Mürəkkəb arqument üçün törəmələr cədvəli. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Bu dərsdə necə tapmağı öyrənəcəyik mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Dərs dərsin məntiqi davamıdır Törəməni necə tapmaq olar?, burada ən sadə törəmələri araşdırdıq, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələrin tapılması üçün bəzi texniki üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalədəki bəzi məqamlar tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Xahiş edirəm ciddi əhval-ruhiyyədə olun - material sadə deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta deyərdim ki, demək olar ki, həmişə, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Gəlin bunu anlayaq. İlk öncə girişə diqqət yetirək. Burada iki funksiyamız var – və funksiyası, məcazi mənada desək, funksiya daxilində yerləşmişdir. Bu tip funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən qeyri-rəsmi ifadələrdən “xarici funksiya”, “daxili” funksiyanı yalnız sizin materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında yalnız "X" hərfi deyil, bütöv bir ifadə var, buna görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinus “parçalara” bölünə bilməz:

Bu misalda artıq intuitiv olaraq mənim izahlarımdan aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsini taparkən etməli olduğunuz şey hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə misallarda polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs hər şey aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu necə dəqiq müəyyən etmək olar? Bunun üçün zehni olaraq və ya qaralama şəklində edilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini hesablamaq üçün kalkulyatordan istifadə etməliyik (birin əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nə hesablayacağıq? Hər şeydən əvvəl aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , buna görə də polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus – xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra SATILDI Daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır.

Qərar verməyə başlayaq. Sinifdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmə həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizəyə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini (sinusunu) tapın, törəmələr cədvəlinə baxın elementar funksiyalar və biz bunu qeyd edirik. Bütün cədvəl düsturları “x” mürəkkəb ifadə ilə əvəz edildikdə də tətbiq edilir, bu halda:

Nəzərə alın ki, daxili funksiya dəyişməyib, biz ona toxunmuruq.

Bəli, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin son nəticəsi belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, həll yolunu kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Gəlin harada xarici funksiyaya malik olduğumuzu və harada daxili funksiyaya malik olduğumuzu anlayaq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralamada) ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etməlisən? Əvvəlcə bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız: buna görə də polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya həyata keçirilir, buna görə də, güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Tələb olunan düsturu cədvəldə axtarırıq: . Bir daha təkrar edirik: hər hansı bir cədvəl düsturu təkcə “X” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimidir:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiyamız dəyişmir:

İndi qalan şey daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az tənzimləməkdir:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışınızı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışacağam, xarici və daxili funksiyanın harada olduğunu, niyə vəzifələrin bu şəkildə həll edildiyini izah edin?

Misal 5

a) funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada bir kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, güc kimi təmsil olunmalıdır. Beləliklə, əvvəlcə funksiyanı diferensiasiya üçün uyğun formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç şərtin cəmi daxili funksiya, gücə yüksəltmək isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:

Biz dərəcəni yenidən radikal (kök) kimi təqdim edirik və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə endirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, amma çətin uzun törəmələr əldə etdikdə bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydası əvəzinə, əmsalın fərqləndirilməsi qaydasından istifadə edə bilərsiniz. , lakin belə bir həll gülməli bir pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - mənfini törəmə işarəsindən çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək:

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq və kosinusu yenidən aşağı salırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlığa düşməmək vacibdir. Yeri gəlmişkən, qaydadan istifadə edərək həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər kompleks funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz hallara baxdıq. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi, biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yerləşmişdir.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini anlayaq. Eksperimental qiymətdən istifadə edərək ifadəni hesablamağa çalışaq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yerləşdirmədir:

Birin bu arksinüsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini bir gücə qaldırırıq:

Yəni bu nümunədə üçümüz var müxtəlif funksiyalar və ən daxili funksiya arcsinus və ən xarici funksiya eksponensial funksiya olmaqla iki yerləşdirmə.

Qərar verməyə başlayaq

Qaydaya görə, əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və törəməni tapırıq eksponensial funksiya: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə biz bu düsturun etibarlılığını inkar etməyən mürəkkəb ifadəmiz var. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimidir:

Zərbə altında yenidən mürəkkəb bir funksiyamız var! Amma artıq daha sadədir. Daxili funksiyanın arksinüs, xarici funksiyanın dərəcə olduğunu yoxlamaq asandır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasına görə, ilk növbədə gücün törəməsini götürmək lazımdır.

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal baxaq tərs funksiya. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) “təbii” deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə.

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

Funksiyanın törəməsini tapın.
Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Eksponensial və təbii loqarifm törəmə nöqteyi-nəzərdən bənzərsiz sadə funksiyalardır. Hər hansı digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz bunu daha sonra təhlil edəcəyik. gəlin qaydalardan keçək fərqləndirmə.

Fərqləndirmə qaydaları

Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçıların diferensialı funksiyanın eyni artımıdır. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Budur.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmə işarədən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
nöqtədə.

Həll yolları:

(törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki xətti funksiyadır, yadınızdadır?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni bir funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:

Törəmə:

Nümunələr:

və funksiyalarının törəmələrini tapın;
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya endirməyə çalışaq:

Bunun üçün sadə qaydadan istifadə edəcəyik: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

Bu işlədi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən, yəni daha sadə formada yazıla bilməyən bir rəqəmdir. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.

Qeyd edək ki, burada iki funksiyanın əmsalı var, ona görə də müvafiq fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik:

Bu nümunədə iki funksiyanın məhsulu:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün əks addımları yerinə yetirməlisiniz tərs qaydada.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə oldu? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyaya misaldır: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.

Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Bizim misal üçün, .

Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə nəticədə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Əhəmiyyətli Xüsusiyyət mürəkkəb funksiyalar: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

İkinci misal: (eyni şey). .

Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .

Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli mürəkkəb funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb bir funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət istiqamətini müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hamısını bir yerə toplamaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmə işarədən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Məhsulun törəməsi:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

“Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
“Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).

Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiasiya qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi törəmə funksiyaların cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən öyrənirik ki, “X” törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Törəmə işarəsindən çıxarıla bilən ikinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk:

Bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar hələ də yaranarsa, adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi
5. Törəmə kvadrat kök
6. Sinusun törəməsi
7. Kosinusun törəməsi
8. Tangensin törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Arkkosinin törəməsi
12. Arktangensin törəməsi
13. Qövs kotangensinin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.

Qayda 2.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallana bilir

və

olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir ki, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə onun kvadratıdır. keçmiş say.

Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır

Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Müddətdə onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, baş verən ilkin mərhələ törəmələri öyrənir, lakin onlar bir və iki hissəli bir neçə nümunəni həll etdikcə, orta tələbə artıq bu səhvi etmir.

Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).

Digər ümumi səhv, mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə sadə funksiyaların törəmələrini tapmağı öyrənəcəyik.

Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman , sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.

kimi bir vəzifəniz varsa , sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:

Daha sonra biz cəmi diferensiallaşdırma qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz.

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, , sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .

Sinusların, kosinusların, tangenslərin və başqalarının törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa triqonometrik funksiyalar, yəni funksiyanın göründüyü zaman , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulun diferensiasiya qaydasına görə və cədvəl dəyəri kvadrat kökün törəməsi alırıq:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn törəmələr kalkulyatoru .

Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalları fərqləndirmək qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.

Əgər g(x) Və f(u) – onların arqumentlərinin müvafiq olaraq nöqtələrdə diferensiallana bilən funksiyaları x Və u= g(x), onda kompleks funksiya da nöqtədə diferensiallaşır x və düsturla tapılır

Törəmə məsələlərin həllində tipik səhv sadə funksiyaların mürəkkəb funksiyalara diferensiallaşdırılması qaydalarının mexaniki şəkildə ötürülməsidir. Gəlin bu səhvdən qaçmağı öyrənək.

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll: mötərizədə hər bir terminin natural loqarifmini hesablayın və törəmələrin cəmini axtarın:

Düzgün həll: yenə də “alma”nın, “qiymənin” harada olduğunu müəyyənləşdiririk. Burada mötərizədə ifadənin natural loqarifmi “alma”, yəni ara arqument üzərində funksiyadır. u, və mötərizədə ifadə "qiymə ət", yəni ara arqumentdir u müstəqil dəyişən ilə x.

Sonra (törəmələr cədvəlindən 14-cü düsturdan istifadə etməklə)

Bir çox real həyat problemində loqarifmlə ifadə bir qədər daha mürəkkəb ola bilər, buna görə də bir dərs var.

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll:

Düzgün qərar. Bir daha "alma"nın harada olduğunu və "qiymə"nin harada olduğunu müəyyənləşdiririk. Burada mötərizədə ifadənin kosinusu (törəmələr cədvəlində düstur 7) “alma”dır, o, yalnız ona təsir edən 1-ci rejimdə hazırlanır və mötərizədə olan ifadə (dərəcənin törəməsi 3 nömrədir) törəmələr cədvəlində) "qiymə ət"dir, yalnız ona təsir edən 2-ci rejimdə hazırlanır. Həmişə olduğu kimi, iki törəməni məhsul işarəsi ilə əlaqələndiririk. Nəticə:

Kompleksin törəməsi loqarifmik funksiya- testlərdə tez-tez verilən tapşırıq, buna görə də sizə "Loqarifmik funksiyanın törəməsi" dərsində iştirak etməyi tövsiyə edirik.

İlk nümunələr müstəqil dəyişən üzrə ara arqumentin sadə funksiya olduğu mürəkkəb funksiyalar üzərində idi. Amma in praktiki tapşırıqlarÇox vaxt mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapmaq lazımdır, burada aralıq arqument ya özü mürəkkəb funksiyadır, ya da belə funksiyanı ehtiva edir. Belə hallarda nə etməli? Cədvəllərdən və diferensiasiya qaydalarından istifadə edərək belə funksiyaların törəmələrini tapın. Aralıq arqumentin törəməsi tapıldıqda, o, sadəcə olaraq düsturda düzgün yerə əvəz olunur. Aşağıda bunun necə edildiyinə dair iki nümunə verilmişdir.

Bundan əlavə, aşağıdakıları bilmək faydalıdır. Mürəkkəb bir funksiya üç funksiya zənciri kimi göstərilə bilərsə

onda onun törəməsi bu funksiyaların hər birinin törəmələrinin hasili kimi tapılmalıdır:

Ev tapşırığınızın bir çoxu bələdçilərinizi yeni pəncərələrdə açmağınızı tələb edə bilər. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Törəmələrin nəticə hasilində müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentin olduğunu unutmadan mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik. x dəyişmir:

Məhsulun ikinci amilini hazırlayırıq və cəmini fərqləndirmək qaydasını tətbiq edirik:

İkinci termin kökdür, yəni

Beləliklə, biz müəyyən etdik ki, cəmi olan ara arqument terminlərdən biri kimi mürəkkəb funksiyanı ehtiva edir: gücə yüksəltmək mürəkkəb funksiyadır, gücə yüksəltmək isə müstəqil olana münasibətdə ara arqumentdir. dəyişən x.

Buna görə də, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını yenidən tətbiq edirik:

Birinci amilin dərəcəsini kökə çeviririk və ikinci amili diferensiallaşdırarkən sabitin törəməsinin sıfıra bərabər olduğunu unutma:

İndi problemin ifadəsində tələb olunan mürəkkəb funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün lazım olan ara arqumentin törəməsini tapa bilərik. y:

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Əvvəlcə cəmini fərqləndirmək üçün qaydadan istifadə edirik:

İki mürəkkəb funksiyanın törəmələrinin cəmini əldə etdik. Birincisini tapaq:

Burada sinusun gücə yüksəldilməsi mürəkkəb bir funksiyadır və sinusun özü müstəqil dəyişən üçün ara arqumentdir. x. Buna görə də, yol boyu mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edəcəyik amili mötərizədən çıxarmaq :

İndi funksiyanın törəmələrinin ikinci həddini tapırıq y:

Burada kosinusu bir gücə yüksəltmək mürəkkəb bir funksiyadır f, və kosinusun özü müstəqil dəyişəndə ara arqumentdir x. Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün yenidən qaydadan istifadə edək:

Nəticə tələb olunan törəmədir:

Bəzi mürəkkəb funksiyaların törəmələri cədvəli

Mürəkkəb funksiyalar üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsaslanaraq, sadə funksiyanın törəməsinin düsturu fərqli forma alır.

1. Mürəkkəb güc funksiyasının törəməsi, burada u x
2. İfadə kökünün törəməsi
3. Eksponensial funksiyanın törəməsi
4. Eksponensial funksiyanın xüsusi halı
5. İxtiyari müsbət əsaslı loqarifmik funksiyanın törəməsi A
6. Mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi, burada u– arqumentin diferensiallanan funksiyası x
7. Sinusun törəməsi
8. Kosinusun törəməsi
9. Tangensin törəməsi
10. Kotangensin törəməsi
11. Arksinusun törəməsi
12. Arkkosinin törəməsi
13. Arktangensin törəməsi
14. Qövs kotangentinin törəməsi

Bunun üzərində biz ən sadə törəmələri araşdırdıq, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələri tapmaq üçün bəzi texniki üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalədəki bəzi məqamlar tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Xahiş edirəm ciddi əhval-ruhiyyədə olun - material sadə deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu misalda artıq intuitiv olaraq mənim izahlarımdan aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsini taparkən etməli olduğunuz şey hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini hesablamaq üçün kalkulyatordan istifadə etməliyik (birin əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nə hesablayacağıq? Hər şeydən əvvəl aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , buna görə də polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus – xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra SATILDI daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır .

Qərar verməyə başlayaq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmə həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizəyə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları “x” mürəkkəb ifadə ilə əvəz edildikdə də tətbiq edilir, bu halda:

Nəzərə alın ki, daxili funksiya dəyişməyib, biz ona toxunmuruq.

Bəli, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin nəticəsi son formada belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, həll yolunu kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Gəlin harada xarici funksiyaya malik olduğumuzu və harada daxili funksiyaya malik olduğumuzu anlayaq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralamada) ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etməlisən? Əvvəlcə bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız: buna görə də polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya yerinə yetirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə , əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Tələb olunan düsturu cədvəldə axtarırıq: . Bir daha təkrar edirik: hər hansı bir cədvəl düsturu təkcə “X” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi sonrakı:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Misal 5

a) funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada bir kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, güc kimi təmsil olunmalıdır. Beləliklə, əvvəlcə funksiyanı diferensiasiya üçün uyğun formaya gətiririk:

Biz dərəcəni yenidən radikal (kök) kimi təqdim edirik və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydası əvəzinə, əmsalın fərqləndirilməsi qaydasından istifadə edə bilərsiniz. , lakin belə bir həll qeyri-adi pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - mənfini törəmə işarəsindən çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək :

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq və kosinusu yenidən aşağı salırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlığa düşməmək vacibdir. Yeri gəlmişkən, qaydadan istifadə edərək həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini anlayaq. Eksperimental qiymətdən istifadə edərək ifadəni hesablamağa çalışaq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yerləşdirmədir:

Birin bu arksinüsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini bir gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yerləşdirməmiz var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayaq

Qaydaya görə Əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var və bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi növbəti.