Mövzu. törəmə. Törəmənin həndəsi və mexaniki mənası

Əgər bu hədd varsa, o zaman funksiya bir nöqtədə diferensiallana bilir. Funksiyanın törəməsi (formula 2) ilə işarələnir.

1. Törəmənin həndəsi mənası. Gəlin funksiyanın qrafikinə baxaq. 1-ci şəkildən aydın olur ki, funksiyanın qrafikinin istənilən iki A və B nöqtəsi üçün 3-cü düstur yazıla bilər. O, AB sekantının meyl bucağını ehtiva edir.

Beləliklə, fərq nisbəti sekantın yamacına bərabərdir. Əgər A nöqtəsini düzəltsəniz və B nöqtəsini ona doğru hərəkət etdirsəniz, o, məhdudiyyətsiz azalır və 0-a yaxınlaşır və AB sekantı AC-yə yaxınlaşır. Buna görə də fərq nisbətinin həddi A nöqtəsindəki tangensin yamacına bərabərdir. Bu, nəticəyə gətirib çıxarır.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi həmin nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə olan tangensin mailliyidir. Bu nədir həndəsi məna törəmə.

1. Tangens tənliyi . Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyini çıxaraq. Ümumi halda bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi aşağıdakı formada olur: . b-ni tapmaq üçün tangensin A nöqtəsindən keçməsindən istifadə edirik: . Bu belədir: . Bu ifadəni b əvəzinə əvəz edərək, tangens tənliyini əldə edirik (formula 4).

İş növü: 7

Vəziyyət

y=3x+2 düz xətti y=-12x^2+bx-10 funksiyasının qrafikinə tangensdir.

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

Həll

y=-12x^2+bx-10 funksiyasının qrafikində bu qrafa toxunan nöqtənin keçdiyi nöqtənin absisi x_0 olsun. X_0 nöqtəsindəki törəmənin qiyməti tangensin yamacına bərabərdir, yəni y"(x_0)=-24x_0+b=3. Digər tərəfdən, toxunma nöqtəsi eyni vaxtda hər iki qrafa aiddir. funksiyası və tangensi, yəni -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 tənliklər sistemi alırıq

\begin(hallar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(hallar)

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

Cavab verin

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

İxtiyari x_0 nöqtəsində y=-x^2+5x-7 funksiyasının qrafikinə düz xəttin bucaq əmsalı y"(x_0)-a bərabərdir. Amma y"=-2x+5, yəni y" (x_0)=-2x_0+5 Şərtdə göstərilən y=-3x+4 xəttinin bucaq əmsalı -3-ə bərabərdir, ona görə də x_0 qiymətini tapırıq -2x_0 +5=-3.

Alırıq: x_0 = 4.

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi" Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

Şəkildən müəyyən edirik ki, tangens A(-6; 2) və B(-1; 1) nöqtələrindən keçir.

x=-6 və y=1 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini C(-6; 1) ilə, ABC bucağını \alfa ilə işarə edək (şəkildə onun iti olduğunu görə bilərsiniz). Onda AB düz xətti küt olan Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə \pi -\alpha bucağı əmələ gətirir. Məlum olduğu kimi, tg(\pi -\alpha) f(x) funksiyasının x_0 nöqtəsindəki törəməsinin qiyməti olacaqdır. Qeyd edək ki tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Buradan azalma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

y=-2x-4 düz xətti y=16x^2+bx+12 funksiyasının qrafikinə tangensdir.

Tangens nöqtəsinin absissinin sıfırdan böyük olduğunu nəzərə alaraq b tapın. y=16x^2+bx+12 funksiyasının qrafikindəki nöqtənin absisi x_0 olsun.

bu qrafikə tangensdir.

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Buradan azalma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

x_0 nöqtəsindəki törəmənin qiyməti tangensin yamacına bərabərdir, yəni y"(x_0)=32x_0+b=-2. Digər tərəfdən, toxunma nöqtəsi eyni zamanda hər iki qrafa aiddir. funksiyası və tangensi, yəni 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 tənliklər sistemi alırıq

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

\begin(hallar) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(hallar)

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Buradan azalma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

Sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

İxtiyari x_0 nöqtəsində y=x^2-4x+9 funksiyasının qrafikinə toxunan meylinin mailliyi y"(x_0)-a bərabərdir. Lakin y"=2x-4, yəni y"(x_0)= 2x_0-4. Şərtdə göstərilən y =4x-7 tangensinin mailliyi 4-ə bərabərdir. Paralel xətlər eyni bucaq əmsalına malikdir.

Bu sistemi həll edərək, x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir.

Buradan azalma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

İş növü: 7
Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Vəziyyət

Şəkildə y=f(x) funksiyasının qrafiki və x_0 absissası olan nöqtədə ona toxunan təsvir verilmişdir.

Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həllini göstərin

f(x) funksiyasının x_0 nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın.

Şəkildən müəyyən edirik ki, tangens A(1; 1) və B(5; 4) nöqtələrindən keçir.

X=5 və y=1 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini C(5; 1) ilə, BAC bucağını isə \alfa ilə işarə edək (şəkildə onun iti olduğunu görə bilərsiniz). Sonra AB düz xətti Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə \alpha bucağı əmələ gətirir.

Məqalədə təriflərin ətraflı izahı, qrafik qeydlərlə törəmənin həndəsi mənası verilmişdir. Tangens xəttinin tənliyi nümunələrlə nəzərdən keçiriləcək, 2-ci dərəcəli əyrilərə toxunan tənliklər tapılacaqdır.

Tərif 1

y = k x + b düz xəttinin meyl bucağı x oxunun müsbət istiqamətindən müsbət istiqamətdə y = k x + b düz xəttinə qədər ölçülən bucaq α adlanır.

Şəkildə x istiqaməti yaşıl ox və yaşıl qövslə, meyl bucağı isə qırmızı qövslə göstərilir. Mavi xətt düz xəttə aiddir.

Tərif 2

• y = k x + b düz xəttinin mailliyi k ədədi əmsalı adlanır.
• Bucaq əmsalı düz xəttin tangensinə bərabərdir, başqa sözlə k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Düz xəttin meyl bucağı 0-a bərabərdir ki, o, x-ə yaxın paralel, mailliyi isə sıfıra bərabər olsun, çünki sıfırın tangensi 0-a bərabərdir. Bu o deməkdir ki, tənliyin forması y = b olacaqdır.
• y = k x + b düz xəttinin maillik bucağı kəskin olarsa, 0 şərtləri yerinə yetirilir.
• 0 və qrafikdə artım var.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Əgər α = π 2 olarsa, onda xəttin yeri x-ə perpendikulyardır. Bərabərlik c dəyərinin həqiqi ədəd olması ilə x = c ilə müəyyən edilir.

y = k x + b düz xəttinin maillik bucağı kütdürsə, π 2 şərtlərinə uyğundur.

Tərif 3

Düz xəttin bucaq əmsalı maillik bucağının tangensinə bərabər olduqda aydın olur ki, A B C düzbucaqlı üçbucağın tangensini qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti ilə tapmaq olar.

Tərif 4

Formanın sekantını tapmaq üçün bir düstur alırıq:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, burada A və B nöqtələrinin absisləri x A, x B və f (x A), f (x) qiymətləridir. B) bu nöqtələrdəki qiymət funksiyalarıdır.

Aydındır ki, sekantın bucaq əmsalı k = f (x B) - f (x A) x B - x A və ya k = f (x A) - f (x B) x A - x B bərabərliyindən istifadə etməklə müəyyən edilir. , və tənlik y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) kimi yazılmalıdır və ya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant qrafiki vizual olaraq 3 hissəyə bölür: A nöqtəsinin soluna, A-dan B-yə, B-nin sağına. Aşağıdakı şəkildə üç sekant olduğunu göstərir ki, onlar təsadüf hesab olunur, yəni onlar bir işarədən istifadə etməklə təyin olunur. oxşar tənlik.

Tərifə görə, bu vəziyyətdə düz xətt və onun sekantının üst-üstə düşdüyü aydındır.

Sekant verilmiş funksiyanın qrafikini dəfələrlə kəsə bilər. Əgər sekant üçün y = 0 formalı tənlik varsa, onda sinusoidlə kəsişmə nöqtələrinin sayı sonsuzdur.

Tərif 5

x 0 nöqtəsində f (x) funksiyasının qrafikinə tangens; f (x 0) verilmiş x 0 nöqtəsindən keçən düz xəttdir; f (x 0), x 0-a yaxın bir çox x dəyəri olan bir seqmentin olması ilə.

Misal 1

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq. Onda aydın olur ki, y = x + 1 funksiyası ilə təyin olunan xətt (1; 2) koordinatları olan nöqtədə y = 2 x-ə tangens sayılır. Aydınlıq üçün (1; 2) dəyərinə yaxın olan qrafikləri nəzərdən keçirmək lazımdır. y = 2 x funksiyası qara rəngdə göstərilmişdir, mavi xətt toxunan xətt, qırmızı nöqtə isə kəsişmə nöqtəsidir.

Aydındır ki, y = 2 x y = x + 1 xətti ilə birləşir.

Tangensi müəyyən etmək üçün B nöqtəsinin A nöqtəsinə sonsuz yaxınlaşması zamanı A B tangensinin davranışını nəzərə almalıyıq.

Mavi xətt ilə göstərilən A B sekantı tangensin özünün mövqeyinə meyl edir və α sekantasının meyl bucağı tangensin özünün meyl bucağına meyl etməyə başlayacaq α x.

Tərif 6

A nöqtəsində y = f (x) funksiyasının qrafikinə toxunan B sekantasının A B-nin məhdudlaşdırıcı mövqeyi hesab olunur, çünki B A-ya, yəni B → A.

İndi isə funksiyanın nöqtədəki törəməsinin həndəsi mənasını nəzərdən keçirməyə davam edək.

Gəlin f (x) funksiyası üçün A B sekantını nəzərdən keçirək, burada koordinatları x 0, f (x 0) və x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) və ∆ x olan A və B arqumentin artımı kimi qeyd olunur. İndi funksiya ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) formasını alacaq. Aydınlıq üçün bir rəsm nümunəsi verək.

Nəticəni nəzərdən keçirək düz üçbucaq A B C. Həll etmək üçün tangensin tərifindən istifadə edirik, yəni ∆ y ∆ x = t g α münasibətini alırıq. Tangensin tərifindən belə çıxır ki, lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nöqtədə törəmə qaydasına əsasən, x 0 nöqtəsində f (x) törəməsi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, burada ∆ x → 0 olur. , onda biz onu f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x kimi işarə edirik.

Buradan belə nəticə çıxır ki, f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, burada k x tangensin mailliyi kimi qeyd olunur.

Yəni biz tapırıq ki, f ' (x) x 0 nöqtəsində mövcud ola bilər və x 0-a bərabər toxunma nöqtəsində funksiyanın verilmiş qrafikinə toxunan kimi, f 0 (x 0), burada dəyəri nöqtədəki tangensin mailliyi x 0 nöqtəsindəki törəməyə bərabərdir. Sonra əldə edirik ki, k x = f " (x 0) .

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, o, eyni nöqtədə qrafikə toxunan varlıq anlayışını verir.

Müstəvidə hər hansı düz xəttin tənliyini yazmaq üçün onun keçdiyi nöqtə ilə bucaq əmsalı olmalıdır. Onun qeydi kəsişmə nöqtəsində x 0 olaraq qəbul edilir.

x 0, f 0 (x 0) nöqtəsində y = f (x) funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) formasını alır.

Bu o deməkdir ki, f " (x 0) törəməsinin son qiyməti tangensin mövqeyini təyin etmək üçün istifadə edilə bilər, yəni lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ və lim x → şərti ilə şaquli olaraq. x 0 - 0 f " (x ) = ∞ və ya lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) şərti ilə ümumiyyətlə yoxluq.

Tangensin yeri onun bucaq əmsalının k x = f "(x 0) qiymətindən asılıdır. o x oxuna paralel olduqda, k k = 0, təxminən y - k x = ∞ ilə paralel olduqda və formasını alırıq. x = x 0 tangens tənliyi k x > 0 ilə artır, k x kimi azalır< 0 .

Misal 2

Koordinatları (1; 3) olan nöqtədə y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 funksiyasının qrafikinə toxunan üçün tənlik tərtib edin və maillik bucağını təyin edin.

Həll

Şərtə görə, funksiyanın bütün real ədədlər üçün müəyyən edilməsini əldə edirik. Biz tapırıq ki, (1; 3) şərti ilə müəyyən edilmiş koordinatları olan nöqtə toxunma nöqtəsidir, onda x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Dəyəri - 1 olan nöqtədə törəməni tapmaq lazımdır. Bunu anlayırıq

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Tangens nöqtəsində f' (x) nin qiyməti yamacın tangensinə bərabər olan tangensin mailliyidir.

Onda k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Buradan belə nəticə çıxır ki, α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cavab: tangens tənliyi formasını alır

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Aydınlıq üçün qrafik təsvirdə bir nümunə veririk.

Orijinal funksiyanın qrafiki üçün qara rəng istifadə olunur, mavi rəng tangensin şəklidir və qırmızı nöqtə toxunma nöqtəsidir. Sağdakı rəqəm böyüdülmüş görünüşü göstərir.

Misal 3

Verilmiş funksiyanın qrafikinə tangensin mövcudluğunu müəyyən edin
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatları olan nöqtədə (1 ; 1) . Tənlik yazın və meyl bucağını təyin edin.

Həll

Şərtə görə, verilmiş funksiyanın tərif sahəsinin bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu hesab edilməsini əldə edirik.

Gəlin törəmənin tapılmasına keçək

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Əgər x 0 = 1 olarsa, f' (x) qeyri-müəyyəndir, lakin limitlər lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 kimi yazılır. · 1 + 0 = + ∞ və lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, yəni (1; 1) nöqtəsində mövcud şaquli tangens.

Cavab: tənlik x = 1 formasını alacaq, burada meyl bucağı π 2-yə bərabər olacaqdır.

Aydınlıq üçün onu qrafik şəkildə təsvir edək.

Misal 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 funksiyasının qrafikində nöqtələri tapın, burada

1. Tangens yoxdur;
2. Tangens x-ə paraleldir;
3. Tangens y = 8 5 x + 4 xəttinə paraleldir.

Həll

Tərifin əhatə dairəsinə diqqət yetirmək lazımdır. Şərtə görə, funksiyanın bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda müəyyən edilməsini əldə edirik. Modulu genişləndiririk və sistemi x ∈ - ∞ intervalları ilə həll edirik; 2 və [- 2; + ∞) . Bunu anlayırıq

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır. Bizdə bu var

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = - 2 olduqda, törəmə mövcud deyil, çünki o nöqtədə birtərəfli limitlər bərabər deyil:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Biz x = - 2 nöqtəsində funksiyanın qiymətini hesablayırıq, onu alırıq

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yəni nöqtədəki tangens ( - 2; - 2) mövcud olmayacaq.
2. Yamac sıfır olduqda tangens x-ə paraleldir. Onda k x = t g α x = f "(x 0). Yəni funksiyanın törəməsi onu sıfıra çevirdikdə belə x-in qiymətlərini tapmaq lazımdır. Yəni f ' qiymətləri. (x) tangensin x-ə paralel olduğu toxunma nöqtələri olacaqdır.

x ∈ - ∞ olduqda; - 2, onda - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) üçün isə 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 alırıq.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Müvafiq funksiya dəyərlərini hesablayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Beləliklə - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 funksiya qrafikinin tələb olunan nöqtələri hesab olunur.

Gəlin nəzərdən keçirək qrafik şəkil həllər.

Qara xətt funksiyanın qrafikidir, qırmızı nöqtələr toxunma nöqtələridir.

1. Xətlər paralel olduqda bucaq əmsalları bərabər olur. Sonra funksiya qrafikində yamacın 8 5 dəyərinə bərabər olacağı nöqtələri axtarmaq lazımdır. Bunun üçün y "(x) = 8 5 formasının tənliyini həll etməlisiniz. Onda x ∈ - ∞; - 2 olarsa, onu alarıq ki, - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 və x ∈ ( - 2 ; + ∞) olarsa, 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 olar.

Birinci tənliyin kökü yoxdur, çünki diskriminant sıfırdan kiçikdir. Bunu yazaq

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başqa bir tənliyin iki həqiqi kökü var

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Gəlin funksiyanın qiymətlərini tapmağa davam edək. Bunu anlayırıq

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Dəyərləri olan xallar - 1; 4 15, 5; 8 3 tangenslərin y = 8 5 x + 4 xəttinə paralel olduğu nöqtələrdir.

Cavab: qara xətt – funksiyanın qrafiki, qırmızı xətt – y = 8 5 x + 4 qrafiki, mavi xətt – nöqtələrdəki tangenslər - 1; 4 15, 5; 8 3.

Verilmiş funksiyalar üçün sonsuz sayda tangens ola bilər.

Misal 5

y = - 2 x + 1 2 düz xəttinə perpendikulyar olan y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 funksiyasının bütün mövcud tangenslərinin tənliklərini yazın.

Həll

Tangens tənliyini tərtib etmək üçün xətlərin perpendikulyarlıq şərti əsasında toxunan nöqtənin əmsalını və koordinatlarını tapmaq lazımdır. Tərif belədir: düz xətlərə perpendikulyar olan bucaq əmsallarının hasili - 1-ə bərabərdir, yəni k x · k ⊥ = - 1 kimi yazılır. Şərtdən əldə edirik ki, bucaq əmsalı xəttə perpendikulyar yerləşir və k ⊥ = - 2-yə bərabərdir, onda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 olur.

İndi toxunma nöqtələrinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Verilmiş funksiya üçün x və sonra onun dəyərini tapmaq lazımdır. Qeyd edək ki, törəmənin nöqtədəki həndəsi mənasından
x 0 alırıq ki, k x = y "(x 0). Bu bərabərlikdən təmas nöqtələri üçün x-in qiymətlərini tapırıq.

Bunu anlayırıq

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu triqonometrik tənlik tangens nöqtələrinin ordinatlarını hesablamaq üçün istifadə olunacaq.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk və ya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk və ya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk və ya x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z tam ədədlər toplusudur.

x təmas nöqtəsi tapıldı. İndi y dəyərlərini axtarmağa davam etməlisiniz:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 və ya y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 və ya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 və ya y 0 = - 4 5 + 1 3

Buradan alırıq ki, 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 toxunma nöqtələridir.

Cavab: lazımi tənliklər kimi yazılacaq

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizual təsvir üçün koordinat xəttində funksiya və tangensi nəzərdən keçirin.

Şəkildən görünür ki, funksiya [ - 10 ; 10 ], burada qara xətt funksiyanın qrafiki, mavi xətlər y = - 2 x + 1 2 formasının verilmiş xəttinə perpendikulyar yerləşən tangenslərdir. Qırmızı nöqtələr toxunma nöqtələridir.

2-ci dərəcəli əyrilərin kanonik tənlikləri tək qiymətli funksiyalar deyil. Onlar üçün tangens tənlikləri məlum sxemlərə əsasən tərtib edilir.

Bir dairəyə toxunan

Mərkəzi x c e n t e r nöqtəsində olan çevrəni təyin etmək; y c e n t e r və radius R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 düsturunu tətbiq edin.

Bu bərabərlik iki funksiyanın birliyi kimi yazıla bilər:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Şəkildə göstərildiyi kimi birinci funksiya yuxarıda, ikincisi isə aşağıda yerləşir.

x 0 nöqtəsində çevrənin tənliyini tərtib etmək; y 0 , yuxarı və ya aşağı yarımdairədə yerləşir, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r və ya y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formalı funksiyanın qrafikinin tənliyini tapmalısınız. göstərilən nöqtədə y c e n t e r.

x c e n t e r nöqtələrində olduqda; y c e n t e r + R və x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangensləri y = y c e n t e r + R və y = y c e n t e r - R tənlikləri ilə və x c e n t e r + R nöqtələrində verilə bilər; y c e n t e r və
x c e n t e r - R ; y c e n t e r o y ilə paralel olacaq, onda x = x c e n t e r + R və x = x c e n t e r - R formalı tənlikləri alırıq.

Ellipsə toxunan

Ellipsin x c e n t e r nöqtəsində mərkəzi olduqda; a və b yarımoxları olan y c e n t e r, onda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tənliyindən istifadə etməklə dəqiqləşdirmək olar.

Ellips və dairə iki funksiyanı, yəni yuxarı və aşağı yarımellipsi birləşdirərək işarələnə bilər. Sonra bunu anlayırıq

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Əgər tangenslər ellipsin təpələrində yerləşirsə, onda onlar təxminən x və ya təxminən y paraleldirlər. Aşağıda, aydınlıq üçün rəqəmi nəzərdən keçirin.

Misal 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipsə toxunan tənliyi x-in x = 2-yə bərabər olan nöqtələrində yazın.

Həll

x = 2 dəyərinə uyğun gələn toxunan nöqtələri tapmaq lazımdır. Ellipsin mövcud tənliyini əvəz edirik və tapırıq

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 və 2; - 5 3 2 + 5 yuxarı və aşağı yarımellipsə aid toxunan nöqtələrdir.

Gəlin y-ə görə ellipsin tənliyini tapıb həll etməyə keçək. Bunu anlayırıq

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Aydındır ki, yuxarı yarımellips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, aşağı yarım ellips isə y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 formasının funksiyasından istifadə etməklə müəyyən edilir.

Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan üçün tənlik yaratmaq üçün standart alqoritm tətbiq edək. Yazaq ki, 2-ci nöqtədə birinci tangens üçün tənlik; 5 3 2 + 5 kimi görünəcək

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Tapırıq ki, ikinci tangensin tənliyi nöqtədə bir qiymətdir
2 ; - 5 3 2 + 5 şəklini alır

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Qrafik olaraq, tangenslər aşağıdakı kimi təyin olunur:

Hiperbolaya toxunan

Hiperbolanın x c e n t e r nöqtəsində mərkəzi olduqda; y c e n t e r və təpələri x c e n t e r + α ; y c e n t e r və x c e n t e r - α ; y c e n t e r , x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 bərabərsizliyi baş verir, əgər təpələri x c e n t e r ilə olarsa; y c e n t e r + b və x c e n t e r ; y c e n t e r - b , onda x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 bərabərsizliyindən istifadə edilməklə müəyyən edilir.

Hiperbola formanın iki birləşmiş funksiyası kimi təqdim edilə bilər

y = b a · (x - x ch c - x c) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x ch c - x c e n t e r · və ya y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Birinci halda bizdə var ki, tangenslər y-ə, ikincidə isə x-ə paraleldir.

Buradan belə çıxır ki, hiperbolaya toxunan tənlik tənliyini tapmaq üçün toxunma nöqtəsinin hansı funksiyaya aid olduğunu öyrənmək lazımdır. Bunu müəyyən etmək üçün tənliklərə əvəz etmək və şəxsiyyəti yoxlamaq lazımdır.

Misal 7

7-ci nöqtədə x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolanın tangensi üçün tənlik yazın; - 3 3 - 3.

Həll

2 funksiyadan istifadə edərək hiperbolanı tapmaq üçün həll qeydini çevirmək lazımdır. Bunu anlayırıq

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 və y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Onun hansı funksiyaya aid olduğunu müəyyən etmək lazımdır təyin nöqtəsi koordinatları 7 ilə; - 3 3 - 3.

Aydındır ki, birinci funksiyanı yoxlamaq üçün y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 lazımdır, onda nöqtə qrafikə aid deyil, bərabərlik olmadığı üçün.

İkinci funksiya üçün bizdə y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, yəni nöqtə verilmiş qrafikə aiddir. Buradan yamacı tapmalısınız.

Bunu anlayırıq

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cavab: tangens tənliyi kimi təqdim edilə bilər

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Bu aydın şəkildə belə təsvir edilmişdir:

Parabolaya toxunan

x 0, y (x 0) nöqtəsində y = a x 2 + b x + c paraboluna tangens üçün tənlik yaratmaq üçün standart alqoritmdən istifadə etməlisiniz, onda tənlik y = y "(x) formasını alacaq. 0) x - x 0 + y ( x 0) təpəsindəki belə bir tangens x-ə paraleldir.

Siz x = a y 2 + b y + c parabolasını iki funksiyanın birliyi kimi təyin etməlisiniz. Buna görə də y üçün tənliyi həll etməliyik. Bunu anlayırıq

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Qrafik olaraq təsvir edilmişdir:

x 0, y (x 0) nöqtəsinin funksiyaya aid olub-olmadığını öyrənmək üçün standart alqoritmə uyğun olaraq yumşaq hərəkət edin. Belə bir tangens parabolaya nisbətən o y ilə paralel olacaqdır.

Misal 8

Tangens bucağımız 150 ° olduqda x - 2 y 2 - 5 y + 3 qrafikinə toxunan tənliyini yazın.

Həll

Həllinə parabolanı iki funksiya kimi təqdim etməklə başlayırıq. Bunu anlayırıq

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Yamacın qiyməti bu funksiyanın x 0 nöqtəsindəki törəmənin dəyərinə bərabərdir və meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

Biz əldə edirik:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan təmas nöqtələri üçün x dəyərini təyin edirik.

Birinci funksiya kimi yazılacaq

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Aydındır ki, heç bir real kök yoxdur, çünki biz mənfi dəyər alırıq. Belə bir funksiya üçün 150° bucağı olan tangens olmadığı qənaətinə gəlirik.

İkinci funksiya kimi yazılacaq

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Bizdə var ki, əlaqə nöqtələri 23 4; - 5 + 3 4 .

Cavab: tangens tənliyi formasını alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Bunu qrafik olaraq bu şəkildə təsvir edək:

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Törəmə nədir?
Törəmə funksiyanın tərifi və mənası

Bir dəyişənin funksiyasının törəməsi və onun tətbiqi ilə bağlı müəllif kursumda bu məqalənin gözlənilməz yerləşdirilməsi çoxlarını təəccübləndirəcək. Axı, məktəbdən bəri olduğu kimi: standart dərslik ilk növbədə törəmənin tərifini, onun həndəsi, mexaniki mənasını verir. Sonra tələbələr funksiyaların törəmələrini tərifinə görə tapırlar və əslində yalnız bundan sonra diferensiallaşdırma texnikasını mükəmməlləşdirirlər. törəmə cədvəllər.

Amma mənim nöqteyi-nəzərimdən aşağıdakı yanaşma daha praqmatikdir: ilk növbədə, YAXŞI DÜŞÜNMƏK məsləhətdir. funksiyanın limiti və xüsusilə, sonsuz kiçik miqdarlar. Məsələ ondadır ki törəmənin tərifi limit anlayışına əsaslanır, bu da zəif hesab olunur məktəb kursu. Buna görə bilik qranitinin gənc istehlakçılarının əhəmiyyətli bir hissəsi törəmənin mahiyyətini başa düşmür. Beləliklə, əgər diferensial hesablama haqqında az anlayışınız varsa və ya müdrik beyin uzun illər ərzində bu yükdən uğurla qurtulubsa, lütfən, aşağıdakılardan başlayın: funksiya məhdudiyyətləri. Eyni zamanda, onların həllini master/xatırlayın.

Eyni praktik məna ilk növbədə onun faydalı olduğunu diktə edir törəmələri tapmağı öyrənin, o cümlədən mürəkkəb funksiyaların törəmələri. Nəzəriyyə nəzəriyyədir, amma necə deyərlər, həmişə fərqlənmək istəyirsən. Bu baxımdan, sadalanan əsas dərslər üzərində işləmək daha yaxşıdır və bəlkə də fərqləndirmə ustası hərəkətlərinin mahiyyətini belə dərk etmədən.

Məqaləni oxuduqdan sonra bu səhifədəki materiallardan başlamağı məsləhət görürəm. Törəmələrlə ən sadə problemlər, burada xüsusilə funksiyanın qrafikinə toxunan məsələyə baxılır. Amma gözləyə bilərsiniz. Fakt budur ki, törəmənin bir çox tətbiqi onu başa düşməyi tələb etmir və bu təəccüblü deyil nəzəri dərs olduqca gec ortaya çıxdı - izah etmək lazım olanda artan/azalan intervalların və ekstremalların tapılması funksiyaları. Üstəlik, o, uzun müddət bu mövzuda idi. Funksiyalar və qrafiklər”, nəhayət daha əvvəl qoymağa qərar verənə qədər.

Buna görə də, əziz çaydanlar, ac heyvanlar kimi törəmənin mahiyyətini udmağa tələsməyin, çünki doyma dadsız və natamam olacaq.

Funksiyanın artan, azalan, maksimum, minimumu anlayışı

Çox tədris vəsaitləri bəzi praktiki məsələlərdən istifadə edərək törəmə anlayışına gətirib çıxardı və mən də maraqlı bir misal gətirdim. Təsəvvür edin ki, biz müxtəlif yollarla çata biləcəyimiz bir şəhərə səyahət etmək üzrəyik. Gəlin əyri dolama yolları dərhal ataq və yalnız düz magistralları nəzərdən keçirək. Bununla belə, düz xətt istiqamətləri də fərqlidir: şəhərə düz bir magistral yolu ilə gələ bilərsiniz. Və ya dağlıq bir magistral yol boyunca - yuxarı və aşağı, yuxarı və aşağı. Başqa bir yol yalnız yoxuşa çıxır, digəri isə hər zaman enişlə gedir. Ekstremal həvəskarlar sıldırım qayalıq və sıldırım dırmaşan dərədən keçən marşrut seçəcəklər.

Ancaq üstünlükləriniz nə olursa olsun, ərazini bilmək və ya heç olmasa onun yerini tapmaq məsləhətdir topoqrafik xəritə. Bəs belə bir məlumat yoxdursa? Axı, məsələn, hamar bir yol seçə bilərsiniz, lakin nəticədə şən Finlərlə xizək yamacında büdrəyin. Bir naviqatorun və ya hətta peyk şəklinin etibarlı məlumat verəcəyi bir həqiqət deyil. Ona görə də riyaziyyatdan istifadə edərək yolun relyefini rəsmiləşdirmək yaxşı olardı.

Bəzi yola baxaq (yan görünüş):

Hər halda, sizə elementar bir faktı xatırladıram: səyahət baş verir soldan sağa. Sadəlik üçün funksiyanın olduğunu güman edirik davamlı baxılan sahədə.

Bu qrafikin xüsusiyyətləri hansılardır?

Fasilələrlə funksiyası artır, yəni onun hər növbəti dəyəri daha çoxəvvəlki. Təxmini desək, qrafikə uyğundur aşağıdan yuxarıya(təpəyə qalxırıq). Və intervalda funksiya azalır– hər növbəti dəyər azəvvəlki və cədvəlimiz davam edir yuxarıdan aşağı(biz yamacdan enirik).

Xüsusi məqamlara da diqqət yetirək. Gəldiyimiz nöqtədə maksimum, yəni mövcuddur dəyərin ən böyük (ən yüksək) olacağı yolun belə bir hissəsi. Eyni zamanda buna nail olunur minimum, Və mövcuddur onun dəyərinin ən kiçik (ən aşağı) olduğu qonşuluq.

Sinifdə daha sərt terminologiya və təriflərə baxacağıq. funksiyanın ifrat nöqtəsi haqqında, amma indi bir daha öyrənək mühüm xüsusiyyət: fasilələrlə funksiya artır, amma artır müxtəlif sürətlərdə. Və diqqətinizi çəkən ilk şey, qrafikin interval ərzində yüksəlməsidir daha sərin, intervaldan daha çox. Riyazi alətlərdən istifadə edərək yolun sıldırımını ölçmək mümkündürmü?

Funksiyaların dəyişmə sürəti

İdeya budur: gəlin bir az dəyər verək ("delta x" oxuyun), biz zəng edəcəyik arqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində "sınamağa" başlayaq:

1) Ən sol nöqtəyə baxaq: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə (yaşıl xətt) qalxırıq. Kəmiyyət deyilir funksiya artımı, və bu halda bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər fərqi sıfırdan böyükdür). Yolumuzun sıldırımlığının ölçüsü olacaq nisbət yaradaq. Aydındır ki, bu çox spesifik rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğu üçün .

Diqqət! Təyinatlar var BİR simvolu, yəni "deltanı" "X" dən "qoparmaq" və bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiya artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Əvvəlcə 20 metr hündürlükdə olaq (sol qara nöqtədə). Metr məsafəni qət etdikdən sonra (sol qırmızı xətt) özümüzü 60 metr yüksəklikdə tapacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq metr (yaşıl xətt) və: . Beləliklə, hər metrdə yolun bu hissəsi hündürlüyü artır orta hesabla 4 metr...dırmanma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan əlaqə funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd : rəqəmli dəyərlər Baxılan nümunə rəsmin nisbətlərinə yalnız təxminən uyğun gəlir.

2) İndi ən sağdakı qara nöqtədən eyni məsafəyə gedək. Burada artım daha tədricən olur, buna görə artım (qırmızı xətt) nisbətən kiçikdir və əvvəlki vəziyyətlə müqayisədə nisbət çox təvazökar olacaqdır. Nisbətən desək, metr və funksiyanın böyümə sürəti edir . Yəni burada yolun hər metri üçün var orta hesabla yarım metr yüksəliş.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Ordinat oxunda yerləşən yuxarı qara nöqtəyə baxaq. Tutaq ki, bu, 50 metrlik işarədir. Biz yenidən məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət həyata keçirildiyi üçün yuxarıdan aşağı(oxun "əks" istiqamətində), sonra final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq: metr (rəsmdə qəhvəyi seqment). Və bu halda biz artıq danışırıq azalma dərəcəsi Xüsusiyyətlər: , yəni bu hissənin yolunun hər metri üçün hündürlük azalır orta hesabla 2 metr. Beşinci nöqtədə paltarınıza diqqət yetirin.

İndi özümüzdən soruşaq: istifadə etmək üçün ən yaxşı “ölçmə standartı” dəyəri nədir? Tamamilə başa düşüləndir, 10 metr çox kobuddur. Yaxşı bir çox hummocks onlara asanlıqla uyğunlaşa bilər. Çarpmalardan asılı olmayaraq, aşağıda dərin bir dərə ola bilər və bir neçə metrdən sonra daha dik yüksəlişlə onun digər tərəfi var. Beləliklə, on metrlik bir nisbətlə yolun bu cür hissələrinin başa düşülən təsvirini əldə etməyəcəyik.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: necə az dəyər , yolun topoqrafiyasını daha dəqiq təsvir edirik. Bundan əlavə, aşağıdakı faktlar doğrudur:

– Hər kəs üçün qaldırma nöqtələri müəyyən bir yüksəlişin hüdudlarına uyğun gələn dəyəri (çox kiçik olsa belə) seçə bilərsiniz. Bu o deməkdir ki, müvafiq hündürlük artımının müsbət olacağına zəmanət veriləcək və bərabərsizlik bu intervalların hər bir nöqtəsində funksiyanın artımını düzgün göstərəcəkdir.

- Eynilə, hər hansı üçün yamac nöqtəsi bu yamacda tamamilə uyğunlaşacaq bir dəyər var. Nəticə etibarilə, hündürlüyün müvafiq artımı açıq şəkildə mənfi olur və bərabərsizlik verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində funksiyanın azalmasını düzgün göstərəcəkdir.

– Xüsusilə maraqlı bir hal, funksiyanın dəyişmə sürətinin sıfır olmasıdır: . Birincisi, sıfır hündürlük artımı () hamar bir yolun əlamətidir. İkincisi, nümunələri şəkildə gördüyünüz digər maraqlı vəziyyətlər də var. Təsəvvür edin ki, tale bizi qartalların uçduğu bir təpənin lap zirvəsinə və ya qurbağaların cırıldadığı dərənin dibinə gətirdi. Hər hansı bir istiqamətdə kiçik bir addım atsanız, hündürlüyün dəyişməsi əhəmiyyətsiz olacaq və funksiyanın dəyişmə sürətinin əslində sıfır olduğunu söyləyə bilərik. Nöqtələrdə müşahidə olunan mənzərə məhz budur.

Beləliklə, funksiyanın dəyişmə sürətini mükəmməl şəkildə xarakterizə etmək üçün heyrətamiz bir fürsət əldə etdik. Axı, riyazi analiz arqumentin artımını sıfıra yönəltməyə imkan verir: , yəni onu etmək. sonsuz kiçik.

Nəticədə başqa bir məntiqi sual yaranır: yol və onun qrafiki üçün tapmaq mümkündürmü? başqa funksiya, hansı bizə xəbər verərdi bütün düz hissələr, yoxuşlar, enişlər, zirvələr, dərələr, eləcə də yol boyu hər nöqtədə artım/azalma sürəti haqqında?

Törəmə nədir? Törəmənin tərifi.
Törəmə və diferensialın həndəsi mənası

Zəhmət olmasa diqqətlə oxuyun və çox tez deyil - material sadədir və hər kəs üçün əlçatandır! Bəzi yerlərdə bir şey çox aydın görünmürsə, hər zaman məqaləyə daha sonra qayıda bilərsiniz. Daha çox deyəcəyəm, bütün məqamları hərtərəfli başa düşmək üçün nəzəriyyəni bir neçə dəfə öyrənmək faydalıdır (məsləhət, xüsusən də “texniki” tələbələr üçün aktualdır. ali riyaziyyat tədris prosesində mühüm rol oynayır).

Təbii ki, bir nöqtədə törəmənin tərifində onu aşağıdakılarla əvəz edirik:

Nəyə gəldik? Və biz belə nəticəyə gəldik ki, qanuna uyğun olaraq funksiyası üçün uyğun olaraq qoyulur digər funksiya, adlanır törəmə funksiyası(və ya sadəcə törəmə).

Törəmə səciyyələndirir dəyişmə dərəcəsi funksiyaları Necə? İdeya məqalənin əvvəlindən qırmızı ip kimi axır. Bir məqamı nəzərdən keçirək tərif sahəsi funksiyaları Verilmiş nöqtədə funksiya diferensiallaşsın. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya nöqtəsində artır. Və açıq-aydın var interval(hətta çox kiçik), funksiyanın böyüdüyü nöqtəni ehtiva edir və onun qrafiki "aşağıdan yuxarıya" gedir.

2) Əgər , onda funksiya nöqtəsində azalır. Və funksiyanın azaldığı bir nöqtəni ehtiva edən bir interval var (qrafik "yuxarıdan aşağıya" gedir).

3) Əgər , onda sonsuz yaxın bir nöqtəyə yaxın funksiya öz sürətini sabit saxlayır. Bu, qeyd edildiyi kimi, sabit bir funksiya ilə baş verir və funksiyanın kritik nöqtələrində, xüsusilə minimum və maksimum nöqtələrdə.

Bir az semantika. “Fərqlənmək” feli geniş mənada nə deməkdir? Fərqləndirmək bir xüsusiyyəti vurğulamaq deməkdir. Funksiyanı diferensiallaşdırmaqla biz onun dəyişmə sürətini funksiyanın törəməsi şəklində “təcrid edirik”. Yeri gəlmişkən, “törəmə” sözü ilə nə nəzərdə tutulur? Funksiya baş verdi funksiyasından.

Terminlər törəmənin mexaniki mənası ilə çox uğurla şərh olunur :
Zamandan asılı olaraq cismin koordinatlarının dəyişmə qanununu və verilmiş cismin hərəkət sürətinin funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiya cisim koordinatının dəyişmə sürətini xarakterizə edir, ona görə də funksiyanın zamana görə birinci törəməsidir: . Təbiətdə “bədən hərəkəti” anlayışı olmasaydı, olmazdı törəmə"bədən sürəti" anlayışı.

Bədənin sürətlənməsi sürətin dəyişmə sürətidir, buna görə də: . Təbiətdə “bədənin hərəkəti” və “bədən sürəti” ilkin anlayışları olmasaydı, o zaman mövcud olmazdı törəmə"bədən sürətlənməsi" anlayışı.

Törəmənin həndəsi qiymətini tapmaq üçün y = f(x) funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirək. Koordinatları (x, y) olan ixtiyari M nöqtəsini və ona yaxın N nöqtəsini (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) götürək. $\overline(M_(1) M)$ və $\overline(N_(1) N)$ ordinatlarını, M nöqtəsindən isə OX oxuna paralel düz xətti çəkək.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ nisbəti OX oxunun müsbət istiqaməti ilə MN sekantının yaratdığı $\alpha $1 bucağının tangensidir. $\Delta $x sıfıra meyl etdiyi üçün N nöqtəsi M-yə yaxınlaşacaq və MN sekantasının məhdudlaşdırıcı mövqeyi M nöqtəsində əyriyə toxunan MT olacaq. Beləliklə, f`(x) törəməsi tangensə bərabərdir. OX oxuna müsbət istiqamətdə olan M (x, y) nöqtəsində əyri tangensin yaratdığı $\alpha $ bucağının - tangensin mailliyi (şək. 1).

Şəkil 1. Funksiya qrafiki

Düsturlardan (1) istifadə edərək dəyərləri hesablayarkən işarələrdə səhv etməmək vacibdir, çünki artım mənfi də ola bilər.

Əyri üzərində yerləşən N nöqtəsi istənilən tərəfdən M-ə meyl edə bilər. Beləliklə, Şəkil 1-də tangensə əks istiqamət verilirsə, $\alpha $ bucağı $\pi $ miqdarı ilə dəyişəcək, bu da bucağın tangensinə və müvafiq olaraq bucaq əmsalına əhəmiyyətli dərəcədə təsir edəcəkdir.

Nəticə

Buradan belə nəticə çıxır ki, törəmənin mövcudluğu y = f(x) əyrisinə toxunanlığın mövcudluğu ilə bağlıdır və bucaq əmsalı - tg $\alpha $ = f`(x) sonludur. Buna görə də tangens OY oxuna paralel olmamalıdır, əks halda $\alpha $ = $\pi $/2 və bucağın tangensi sonsuz olacaqdır.

Bəzi nöqtələrdə davamlı əyrinin tangensi olmaya bilər və ya OY oxuna paralel bir tangens ola bilər (şək. 2). Onda funksiyanın bu qiymətlərdə törəməsi ola bilməz. Funksiya əyrisində istənilən sayda oxşar nöqtələr ola bilər.

Şəkil 2. Əyrinin müstəsna nöqtələri

Şəkil 2-i nəzərdən keçirək. Qoy $\Delta $x mənfi və ya müsbət qiymətlərdən sıfıra meyllidir:

\[\Delta x\to -0\begin(massiv)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(massiv)\]

Bu halda (1) münasibətlərinin son həddi varsa, o, aşağıdakı kimi işarələnir:

Birinci halda törəmə solda, ikincidə törəmə sağdadır.

Limitin mövcudluğu sol və sağ törəmələrin ekvivalentliyini və bərabərliyini göstərir:

Əgər sol və sağ törəmələr qeyri-bərabərdirsə, onda verilmiş nöqtədə OY-yə paralel olmayan tangenslər var (M1 nöqtəsi, şək. 2). M2, M3 nöqtələrində münasibətlər (1) sonsuzluğa meyllidir.

M2-nin solunda yerləşən N nöqtələri üçün $\Delta $x $

$M_2$-ın sağında, $\Delta $x $>$ 0, lakin ifadə də f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Soldakı $M_3$ nöqtəsi üçün $\Delta $x $$ 0 və f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, yəni. həm solda, həm də sağda olan ifadələr (1) müsbətdir və $\Delta $x -0 və +0 yaxınlaşdıqca +$\infty $-a meyllidir.

Xəttin xüsusi nöqtələrində törəmənin olmaması halı (x = c) Şəkil 3-də təqdim olunur.

Şəkil 3. Törəmə yoxdur

Misal 1

Şəkil 4-də funksiyanın qrafiki və $x_0$ absissa nöqtəsində qrafikə toxunan təsvir göstərilir. Absisdə funksiyanın törəməsinin qiymətini tapın.

Həll. Nöqtədəki törəmə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinə bərabərdir. Tam koordinatları olan tangens üzərində iki nöqtə seçək. Məsələn, bunlar F (-3.2) və C (-2.4) nöqtələri olsun.