Cəbri polinomları hesablayarkən, hesablamaları sadələşdirmək üçün istifadə edin qısaldılmış vurma düsturları . Ümumilikdə yeddi belə düstur var. Onların hamısını əzbər bilmək lazımdır.
Onu da xatırlamaq lazımdır ki, düsturlarda a və b əvəzinə ya rəqəmlər, ya da hər hansı digər cəbri polinomlar ola bilər.
Kvadratların fərqi
İki ədədin kvadratları arasındakı fərq bu ədədlər arasındakı fərqlə onların cəminin hasilinə bərabərdir.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Cəmin kvadratı
İki ədədin cəminin kvadratı birinci nömrənin kvadratına üstəgəl birinci nömrənin hasilinin iki qatına, ikinci və ikinci nömrənin kvadratına bərabərdir.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Nəzərə alın ki, bu qısaldılmış vurma düsturu ilə bunu etmək asandır böyük ədədlərin kvadratlarını tapın kalkulyator və ya uzun vurma istifadə etmədən. Bir misalla izah edək:
112 2-ni tapın.
112-ni kvadratlarını yaxşı xatırladığımız ədədlərin cəminə ayıraq.2
112 = 100 + 1
Mötərizədə olan ədədlərin cəmini yazın və mötərizələrin üzərinə kvadrat qoyun.
112 2 = (100 + 12) 2
Cəmin kvadratı üçün düsturdan istifadə edək:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544
Unutmayın ki, kvadrat cəmi düsturu istənilən cəbri çoxhədlilər üçün də etibarlıdır.
(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Xəbərdarlıq!!!
(a + b) 2 a 2 + b 2-yə bərabər deyil
Kvadrat fərq
İki ədədin fərqinin kvadratı birinci ədədin kvadratından birinci və ikincinin hasilinin iki qatına üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Çox faydalı bir çevrilməni də xatırlamağa dəyər:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Yuxarıdakı düsturu sadəcə mötərizələri açmaqla sübut etmək olar:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
Cəmin kubu
İki ədədin cəminin kubu birinci ədədin kubuna üstəgəl birinci ədədin kvadratının hasilini üçə, ikincisi isə birincinin hasilini ikincinin kvadratına üstəgəl ikincinin kubuna üçqat artırmağa bərabərdir. .
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Bu "qorxulu" görünən düsturu xatırlamaq olduqca asandır.
Başlanğıcda 3 olduğunu öyrənin.
Ortadakı iki çoxhədlinin əmsalı 3-ə bərabərdir.
INunutmayın ki, sıfırıncı dərəcəyə qədər istənilən ədəd 1-dir (a 0 = 1, b 0 = 1). Düsturda a dərəcəsində azalma və b dərəcəsində artım olduğunu görmək asandır. Bunu yoxlaya bilərsiniz:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Xəbərdarlıq!!!
(a + b) 3 a 3 + b 3-ə bərabər deyil
Fərq kubu
İki ədədin fərqinin kubu, birinci ədədin kubuna, birinci ədədin kvadratının hasilinin üç qatına, ikincinin isə birinci ədədin hasilinə və ikincinin kvadratına kubun vurulmasına üç dəfə bərabərdir. ikincidən.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Bu düstur əvvəlki kimi xatırlanır, ancaq "+" və "-" işarələrinin növbələşməsi nəzərə alınmaqla. Birinci a 3 bəndinin qarşısında “+” işarəsi qoyulur (riyaziyyat qaydalarına görə biz onu yazmırıq). Bu o deməkdir ki, növbəti termindən əvvəl “-”, sonra yenidən “+” və s.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
kubların cəmi ( Cəmi kub ilə qarışdırılmamalıdır!)
Kubların cəmi iki ədədin cəminin və fərqin qismən kvadratının hasilinə bərabərdir.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
Kubların cəmi iki mötərizənin məhsuludur.
Birinci mötərizə iki ədədin cəmidir.
İkinci mötərizə ədədlər arasındakı fərqin natamam kvadratıdır. Fərqin natamam kvadratı aşağıdakı ifadədir:
A 2 - ab + b 2
Bu kvadrat natamamdır, çünki ortada qoşa hasil əvəzinə ədədlərin adi hasili var.
Kubların fərqi (Fərq kubu ilə qarışdırmayın!!!)
Kubların fərqi iki ədədin fərqinin və cəminin qismən kvadratının hasilinə bərabərdir.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
İşarələri yazarkən diqqətli olun.Yadda saxlamaq lazımdır ki, yuxarıda verilmiş bütün düsturlar da sağdan sola istifadə olunur.
Qısaldılmış vurma düsturlarını yadda saxlamağın asan yolu və ya... Paskal üçbucağı.
Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlamaqda çətinlik çəkirsiniz? Səbəbinə kömək etmək asandır. Sadəcə Paskal üçbucağı kimi sadə bir şeyin necə təsvir olunduğunu xatırlamaq lazımdır. Onda siz bu düsturları həmişə və hər yerdə xatırlayacaqsınız, daha doğrusu, xatırlamayacaq, əksinə bərpa edəcəksiniz.
Paskal üçbucağı nədir? Bu üçbucaq formanın binomialının istənilən dərəcəsinin çoxhədliyə genişlənməsinə daxil olan əmsallardan ibarətdir.
Məsələn, genişləndirək:
Bu girişdə birinci nömrənin kubunun başlanğıcda, ikinci nömrənin kubunun isə sonunda olduğunu xatırlamaq asandır. Ancaq ortada olanı xatırlamaq çətindir. Və hətta hər bir sonrakı müddətdə bir amilin dərəcəsi hər zaman azalır, ikincisi isə artır - əmsalları və işarələri yadda saxlamaq çətin deyil (bu, müsbət və ya mənfidir; ?).
Beləliklə, əvvəlcə ehtimallar. Onları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur! Paskal üçbucağını tez bir zamanda notebookun kənarlarına çəkirik və budur - əmsallar, artıq qarşımızdadır. Üç vahidlə çəkməyə başlayırıq, biri yuxarıda, ikisi aşağıda, sağa və sola - bəli, bu artıq üçbucaqdır:
Bir 1 olan birinci sətir sıfırdır. Sonra birinci, ikinci, üçüncü və s. İkinci sətri əldə etmək üçün kənarlara yenidən birini təyin etməlisiniz və mərkəzdə yuxarıdakı iki rəqəmi əlavə etməklə əldə edilən nömrəni yazın:
Üçüncü sətri yazırıq: yenidən bölmənin kənarları boyunca və yenidən yeni sətirdə növbəti nömrəni almaq üçün əvvəlki birinə onun üstündəki nömrələri əlavə edirik:
Təxmin etdiyiniz kimi, hər bir sətirdə binomialın çoxhədli genişlənməsinin əmsallarını alırıq:
Yaxşı, işarələri xatırlamaq daha asandır: birincisi genişləndirilmiş binomialdakı kimidir (cəmi genişləndiririk - bu, artı deməkdir, fərq - mənfi deməkdir), sonra işarələr bir-birini əvəz edir!
Bu çox faydalı bir şeydir - Paskal üçbucağı. İstifadə edin!
Riyazi ifadələr (düsturlar) qısaldılmış vurma(cəm və fərqin kvadratı, cəmi və fərqin kubu, kvadratların fərqi, kubların cəmi və fərqi) dəqiq elmlərin bir çox sahələrində son dərəcə əvəzolunmazdır. Bu 7 simvolik qeyd ifadələri sadələşdirmək, tənlikləri həll etmək, çoxhədliləri vurmaq, kəsrləri azaltmaq, inteqralları həll etmək və daha çox şey üçün əvəzsizdir. Bu o deməkdir ki, onların necə əldə edildiyini, nə üçün lazım olduğunu və ən əsası onları necə yadda saxlayıb sonra tətbiq etməyi başa düşmək çox faydalı olacaq. Sonra müraciət qısaldılmış vurma düsturları praktikada ən çətin şey nə olduğunu görmək olacaq X və nəyin var. Aydındır ki, üçün heç bir məhdudiyyət yoxdur a Və b yox, yəni hər hansı rəqəm və ya əlifba ifadəsi ola bilər.
Beləliklə, onlar burada:
Birinci x 2 - 2-də = (x - y) (x+y).Hesablamaq üçün kvadratlar fərqi iki ifadə üçün bu ifadələrin fərqlərini onların cəminə vurmaq lazımdır.
İkinci (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. tapmaq üçün cəminin kvadratı iki ifadə üçün birinci ifadənin kvadratına birinci ifadənin qoşa hasilini və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratını əlavə etməlisiniz.
üçüncü (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Hesablamaq üçün kvadrat fərq iki ifadə üçün birinci ifadənin kvadratından birinci ifadənin hasilini ikinciyə üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına iki dəfə çıxarmaq lazımdır.
Dördüncüsü (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 3-də. Hesablamaq üçün cəminin kubu iki ifadə üçün birinci ifadənin kubuna birinci ifadənin kvadratının ikinciyə üçqat hasilini üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına birinci ifadənin üçqat hasilini üstəgəl ikinci ifadənin kubuna əlavə etməlisiniz.
Beşinci (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - 3-də. Hesablamaq üçün fərq kubu iki ifadə üçün birinci ifadənin kubundan birinci ifadənin kvadratının üçqat hasilini ikinciyə üstəgəl birinci ifadənin üçqat hasilini ikincinin kvadratına çıxarmaqla ikinci ifadənin kubunu çıxarmaq lazımdır.
altıncı x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hesablamaq üçün kubların cəmi iki ifadə üçün birinci və ikinci ifadələrin cəmini bu ifadələrin fərqinin natamam kvadratına vurmaq lazımdır.
Yeddinci x 3 - 3-də = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hesablama aparmaq üçün kubların fərqləri iki ifadə üçün birinci və ikinci ifadələrin fərqini bu ifadələrin cəminin natamam kvadratına vurmaq lazımdır.
Bütün formulların əks istiqamətdə (sağdan sola) hesablamalar aparmaq üçün istifadə edildiyini xatırlamaq çətin deyil.
Bu naxışların mövcudluğu təxminən 4 min il əvvəl məlum idi. Onlardan qədim Babil və Misir sakinləri geniş istifadə edirdilər. Lakin o dövrlərdə onlar nə şifahi, nə də həndəsi şəkildə ifadə olunurdu və hesablamalarda hərflərdən istifadə etmirdilər.
Gəlin bunu həll edək kvadrat məbləğin sübutu(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.
Əvvəlcə bu riyazi nümunə eramızdan əvvəl 3-cü əsrdə İsgəndəriyyədə işləmiş qədim yunan alimi Evklid sübut etdi ki, qədim Hellas alimləri rəqəmləri işarələmək üçün hərflərdən istifadə etmədikləri üçün düsturu sübut etmək üçün həndəsi üsuldan istifadə etdi. Onlar hər yerdə “a 2” deyil, “a seqmentində kvadrat”, “ab” deyil, “a və b seqmentləri arasında yerləşən düzbucaqlı” istifadə edirdilər.
Cəbr
İfadələri çevirmək üçün qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə olunur. İdentifikasiyalar bütöv bir ifadəni çoxhədli kimi təqdim etmək və çoxhədli faktorlar üçün istifadə olunur.
- 1 Cəmin kvadratı(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- 2 Kvadrat fərq(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
- 3 Kvadratların fərqi a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
- 4 Cəmin kubu(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
- 5 Fərq kubu(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
- 6 Kubların cəmi a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
- 7 Kubların fərqi a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
Kvadratlar üçün düsturlar
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
Kublar üçün düsturlar
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
Dördüncü dərəcə üçün düsturlar
\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) dən gəlir.
Qısaldılmış vurma düsturları
1. Cəmin kvadratı
2. Kvadrat fərq
3. Kvadratların cəmi və fərqi
4. Cəmi üçüncü dərəcəyə (cəm kubu)
5. Üçüncü gücə görə fərq (fərq kubu)
6. Kubların cəmi və fərqi
7. Dördüncü dərəcə üçün qısaldılmış vurma düsturları
8. Beşinci dərəcə üçün qısaldılmış vurma düsturları
9. Altıncı dərəcə üçün qısaldılmış vurma düsturları
10. N dərəcəsi üçün qısaldılmış vurma düsturları, burada n- istənilən natural ədəd
11. n dərəcəsi üçün qısaldılmış vurma düsturları, burada n- hətta müsbət rəqəm
12. N dərəcəsi üçün qısaldılmış vurma düsturları, burada n- tək müsbət rəqəm
İfadə ( a + b) 2-dir cəminin kvadratı nömrələr a Və b. Dərəcənin tərifinə görə ifadə ( a + ba + b)(a + b). Beləliklə, cəminin kvadratından belə nəticəyə gələ bilərik
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
yəni iki ədədin cəminin kvadratı birinci ədədin kvadratına, üstəgəl birinci və ikincinin hasilinin iki qatına, üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.
kvadrat cəmi düsturu
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Polinom a 2 + 2ab + b 2 kvadrat cəminin genişlənməsi adlanır.
Çünki a Və b hər hansı bir rəqəmi və ya ifadəni işarələyin, onda qayda bizə qısa yolda iki terminin cəmi hesab oluna bilən istənilən ifadəni kvadrata çevirmək imkanı verir.
Misal. Kvadrat ifadə 3 x 2 + 2xy.
Həlli:Əlavə çevrilmələr etməmək üçün cəminin kvadratı üçün düsturdan istifadə edəcəyik. Birinci nömrənin kvadratının cəmini, birinci nömrənin hasilinin iki qatını və ikinci və ikinci nömrənin kvadratını almalıyıq:
(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2
İndi monomialların vurma və eksponentasiya qaydalarından istifadə edərək, yaranan ifadəni sadələşdiririk:
(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2
Kvadrat fərq
İfadə ( a - b) 2-dir kvadrat fərq nömrələr a Və b. İfadə ( a - b) 2 iki çoxhədlinin hasilidir ( a - b)(a - b). Beləliklə, fərqin kvadratından belə nəticəyə gələ bilərik
(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,
yəni iki ədədin fərqinin kvadratı birinci ədədin kvadratına, birinci və ikincinin hasilinin iki qatına, üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.
Qaydadan belə çıxır ki, cəmi kvadrat fərq düsturu, aralıq çevrilmələr olmadan belə görünəcək:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Polinom a 2 - 2ab + b 2 kvadrat fərq genişlənməsi adlanır.
Bu qayda iki ədədin fərqi kimi ifadə oluna bilən ifadələrin qısaldılmış kvadratlaşdırılmasına aiddir.
Misal. Fərqin kvadratını trinomial kimi təqdim edin:
(2a 2 - 5ab 2) 2
Həlli: Kvadrat fərq düsturundan istifadə edərək tapırıq:
(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
İndi ifadəni standart çoxhədliyə çevirək:
(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4
Kvadratların fərqi
İfadə a 2 - b 2-dir kvadratlar fərqi nömrələr a Və b. İfadə a 2 - b 2, iki ədədin cəmini fərqinə vurmağın stenoqrafiya üsuludur:
(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,
yəni iki ədədin cəminin hasili və onların fərqi bu ədədlərin kvadratlarının fərqinə bərabərdir.
Qaydadan belə çıxır ki, cəmi kvadrat fərq düsturu belə görünür:
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
Bu qayda təmsil oluna bilən ifadələrin qısaldılmış çoxalmasına aiddir: biri iki ədədin cəmi, digəri isə eyni ədədlərin fərqi kimi.
Misal. Məhsulu binomiala çevirin:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)
Həlli:
(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9
Nümunədə kvadratların sağdan sola fərqi üçün düstur tətbiq etdik, yəni bizə düsturun sağ tərəfi verildi və onu sola çevirdik:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
Praktikada müzakirə olunan hər üç formul vəziyyətdən asılı olaraq soldan sağa və sağdan sola tətbiq edilir.
Bu dərsdə cəminin kvadratının və fərqin kvadratının düsturları ilə tanış olacağıq və onları hasil edəcəyik. Cəmin kvadratının düsturunu həndəsi şəkildə sübut edək. Bundan əlavə, biz çox şey həll edəcəyik müxtəlif nümunələr bu düsturlardan istifadə etməklə.
Cəmin kvadratının düsturunu nəzərdən keçirin:
Beləliklə, cəminin kvadratı üçün düstur əldə etdik:
Şifahi olaraq bu düstur aşağıdakı kimi ifadə edilir: cəminin kvadratı birinci ədədin kvadratına üstəgəl birinci nömrənin ikinciyə hasilinin iki qatına və ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.
Bu formula həndəsi şəkildə təmsil etmək asandır.
Bir tərəfi olan bir kvadrat düşünün:
Kvadratın sahəsi.
Digər tərəfdən, eyni kvadrat tərəfi a və b-yə bölməklə fərqli şəkildə təmsil oluna bilər (şək. 1).
düyü. 1. Kvadrat
Sonra kvadratın sahəsi sahələrin cəmi kimi təqdim edilə bilər:
Kvadratlar eyni olduğundan onların sahələri bərabərdir, yəni:
Beləliklə, cəminin kvadratının düsturunu həndəsi şəkildə sübut etdik.
Nümunələrə baxaq:
Şərh: Nümunə kvadrat cəm düsturu ilə həll edilir.
Kvadrat fərq üçün düstur çıxaraq:
Beləliklə, kvadrat fərq üçün düstur əldə etdik:
Şifahi olaraq bu düstur aşağıdakı kimi ifadə edilir: fərqin kvadratı birinci ədədin kvadratından birinci ədədin ikiqat hasilini və ikinci üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.
Nümunələrə baxaq:
Kvadrat cəmi və kvadrat fərq düsturları həm soldan sağa, həm də sağdan sola işləyə bilər. Soldan sağa istifadə edildikdə, bunlar qısaldılmış vurma düsturları olacaq və nümunələrin hesablanması və çevrilməsi zamanı istifadə olunur. Sağdan sola istifadə edildikdə - faktorizasiya düsturları.
Kvadrat cəmi və kvadrat fərq düsturlarından istifadə edərək verilmiş çoxhədlini faktorlara ayırmağınız lazım olan nümunələrə baxaq. Bunu etmək üçün çoxhədliyə çox diqqətlə baxmaq və onu necə düzgün genişləndirmək lazım olduğunu dəqiq müəyyənləşdirmək lazımdır.
Şərh: Polinomu faktorlara ayırmaq üçün verilmiş ifadədə nəyin təmsil olunduğunu müəyyən etmək lazımdır. Beləliklə, birinin kvadratını və kvadratını görürük. İndi ikiqat məhsulu tapmaq lazımdır - bu . Beləliklə, bütün lazımi elementlər var, sadəcə bunun cəminin kvadratı və ya fərq olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Qoşa hasilin qarşısında artı işarəsi var, yəni cəminin kvadratına sahibik.