا تم إعطاء توزيع متغير عشوائي ثنائي الأبعاد في شكل الجدول 6.1.2.
الجدول 6.1.2.
إذا قمنا بإصلاح قيمة إحدى الوسيطات ، على سبيل المثال ، فسيتم توزيع الكمية الناتجة Xيسمى التوزيع الشرطي. يتم تعريف التوزيع الشرطي بالمثل ص.
مثال 6.1.2 . وفقًا لتوزيع متغير عشوائي ثنائي الأبعاد الوارد في الجدول. 6.1.2 ، أوجد: أ) قانون التوزيع المشروط للمكون Xبشرط؛ ب) قانون التوزيع المشروط صبشرط.
قرار. الاحتمالات الشرطية للمكونات Xو صمحسوبة بالصيغ
قانون التوزيع المشروط Xالشرط له الشكل
يتحكم: .
يمكن إعطاء قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد وظائف التوزيع، والذي يحدد احتمال ذلك لكل زوج من الأرقام Xيأخذ على قيمة أقل من Xوحيث صيأخذ على قيمة أقل من ذ:
هندسيًا ، تعني الوظيفة احتمال سقوط نقطة عشوائية في مربع لا نهائي مع رأس عند النقطة (الشكل 6.1.1).
دعونا نلاحظ الخصائص.
- 1. نطاق الوظيفة - أي .
- 2. دالة - دالة غير متناقصة لكل وسيطة.
- 3. هناك علاقات محدودة:
في ، تصبح دالة التوزيع للنظام مساوية لوظيفة التوزيع للمكون X، بمعنى آخر. .
على نفس المنوال، .
مع العلم ، يمكنك إيجاد احتمال وقوع نقطة عشوائية داخل المستطيل ABCD.
يسمى،
مثال 6.1.3. المتغير العشوائي المنفصل ثنائي المتغير المحدد بواسطة جدول التوزيع
ابحث عن دالة التوزيع.
قرار. القيمة في حالة المكونات المنفصلة Xو صيمكن إيجاده بجمع كل الاحتمالات بالمؤشرات أناو ي، لأي منهم، . ثم إذا ثم (الأحداث مستحيلة). وبالمثل ، نحصل على:
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك
إذا وبعد ذلك.
يتم عرض النتائج التي تم الحصول عليها في شكل جدول (6.1.3) من القيم:
إلى عن على ثنائي الأبعاد مستمرمتغير عشوائي ، يتم تقديم مفهوم الكثافة الاحتمالية
كثافة الاحتمال الهندسي عبارة عن سطح توزيع في الفضاء
كثافة الاحتمال ثنائية الأبعاد لها الخصائص التالية:
3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع من حيث الصيغة
4. احتمال إصابة متغير عشوائي مستمر في المنطقة يساوي
5. وفقًا للخاصية (4) للوظيفة ، تتم الصيغ:
مثال 6.1.4.يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد
تعريف.إذا تم إعطاء متغيرين عشوائيين في نفس مساحة الأحداث الأولية Xو نعم ،ثم يقولون أنه معطى متغير عشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) .
مثال.تقوم الآلة بختم البلاط الصلب. طول التحكم Xوالعرض ص. - ثنائي الأبعاد SW.
جنوب غرب Xو صلها وظائف التوزيع الخاصة بها وخصائص أخرى.
تعريف. دالة التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) تسمى وظيفة.
تعريف. قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد منفصل (X ، ص) يسمى الجدول
| … | ||||
| … | ||||
للحصول على SW منفصلة ثنائية الأبعاد.
ملكيات :
2) إذا ، إذن ؛ اذا ثم ;
4) - دالة التوزيع X;
- دالة التوزيع ص.
احتمال ضرب قيم SW ثنائية الأبعاد في المستطيل:
تعريف.متغير عشوائي ثنائي الأبعاد (س ، ص)اتصل مستمر إذا كانت وظيفة التوزيع الخاصة به مستمر على وله في كل مكان (مع استثناء محتمل لعدد محدود من المنحنيات) مشتق جزئي مختلط مستمر من الرتبة الثانية .
تعريف. كثافة التوزيع الاحتمالي المشترك لل SW المستمر ثنائي الأبعاد تسمى وظيفة.
ثم من الواضح .
مثال 1يتم إعطاء SW المستمر ثنائي الأبعاد بواسطة دالة التوزيع
ثم كثافة التوزيع لها الشكل
مثال 2يتم إعطاء SW المستمر ثنائي الأبعاد بواسطة كثافة التوزيع
دعنا نجد دالة التوزيع الخاصة به:
ملكيات :
3) لأي منطقة.
دع كثافة توزيع المفصل معروفة. ثم يتم العثور على كثافة التوزيع لكل مكون من مكونات SW ثنائية الأبعاد على النحو التالي:
المثال 2 (تابع).
دعا بعض المؤلفين كثافات التوزيع لمكونات SW ثنائية الأبعاد هامشكثافات التوزيع الاحتمالية .
القوانين الشرطية لتوزيع مكونات نظام RV المنفصل.
الاحتمال الشرطي ، أين.
قانون التوزيع المشروط للمكون Xفي :
| X | … | |||
| ص | … |
وبالمثل لأين.
لنضع قانون التوزيع المشروط Xفي ص = 2.
ثم قانون التوزيع المشروط
| X | -1 | ||
| ص |
تعريف. كثافة التوزيع الشرطي للمكون X. بقيمة معينة ص = صاتصل .
بصورة مماثلة: .
تعريف. الشرط رياضي في انتظار SW Y المنفصلة في يسمى ، حيث - انظر أعلاه.
بالتالي، .
إلى عن على مستمرجنوب غرب ص .
من الواضح أنها إحدى وظائف الحجة X. هذه الوظيفة تسمى وظيفة الانحدار Y على X .
تعريف بالمثل دالة الانحدار x-on-y : .
النظرية 5. (حول دالة التوزيع لـ RVs المستقلة)
جنوب غرب Xو ص
عاقبة.مستمر SW Xو صمستقلة إذا وفقط إذا.
في المثال 1 مع. لذلك ، SW Xو صمستقل.
الخصائص العددية لمكونات المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد
بالنسبة لـ CB المنفصل:
للحصول على SW المستمر:.
يتم تحديد التشتت والانحراف المعياري لجميع SW بواسطة نفس الصيغ المعروفة لدينا:
تعريف.النقطة تسمى مركز نثر ثنائي الأبعاد SW.
تعريف. التغاير (لحظة الارتباط) NE يسمى
بالنسبة إلى SW المنفصلة:.
للحصول على SW المستمر:.
صيغة الحساب:.
ل CBs المستقلة.
الإزعاج في الخاصية هو بعدها (مربع وحدة قياس المكونات). الكمية التالية خالية من هذا النقص.
تعريف. معامل الارتباط جنوب غرب Xو صاتصل
ل CBs المستقلة.
لأي زوج من SW . ومن المعروف أن إذا وفقط إذا وأين.
تعريف.جنوب غرب Xو صاتصل غير مرتبط ، إذا .
العلاقة بين الارتباط والاعتماد على SW:
- إذا كان سي بي Xو صمترابط ، أي , ثم هم معتمدين ؛ والعكس ليس صحيحا؛
- إذا كان سي بي Xو صمستقل ، إذن ؛ والعكس ليس صحيحا.
ملاحظة 1.إذا كان SW Xو صموزع من قبل القانون العاديو ، ثم هم مستقلون.
ملاحظة 2.قيمة عملية كمقياس للاعتماد لا يمكن تبريره إلا عندما يكون التوزيع المشترك للزوج طبيعيًا أو طبيعيًا تقريبًا. ل SW Xو صيمكنك الوصول إلى نتيجة خاطئة ، أي ربما حتى عندما Xو صمرتبطة بعلاقة وظيفية صارمة.
ملاحظة 3.في الإحصاء الرياضي ، الارتباط هو اعتماد احتمالي (إحصائي) بين الكميات التي ، بشكل عام ، ليس لها طابع وظيفي صارم. يحدث الاعتماد على الارتباط عندما لا تعتمد إحدى الكميات على الثانية المعينة فحسب ، بل تعتمد أيضًا على عدد من العوامل العشوائية ، أو عندما تكون هناك شروط مشتركة لكليهما من بين الشروط التي تعتمد عليها إحدى الكمية أو الكمية الأخرى.
مثال 4بالنسبة لـ SW Xو صمن المثال 3 تجد .
قرار.
مثال 5تم إعطاء كثافة توزيع المفصل لل SW ثنائي الأبعاد.
الزوج المرتب (X ، Y) من المتغيرات العشوائية X و Y يسمى متغير عشوائي ثنائي الأبعاد ، أو متجه عشوائي لمساحة ثنائية الأبعاد. المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) يسمى أيضًا نظام المتغيرات العشوائية X و Y. تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاتها قانون التوزيع لهذا المتغير العشوائي. يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X ، Y) معطى إذا كان قانون التوزيع الخاص به معروفًا:
الفوسفور (X = x i ، Y = y j) = p ij ، i = 1،2 ... ، n ، j = 1،2 ... ، م
مهمة الخدمة. باستخدام الخدمة ، وفقًا لقانون التوزيع المحدد ، يمكنك العثور على:
- سلسلة التوزيع X و Y ، التوقع الرياضي M [X] ، M [Y] ، التباين D [X] ، D [Y] ؛
- التغاير cov (x ، y) ، معامل الارتباط r x ، y ، سلسلة التوزيع الشرطي X ، التوقع الشرطي M ؛
تعليمات. حدد أبعاد مصفوفة توزيع الاحتمالات (عدد الصفوف والأعمدة) وشكلها. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word.
مثال 1. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد على جدول توزيع:
| نعم / س | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | ف |
قرار. نجد القيمة q من الشرط Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + ... + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91 + q = 1. من أين q = 0.09
باستخدام الصيغة ∑P (x أنا، ذ ي) = ص أنا(j = 1..n) ، ابحث عن سلسلة التوزيع X.
م [ص] = 1 * 0.05 + 2 * 0.46 + 3 * 0.34 + 4 * 0.15 = 2.59
تشتت D [Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
الانحراف المعياريσ (ص) = الجذر التربيعي (D [Y]) = الجذر التربيعي (0.64) = 0.801
التغاير cov (X، Y) = M - M [X] M [Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 2 30 0.11 + 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
معامل الارتباط rxy = cov (x، y) / σ (x) & sigma (y) = -0.068 / (11.531 * 0.801) = -0.00736
مثال 2. تنعكس بيانات المعالجة الإحصائية للمعلومات المتعلقة بمؤشرين X و Y في جدول الارتباط. مطلوب:
- كتابة سلسلة التوزيع لـ X و Y وحساب متوسط العينة وعينة الانحرافات المعيارية لها ؛
- كتابة سلسلة التوزيع الشرطية Y / x وحساب المتوسطات الشرطية Y / x ؛
- تصور بيانياً اعتماد المتوسطات الشرطية Y / x على قيم X ؛
- حساب معامل ارتباط العينة Y على X ؛
- كتابة نموذج معادلة الانحدار المباشر ؛
- تمثل هندسيًا بيانات جدول الارتباط وتبني خط الانحدار.
تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاته قانون التوزيع لهذا المتغير العشوائي.
يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X ، Y) معطى إذا كان قانون التوزيع الخاص به معروفًا:
الفوسفور (X = x i ، Y = y j) = p ij ، أنا = 1،2 ... ، ن ، ي = 1،2 ... ، م
| X / Y. | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. اعتماد المتغيرات العشوائية X و Y.
ابحث عن سلسلتي التوزيع X و Y.
باستخدام الصيغة ∑P (x أنا، ذ ي) = ص أنا(j = 1..n) ، ابحث عن سلسلة التوزيع X. التوقع الرياضي M [Y].
م [ص] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42.3
تشتت D [Y].
د [ص] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42.3 2 = 99.71
الانحراف المعياري σ (ص).
منذ ذلك الحين ، P (X = 11 ، Y = 20) = 2 2 6 ، ثم المتغيرات العشوائية X و Y متكل.
2. قانون التوزيع المشروط X.
قانون التوزيع المشروط X (Y = 20).
الفوسفور (س = 11 / ص = 20) = 2/6 = 0.33
الفوسفور (س = 16 / ص = 20) = 4/6 = 0.67
P (X = 21 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 26 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 31 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 36 / Y = 20) = 0/6 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0.33 + 16 * 0.67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14.33
التباين الشرطي D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X (Y = 30).
P (X = 11 / Y = 30) = 0/9 = 0
الفوسفور (س = 16 / ص = 30) = 6/9 = 0.67
الفوسفور (س = 21 / ص = 30) = 3/9 = 0.33
P (X = 26 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 31 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 36 / Y = 30) = 0/9 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0 + 16 * 0.67 + 21 * 0.33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17.67
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X (Y = 40).
P (X = 11 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 16 / Y = 40) = 0/55 = 0
الفوسفور (س = 21 / ص = 40) = 6/55 = 0.11
P (X = 26 / Y = 40) = 45/55 = 0.82
الفوسفور (س = 31 / ص = 40) = 4/55 = 0.0727
P (X = 36 / Y = 40) = 0/55 = 0
التوقع المشروط م = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.11 + 26 * 0.82 + 31 * 0.0727 + 36 * 0 = 25.82
التباين الشرطي د = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
قانون التوزيع المشروط X (Y = 50).
P (X = 11 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 16 / Y = 50) = 0/16 = 0
الفوسفور (س = 21 / ص = 50) = 2/16 = 0.13
P (X = 26 / Y = 50) = 8/16 = 0.5
P (X = 31 / Y = 50) = 6/16 = 0.38
P (X = 36 / Y = 50) = 0/16 = 0
التوقع الشرطي M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.13 + 26 * 0.5 + 31 * 0.38 + 36 * 0 = 27.25
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
قانون التوزيع المشروط X (Y = 60).
P (X = 11 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 16 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 21 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 26 / Y = 60) = 4/14 = 0.29
P (X = 31 / Y = 60) = 7/14 = 0.5
P (X = 36 / Y = 60) = 3/14 = 0.21
التوقع المشروط M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0.29 + 31 * 0.5 + 36 * 0.21 = 30.64
التباين الشرطي D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون التوزيع المشروط Y.
قانون التوزيع المشروط Y (X = 11).
الفوسفور (ص = 20 / س = 11) = 2/2 = 1
الفوسفور (ص = 30 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 50 / س = 11) = 0/2 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 11) = 0/2 = 0
التوقع المشروط M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
التباين الشرطي D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
قانون التوزيع المشروط Y (X = 16).
الفوسفور (ص = 20 / س = 16) = 4/10 = 0.4
الفوسفور (ص = 30 / س = 16) = 6/10 = 0.6
الفوسفور (ص = 40 / س = 16) = 0/10 = 0
الفوسفور (ص = 50 / س = 16) = 0/10 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 16) = 0/10 = 0
التوقع الشرطي M = 20 * 0.4 + 30 * 0.6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
التباين الشرطي D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
قانون التوزيع المشروط ص (س = 21).
P (Y = 20 / X = 21) = 0/11 = 0
P (ص = 30 / س = 21) = 3/11 = 0.27
P (ص = 40 / س = 21) = 6/11 = 0.55
P (Y = 50 / X = 21) = 2/11 = 0.18
P (Y = 60 / X = 21) = 0/11 = 0
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0.27 + 40 * 0.55 + 50 * 0.18 + 60 * 0 = 39.09
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
قانون التوزيع المشروط Y (X = 26).
الفوسفور (ص = 20 / س = 26) = 0/57 = 0
الفوسفور (ص = 30 / س = 26) = 0/57 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 26) = 45/57 = 0.79
الفوسفور (ص = 50 / س = 26) = 8/57 = 0.14
الفوسفور (ص = 60 / س = 26) = 4/57 = 0.0702
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.79 + 50 * 0.14 + 60 * 0.0702 = 42.81
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون التوزيع المشروط Y (X = 31).
الفوسفور (ص = 20 / س = 31) = 0/17 = 0
الفوسفور (ص = 30 / س = 31) = 0/17 = 0
الفوسفور (ص = 40 / س = 31) = 4/17 = 0.24
الفوسفور (ص = 50 / س = 31) = 6/17 = 0.35
الفوسفور (ص = 60 / س = 31) = 7/17 = 0.41
التوقع المشروط م = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.24 + 50 * 0.35 + 60 * 0.41 = 51.76
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون التوزيع المشروط Y (X = 36).
P (Y = 20 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 30 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 40 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 50 / X = 36) = 0/3 = 0
الفوسفور (ص = 60 / س = 36) = 3/3 = 1
التوقع المشروط M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
التباين الشرطي D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
التغاير.
cov (X ، Y) = M - M [X] M [Y]
cov (X، Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25.3 42.3 = 38.11
إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة ، فإن تغايرها هو صفر. في حالتنا cov (X ، Y) ≠ 0.
معامل الارتباط.
معادلة الانحدار الخطي من y إلى x هي:
معادلة الانحدار الخطي من x إلى y هي:
ابحث عن الخصائص العددية الضرورية.
العينة تعني:
س = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42.3
ص = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25.3
تشتت:
σ 2 س = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) ) / 100-42.3 2 = 99.71
σ 2 ص = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100-25.3 2 = 24.01
من أين نحصل على الانحرافات المعيارية:
σ س = 9.99 و ص = 4.9
والتغاير:
Cov (x، y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42.3 25.3 = 38.11
دعنا نحدد معامل الارتباط:
دعنا نكتب معادلات خطوط الانحدار y (x):
ونحسب ، نحصل على:
ص س = 0.38 س + 9.14
دعنا نكتب معادلات خطوط الانحدار x (y):
ونحسب ، نحصل على:
س ص = 1.59 ص + 2.15
إذا قمنا ببناء النقاط التي حددها الجدول وخطوط الانحدار ، فسنرى أن كلا الخطين يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (42.3 ؛ 25.3) وتقع النقاط بالقرب من خطوط الانحدار.
معامل الارتباط دلالة.
وفقًا لجدول الطالب بمستوى الأهمية α = 0.05 ودرجات الحرية k = 100-m-1 = 98 ، نجد t crit:
ر كريت (ن م -1 ؛ α / 2) = (98 ؛ 0.025) = 1.984
حيث م = 1 هو عدد المتغيرات التفسيرية.
إذا كانت t ob> t حرجة ، فسيتم التعرف على القيمة التي تم الحصول عليها لمعامل الارتباط على أنها مهمة (يتم رفض الفرضية الصفرية التي تؤكد أن معامل الارتباط يساوي الصفر).
نظرًا لأن t obl> t crit ، فإننا نرفض الفرضية القائلة بأن معامل الارتباط يساوي 0. وبعبارة أخرى ، فإن معامل الارتباط ذو دلالة إحصائية.
المهمة. يرد في الجدول عدد مرات الدخول لأزواج قيم المتغيرات العشوائية X و Y في الفترات المقابلة. من هذه البيانات ، أوجد معامل ارتباط العينة ومعادلات العينة لخطوط الانحدار المستقيمة Y على X و X على Y.
قرار
مثال. يتم إعطاء توزيع الاحتمالية لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد (X ، Y) بواسطة جدول. أوجد قوانين توزيع الكميات المكونة س ، ص ومعامل الارتباط ص (س ، ص).
تنزيل الحل
المهمة. يتم إعطاء قيمة منفصلة ثنائية الأبعاد (X ، Y) بواسطة قانون التوزيع. أوجد قوانين التوزيع لمركبتي X و Y ، والتغاير ، ومعامل الارتباط.