Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Həlli: Riyazi gözlənti X-in bütün mümkün qiymətlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəminə bərabərdir:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Riyazi gözləntiləri hesablamaq üçün Excel-də hesablamalar aparmaq rahatdır (xüsusilə çoxlu məlumat olduqda), hazır şablondan () istifadə etməyi təklif edirik.
Müstəqil bir həll nümunəsi (bir kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz).
Paylanma qanunu ilə verilmiş diskret təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini tapın:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Riyazi gözlənti aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.
Xassə 1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir: М(С)=С.
Xüsusiyyət 2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər: М(СХ)=СМ(Х).
Xüsusiyyət 3. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntisi amillərin riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Xassə 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
Məsələ 189. X və Y riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Həlli: Riyazi gözləntinin xassələrindən istifadə edərək (cəmin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir; sabit amili gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar) M(Z)=M alırıq. (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Riyazi gözləmənin xassələrindən istifadə edərək sübut edin: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) X-M(X) sapmasının riyazi gözləntisi sıfırdır.
191. Diskret təsadüfi kəmiyyət X üç mümkün qiymət alır: x1= 4 p1 = 0,5 ehtimalı ilə; x3 = 6 ehtimalı ilə P2 = 0,3 və x3 ehtimalı ilə p3. M(X)=8 olduğunu bilərək: x3 və p3 tapın.
192. Diskret təsadüfi dəyişən X-in mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, bu kəmiyyətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: M (X). ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Mümkün xi qiymətlərinə uyğun olan p1, p2, p3 ehtimallarını tapın
194. 10 hissədən ibarət partiya üç qeyri-standart hissədən ibarətdir. İki maddə təsadüfi seçildi. Diskret təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini tapın - iki seçilmiş arasında qeyri-standart hissələrin sayı.
196. Diskret təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini tapın, əgər atmaların ümumi sayı iyirmi olarsa, hər birində iki zarda bir xal görünəcək beş zərdən ibarət belə atışların sayını tapın.
Gözlənilən dəyər binomial paylanma sınaqların sayının və bir sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir:
Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Bununla belə, paylama qanunu çox vaxt məlum deyil və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalıdır. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri.
Riyazi gözləmə mühüm ədədi xüsusiyyətlərdən biridir.
Riyazi gözlənti təxminən təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə bərabərdir.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.
Əgər təsadüfi dəyişən sonlu paylanma seriyası ilə xarakterizə olunursa:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | səh 1 | səh 2 | səh 3 | … | r s |
sonra riyazi gözlənti M(X) düsturla müəyyən edilir:
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərliklə müəyyən edilir:
təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı haradadır X.
Misal 4.7. Zər atılan zaman düşəcək xalların sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll:
Təsadüfi dəyər X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymətlərini alır. Onun paylanması qanununu yaradaq:
| X | ||||||
| R |
Sonra riyazi gözlənti belədir:
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:
M(S)=S.
2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
M(CX) = CM(X).
3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X)M(Y).
Misal 4.8. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
XY təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
Bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləntilərini tapaq:
təsadüfi dəyişənlər X Və Y müstəqil, buna görə də arzu olunan riyazi gözlənti:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
4. İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Nəticə. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Misal 4.9. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır səh 1 = 0,4; səh2= 0,3 və səh 3= 0,6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
İlk atışdakı vuruşların sayı təsadüfi dəyişəndir X 1, yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: 1 (vuruş) ehtimalı ilə səh 1= 0,4 və 0 (qaçır) ehtimalı ilə q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
İlk atışda vuruşların sayının riyazi gözləntisi vurma ehtimalına bərabərdir:
Eynilə, ikinci və üçüncü çəkilişlərdə vuruşların sayının riyazi gözləntilərini tapırıq:
M(X 2)= 0,3 və M (X 3) \u003d 0,6.
Xitlərin ümumi sayı da üç atışın hər birindəki vuruşların cəmindən ibarət təsadüfi dəyişəndir:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
İstədiyiniz riyazi gözlənti X riyazi teoremlə cəminin gözləntisini tapırıq.
Kəmiyyət
Təsadüfi əsas ədədi xarakteristikalar
Sıxlığın paylanması qanunu təsadüfi dəyişəni xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt bu bilinmir və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalı olur. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir. Belə nömrələr deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Əsas olanları nəzərdən keçirək.
Tərif:Diskret təsadüfi dəyişənin M(X) riyazi gözləntisi bu dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X o zaman mümkün dəyərlərin sayıla bilən dəstini qəbul edir
Üstəlik, əgər riyazi gözlənti mövcuddur bu seriya tamamilə birləşir.
Tərifdən belə çıxır ki M(X) diskret təsadüfi dəyişən qeyri-təsadüfi (sabit) dəyişəndir.
Misal: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A bir testdə P(A) = p. Riyazi gözləntiləri tapmaq tələb olunur X.
Həll: Cədvəl paylama qanunu yaradaq X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1-s | səh |
Riyazi gözləntiləri tapaq:
Beləliklə, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.
Termin mənşəyi gözlənilən dəyər ehtimal nəzəriyyəsinin yaranmasının ilkin dövrü (XVI-XVII əsrlər) ilə əlaqədardır ki, onun tətbiq dairəsi qumar oyunları ilə məhdudlaşır. Oyunçu gözlənilən qazancın orta dəyəri ilə maraqlandı, yəni. qələbənin riyazi gözləntisi.
düşünün riyazi gözləmənin ehtimal mənası.
İstehsal etsin n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m2 dəfə dəyəri x2 və s. və nəhayət, o, qəbul etdi m k dəfə dəyəri x k, üstəlik m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Sonra təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir x 1 m1 +x2 m 2 +…+x k m k.
Təsadüfi dəyişən tərəfindən qəbul edilən bütün dəyərlərin arifmetik ortası X, bərabərdir:
çünki hər hansı bir dəyər üçün dəyərin nisbi tezliyidir i = 1, …, k.
Məlum olduğu kimi, əgər sınaq sayı n kifayət qədər böyükdürsə, onda nisbi tezlik təxminən hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir, buna görə də,
Beləliklə, .
Nəticə:Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq, sınaqların sayı bir o qədər çox olar).
Riyazi gözləmənin əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
Mülk 1:Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabit dəyərin özünə bərabərdir:
M(S) = S.
Sübut: daimi İLƏ bir mümkün mənası olan hesab edilə bilər İLƏ və bunu ehtimalla qəbul edin p = 1. Beləliklə, M(S)=S 1= C.
müəyyən edək sabit qiymət C və diskret təsadüfi dəyişən X məhsulu diskret təsadüfi dəyişən kimi SH, mümkün dəyərləri sabitin məhsullarına bərabərdir İLƏ mümkün dəyərlərə X SH uyğun mümkün qiymətlərin ehtimallarına bərabərdir X:
| SH | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Mülk 2:Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
M(CX) = CM(X).
Sübut: Təsadüfi dəyişən olsun X ehtimal paylanması qanunu ilə verilir:
| X | … | |||
| P | … |
Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması qanununu yazaq CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Tərif:İki təsadüfi dəyişən müstəqil adlanır, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyişənin qəbul etdiyi mümkün dəyərlərdən asılı deyildir. Əks halda, təsadüfi dəyişənlər asılıdır.
Tərif:Bir neçə təsadüfi dəyişən, əgər onların hər hansı sayının paylanma qanunları digər dəyişənlərin qəbul etdiyi mümkün dəyərlərdən asılı deyilsə, qarşılıqlı müstəqil adlanır.
müəyyən edək müstəqil diskret təsadüfi dəyişənlərin hasili X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi XY mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin məhsullarına bərabər olan X hər mümkün dəyər üçün Y. Mümkün Dəyərlərin Ehtimalları XY amillərin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının məhsullarına bərabərdir.
Təsadüfi dəyişənlərin paylanması verilsin X Və Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Sonra təsadüfi dəyişənin paylanması XY oxşayır:
| XY | … | |||
| P | … |
Bəzi əsərlər bərabər ola bilər. Bu halda məhsulun mümkün dəyərinin ehtimalı müvafiq ehtimalların cəminə bərabərdir. Məsələn, = olarsa, dəyərin ehtimalı belədir
Mülk 3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X) M(Y).
Sübut: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun X Və Yöz ehtimal paylama qanunları ilə verilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Hesablamaları sadələşdirmək üçün biz özümüzü az sayda mümkün dəyərlərlə məhdudlaşdırırıq. Ümumiyyətlə, sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Nəticə:Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Sübut: Qarşılıqlı müstəqil üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. təsadüfi dəyişənlər XY Və Z müstəqildir, onda alırıq:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin ixtiyari sayı üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
tapmaq istədi M(XY).
Həll: Təsadüfi dəyişənlərdən bəri X Və Y sonra müstəqil M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
müəyyən edək diskret təsadüfi dəyişənlərin cəmi X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi X+Y, onların mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin cəminə bərabərdir X hər mümkün dəyərlə Y. Mümkün Dəyərlərin Ehtimalları X+Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün X Və Yşərtlərin ehtimallarının hasillərinə, asılı təsadüfi dəyişənlər üçün isə bir müddətin ehtimalının və ikincinin şərti ehtimalının hasillərinə bərabərdir.
Əgər = və bu dəyərlərin ehtimalları müvafiq olaraq -ə bərabərdirsə, ehtimal (kimi ilə eyni) -ə bərabərdir.
Mülk 4:İki təsadüfi dəyişənin (asılı və ya müstəqil) cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Sübut:İki təsadüfi dəyişən olsun X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Törəməni sadələşdirmək üçün özümüzü kəmiyyətlərin hər birinin iki mümkün dəyəri ilə məhdudlaşdırırıq. Ümumiyyətlə, sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini tərtib edin X+Y(sadəlik üçün fərz edək ki, bu dəyərlər fərqlidir; yoxsa, sübut oxşardır):
| X+Y | ||||
| P |
Bu kəmiyyətin riyazi gözləntisini tapaq.
M(X+Y) = + + + +
+ = olduğunu sübut edək.
Hadisə X= ( onun ehtimalı P(X = ) təsadüfi dəyişən hadisəsini ehtiva edir X+Y dəyərini və ya (bu hadisənin əlavə teoreminə görə ehtimalı ) alır və əksinə. Sonra =.
Bərabərliklər = = =
Bu bərabərliklərin düzgün hissələrini riyazi gözlənti üçün yaranan düsturla əvəz edərək, əldə edirik:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Nəticə:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Sübut:Üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntisini tapaq X+Y Və Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
İxtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal:İki zər atarkən düşə biləcək xalların cəminin orta qiymətini tapın.
Həll: Qoy X- ilk ölümə düşə biləcək xalların sayı, Y- İkincidə. Aydındır ki, təsadüfi dəyişənlər X Və Y eyni paylamalara malikdir. Paylanma məlumatlarını yazaq X Və Y bir cədvəldə:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Beləliklə, iki zər atarkən düşə biləcək xalların cəminin orta qiymətidir 7 .
Teorem:n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir: M(X) = np.
Sübut: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A V n müstəqil testlər. Aydındır ki, cəmi X hadisələrin baş verməsi A bu sınaqlarda fərdi sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının cəmidir. O zaman, əgər birinci məhkəmədə, ikincidə və s.-də hadisənin baş vermə sayı, nəhayət, hadisənin baş vermə sayıdırsa, n ci testdən sonra hadisənin baş vermələrinin ümumi sayı düsturla hesablanır:
By gözlənilən əmlak 4 bizdə:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi hadisənin baş vermə ehtimalına bərabər olduğundan, onda
M( ) = M( )= … = M( ) = səh.
Beləliklə, M(X) = np.
Misal: Silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalı bərabərdir p=0,6. Əgər varsa, orta vuruş sayını tapın 10 atışlar.
Həll: Hər atışda vuruş digər atışların nəticələrindən asılı deyil, buna görə də nəzərdən keçirilən hadisələr müstəqildir və buna görə də istənilən riyazi gözləntiyə bərabərdir:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Beləliklə, ortalama hit sayı 6-dır.
İndi fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini nəzərdən keçirin.
Tərif:Mümkün dəyərləri seqmentə aid olan davamlı təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisi,müəyyən inteqral adlanır:
burada f(x) ehtimalın paylanma sıxlığıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişən X-in mümkün dəyərləri bütün Ox oxuna aiddirsə, onda
Ehtimal olunur ki, bu düzgün olmayan inteqral mütləq birləşir, yəni. inteqral yaxınlaşır Əgər bu tələb yerinə yetirilməsəydi, onda inteqralın qiyməti aşağı həddinin -∞-ə, yuxarı həddinin isə +∞-ə meyl etmə sürətindən (ayrıca) asılı olardı.
Bunu sübut etmək olar diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisinin bütün xassələri davamlı təsadüfi dəyişən üçün qorunur.. Sübut müəyyən və uyğun olmayan inteqralların xassələrinə əsaslanır.
Aydındır ki, gözlənti M(X) təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərindən ən kiçikindən böyük və ən böyüyündən kiçik X. Bunlar. ədəd oxunda təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri onun riyazi gözləntisinin solunda və sağında yerləşir. Bu mənada riyazi gözlənti M(X) paylanma yerini xarakterizə edir və buna görə də tez-tez adlanır paylama mərkəzi.
Təsadüfi dəyişənin ən tam xarakteristikası onun paylanma qanunudur. Ancaq bu, həmişə məlum deyil və bu hallarda daha az məlumatla kifayətlənmək lazımdır. Bu cür məlumatlara aşağıdakılar daxil ola bilər: təsadüfi dəyişənin dəyişmə diapazonu, onun ən böyük (ən kiçik) dəyəri, təsadüfi dəyişəni hər hansı ümumi şəkildə təsvir edən bəzi digər xüsusiyyətlər. Bütün bu kəmiyyətlər deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Adətən bunlar bəziləridir qeyri-təsadüfi təsadüfi dəyişəni hansısa şəkildə xarakterizə edən ədədlər. Ədədi xüsusiyyətlərin əsas məqsədi müəyyən bir paylanmanın ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərini qısa şəkildə ifadə etməkdir.
Təsadüfi dəyişənin ən sadə ədədi xarakteristikası X ona zəng etdi gözlənilən dəyər:
M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)
Budur x 1, x 2, …, x n təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləridir X, A səh 1, səh 2, …, p n onların ehtimallarıdır.
Misal 1 Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu məlumdursa, onun riyazi gözləntisini tapın:
Həll. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Misal 2. Hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisini tapın A bir sınaqda, əgər bu hadisənin ehtimalı olarsa R.
Həll. Əgər X- hadisənin baş vermə sayı A bir sınaqda, sonra açıq-aydın paylama qanunu X oxşayır:
Sonra М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.
Beləliklə: bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi onun ehtimalına bərabərdir.
Riyazi gözləmənin ehtimal mənası
İstehsal etsin n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m2 dəfə dəyəri x 2, …, m k dəfə dəyəri x k. Sonra bütün dəyərlərin cəmi n testlər bərabərdir:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Təsadüfi dəyişənin qəbul etdiyi bütün dəyərlərin arifmetik ortasını tapaq:
Dəyərlər - dəyərlərin meydana gəlməsinin nisbi tezlikləri x i (i=1, …, k). Əgər n kifayət qədər böyük (n®¥), onda bu tezliklər təxminən ehtimallara bərabərdir: . Amma sonra
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq, sınaqların sayı bir o qədər çox olar). Bu, riyazi gözləmənin ehtimal mənasıdır.
Gözləmə xüsusiyyətləri
1. Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir.
M(S)=S×1=S.
2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər
M(CX)=S×M(X).
Sübut. Paylama qanunu olsun X cədvəllə verilmişdir:
Sonra təsadüfi dəyişən SH dəyərləri qəbul edir Dx 1, CX 2, …, Eyni ehtimallarla Сх n, yəni. paylama qanunu SH oxşayır:
М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Bu iddia sübut olmadan verilir (sübut gözləntinin tərifinə əsaslanır).
Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Xüsusilə, üç müstəqil təsadüfi dəyişən üçün
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Misal. İki zər atarkən düşə biləcək xalların sayının hasilinin riyazi gözləntisini tapın.
Həll. Qoy Х i- xalların sayı i ci sümüklər. Bu rəqəmlər ola bilər 1 , 2 , …, 6 ehtimallarla. Sonra
М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Qoy X \u003d X 1 × X 2. Sonra
M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.
4. İki təsadüfi dəyişənin (müstəqil və ya asılı) cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Bu xassə ixtiyari sayda terminlər üçün ümumiləşdirilir.
Misal. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır p 1 \u003d 0.4, p 2 \u003d 0.3 Və p 3 \u003d 0.6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll. Qoy Х i- vuruşların sayı i-ci atış. Sonra
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Beləliklə,
M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.
Riyazi gözləmə və dispersiya təsadüfi dəyişənin ən çox istifadə olunan ədədi xarakteristikalarıdır. Onlar paylanmanın ən mühüm xüsusiyyətlərini xarakterizə edirlər: onun mövqeyi və dağılma dərəcəsi. Riyazi gözlənti çox vaxt sadəcə olaraq orta hesab olunur. təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası - təsadüfi dəyişənin dispersiyasının, dispersiyasının xarakteristikası onun riyazi gözləntisi ətrafında.
Təcrübənin bir çox problemlərində təsadüfi dəyişənin tam, hərtərəfli təsviri - paylanma qanunu - ya əldə edilə bilməz, ya da ümumiyyətlə lazım deyil. Bu hallarda, onlar ədədi xüsusiyyətlərdən istifadə edərək təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri ilə məhdudlaşırlar.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri
Gələk riyazi gözlənti anlayışına. Hansısa maddənin kütləsi x oxunun nöqtələri arasında paylansın x1 , x 2 , ..., x n. Üstəlik, hər bir maddi nöqtənin ehtimalı ilə ona uyğun bir kütləsi var səh1 , səh 2 , ..., səh n. X oxunda kütlələri nəzərə alınmaqla bütün maddi nöqtələr sisteminin mövqeyini xarakterizə edən bir nöqtə seçmək tələb olunur. Belə bir nöqtə kimi maddi nöqtələr sisteminin kütlə mərkəzini götürmək təbiidir. Bu təsadüfi dəyişənin orta çəkisidir X, burada hər bir nöqtənin absisi xi müvafiq ehtimala bərabər “çəki” ilə daxil olur. Beləliklə əldə edilən təsadüfi dəyişənin orta qiyməti X onun riyazi gözləntiləri adlanır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və bu dəyərlərin ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal 1 Qazan-qazan lotereyası təşkil etdi. 1000 uduş var, onlardan 400-ü hər biri 10 rubl təşkil edir. Hər biri 300-20 rubl Hər biri 200-100 rubl. və hər biri 100 - 200 rubl. Bir bilet alan adamın orta uduşu nə qədərdir?
Həll. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubla bərabər olan uduşların ümumi məbləği 1000-ə (uduşun ümumi məbləği) bölünsə, orta uduşu tapacağıq. Sonra 50000/1000 = 50 rubl alırıq. Ancaq orta qazancın hesablanması üçün ifadə də aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:
Digər tərəfdən, bu şərtlərdə uduşların məbləği 10, 20, 100 və 200 rubl dəyərlərini ala bilən təsadüfi bir dəyişəndir. ehtimalları müvafiq olaraq 0,4-ə bərabər olan; 0,3; 0,2; 0.1. Buna görə də, gözlənilən orta gəlir, ödəmələrin ölçüsünün məhsulları və onların alınması ehtimalının cəminə bərabərdir.
Misal 2 Nəşriyyat yeni kitab nəşr etmək qərarına gəlib. Kitabı 280 rubla satmağa hazırlaşır, bunun 200-ü ona, 50-si kitab mağazasına, 30-u isə müəllifə veriləcək. Cədvəldə kitabın nəşrinin dəyəri və kitabın müəyyən sayda nüsxəsinin satılma ehtimalı haqqında məlumat verilir.
Nəşriyyatçının gözlənilən mənfəətini tapın.
Həll. Təsadüfi dəyişən "mənfəət" satışdan əldə edilən gəlirlə xərclərin dəyəri arasındakı fərqə bərabərdir. Məsələn, 500 nüsxə kitab satılırsa, o zaman satışdan əldə edilən gəlir 200 * 500 = 100.000, nəşrin dəyəri isə 225.000 rubl təşkil edir. Beləliklə, naşir 125 min rubl zərərlə üzləşir. Aşağıdakı cədvəl təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyərlərini ümumiləşdirir - mənfəət:
| Nömrə | Mənfəət xi | Ehtimal səhi | xi səh i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ümumi: | 1,00 | 25000 |
Beləliklə, nəşriyyatın qazancının riyazi gözləntisini əldə edirik:
.
Misal 3 Bir vuruşla vurmaq şansı səh= 0.2. 5-ə bərabər vuruş sayının riyazi gözləntisini təmin edən mərmilərin istehlakını müəyyənləşdirin.
Həll. İndiyə qədər istifadə etdiyimiz eyni gözləmə düsturundan ifadə edirik x- qabıq istehlakı:
.
Misal 4 Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin xüç atışla vuruşların sayı, əgər hər vuruşla vuruş ehtimalı səh = 0,4 .
İpucu: təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin ehtimalını tapın Bernoulli düsturu .
Gözləmə xüsusiyyətləri
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu sabitə bərabərdir:
Əmlak 2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
Əmlak 5. Təsadüfi dəyişənin bütün dəyərləri varsa X eyni sayda azalma (artırma). İLƏ, onda onun riyazi gözləntisi eyni sayda azalacaq (artır):
Yalnız riyazi gözləntilərlə məhdudlaşa bilməyəndə
Əksər hallarda təsadüfi dəyişəni yalnız riyazi gözlənti adekvat xarakterizə edə bilməz.
Təsadüfi dəyişənlərə icazə verin X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| Məna X | Ehtimal |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Məna Y | Ehtimal |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Bu kəmiyyətlərin riyazi gözləntiləri eynidir - sıfıra bərabərdir:
Lakin onların paylanması fərqlidir. Təsadüfi dəyər X yalnız riyazi gözləntilərdən və təsadüfi dəyişəndən az fərqlənən dəyərləri qəbul edə bilər Y riyazi gözləntidən əhəmiyyətli dərəcədə yayınan dəyərləri qəbul edə bilər. Oxşar bir misal: orta əmək haqqı yüksək və az maaş alan işçilərin nisbətini mühakimə etməyə imkan vermir. Başqa sözlə, riyazi gözlənti ilə heç olmasa orta hesabla ondan hansı sapmaların mümkün olduğunu mühakimə etmək olmaz. Bunun üçün təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapmaq lazımdır.
Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası
dispersiya diskret təsadüfi dəyişən X onun riyazi gözləntidən yayınma kvadratının riyazi gözləntisi adlanır:
Təsadüfi dəyişənin standart sapması X onun dispersiyasının kvadrat kökünün arifmetik qiymətidir:
.
Misal 5 Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını və standart kənarlaşmalarını hesablayın X Və Y paylanma qanunları yuxarıdakı cədvəllərdə verilmişdir.
Həll. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri X Və Y, yuxarıda tapıldığı kimi, sıfıra bərabərdir. Üçün dispersiya düsturuna görə E(X)=E(y)=0 alırıq:
Sonra təsadüfi dəyişənlərin standart kənarlaşmaları X Və Y təşkil edir
.
Beləliklə, eyni riyazi gözləntilərlə təsadüfi dəyişənin variasiyası Xçox kiçik və təsadüfi Y- əhəmiyyətli. Bu, onların paylanmasındakı fərqin nəticəsidir.
Misal 6İnvestorun 4 alternativ investisiya layihəsi var. Cədvəl bu layihələrdə gözlənilən mənfəət haqqında məlumatları müvafiq ehtimalla ümumiləşdirir.
| Layihə 1 | Layihə 2 | Layihə 3 | Layihə 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Hər bir alternativ üçün riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma tapın.
Həll. 3-cü alternativ üçün bu kəmiyyətlərin necə hesablandığını göstərək:
Cədvəl bütün alternativlər üçün tapılan dəyərləri ümumiləşdirir.
Bütün alternativlər eyni riyazi gözləntilərə malikdir. Bu o deməkdir ki, uzunmüddətli perspektivdə hər kəs eyni gəlirə malikdir. Standart kənarlaşma risk ölçüsü kimi şərh edilə bilər - nə qədər böyükdürsə, investisiya riski də bir o qədər yüksəkdir. Çox risk istəməyən investor 1-ci layihəni seçəcək, çünki o, ən kiçik standart sapmaya (0) malikdir. İnvestor qısa müddətdə riskə və yüksək gəlirə üstünlük verirsə, o zaman ən böyük layihəni seçəcək standart sapma- layihə 4.
Dispersiya xassələri
Dispersiyanın xüsusiyyətlərini təqdim edək.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin dispersiyası sıfırdır:
Əmlak 2. Sabit amil dispersiya işarəsindən onu kvadratlaşdırmaqla çıxarıla bilər:
.
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası bu dəyərin kvadratının riyazi gözləntisinə bərabərdir, ondan dəyərin özünün riyazi gözləntisinin kvadratı çıxarılır:
,
Harada 
.
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Misal 7 Məlumdur ki, diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki qiymət alır: −3 və 7. Bundan əlavə, riyazi gözlənti məlumdur: E(X) = 4. Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Həll. ilə işarələyin səh təsadüfi dəyişənin qiymət alması ehtimalı x1 = −3 . Sonra dəyərin ehtimalı x2 = 7 1 - olacaq səh. Riyazi gözləmə üçün tənliyi əldə edək:
E(X) = x 1 səh + x 2 (1 − səh) = −3səh + 7(1 − səh) = 4 ,
ehtimalları haradan əldə edirik: səh= 0,3 və 1 − səh = 0,7 .
Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | −3 | 7 |
| səh | 0,3 | 0,7 |
Bu təsadüfi dəyişənin dispersiyasını dispersiyanın 3-cü xüsusiyyətindən istifadə edərək hesablayırıq:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini özünüz tapın və sonra həllinə baxın
Misal 8 Diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki dəyər alır. 0,4 ehtimalı ilə daha böyük 3 qiymətini alır. Bundan əlavə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası məlumdur D(X) = 6. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Misal 9 Bir qabda 6 ağ və 4 qara top var. Qazandan 3 top alınır. Çəkilmiş toplar arasında ağ topların sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
Həll. Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2, 3 dəyərlərini qəbul edə bilər. Müvafiq ehtimallar aşağıdakılardan hesablana bilər. ehtimalların vurulması qaydası. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| səh | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Beləliklə, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Verilmiş təsadüfi dəyişənin dispersiyası:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası
Davamlı təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntinin mexaniki təfsiri eyni mənanı saxlayacaq: sıxlığı olan x oxuna davamlı olaraq paylanmış vahid kütlə üçün kütlə mərkəzi. f(x). Funksiya arqumenti olan diskret təsadüfi dəyişəndən fərqli olaraq xi ani olaraq dəyişir, davamlı təsadüfi dəyişən üçün arqument davamlı olaraq dəyişir. Lakin fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi də onun orta qiyməti ilə bağlıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapmaq üçün müəyyən inteqralları tapmaq lazımdır. . Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyası verilirsə, o, birbaşa inteqrana daxil olur. Əgər ehtimal paylama funksiyası verilmişdirsə, onda onu diferensiallaşdırmaqla sıxlıq funksiyasını tapmaq lazımdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin arifmetik ortası onun adlanır riyazi gözlənti, və ya ilə işarələnir.