“Fiziki kəmiyyətlərin ölçü vahidləri” - Mütləq xəta ölçmə cihazının bölmə dəyərinin yarısına bərabərdir. Mikrometr. Nəticə birbaşa ölçmə cihazından istifadə etməklə əldə edilir. Qutunun uzunluğu: defisitlə 4 sm, artıqlığı ilə 5 sm. Hər biri üçün fiziki kəmiyyət müvafiq ölçü vahidləri var. Bax. Nisbi səhv.
“Uzunluğun qiymətləri” - 2. Hansı kəmiyyətləri bir-biri ilə müqayisə etmək olar: 2. Aşağıdakı məsələnin nə üçün toplamadan istifadə olunduğunu izah edin: 2. Məsələni həll edərkən hərəkət seçimini əsaslandırın. Neçə paket aldınız? Bu qutuların üçündə neçə qələm var? Paltarlar 12 m parçadan tikilib, hər biri üçün 4 m istifadə olunub.
"Fiziki kəmiyyətlər" - Fizikanı və başqalarını ayıran sərhədlər təbiət elmləri, tarixən şərti. İstənilən ölçmənin nəticəsi həmişə müəyyən xəta ehtiva edir. Yeni mövzu. Sürət. Bədənlərin qarşılıqlı əlaqəsi. Fiziki qanunlar riyaziyyat dili ilə ifadə olunan kəmiyyət əlaqələri şəklində təqdim olunur. Ölçmə xətası.
“Kəmiyyətin ölçülməsi nəticəsində say” - 1-ci sinifdə “Kəmiyyətin ölçülməsi nəticəsində say” riyaziyyat dərsi. Ölçü çubuğundan istifadə edərək bir seqmentin uzunluğunu ölçmək.
“Radlar və kəmiyyətlər” - Kütlə anlayışına giriş. Ölçmə olmadan kütlələrin müqayisəsi. Roma yazılı nömrələmə. Tutum. Şagird öyrənəcək: Ədədlər və kəmiyyətlər (30 saat) Koordinat şüası Koordinat şüası anlayışı. 2-ci sinifdə “Ədədlər və kəmiyyətlər” bölməsi üzrə planlaşdırılmış fənn nəticələri. Ümumi prinsip tədqiq olunan ədədlər hüdudlarında kardinal rəqəmlərin formalaşması.
“Tələbin məbləği” - Tələbin dəyişməsinin səbəbləri. Qrafikdə əldə edilən DD əyrisi (ingiliscə tələbdən - “tələb”) tələb əyrisi adlanır. Elastik tələb (Epd>1). Tələbin miqdarı. Tələbə təsir edən amillər. Tələb kəmiyyətinin qiymət səviyyəsindən asılılığına tələb miqyası deyilir. Mütləq qeyri-elastik tələb (Epd=0).
Riyazi gözlənti. Riyazi gözlənti diskret təsadüfi dəyişən X, sonlu sayda dəyərlər alaraq Xi ehtimallarla ri, məbləğ deyilir:
Riyazi gözlənti davamlı təsadüfi dəyişən X onun qiymətlərinin hasilinin inteqralı adlanır X ehtimalın paylanması sıxlığı üzrə f(x):
(6b)
Yanlış inteqral (6 b) mütləq konvergent olduğu qəbul edilir (əks halda riyazi gözləntilərin M(X) mövcud deyil). Riyazi gözlənti səciyyələndirir orta dəyər təsadüfi dəyişən X. Onun ölçüsü təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə üst-üstə düşür.
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
Dispersiya. Fərqlilik təsadüfi dəyişən X nömrə deyilir:
Fərqlilikdir səpilmə xüsusiyyəti təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri X onun orta dəyərinə nisbətən M(X). Dispersiya ölçüsü təsadüfi dəyişənin kvadratına bərabərdir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün dispersiya (8) və riyazi gözlənti (5) və fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün (6) təriflərinə əsaslanaraq, dispersiya üçün oxşar ifadələr əldə edirik:
(9)
Budur m = M(X).
Dispersiya xüsusiyyətləri:
Standart sapma:
(11)
Standart kənarlaşma təsadüfi dəyişənlə eyni ölçüyə malik olduğundan, dispersiyadan daha çox dispersiya ölçüsü kimi istifadə olunur.
Paylanma anları. Riyazi gözlənti və dispersiya anlayışları daha çoxunun xüsusi hallarıdır ümumi anlayışədədi xüsusiyyətlər üçün təsadüfi dəyişənlər – paylanma anları. Təsadüfi kəmənin paylanma anları təsadüfi dəyişənin bəzi sadə funksiyalarının riyazi gözləntiləri kimi təqdim olunur. Beləliklə, sifariş anı k nöqtəyə nisbətən X 0 riyazi gözlənti adlanır M(X–X 0 )k. Mənşəyi haqqında anlar X= 0 deyilir ilkin anlar və təyin edilir:
(12)
Birinci sıranın ilkin anı nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının mərkəzidir:
(13)
Dağıtım mərkəzi haqqında anlar X= m adlanırlar mərkəzi nöqtələr və təyin edilir:
(14)
(7)-dən belə çıxır ki, birinci dərəcəli mərkəzi moment həmişə sıfıra bərabərdir:
Mərkəzi anlar təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin mənşəyindən asılı deyildir, çünki sabit bir dəyərlə dəyişdikdə İLƏ onun paylama mərkəzi eyni dəyərlə dəyişir İLƏ, və mərkəzdən sapma dəyişmir: X – m = (X – İLƏ) – (m – İLƏ).
İndi məlum olur ki dispersiya- Bu ikinci dərəcəli mərkəzi an:
Asimmetriya. Üçüncü dərəcəli mərkəzi an:
(17)
qiymətləndirməyə xidmət edir paylanma asimmetriyaları. Əgər paylanma nöqtəyə görə simmetrik olarsa X= m, onda üçüncü sıranın mərkəzi anı sıfıra bərabər olacaq (tək sifarişlərin bütün mərkəzi anları kimi). Buna görə də, əgər üçüncü dərəcəli mərkəzi moment sıfırdan fərqlidirsə, onda paylanma simmetrik ola bilməz. Asimmetriyanın böyüklüyü ölçüsüz istifadə edərək qiymətləndirilir asimmetriya əmsalı:
(18)
Asimmetriya əmsalının işarəsi (18) sağ və ya sol tərəfli asimmetriyanı göstərir (şək. 2).
düyü. 2. Paylanma asimmetriyasının növləri.
Həddindən artıq. Dördüncü dərəcəli mərkəzi an:
(19)
deyilənləri qiymətləndirməyə xidmət edir artıq, bu əyriyə münasibətdə paylanmanın mərkəzinə yaxın paylanma əyrisinin sıldırımlıq (ucluluq) dərəcəsini təyin edir. normal paylanma. Normal paylama üçün kurtoz kimi qəbul edilən dəyər:
(20)
Şəkildə. Şəkil 3-də müxtəlif kurtoz dəyərlərinə malik paylanma əyrilərinin nümunələri göstərilir. Normal paylama üçün E= 0. Normaldan daha çox zirvəsi olan əyrilər müsbət, üstü düz olanlar isə mənfi kurtoza malikdir.
düyü. 3. Müxtəlif dərəcədə sıldırım (kurtoz) ilə paylanma əyriləri.
Riyazi statistikanın mühəndislik tətbiqlərində daha yüksək dərəcəli məqamlar adətən istifadə edilmir.
Moda
diskret təsadüfi dəyişən onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. Moda davamlı təsadüfi dəyişən onun ehtimal sıxlığının maksimum olduğu qiymətidir (şək. 2). Əgər paylanma əyrisi bir maksimuma malikdirsə, onda paylama çağırılır unimodal. Əgər paylanma əyrisi birdən çox maksimuma malikdirsə, onda paylanma deyilir multimodal. Bəzən elə paylamalar olur ki, onların əyriləri maksimumdan çox minimuma malikdir. Belə paylamalar deyilir antimodal. Ümumi halda təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntiləri üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, üçün modal, yəni. rejimi, simmetrik paylanması olan və riyazi gözlənti olması şərtilə, sonuncu paylanmanın rejimi və simmetriya mərkəzi ilə üst-üstə düşür.
Median təsadüfi dəyişən X- bu onun mənasıdır Meh, bunun üçün bərabərlik təmin edilir: yəni. təsadüfi dəyişənin olması eyni dərəcədə ehtimal olunur X az və ya çox olacaq Meh. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi altında olan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir (şəkil 2). Simmetrik modal paylanma vəziyyətində median, rejim və riyazi gözlənti eynidir.
Bir çox praktiki məsələlərin həlli zamanı təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə etmək, yəni paylanma qanunlarını müəyyən etmək həmişə lazım deyil. Bundan əlavə, diskret təsadüfi kəmiyyət üçün funksiya və ya bir sıra paylanmalar və fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün sıxlıq qurmaq çətin və lazımsızdır.
Bəzən paylanma xüsusiyyətlərini qismən xarakterizə edən fərdi ədədi parametrləri göstərmək kifayətdir. Mümkün dəyərinin qruplaşdırıldığı hər bir təsadüfi dəyişənin bəzi orta qiymətini və ya orta qiymətə nisbətən bu dəyərlərin səpilmə dərəcəsini və s.
Paylanmanın ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərinin xüsusiyyətlərinə ədədi xüsusiyyətlər deyilir təsadüfi dəyişən. Onların köməyi ilə bir çox ehtimal problemlərini onlar üçün paylanma qanunlarını müəyyən etmədən həll etmək daha asandır.
Təsadüfi dəyişənin say oxundakı mövqeyinin ən vacib xarakteristikasıdır riyazi gözlənti M[X]= a, bəzən təsadüfi dəyişənin ortası adlanır. üçün ilə diskret təsadüfi dəyişən X mümkün dəyərlər x 1 , x 2 , … , x n və ehtimallar səh 1 , səh 2 ,… , p n düsturla müəyyən edilir
=1 olduğunu nəzərə alsaq, yaza bilərik
Beləliklə, riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən onun mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.Çox sayda təcrübə ilə təsadüfi bir dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası onun riyazi gözləntisinə yaxınlaşır.
üçün davamlı təsadüfi dəyişən X riyazi gözlənti cəmi ilə deyil, müəyyən edilir inteqral
Harada f(x) - kəmiyyət paylama sıxlığı X.
Riyazi gözlənti bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcud deyil. Onların bəziləri üçün cəmi və ya inteqral fərqlənir və buna görə də riyazi gözlənti yoxdur. Bu hallarda, dəqiqlik səbəbi ilə təsadüfi dəyişəndə mümkün dəyişikliklərin diapazonu məhdudlaşdırılmalıdır X, bunun üçün cəmi və ya inteqral yaxınlaşacaq.
Təcrübədə təsadüfi dəyişənin mövqeyinin rejim və median kimi xüsusiyyətlərindən də istifadə olunur.
Təsadüfi dəyişən rejimionun ən çox ehtimal olunan dəyəri deyilir.Ümumiyyətlə, rejim və riyazi gözlənti üst-üstə düşmür.
Təsadüfi dəyişənin medianıX təsadüfi dəyişənin daha böyük və ya daha kiçik qiymətinin alınacağı ehtimalının bərabər olduğu nisbi dəyəridir., yəni bu paylama əyrisi ilə məhdudlaşan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir. Simmetrik paylama üçün hər üç xüsusiyyət eynidir.
Ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözləntidən, rejimdən və mediandan başqa, hər biri paylanmanın spesifik xassəsini təsvir edən digər xüsusiyyətlərdən də istifadə olunur. Məsələn, təsadüfi dəyişənin dispersiyasını xarakterizə edən, yəni onun mümkün dəyərlərinin riyazi gözlənti ətrafında nə qədər sıx qruplaşdırıldığını göstərən ədədi xüsusiyyətlər dispersiya və standart sapmadır. Onlar təsadüfi dəyişəni əhəmiyyətli dərəcədə tamamlayırlar, çünki praktikada tez-tez bərabər riyazi gözləntilərə malik, lakin müxtəlif paylanmalara malik təsadüfi dəyişənlər olur. Dispersiya xüsusiyyətlərini təyin edərkən təsadüfi dəyişən arasındakı fərqdən istifadə edin X və onun riyazi gözləntisi, yəni.
Harada A = M[X] - riyazi gözlənti.
Bu fərq deyilir mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən, uyğun dəyər X, və təyin edilir :
Təsadüfi dəyişənin variasiyası dəyərin onun riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir, yəni:
D[ X]=M[( X-a) 2 ], və ya
D[ X]=M[ 2 ].
Təsadüfi dəyişənin dispersiyası, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin onun riyazi gözləntisi ətrafında yayılmasının və səpilməsinin əlverişli xarakteristikasıdır. Bununla belə, aydın deyil, çünki təsadüfi dəyişənin kvadratının ölçüsünə malikdir.
Dispersiyanı vizual olaraq xarakterizə etmək üçün ölçüsü təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə üst-üstə düşən dəyərdən istifadə etmək daha rahatdır. Bu miqdar standart sapma onun dispersiyasının müsbət kvadrat kökü olan təsadüfi dəyişən.
Gözləmə, rejim, median, dispersiya, standart kənarlaşma - təsadüfi dəyişənlərin ən çox istifadə olunan ədədi xüsusiyyətləri. Praktiki məsələləri həll edərkən, paylanma qanununu müəyyən etmək mümkün olmadıqda, təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri paylanmanın bəzi xassələrini ifadə edən ədədi xüsusiyyətləridir.
Mərkəzin (riyazi gözlənti) və dispersiyanın (dispersiya) paylanmasının əsas xüsusiyyətlərinə əlavə olaraq, tez-tez paylanmanın digər vacib xüsusiyyətlərini təsvir etmək lazımdır - simmetriya Və dikbaşlıq, paylanma anlarından istifadə etməklə təmsil oluna bilən.
Təsadüfi dəyişənin paylanması onun bütün momentləri məlum olduqda tam dəqiqləşdirilir. Bununla belə, bir çox paylamalar yalnız paylanmaları təsvir edən parametrlər deyil, həm də empirik paylanmaların seçilməsində, yəni verilmiş bir an üçün anların ədədi dəyərlərini hesablamaqla vacib olan ilk dörd momentdən istifadə etməklə tamamilə təsvir edilə bilər. statistik seriyalar və xüsusi qrafiklərdən istifadə edərək paylanma qanununu təyin edə bilərsiniz.
Ehtimal nəzəriyyəsində iki növ momentlər fərqləndirilir: başlanğıc və mərkəzi.
K-ci sıranın ilkin anı təsadüfi dəyişən T kəmiyyətin riyazi gözləntisi adlanır Xk, yəni.
Nəticə etibarilə, diskret təsadüfi dəyişən üçün o, cəmi ilə ifadə edilir
və davamlı üçün - inteqralla
Təsadüfi dəyişənin ilkin anları arasında xüsusi məna riyazi gözlənti olan birinci dərəcəli momentə malikdir. Daha yüksək səviyyəli ilkin momentlər ilk növbədə mərkəzi anları hesablamaq üçün istifadə olunur.
K-ci sıranın mərkəzi anı təsadüfi dəyişən dəyərin riyazi gözləntisidir ( X - M [X])k
Harada A = M[X].
Diskret təsadüfi dəyişən üçün o, cəmi ilə ifadə edilir
A davamlı üçün - inteqral ilə
Təsadüfi dəyişənin mərkəzi anları arasında xüsusi əhəmiyyət kəsb edir ikinci dərəcəli mərkəzi an, təsadüfi dəyişənin dispersiyasını təmsil edir.
Birinci dərəcəli mərkəzi moment həmişə sıfırdır.
Üçüncü başlanğıc anı paylanmanın asimmetriyasını (əyriliyini) xarakterizə edir və diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün müşahidələrin nəticələrinə əsasən müvafiq ifadələrlə müəyyən edilir:
Təsadüfi dəyişənin kub ölçüsünə malik olduğundan, ölçüsüz bir xarakteristikası əldə etmək üçün, m 3üçüncü dərəcəyə standart kənarlaşma ilə bölünür
Alınan dəyər asimmetriya əmsalı adlanır və işarədən asılı olaraq müsbəti xarakterizə edir ( kimi> 0) və ya mənfi ( kimi< 0) paylanmanın əyriliyi (şək. 2.3).
71, Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikaları etibarlılıq göstəricilərinin hesablanması üçün praktikada geniş istifadə olunur. Bir çox praktiki məsələlərdə təsadüfi dəyişəni tam, hərtərəfli xarakterizə etməyə ehtiyac yoxdur. Çox vaxt təsadüfi dəyişənin paylanmasının vacib xüsusiyyətlərini müəyyən dərəcədə xarakterizə edən yalnız ədədi parametrləri göstərmək kifayətdir, məsələn: orta dəyər , ətrafında təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri qruplaşdırılır; təsadüfi dəyişənin səpilməsini xarakterizə edən ədəd orta qiymətə nisbətdə və s. Təsadüfi kəmənin ən mühüm əlamətlərini sıxılmış formada ifadə etməyə imkan verən ədədi parametrlər təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikaları adlanır.
A) b)
düyü. 11 Riyazi gözləntinin tərifi
Etibarlılıq nəzəriyyəsində istifadə olunan təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikaları Cədvəldə verilmişdir. 1.
72, Riyazi gözlənti Mümkün dəyərləri intervala aid olan davamlı təsadüfi dəyişənin (orta dəyəri). 
, təmsil edir müəyyən inteqral(Şəkil, 11, b)
. (26)
Riyazi gözlənti inteqral funksiyanın tamamlanması ilə ifadə edilə bilər. Bunun üçün (11)-i (26) yerinə qoyuruq və yaranan ifadəni hissələrlə birləşdiririk.
, (27)
çünki 
Və 
, Bu
. (28)
Mümkün dəyərləri intervala aid olan qeyri-mənfi təsadüfi dəyişənlər üçün , düstur (28) formasını alır
. (29)
yəni mümkün dəyərləri intervala aid olan qeyri-mənfi təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi , ədədi olaraq inteqral funksiyanın tamamlayıcısının qrafikinin altındakı sahəyə bərabərdir (şək., 11, A).
73, Statistik məlumatlara görə ilk uğursuzluğa qədər orta vaxt düsturla müəyyən edilir
, (30)
ilk uğursuzluğun vaxtı haradadır i-ci obyekt; N- sınaqdan keçirilmiş obyektlərin sayı.
Orta resurs, orta xidmət müddəti, orta bərpa müddəti və orta raf ömrü eyni şəkildə müəyyən edilir.
74, Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ətrafında dispersiyası istifadə edərək qiymətləndirilir standart sapma variasiyası(RMS) və variasiya əmsalı.
Davamlı X təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisindən kvadratik kənarlaşmasının riyazi gözləntisidir və düsturla hesablanır.
. (31)
Dispersiya kvadrat təsadüfi kəmiyyət ölçüsünə malikdir, bu həmişə əlverişli deyil.
75, Standart kənarlaşma təsadüfi dəyişəndir kvadrat kök dispersiyadan və təsadüfi dəyişən ölçüsünə malikdir
. (32)
76, Dəyişmə əmsalı təsadüfi dəyişənin dispersiyasının nisbi göstəricisidir və standart kənarlaşmanın nisbəti kimi müəyyən edilir. riyazi gözlənti
. (33)
77, Qamma - təsadüfi dəyişənin faiz qiyməti- verilmiş ehtimala uyğun gələn təsadüfi dəyişənin qiyməti 
təsadüfi dəyişənin -dən böyük dəyər alacağını,
. (34)
78. Qamma - təsadüfi kəmiyyətin faiz qiymətini inteqral funksiyası, tamamlayıcısı və diferensial funksiyası ilə təyin etmək olar (şək. 12). Təsadüfi dəyişənin qamma faiz dəyəri ehtimalın kvantilidir (şək. 12, A)
. (35)
Etibarlılıq nəzəriyyəsi istifadə edir resursun qamma faiz dəyəri, xidmət müddəti və raf ömrü(Cədvəl 1). Qamma faizi resurs, xidmət müddəti, saxlama müddəti, müəyyən tipli obyektlərin faizi olan (və ondan artıq).
A) b)
Şəkil 12 Təsadüfi dəyişənin qamma faiz qiymətinin təyini
Qamma faiz resursu xarakterizə edir davamlılıq seçilmiş səviyyədə 
məhv edilməməsi ehtimalı. Qamma faiz resursu obyektlərin məsuliyyəti nəzərə alınmaqla təyin edilir. Məsələn, yuvarlanan rulmanlar üçün ən çox kritik obyektlərin rulmanları üçün 90 faiz xidmət müddəti istifadə olunur, 95 faiz və daha yüksək xidmət müddəti seçilir, nasazlıq insan həyatı üçün təhlükəlidirsə, onu 100 faizə yaxınlaşdırır; .
79, Təsadüfi dəyişənin medianı onun qamma faiz dəyəridir 
. Median üçün 
təsadüfi dəyişənin olması da eyni dərəcədə mümkündür T ondan çox və ya az, yəni.
Həndəsi olaraq median inteqral paylanma funksiyasının və onun tamamlayıcısının kəsişmə nöqtəsinin absisidir (şək. 12, b). Medianı diferensial funksiyanın ordinatının paylanma əyrisi ilə məhdudlaşan sahəni ikiyə böldüyü nöqtənin absisi kimi şərh etmək olar (şək. 12, V).
Təsadüfi dəyişənin medianı etibarlılıq nəzəriyyəsində resursun, xidmət müddətinin və saxlama müddətinin ədədi xarakteristikası kimi istifadə olunur (Cədvəl 1).
Obyektlərin etibarlılıq göstəriciləri arasında funksional əlaqə mövcuddur. Funksiyalardan biri haqqında bilik 
digər etibarlılıq göstəricilərini müəyyən etməyə imkan verir. Etibarlılıq göstəriciləri arasındakı əlaqənin xülasəsi Cədvəldə verilmişdir. 2.
Cədvəl 2. Etibarlılıq göstəriciləri arasında funksional əlaqə