DSW-nin xüsusiyyətləri və onların xüsusiyyətləri. Gözlənilən dəyər, dispersiya, standart kənarlaşma
Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tam xarakterizə edir. Lakin paylanma qanununu tapmaq mümkün olmadıqda və ya bu tələb edilmədikdə, təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikaları adlanan dəyərləri tapmaqla məhdudlaşa bilərsiniz. Bu kəmiyyətlər təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin qruplaşdırıldığı bəzi orta dəyəri və bu orta dəyər ətrafında onların dağılma dərəcəsini müəyyənləşdirir.
riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və onların ehtimallarının cəmidir.
Riyazi gözlənti, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq yaxınlaşdıqda mövcuddur.
Ehtimal nöqteyi-nəzərindən deyə bilərik ki, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir.
Misal. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu məlumdur. Riyazi gözləntiləri tapın.
| X | ||||
| səh | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Həll:
9.2 Gözlənilən xüsusiyyətlər
1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir.
2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər.
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün etibarlıdır.
4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün də doğrudur.
n müstəqil sınaq aparılsın, A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p-ə bərabərdir.
Teorem. n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir.
Misal. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, təsadüfi dəyişən Z-nin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Həll:
9.3 Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası
Lakin riyazi gözlənti təsadüfi prosesi tam xarakterizə edə bilməz. Riyazi gözləntiyə əlavə olaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin riyazi gözləntidən sapmasını xarakterizə edən bir dəyər təqdim etmək lazımdır.
Bu sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqə bərabərdir. Bu halda, kənarlaşmanın riyazi gözləntiləri sıfırdır. Bu, bəzi mümkün kənarlaşmaların müsbət, digərlərinin mənfi olması və onların qarşılıqlı ləğvi nəticəsində sıfırın əldə edilməsi ilə izah olunur.
Dağılma (səpilmə) Diskret təsadüfi kəmiyyət təsadüfi kəmənin riyazi gözləntisindən kvadrat kənarlaşmasının riyazi gözləntisi adlanır.
Praktikada dispersiyanı hesablamaq üçün bu üsul əlverişsizdir, çünki təsadüfi dəyişənin çoxlu sayda dəyəri üçün çətin hesablamalara səbəb olur.
Buna görə də başqa üsuldan istifadə olunur.
Teorem. Dispersiya X təsadüfi kəmiyyətinin kvadratının riyazi gözləntisi ilə onun riyazi gözləntisinin kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir..
Sübut. M (X) riyazi gözləntinin və M 2 (X) riyazi gözləntinin kvadratının sabit qiymətlər olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
Misal. Paylanma qanunu ilə verilən diskret təsadüfi kəmənin dispersiyasını tapın.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Həll: .
9.4 Dispersiya xassələri
1. Sabit qiymətin dispersiyası sıfırdır. .
2. Sabit əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. .
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .
4. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin fərqinin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .
Teorem. Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı p sabit olan n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının dəyişməsi sınaqların sayı ilə baş vermə və baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir. hər sınaqda hadisə.
9.5 Diskret təsadüfi kəmiyyətin standart kənarlaşması
Standart sapma təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır.
Teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin orta kvadrat sapması kvadrat kök bu kəmiyyətlərin standart kənarlaşmalarının kvadratlarının cəmindən.
Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tam xarakterizə edir. Bununla belə, paylama qanunu çox vaxt məlum deyil və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalıdır. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir, belə nömrələr deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Riyazi gözləmə mühüm ədədi xüsusiyyətlərdən biridir.
Riyazi gözlənti, aşağıda göstərildiyi kimi, təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə təxminən bərabərdir. Bir çox məsələləri həll etmək üçün riyazi gözləntiləri bilmək kifayətdir. Məsələn, birinci atıcının topladığı xalların sayının riyazi gözləntisinin ikincininkindən çox olduğu məlumdursa, o zaman birinci atıcı orta hesabla ikincidən daha çox xal çıxarır və buna görə də atıcıdan daha yaxşı vurur. ikinci.
Tərif 4.1: riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişənə onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmi deyilir.
Təsadüfi dəyişən olsun X yalnız dəyərləri qəbul edə bilər x 1, x 2, … x n, onların ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir p 1, p 2, … p n . Sonra riyazi gözlənti M(X) təsadüfi dəyişən X bərabərliyi ilə müəyyən edilir
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X o zaman mümkün dəyərlərin sayıla bilən dəstini qəbul edir
,
üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.
Misal. Hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisini tapın A bir sınaqda, əgər bir hadisənin baş vermə ehtimalı A bərabərdir səh.
Həll: Təsadüfi dəyər X- hadisənin baş vermə sayı A Bernoulli paylanmasına malikdir, belə ki
Beləliklə, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.
Riyazi gözləmənin ehtimal mənası
İstehsal etsin n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m2 dəfə dəyəri x2 ,…, m k dəfə dəyəri x k, və m 1 + m 2 + …+ m k = n. Sonra alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin arifmetik ortası olacaqdır
Münasibət m i / n- nisbi tezlik Wi dəyərlər x i hadisənin baş vermə ehtimalına təxminən bərabərdir pi, Harada , Buna görə də
Alınan nəticənin ehtimal mənası aşağıdakı kimidir: riyazi gözlənti təxminən bərabərdir(nə qədər dəqiq olsa, sınaqların sayı bir o qədər çox olar) təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan qiymətlərinin arifmetik ortası.
Gözləmə xüsusiyyətləri
Mülk 1:Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir
Mülk 2:Sabit faktor gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər
Tərif 4.2: İki təsadüfi dəyişənçağırdı müstəqil, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyərin qəbul etdiyi mümkün dəyərlərdən asılı deyilsə. Əks halda təsadüfi dəyişənlər asılıdır.
Tərif 4.3: Bir neçə təsadüfi dəyişənçağırdı qarşılıqlı müstəqil, əgər onların hər hansı sayının paylanma qanunları digər kəmiyyətlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə.
Mülk 3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Nəticə:Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Əmlak 4:İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Nəticə:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Misal. Binom təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini hesablayın X- hadisənin baş vermə tarixi A V n təcrübələr.
Həll:Ümumi sayı X hadisələrin baş verməsi A bu sınaqlarda fərdi sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının cəmidir. Təsadüfi dəyişənləri təqdim edirik X i hadisənin baş vermə sayıdır i Riyazi gözləntisi olan Bernoulli təsadüfi dəyişənləri olan ci test, burada . Riyazi gözləmə xüsusiyyətinə görə bizdə var
Beləliklə, gözlənilən dəyər binomial paylanma n və p parametrləri ilə np məhsuluna bərabərdir.
Misal. Silahdan atəş açarkən hədəfə dəymə ehtimalı p = 0,6. 10 atış vurularsa, vuruşların ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll: Hər atışda vuruş digər atışların nəticələrindən asılı deyil, buna görə də nəzərdən keçirilən hadisələr müstəqildir və nəticədə arzu olunan riyazi gözləntidir.
Riyazi gözlənti anlayışını zər atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirmək olar. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1 - 6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.
Müəyyən sayda atışlardan sonra sadə hesablamalardan istifadə edərək, düşmüş xalların arifmetik ortasını tapa bilərsiniz.
Aralıq dəyərlərindən hər hansı birini atmaqla yanaşı, bu dəyər təsadüfi olacaq.
Və atışların sayını bir neçə dəfə artırsanız? Çox sayda atışla, balların arifmetik orta dəyəri, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adını almış xüsusi bir rəqəmə yaxınlaşacaqdır.
Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiyməti kimi başa düşülür. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyərlərin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.
Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:
- orta dəyər;
- orta dəyər;
- mərkəzi trend göstəricisi;
- ilk an.
Başqa sözlə, bu, təsadüfi bir dəyişənin dəyərlərinin paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.
İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi gözləntilərin dərk edilməsinə yanaşmalar bir qədər fərqli olacaqdır.
Buna aşağıdakı kimi baxmaq olar:
- qərarın qəbul edilməsindən alınan orta mənfəət, belə bir qərar böyük ədədlər nəzəriyyəsi baxımından nəzərdən keçirildiyi halda;
- mərclərin hər biri üçün orta hesabla hesablanmış udmağın və ya uduzmağın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar "oyunçu üstünlüyü" (oyunçu üçün müsbət) və ya "kazino üstünlüyü" (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
- uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.
Riyazi gözləmə tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq cəmdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.
Gözləmə xüsusiyyətləri
Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar
Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıqla (formula A), həm də diskretliklə (formula B) xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.
Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri
Misal A.
Snow White haqqında nağılda gnomların orta hündürlüyünü tapmaq mümkündürmü? Məlumdur ki, 7 gnomun hər birinin müəyyən boyu var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.
Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:
- artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapın (təsadüfi dəyişən):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Nəticədə alınan məbləğ gnomların sayına bölünür:
6,31:7=0,90.
Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.
İş düsturu - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi
Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Həqiqətən də Hüygens tərəfindən bu göstəricinin tətbiqi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.
Bu parametr, xüsusilə maliyyə investisiyalarına gəldikdə, risklərin qiymətləndirilməsi üçün geniş istifadə olunur.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi metodu kimi çıxış edir.
Həmçinin, bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsi üzrə effektivliyini hesablayarkən istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.
Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntilərə uyğun olaraq, istehsal qüsurlu hissələrin mümkün sayını hesablaya bilərsiniz.
Riyazi gözlənti də əldə edilən məlumatların statistik emalı zamanı zəruri olur. elmi araşdırma nəticələr. O, həmçinin məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı, onun nailiyyəti qazanc və mənfəətlə, əldə edilməməsi isə zərər və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.
Forex-də Riyazi Gözləmədən istifadə
Bu statistik parametrin praktiki tətbiqi valyuta bazarında əməliyyatların aparılması zamanı mümkündür. Ticarət əməliyyatlarının müvəffəqiyyətini təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər. Üstəlik, gözləntilərin dəyərinin artması onların uğurlarının artdığını göstərir.
Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrin istifadəsi təhlilin dəqiqliyini bəzən artırır.
Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı tərəfdən göstərmişdir. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyətinin uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.
Treyderlərin taktikasına dair aparılan tədqiqatlar göstərir ki:
- ən təsirli olanı təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
- ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.
Müsbət nəticələr əldə etmək üçün eyni dərəcədə vacibdir:
- pul idarəetmə taktikası;
- çıxış strategiyaları.
Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını güman edə bilərik. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştəri tərəfindən pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.
Peşəkar oyunçuların oyunları kiçik müddətlərlə məhdudlaşır, bu da qazanmaq şansını artırır və uduzma riskini azaldır. Eyni qanunauyğunluq investisiya əməliyyatlarının icrasında da müşahidə olunur.
İnvestor qısa müddət ərzində müsbət gözlənti və çoxlu sayda əməliyyatla əhəmiyyətli bir məbləğ qazana bilər.
Gözləmə, mənfəətin faizi (PW) ilə orta mənfəətin (AW) və zərər ehtimalının (PL) orta zərərin (AL) çarpımı arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.
Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirək: mövqe - 12,5 min dollar, portfel - 100 min dollar, əmanət üzrə risk - 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan halların 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Ticarət üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.
Riyazi gözləmə və dispersiya təsadüfi dəyişənin ən çox istifadə olunan ədədi xarakteristikalarıdır. Onlar paylanmanın ən mühüm xüsusiyyətlərini xarakterizə edirlər: onun mövqeyi və dağılma dərəcəsi. Riyazi gözlənti çox vaxt sadəcə olaraq orta hesab olunur. təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası - təsadüfi dəyişənin dispersiyasının, dispersiyasının xarakteristikası onun riyazi gözləntisi ətrafında.
Təcrübənin bir çox problemlərində təsadüfi dəyişənin tam, hərtərəfli təsviri - paylanma qanunu - ya əldə edilə bilməz, ya da ümumiyyətlə lazım deyil. Bu hallarda, onlar ədədi xüsusiyyətlərdən istifadə edərək təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri ilə məhdudlaşırlar.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri
Gələk riyazi gözlənti anlayışına. Hansısa maddənin kütləsi x oxunun nöqtələri arasında paylansın x1 , x 2 , ..., x n. Üstəlik, hər bir maddi nöqtənin ehtimalı ilə ona uyğun bir kütləsi var səh1 , səh 2 , ..., səh n. X oxunda kütlələri nəzərə alınmaqla bütün maddi nöqtələr sisteminin mövqeyini xarakterizə edən bir nöqtə seçmək tələb olunur. Belə bir nöqtə kimi maddi nöqtələr sisteminin kütlə mərkəzini götürmək təbiidir. Bu təsadüfi dəyişənin orta çəkisidir X, burada hər bir nöqtənin absisi xi müvafiq ehtimala bərabər “çəki” ilə daxil olur. Beləliklə əldə edilən təsadüfi dəyişənin orta qiyməti X onun riyazi gözləntisi adlanır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və bu dəyərlərin ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal 1 Qalib-qazan lotereyası təşkil olunub. 1000 uduş var, onlardan 400-ü hər biri 10 rubl təşkil edir. Hər biri 300-20 rubl Hər biri 200-100 rubl. və hər biri 100 - 200 rubl. Bir bilet alan adamın orta uduşu nə qədərdir?
Həll. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubla bərabər olan uduşların ümumi məbləği 1000-ə (uduşun ümumi məbləği) bölünsə, orta uduşu tapacağıq. Sonra 50000/1000 = 50 rubl alırıq. Ancaq orta qazancın hesablanması üçün ifadə də aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:
Digər tərəfdən, bu şərtlərdə uduşların məbləği 10, 20, 100 və 200 rubl dəyərlərini ala bilən təsadüfi bir dəyişəndir. ehtimalları müvafiq olaraq 0,4-ə bərabər olan; 0,3; 0,2; 0.1. Buna görə də, gözlənilən orta gəlir, ödəmələrin ölçüsünün məhsulları və onların alınması ehtimalının cəminə bərabərdir.
Misal 2 Nəşriyyat yeni kitab nəşr etmək qərarına gəlib. Kitabı 280 rubla satmağa hazırlaşır, bunun 200-ü ona, 50-si kitab mağazasına, 30-u isə müəllifə veriləcək. Cədvəldə kitabın nəşrinin dəyəri və kitabın müəyyən sayda nüsxəsinin satılma ehtimalı haqqında məlumat verilir.
Nəşriyyatçının gözlənilən mənfəətini tapın.
Həll. Təsadüfi dəyişən "mənfəət" satışdan əldə edilən gəlirlə xərclərin dəyəri arasındakı fərqə bərabərdir. Məsələn, 500 nüsxə kitab satılırsa, o zaman satışdan əldə edilən gəlir 200 * 500 = 100.000, nəşrin dəyəri isə 225.000 rubl təşkil edir. Beləliklə, naşir 125 min rubl zərərlə üzləşir. Aşağıdakı cədvəl təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyərlərini ümumiləşdirir - mənfəət:
| Nömrə | Mənfəət xi | Ehtimal səhi | xi səh i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ümumi: | 1,00 | 25000 |
Beləliklə, nəşriyyatın qazancının riyazi gözləntisini əldə edirik:
.
Misal 3 Bir vuruşla vurmaq şansı səh= 0.2. 5-ə bərabər vuruş sayının riyazi gözləntisini təmin edən mərmilərin istehlakını müəyyənləşdirin.
Həll. İndiyə qədər istifadə etdiyimiz eyni gözləmə düsturundan ifadə edirik x- qabıq istehlakı:
.
Misal 4 Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin xüç atışla vuruşların sayı, əgər hər vuruşla vuruş ehtimalı səh = 0,4 .
İpucu: təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin ehtimalını tapın Bernoulli düsturu .
Gözləmə xüsusiyyətləri
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu sabitə bərabərdir:
Əmlak 2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
Əmlak 5. Təsadüfi dəyişənin bütün dəyərləri varsa X eyni sayda azalma (artırma). İLƏ, onda onun riyazi gözləntisi eyni sayda azalacaq (artır):
Yalnız riyazi gözləntilərlə məhdudlaşa bilməyəndə
Əksər hallarda təsadüfi dəyişəni yalnız riyazi gözlənti adekvat xarakterizə edə bilməz.
Təsadüfi dəyişənlərə icazə verin X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| Məna X | Ehtimal |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Məna Y | Ehtimal |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Bu kəmiyyətlərin riyazi gözləntiləri eynidir - sıfıra bərabərdir:
Lakin onların paylanması fərqlidir. Təsadüfi dəyər X yalnız riyazi gözləntilərdən və təsadüfi dəyişəndən az fərqlənən dəyərləri qəbul edə bilər Y riyazi gözləntidən əhəmiyyətli dərəcədə yayınan dəyərləri qəbul edə bilər. Oxşar bir misal: orta əmək haqqı yüksək və az maaş alan işçilərin nisbətini mühakimə etməyə imkan vermir. Başqa sözlə, riyazi gözlənti ilə heç olmasa orta hesabla ondan hansı sapmaların mümkün olduğunu mühakimə etmək olmaz. Bunun üçün təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapmaq lazımdır.
Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası
dispersiya diskret təsadüfi dəyişən X onun riyazi gözləntidən yayınma kvadratının riyazi gözləntisi adlanır:
Təsadüfi dəyişənin standart sapması X onun dispersiyasının kvadrat kökünün arifmetik qiymətidir:
.
Misal 5 Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını və standart kənarlaşmalarını hesablayın X Və Y paylanma qanunları yuxarıdakı cədvəllərdə verilmişdir.
Həll. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri X Və Y, yuxarıda tapıldığı kimi, sıfıra bərabərdir. Üçün dispersiya düsturuna görə E(X)=E(y)=0 alırıq:
Sonra təsadüfi dəyişənlərin standart kənarlaşmaları X Və Y təşkil edir
.
Beləliklə, eyni riyazi gözləntilərlə təsadüfi dəyişənin variasiyası Xçox kiçik və təsadüfi Y- əhəmiyyətli. Bu, onların paylanmasındakı fərqin nəticəsidir.
Misal 6İnvestorun 4 alternativ investisiya layihəsi var. Cədvəl bu layihələrdə gözlənilən mənfəət haqqında məlumatları müvafiq ehtimalla ümumiləşdirir.
| Layihə 1 | Layihə 2 | Layihə 3 | Layihə 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Hər bir alternativ üçün riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma tapın.
Həll. 3-cü alternativ üçün bu kəmiyyətlərin necə hesablandığını göstərək:
Cədvəl bütün alternativlər üçün tapılan dəyərləri ümumiləşdirir.
Bütün alternativlər eyni riyazi gözləntilərə malikdir. Bu o deməkdir ki, uzunmüddətli perspektivdə hər kəs eyni gəlirə malikdir. Standart kənarlaşma risk ölçüsü kimi şərh edilə bilər - nə qədər böyükdürsə, investisiya riski də bir o qədər yüksəkdir. Çox risk istəməyən investor 1-ci layihəni seçəcək, çünki o, ən kiçik standart sapmaya (0) malikdir. İnvestor qısa müddətdə riskə və yüksək gəlirə üstünlük verirsə, o zaman ən böyük layihəni seçəcək standart sapma- layihə 4.
Dispersiya xassələri
Dispersiyanın xüsusiyyətlərini təqdim edək.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin dispersiyası sıfırdır:
Əmlak 2. Sabit amil dispersiya işarəsindən onu kvadratlaşdırmaqla çıxarıla bilər:
.
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası bu dəyərin kvadratının riyazi gözləntisinə bərabərdir, ondan dəyərin özünün riyazi gözləməsinin kvadratı çıxarılır:
,
Harada 
.
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Misal 7 Məlumdur ki, diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki qiymət alır: −3 və 7. Bundan əlavə, riyazi gözlənti məlumdur: E(X) = 4. Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Həll. ilə işarələyin səh təsadüfi dəyişənin qiymət alması ehtimalı x1 = −3 . Sonra dəyərin ehtimalı x2 = 7 1 - olacaq səh. Riyazi gözləmə üçün tənliyi əldə edək:
E(X) = x 1 səh + x 2 (1 − səh) = −3səh + 7(1 − səh) = 4 ,
ehtimalları haradan əldə edirik: səh= 0,3 və 1 − səh = 0,7 .
Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | −3 | 7 |
| səh | 0,3 | 0,7 |
Bu təsadüfi dəyişənin dispersiyasını dispersiyanın 3-cü xüsusiyyətindən istifadə edərək hesablayırıq:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini özünüz tapın və sonra həllinə baxın
Misal 8 Diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki dəyər alır. 0,4 ehtimalı ilə daha böyük 3 qiymətini alır. Bundan əlavə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası məlumdur D(X) = 6. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Misal 9 Bir qabda 6 ağ və 4 qara top var. Qazandan 3 top alınır. Çəkilmiş toplar arasında ağ topların sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
Həll. Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2, 3 dəyərlərini qəbul edə bilər. Müvafiq ehtimallar aşağıdakılardan hesablana bilər. ehtimalların vurulması qaydası. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| səh | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Beləliklə, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Verilmiş təsadüfi dəyişənin dispersiyası:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası
Davamlı təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntinin mexaniki təfsiri eyni mənanı saxlayacaq: sıxlığı olan x oxuna davamlı olaraq paylanmış vahid kütlə üçün kütlə mərkəzi. f(x). Funksiya arqumenti olan diskret təsadüfi dəyişəndən fərqli olaraq xi ani olaraq dəyişir, davamlı təsadüfi dəyişən üçün arqument davamlı olaraq dəyişir. Lakin fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi də onun orta qiyməti ilə bağlıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapmaq üçün müəyyən inteqralları tapmaq lazımdır. . Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyası verilirsə, o, birbaşa inteqrana daxil olur. Əgər ehtimal paylama funksiyası verilmişdirsə, onda onu diferensiallaşdırmaqla sıxlıq funksiyasını tapmaq lazımdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin arifmetik ortası onun adlanır riyazi gözlənti, və ya ilə işarələnir.
2. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları
Gözlənilən dəyər
ilə təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək ədədi dəyərlər. Çox vaxt nömrəni bu funksiya ilə əlaqələndirmək faydalıdır - onun "orta dəyəri" və ya necə deyərlər, " orta dəyər”, “mərkəzi meylin göstəricisi”. Bir sıra səbəblərə görə, bəziləri daha sonra aydın olacaq, ortadan orta kimi istifadə etmək adi haldır.
Tərif 3. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X nömrə çağırdı
olanlar. təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, müvafiq elementar hadisələrin ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.
Misal 6 Zərlərin üst üzünə düşən ədədin riyazi gözləntisini hesablayaq. Bu, birbaşa tərif 3-dən belə çıxır
Bəyanat 2. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2, ..., xm. Sonra bərabərlik
(5)
olanlar. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, təsadüfi dəyişənin müəyyən dəyərləri qəbul etməsi ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.
Toplamanın birbaşa elementar hadisələr üzərində aparıldığı (4) bəndindən fərqli olaraq, təsadüfi hadisə bir neçə elementar hadisədən ibarət ola bilər.
Bəzən riyazi gözləntinin tərifi kimi (5) əlaqəsi götürülür. Bununla belə, aşağıda göstərildiyi kimi 3-cü tərifdən istifadə etməklə real hadisələrin ehtimal modellərini qurmaq üçün lazım olan riyazi gözləntilərin xassələrini müəyyən etmək (5) münasibətindən istifadə etməkdən daha asandır.
(5) əlaqəni sübut etmək üçün (4) təsadüfi dəyişənin eyni qiymətləri ilə qruplaşdırırıq:
Sabit amil cəminin işarəsindən çıxarıla bildiyindən, onda
Hadisənin baş vermə ehtimalının tərifi ilə
Son iki əlaqənin köməyi ilə istədiyinizi əldə edirik:
Ehtimal-statistik nəzəriyyədə riyazi gözlənti anlayışı mexanikada ağırlıq mərkəzi anlayışına uyğun gəlir. Gəlin onu nöqtələrə yerləşdirək x 1, x 2, ..., xm kütlənin ədədi oxu üzərində P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) müvafiq olaraq. Onda bərabərlik (5) göstərir ki, bu maddi nöqtələr sisteminin ağırlıq mərkəzi riyazi gözlənti ilə üst-üstə düşür ki, bu da Tərif 3-ün təbiiliyini göstərir.
Bəyanat 3. Qoy X- təsadüfi dəyər, M(X) onun riyazi gözləntisidir, A- bəzi rəqəm. Sonra
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Bunu sübut etmək üçün ilk növbədə sabit olan təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçiririk, yəni. funksiya elementar hadisələrin məkanını bir nöqtəyə xəritələşdirir A. Sabit amil cəminin işarəsindən çıxarıla bildiyindən, onda
Əgər cəminin hər bir üzvü iki həddə bölünürsə, onda bütün cəmi də iki cəmə bölünür ki, onlardan birincisi birinci, ikincisi isə ikinci hədlərdən ibarətdir. Buna görə də iki təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri X+Y, elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş, riyazi gözləntilərin cəminə bərabərdir M(X) Və M(U) bu təsadüfi dəyişənlər:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Və buna görə də M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yuxarıda göstərildiyi kimi, M(M(X)) = M(X). Beləliklə, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Çünki (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Bu M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Son bərabərliyi sadələşdirək. 3-cü müddəanın sübutunun əvvəlində göstərildiyi kimi, sabitin gözlənilməsi sabitin özüdür və buna görə də M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Sabit amil cəminin işarəsindən çıxarıla bildiyindən, onda M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Son bərabərliyin sağ tərəfi 0-dır, çünki yuxarıda göstərildiyi kimi, M(X-M(X))=0. Beləliklə, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 sübut edilməli idi.
Deyilənlərdən belə çıxır M[(X- a) 2 ] minimuma çatır A bərabərdir M[(X- M(X)) 2 ], saat a = M(X), 3) bərabərliyində ikinci termindən bəri həmişə mənfi deyil və yalnız göstərilən qiymət üçün 0-a bərabərdir A.
Bəyanat 4. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2, ..., xm, və f ədədi arqumentin bəzi funksiyasıdır. Sonra
Bunu sübut etmək üçün riyazi gözləntiləri təyin edən bərabərliyin (4) sağ tərəfində eyni qiymətli şərtləri qruplaşdıraq:
Sabit amilin cəminin işarəsindən çıxarıla biləcəyindən istifadə edərək və təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalını təyin etməklə (2) alırıq.
Q.E.D.
Bəyanat 5. Qoy X Və At elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş təsadüfi dəyişənlərdir, A Və b- bəzi rəqəmlər. Sonra M(aX+ bY)= aM(X)+ bM(Y).
Riyazi gözləmənin tərifindən və toplama simvolunun xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bərabərlik zəncirini əldə edirik:
Lazım olduğu sübut olunur.
Yuxarıda göstərilənlər riyazi gözləntinin başqa mənşəyə və başqa ölçü vahidinə (keçid) keçiddən necə asılı olduğunu göstərir. Y=aX+b), həmçinin təsadüfi dəyişənlərin funksiyalarına. Alınan nəticələr texniki-iqtisadi təhlildə, müəssisənin maliyyə-təsərrüfat fəaliyyətinin qiymətləndirilməsində, xarici iqtisadi hesablaşmalarda bir valyutadan digərinə keçiddə, normativ-texniki sənədlərdə və s.-də daim istifadə olunur. müxtəlif parametrlər miqyası və sürüşməsi üçün eyni hesablama düsturları.
| Əvvəlki |