Bir nöqtədə iki dəyişənli funksiyanın davamlılığı. İki dəyişənli funksiyanın limiti və davamlılığı

76. Şərti ekstremum. Laqranj çarpan metodu . z=f(x,y) funksiyası daxili M 0 (x 0 ,y 0) nöqtəsində şərti minimuma (maksimum) malikdir, əgər hansısa O(M 0) məhəlləsindən hər hansı M(x,y) nöqtəsi üçün uyğun gəlir. əlaqə tənliyi ϕ(x,y)=0, şərt ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y) 0)≤ 0). Ümumi halda bu problem naməlum Laqranj çarpanının λ ilə adi Laqranj ekstremumunun L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) tapılmasına gətirib çıxarır. L(x,y,λ) Laqranj funksiyasının ekstremumu üçün zəruri şərt üç naməlum x,y,λ olan üç tənlik sistemidir: . Laqranj funksiyasının ekstremumu üçün kafi şərt aşağıdakı ∆>0 ifadəsidir, onda M 0 (x 0 ,y 0) nöqtəsində z=f(x,y) funksiyası şərti minimuma malikdir, ∆.<0- то условный максимум.

77. Nömrələr seriyası. Əsas anlayışlar. Serial konvergensiya . Nömrə seriyası formanın ifadəsi adlanır, burada u 1 , u 2 ,….,u n ,… həqiqi və ya mürəkkəb ədədlər adlanır bir sıra üzvləri, siz n - ümumi üzv sıra. Seriyanın n sayının funksiyası kimi ifadə edilən u n ümumi üzvü məlumdursa, seriya verilmiş sayılır: u n =f(n) seriyanın ilk n üzvünə n-ci deyilir qismən məbləğ sıra və S n ilə işarələnir, yəni. S n =u 1 +u 2 +…+u n. Seriyanın qismən cəmlərinin ardıcıllığının sonlu həddi varsa , onda bu limit deyilir seriyanın cəmi və serial olduğunu deyirlər birləşir.

78. Konvergensiyanın zəruri əlaməti. Harmonik seriyası. Teorem: Qoy u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) ədəd silsiləsi yaxınlaşsın və onun cəmi S olsun. Sonra sıranın şərtlərinin n sayının qeyri-məhdud artması ilə onun ümumi termini u n 0-a meyl edir. Bu əlamət silsilənin yaxınlaşmasının zəruri, lakin kafi olmayan əlamətidir, çünki bərabərliyin mövcud olduğu seriyanı təyin edə bilərsiniz

Əslində, birləşsəydi, 0-a bərabər olardı.Beləliklə, sübut etdiyimiz teorem bəzən S n cəmini hesablamadan müəyyən seriyanın divergensiyası haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. Məsələn, sıra ona görə ayrılır . Harmonik seriyası- təbii sıraların ardıcıl ədədlərinin tərsləri olan sonsuz sayda həddlərdən ibarət cəmi: Seriya harmonik adlanır, çünki o, “harmoniklərdən” ibarətdir: (\displaystyle k) skripka simindən çıxarılan-ci harmonik uzunluqlu simin yaratdığı əsas tondur (\displaystyle (\frac (1)(k))) orijinal simin uzunluğu.

Tərif 1

Əgər hansısa domendən iki müstəqil dəyişənin hər $(x,y)$ cütü üçün müəyyən bir $z$ dəyəri əlaqələndirilirsə, onda $z$ iki dəyişənin $(x,y) funksiyası olduğu deyilir. $ bu domendə.

Qeyd: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ funksiyası iki müstəqil dəyişənin $(x,y)$ verilsin.

Qeyd 1

$(x,y)$ dəyişənləri müstəqil olduğu üçün onlardan biri dəyişə bilər, digəri isə sabit qalır.

$y$ dəyişəninin qiymətini dəyişməz saxlamaqla $x$ dəyişəninə $\Delta x$ artım verək.

Sonra $z=f(x,y)$ funksiyası artım alacaq ki, bu da $z=f(x,y)$ funksiyasının $x$ dəyişəninə nisbətən qismən artımı adlanacaq. Təyinat:

Tərif 2

Verilmiş funksiyanın $x$ dəyişəninə görə qismən törəmə $z=f(x,y)$ verilmiş funksiyanın qismən artımının $\Delta _(x) z$ nisbətinin həddidir. $\Delta x$-ı $\Delta x\-dən 0$-a qədər artırın.

Qeyd: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\qismən z)(\qismən x) ,\, \, \frac( \qismən f)(\qismən x) $.

Qeyd 2

\[\frac(\qismən z)(\qismən x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

$x$ dəyişəninin qiymətini dəyişməz saxlamaqla $y$ dəyişəninə $\Delta y$ artım verək.

Onda $z=f(x,y)$ funksiyası artım alacaq ki, bu da $z=f(x,y)$ funksiyasının $y$ dəyişəninə nisbətən qismən artımı adlanacaq. Təyinat:

Tərif 3

Verilmiş funksiyanın $y$ dəyişəninə görə qismən törəmə $z=f(x,y)$ verilmiş funksiyanın qismən artımının $\Delta _(y) z$ nisbətinin həddidir. $\Delta y$-dan $\Delta y\-ni 0$-a qədər artırın.

Qeyd: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\qismən z)(\qismən y) ,\, \, \frac( \qismən f)(\qismən y) $.

Qeyd 3

Qismən törəmənin tərifinə görə bizdə:

\[\frac(\qismən z)(\qismən y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Qeyd edək ki, verilmiş funksiyanın qismən törəməsinin hesablanması qaydaları bir dəyişənli funksiyanın törəmələrinin hesablanması qaydaları ilə üst-üstə düşür. Bununla belə, qismən törəməni hesablayarkən, qismən törəmənin hansı dəyişən üçün axtarıldığını xatırlamaq lazımdır.

Misal 1

Həlli:

$\frac(\qismən z)(\qismən x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ ($x$ dəyişəni ilə),

$\frac(\partial z)(\qismən y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ ($y$ dəyişəni ilə).

Misal 2

Verilmiş funksiyanın qismən törəmələrini təyin edin:

(1;2) nöqtəsində.

Həlli:

Qismən törəmələrin tərifinə görə alırıq:

$\frac(\qismən z)(\qismən x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ ($x$ dəyişəni ilə),

$\frac(\partial z)(\qismən y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ ($y$ dəyişəni ilə).

\[\sol. \frac(\partial z)(\qismən x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \sol. \frac(\qismən z)(\qismən y) \sağ|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Tərif 4

Əgər hansısa domendən üç müstəqil dəyişənin hər üçlü $(x,y,z)$ dəyəri üçün müəyyən bir $w$ dəyəri əlaqələndirilirsə, onda $w$ üç dəyişənin $(x,) funksiyası olduğu deyilir. y,z)$ bu sahədə.

Qeyd: $w=f(x,y,z)$.

Tərif 5

Müəyyən regiondan müstəqil dəyişənlərin hər $(x,y,z,...,t)$ dəsti üçün müəyyən bir $w$ dəyəri əlaqələndirilirsə, onda $w$ funksiyası deyilir. bu sahədə $(x,y, z,...,t)$ dəyişənləri.

Qeyd: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Üç və ya daha çox dəyişənin funksiyası üçün dəyişənlərin hər birinə aid qismən törəmələr iki dəyişənin funksiyası ilə eyni şəkildə müəyyən edilir:

$\frac(\qismən w)(\qismən z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\qismən w)(\qismən t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Delta t) $.

Misal 3

Verilmiş funksiyanın qismən törəmələrini təyin edin:

Həlli:

Qismən törəmələrin tərifinə görə alırıq:

$\frac(\qismən w)(\qismən x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ ($x$ dəyişəni ilə),

$\frac(\qismən w)(\qismən y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ ($y$ dəyişəni ilə),

$\frac(\qismən w)(\qismən z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ ($z$ dəyişəni ilə).

Misal 4

Verilmiş funksiyanın qismən törəmələrini təyin edin:

nöqtəsində (1;2;1).

Həlli:

Qismən törəmələrin tərifinə görə alırıq:

$\frac(\qismən w)(\qismən x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ ($x$ dəyişəni ilə),

$\frac(\qismən w)(\qismən y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ ($y$ dəyişəni ilə),

$\frac(\qismən w)(\qismən z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ ($z$ dəyişəni ilə) .

Müəyyən bir nöqtədə qismən törəmələrin dəyərləri:

\[\sol. \frac(\qismən w)(\qismən x) \sağ|_((1;2;1)) =1, \sol. \frac(\partial w)(\qismən y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \sol. \frac(\qismən w)(\qismən z) \sağ|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Misal 5

Verilmiş funksiyanın qismən törəmələrini təyin edin:

Həlli:

Qismən törəmələrin tərifinə görə alırıq:

$\frac(\qismən w)(\qismən x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x) ) $ ($x$ dəyişəni ilə),

$\frac(\qismən w)(\qismən y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ ($y dəyişəni üzrə $),

$\frac(\qismən w)(\qismən z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ ($z dəyişəni üzrə $),

$\frac(\qismən w)(\qismən t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ ($t dəyişəni üzrə $).

Bölmə: Ali riyaziyyat

mücərrəd

“Ali riyaziyyat” fənni üzrə

Mövzu: “Bir neçə dəyişənli funksiyaların həddi və davamlılığı”

Tolyatti, 2008

Giriş

Bir dəyişənin funksiyası anlayışı təbiətdə mövcud olan bütün asılılıqları əhatə etmir. Hətta ən sadə məsələlərdə belə kəmiyyətlər var ki, onların dəyərləri bir neçə kəmiyyətin qiymətlərinin birləşməsi ilə müəyyən edilir.

Belə asılılıqları öyrənmək üçün bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı təqdim edilir.

Bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı

Tərif. Böyüklük u bir neçə müstəqil dəyişənin funksiyası adlanır ( x, y, z, …, t), bu dəyişənlərin hər bir dəyər dəsti kəmiyyətin müəyyən bir dəyəri ilə əlaqələndirilirsə u.

Əgər dəyişən iki dəyişənin funksiyasıdırsa X Və saat, onda funksional asılılıq işarələnir

z = f (x, y).

Simvol f burada hərəkətlər toplusunu və ya dəyərin hesablanması qaydasını müəyyən edir z müəyyən bir cüt dəyər üçün X Və saat.

Beləliklə, funksiya üçün z = x 2 + 3xy

saat X= 1 və saat= 1 bizdə var z = 4,

saat X= 2 və saat= 3 var z = 22,

saat X= 4 və saat= 0 bizdə var z= 16 və s.

Kəmiyyət oxşar adlanır uüç dəyişənin funksiyası x, y, z, bir qayda verilirsə, verilən üçlü qiymətə gəldikdə x, y Və z müvafiq dəyəri hesablayın u:

u = F (x, y, z).

Burada simvol F hərəkətlər toplusunu və ya dəyərin hesablanması qaydasını müəyyən edir u, bu dəyərlərə uyğundur x, y Və z.

Beləliklə, funksiya üçün u = xy + 2xz – 3yz

saat X = 1, saat= 1 və z= 1 bizdə var u = 0,

saat X = 1, saat= -2 və z= 3 var u = 22,

saat X = 2, saat= -1 və z= -2 var u = -16 və s.

Beləliklə, əgər hər bir əhalinin hansısa qanunu əsasında n nömrələr ( x, y, z, …, t) bəzi dəstdən E dəyişənə xüsusi qiymət təyin edir u, sonra u funksiyası adlanır n dəyişənlər x, y, z, …, t, setdə müəyyən edilmişdir E, və işarə olunur

u = f(x, y, z, …, t).

Dəyişənlər x, y, z, …, t funksiya arqumentləri, çoxluq adlanır E– funksiyanın təyini sahəsi.

Funksiyanın qismən dəyəri funksiyanın müəyyən nöqtədəki qiymətidir M 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) və təyin edilir f (M 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Funksiya sahəsi funksiyanın istənilən real dəyərlərinə uyğun gələn bütün arqument dəyərlərinin məcmusudur.

İki dəyişənin funksiyası z = f (x, y) kosmosda hansısa səthlə təmsil olunur. Yəni koordinatları olan bir nöqtə olduqda X, saat müstəvidə yerləşən funksiyanın tərifinin bütün domenindən keçir xOy, müvafiq fəza nöqtəsi, ümumiyyətlə, səthi təsvir edir.

Üç dəyişənin funksiyası u = F (x, y, z) üçölçülü fəzada müəyyən nöqtələr toplusunun bir nöqtəsinin funksiyası kimi qəbul edilir. Eynilə, funksiya n dəyişənlər u = f(x, y, z, …, t) bəzilərinin nöqtəsinin funksiyası kimi qəbul edilir n-ölçülü məkan.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın limiti

Bir neçə dəyişənli funksiyanın həddi anlayışını vermək üçün biz özümüzü iki dəyişən halı ilə məhdudlaşdırırıq. X Və saat. Tərifinə görə, funksiyası f (x, y) nöqtədə limiti var ( X 0 , saat 0), ədədə bərabərdir A, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(onlar da yazırlar f (x, y) →A saat (x, y) → (X 0 , saat 0)), əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü və bir məhdudiyyət varsa

nə olursa olsun ( X 0 , saat 0) nöqtələrin ardıcıllığı ( x k, y k).

Bir dəyişənin funksiyası vəziyyətində olduğu kimi, iki dəyişənin funksiyasının limitinin başqa bir ekvivalent tərifi təqdim edilə bilər: funksiya f nöqtəsində var ( X 0 , saat 0) həddi bərabərdir A, əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0) istisna olmaqla, bəlkə də bu nöqtənin özü üçün və hər hansı ε > 0 üçün δ > 0 var ki,

| f (x, y) – A| < ε(3)

hər kəs üçün (x, y) , bərabərsizliklərin ödənilməsi

Bu tərif, öz növbəsində, aşağıdakılara ekvivalentdir: istənilən ε > 0 üçün nöqtənin δ qonşuluğu var ( X 0 , saat 0) hamı üçün ( x, y) bu məhəllədən, fərqli (( X 0 , saat 0), bərabərsizlik (3) ödənilir.

İxtiyari bir nöqtənin koordinatları olduğundan ( x, y) nöqtənin qonşuluğu ( X 0 , saat 0) kimi yazıla bilər x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ saat, onda (1) bərabərliyi aşağıdakı bərabərliyə ekvivalentdir:

Nöqtənin qonşuluğunda müəyyən edilmiş bəzi funksiyanı nəzərdən keçirək ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü istisna olmaqla.

Qoy ω = (ω X, ω saat) – uzunluğu bir olan ixtiyari vektor (|ω| 2 = ω X 2 + ω saat 2 = 1) və t> 0 – skalyar. Baxış nöqtələri

(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t)

-dən çıxan şüa əmələ gətirir. X 0 , saat 0) ω vektoru istiqamətində. Hər ω üçün funksiyanı nəzərdən keçirə bilərik

f(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t< δ)

skalyar dəyişəndən t, burada δ kifayət qədər kiçik rəqəmdir.

Bu funksiyanın limiti (bir dəyişən) t)

varsa, onu hədd adlandırmaq təbiidir f nöqtədə ( X 0 , saat 0) ω istiqamətində.

Misal 1. Funksiyalar

təyyarədə müəyyən edilmiş ( x, y) bənd istisna olmaqla X 0 = 0, saat 0 = 0. Bizdə (nəzərə alın ki

(ε > 0 üçün biz δ = ε/2 və sonra | təyin edirik f (x, y) | < ε, если

buradan aydın olur ki, müxtəlif istiqamətlərdə (0, 0) nöqtəsində φ həddi ümumiyyətlə fərqlidir (vahid şüa vektoru y = kx, X> 0, formasına malikdir

Misal 2. Gəlin nəzərdən keçirək R 2 funksiyası

Bu funksiya istənilən xəttin (0, 0) nöqtəsindədir y = kx mənşədən keçmək sıfıra bərabər bir həddə malikdir:

Lakin bu funksiyanın (0, 0) nöqtələrində limiti yoxdur, çünki nə zaman y = x 2

yazacağıq

|f (x, y) | > N,

0 olan kimi<

Limitdən də danışa bilərik f, Nə vaxt X, saat → ∞:

Məsələn, sonlu ədəd vəziyyətində A(5) bərabərliyi o mənada başa düşülməlidir ki, hər ε > 0 üçün belə var N> 0, bu hər kəs üçündür X, saat, bunun üçün | x| > N, |y| > N, funksiyası f müəyyən edilir və bərabərsizlik qorunur

Təbiətdə, iqtisadiyyatda və sosial həyatda baş verən bir çox hadisələri bir dəyişənin funksiyasından istifadə etməklə təsvir etmək mümkün deyil. Məsələn, müəssisənin rentabelliyi mənfəətdən, əsas və dövriyyə kapitalından asılıdır. Bu növ asılılığı öyrənmək üçün bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı təqdim olunur.

Bu mühazirə iki dəyişənin funksiyalarını müzakirə edir, çünki iki dəyişənin funksiyaları üçün tərtib edilmiş bütün əsas anlayışlar və teoremlər daha çox dəyişənlər üçün asanlıqla ümumiləşdirilə bilər.

Qoy B– sıralı cüt həqiqi ədədlər toplusu.

Tərif 1Əgər hər bir sıralanmış ədəd cütü, hansısa qanuna görə, tək həqiqi ədədlə əlaqələndirilirsə, onda onlar deyirlər ki, verilmiş iki dəyişənin funksiyası və ya . Nömrələr çağırılır müstəqil dəyişənlər və ya funksiya arqumentləri, və nömrədir asılı dəyişən.

Məsələn, silindrin həcmini ifadə edən düstur iki dəyişənin funksiyasıdır: – əsas radius və – hündürlük.

Bir cüt ədəd bəzən nöqtə adlanır və iki dəyişən funksiyası bəzən nöqtə funksiyası adlanır.

Funksiya dəyəri nöqtədə işarə edir və ya və zəng edin iki dəyişənli funksiyanın özəl qiyməti.

Funksiyanın təyin olunduğu bütün nöqtələrin çoxluğu , çağırdı tərif sahəsi bu funksiya. İki dəyişənin funksiyası üçün tərif sahəsi bütün koordinat müstəvisi və ya onun bir və ya bir neçə sətirlə məhdudlaşdırılmış hissəsidir.

Məsələn, funksiyanın tərif sahəsi bütün müstəvi və funksiyalardır – mərkəzi başlanğıcda olan vahid dairə ( və ya .

İki dəyişənli funksiyanın həddi və davamlılığı anlayışları bir dəyişən halına bənzəyir.

Təyyarədə ixtiyari bir nöqtə olsun. – nöqtənin qonşuluğu koordinatları bərabərsizliyi təmin edən bütün nöqtələrin çoxluğudur. Başqa sözlə, bir nöqtənin qonşuluğu, mərkəzi nöqtədə və radiusda olan dairənin bütün daxili nöqtələridir.

Tərif 2 Nömrə çağırılır funksiyanın limiti saat (və ya nöqtədə), əgər hər hansı bir ixtiyari kiçik müsbət ədəd üçün (asılı olaraq) varsa, hamı üçün , bərabərsizliyi ödəməklə bərabərsizlik təmin edilir .

Limit aşağıdakı kimi göstərilir: və ya .

Misal 1 Həddini tapın .

Həll. Qeydi təqdim edək , harada. At bizdə bu var. Sonra

.

Tərif 3 Funksiya çağırılır bir nöqtədə davamlıdır, əgər: 1) nöqtədə və onun ətrafında müəyyən edilir; 2) son həddi var; 3) bu hədd funksiyanın nöqtədəki qiymətinə bərabərdir, yəni. .

Funksiya çağırdı müəyyən sahədə davamlıdır, bu bölgənin hər nöqtəsində davamlı olarsa.

Davamlılıq şərtinin təmin olunmadığı nöqtələr çağırılır qırılma nöqtələri bu funksiya. Bəzi funksiyalarda qırılma nöqtələri bütün qırılma xətlərini təşkil edir. Məsələn, funksiyanın iki kəsilmə xətti var: axis() və axis().

Misal 2 Funksiya kəsilmə nöqtələrini tapın .

Həll. Bu funksiya məxrəcin itdiyi nöqtələrdə, yəni nöqtələrdə müəyyən edilmir. və ya . Bu, mərkəzi başlanğıcda və radiusda olan bir dairədir. Bu o deməkdir ki, orijinal funksiyanın kəsilmə xətti çevrə olacaqdır.

2 Birinci dərəcəli qismən törəmələr. Tam diferensial.
Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr

İki dəyişənli funksiya verilsin . Gəlin arqumentə artım verək və arqumenti dəyişməz buraxaq. Sonra funksiya çağırılan bir artım alacaq dəyişənə görə şəxsi artım və ilə işarələnir:

Eynilə, arqumenti düzəltmək və arqumentə artım verməklə, biz əldə edirik funksiyanın dəyişənə görə qismən artımı:

Kəmiyyət deyilir nöqtədə funksiyanın tam artımı .

Tərif 4 İki dəyişənli funksiyanın qismən törəməsi bu dəyişənlərdən birinə uyğun olaraq, funksiyanın müvafiq qismən artımının verilmiş dəyişənin artımına nisbətinin həddi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə (əgər bu hədd varsa) çağırılır.

Qismən törəmə aşağıdakı kimi işarələnir: və ya , və ya .

Beləliklə, 4-cü tərifə görə biz:

Qismən törəmə funksiyalar eyni qaydalara və düsturlara əsasən bir dəyişənin funksiyası kimi hesablanır, nəzərə alınmaqla, dəyişənə görə diferensiallaşdırılarkən, sabit hesab olunur və dəyişənə görə diferensiallaşdıqda daimi hesab olunur.

Misal 3 Funksiyaların qismən törəmələrini tapın:

Həlli:

1 Tapmaq üçün sayırıq sabit dəyər və fərqləndirmə bir dəyişənin funksiyası kimi:

Eynilə, sabit bir dəyəri nəzərə alaraq, tapırıq:

.

.

Tərif 5 Tam diferensial funksiya bu funksiyanın qismən törəmələrinin müvafiq müstəqil dəyişənlərin artımları ilə hasillərinin cəmidir, yəni.

.

Təmirsiz üçün: , və ümumi diferensialın düsturu kimi yazıla bilər

və ya .

Misal 4 Funksiyanın tam diferensialını tapın .

Həll.Çünki , sonra tapdığımız ümumi diferensial düsturdan istifadə edərək

.

Qismən törəmələrə birinci dərəcəli qismən törəmələr deyilir.

Tərif 6 İkinci dərəcəli qismən törəmələr funksiyalara birinci dərəcəli qismən törəmələrin qismən törəmələri deyilir.

Dörd ikinci dərəcəli qismən törəmə var. Onlar aşağıdakı kimi təyin edilir:

Və ya ; və ya ;

Və ya ; və ya .

3-cü, 4-cü və daha yüksək sıraların qismən törəmələri də oxşar şəkildə müəyyən edilir. Məsələn, funksiya üçün bizdə:

; və s.

Müxtəlif dəyişənlərə münasibətdə götürülmüş ikinci və ya daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr deyilir qarışıq qismən törəmələr. Funksiya üçün bunlar törəmələrdir. Qeyd edək ki, qarışıq törəmələr davamlı olduqda, bərabərlik qorunur.

Misal 5 Funksiyanın ikinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın.

Həll. Bu funksiya üçün birinci dərəcəli qismən törəmələr Nümunə 3-də verilmişdir:

Dəyişənlərə görə fərqləndirmə X Və y, alırıq:

3 Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu.
Ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri və kafi şərtlər

Tərif 7 Nöqtə deyilir minimum (maksimum) nöqtə bir nöqtənin qonşuluğu varsa, funksiyası bu qonşuluğun bütün nöqtələri üçün bərabərsizlikdir , ().

Funksiyanın minimum və maksimum nöqtələri adlanırlar ekstremal nöqtələr, və bu nöqtələrdə funksiya dəyərləri funksiyanın ekstremumu(müvafiq olaraq minimum və maksimum).

Qeyd edək ki, minimum və maksimum funksiyalar var yerli simvol, çünki bir nöqtədə funksiyanın dəyəri kifayət qədər yaxın nöqtələrdəki dəyərləri ilə müqayisə edilir.

Teorem 1(ekstremum üçün zəruri şərtlər). Əgər diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtəsidir, onda bu nöqtədə onun qismən törəmələri sıfıra bərabərdir: .

Birinci dərəcəli qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğu nöqtələr deyilir tənqidi və ya stasionar. Kritik nöqtələrdə funksiya ekstremum ola bilər və ya olmaya bilər.

Teorem 2(ekstremum üçün kafi şərt) funksiyası: a) kritik nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilsin Və ; b) ikinci dərəcəli davamlı qismən törəmələrə malikdir . Sonra əgər , onda nöqtədəki funksiya ekstremuma malikdir: maksimum, əgər A<0; минимум, если А>0; Əgər , onda funksiyanın ekstremum nöqtəsi yoxdur. halda ekstremumun olması məsələsi açıq qalır.

Ekstremum üçün iki dəyişənli funksiyanı öyrənərkən aşağıdakı sxemdən istifadə etmək tövsiyə olunur:

1 Birinci dərəcəli qismən törəmələri tapın: Və .

2 Tənliklər sistemini həll edin və funksiyanın kritik nöqtələrini tapın.

3 İkinci dərəcəli qismən törəmələri tapın: , , .

4 Hər birində ikinci dərəcəli qismən törəmələrin dəyərlərini hesablayın

kritik nöqtəyə çatın və kifayət qədər şərtlərdən istifadə edərək, ekstremumun olması barədə nəticə çıxarın.

5 Funksiyanın ekstremumunu tapın.

Misal 6 Funksiyanın ekstremumunu tapın .

Həlli:

1 Qismən törəmələrin tapılması Və :

; .

2 Kritik nöqtələri müəyyən etmək üçün tənliklər sistemini həll edirik:

və ya

Sistemin birinci tənliyindən tapırıq: . Tapılan dəyəri əvəz etmək y ikinci tənlikdə alırıq:

, , ,

.

Dəyərlərin tapılması y, dəyərlərə uyğundur . Əvəzedici dəyərlər tənliyə daxil olaraq alırıq: ; Əsas qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlində bərabərlik təmin edilir.

Həll.İnteqrasiyanın nəticəsini fərqləndirək:

.

Biz inteqranı əldə etdik, ona görə də inteqrasiya düzgündür.

Tərif 1. Nömrə A hər hansı bir ixtiyari kiçik müsbət ədəd üçün nöqtədən daha kiçik məsafədə yerləşən bütün nöqtələr üçün bərabərsizliyin yerinə yetirildiyi müsbət ədəd varsa, funksiyanın nöqtədə (və ya və -də) həddi adlanır.

Limit göstərilib.

Tərif 2. Funksiya
bu nöqtədə funksiyanın həddi varsa və bu nöqtədə davamlı adlanır .

Funksiyanın davamlılıq xassəsinə malik olmadığı nöqtələrə kəsilmə nöqtələri deyilir.

Bir dəyişənli funksiyanın hədləri nəzəriyyəsinin bütün xassələri və üsulları bir neçə dəyişənli funksiyalara köçürülür.

2) Təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. Təsadüfi dəyişən bəzi ehtimal fəzasında müəyyən edilmiş ölçülə bilən funksiyadır

Diskret qiymət təsadüfi dəyişəndir ki, sınaqdan keçirildikdə təcrid olunmuş qiymətlərdən birini qəbul edə bilir, onların sayı sonludur. Bunlara birinci qrupdakı miqdarlar daxildir.
Təsadüfi dəyişən davamlı adlanır ki, bu da dəyişmə hüdudları daxilində sonlu və ya sonsuz ola bilən istənilən qiymətləri qəbul edə bilər. Bunlara ikinci qrupdakı miqdarlar daxildir.

Bilet № 6

1) Eksponentasiya- ilkin olaraq natural ədədin özünə təkrar vurulmasından əldə edilən ikili əməliyyat. Təyinat: çağırılır dərəcə ilə əsas Və göstərici .

Moivre düsturu kompleks ədədlər üçün bunu bildirir

hər kəs üçün

Düstur 1707-ci ildə onu quran böyük İ.Nyutonun dostu, riyaziyyatçı İ.Moivrin şərəfinə adlandırılmışdır; L.Euler düstura müasir görünüş verdi.

Sübut [redaktə]

Moivre düsturu dərhal Eyler düsturundan və eksponensialların eyniliyindən gəlir, burada b- tam ədəd.

Ərizə [redaktə]

Bənzər bir düstur kökləri hesablayarkən də tətbiq olunur n-sıfırdan fərqli kompleks ədədin -ci dərəcəsi:

Harada k = 0, 1, …, n-1.

Hipotezlərin ehtimalı

Hipotezlərin ehtimalı.

B1, B2, tam qrup əmələ gətirən uyğun olmayan hadisələrdən birinin baş verməsi şərti ilə A hadisəsi baş versin. Bu hadisələrdən hansının baş verəcəyi əvvəlcədən bilinmədiyi üçün onlara fərziyyə deyilir. A hadisəsinin baş vermə ehtimalı ümumi ehtimal düsturu ilə müəyyən edilir:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Bayes düsturu:

,

Hipotezin əvvəlki ehtimalı A(belə terminologiyanın mənası üçün aşağıya baxın);

Hipotez ehtimalı A hadisə baş verdikdə B(arxa ehtimal);

Hadisənin baş vermə ehtimalı B hipotez doğrudursa A;

Hadisənin baş verməsinin ümumi ehtimalı B.

Misal:

Hesablama nümunəsi

Birinci işçi üçün evlənmə ehtimalı , ikinci işçi üçün - , üçüncü üçün - olsun. Birincisi hissələri, ikincisi hissələri, üçüncüsü hissələri düzəldirdi. Mağaza müdiri təsadüfi bir hissəni götürür və onun qüsurlu olduğu ortaya çıxır. Sual olunur, üçüncü işçinin bu hissəni hazırlaması ehtimalı nə qədərdir?

Hadisə - qüsurlu hissə, hadisə - işçinin istehsal etdiyi hissə. Sonra , harada və . Ümumi ehtimal düsturuna görə

Bayes düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

Bilet № 12

1. Triqonometrik Furye seriyası- ixtiyari funksiyanın seriya şəklində dövrlə təsviri

əmsallar ao,an və bn Furye əmsalları adlanır və onları tapmaq olarsa, (1) sıra f(x) funksiyasına uyğun gələn Furye seriyası adlanır. (1) seriyası üçün (a1cosx+b1sinx) termini birinci və ya əsas harmonik adlanır,

2π dövrü olan dövri funksiyaların Furye seriyası.

Furye seriyası

Sinx və cosx cəmi vasitəsilə standart (=adi) notasiya

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

burada ao, a1,a2,...,b1,b2,.. real sabitlərdir, yəni.

2.Əks hadisələr.
Qarşıda tam qrup təşkil edən iki unikal mümkün hadisəni adlandırın. İki əks hadisədən biri A ilə işarələnirsə, digəri adətən işarələnir

Teorem. Qarşılıqlı hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

Misal 1. Hədəfə atəş açarkən vurmaq və itmək əks hadisələrdir. Əgər A hitdirsə, əks hadisə qaçır.

Misal 2. Bir hissə qutudan təsadüfi olaraq götürülür. “Standart hissə meydana çıxdı” və “qeyri-standart hissə meydana çıxdı” hadisələri bir-birinə ziddir

, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, açıq şəkildə 10/21-ə bərabərdir. [ 1 ]

Gəlin hesablayaq əks hadisənin baş vermə ehtimalı A. Hadisə ondadır ki, seçilmiş nömrədə verilən üç rəqəmdən heç biri yoxdur. [ 2 ]

məbləğ əks hadisələrin ehtimalları birinə bərabərdir. [ 3 ]

Eyni zamanda əks hadisənin baş vermə ehtimalı A 1-a-dan böyük olacaq, yəni A hadisəsinin ehtimalı sıfıra yaxın olduğu kimi birə yaxın olacaq.

Bilet № 9

1. Tezlik poliqonu seqmentləri nöqtələri birləşdirən qırıq xətt adlanır ( x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Tezlik çoxbucaqlısını qurmaq üçün seçimlər absis oxunda qurulur. x i , və ordinatda - müvafiq tezliklər n i . xallar ( x i ; n i ) düz seqmentlərlə birləşdirilir və tezlikli çoxbucaqlı alınır

Tezlik histoqramıəsasları qismən uzunluq intervalları olan düzbucaqlılardan ibarət pilləli fiqur deyilir h , və hündürlüklər nisbətə bərabərdir NIH Agentliyi (tezlik sıxlığı).

2. Hadisələr A Və INəgər müstəqil adlanır P(AB) = P(A) P(B).Çoxsaylı hadisələr A, IN, İLƏ,... müstəqil adlanır, əgər onların birgə həyata keçirilməsi ehtimalı ayrılıqda onların hər birinin ehtimallarının hasilinə bərabərdir: R(ABC…) = R(A)R(IN)R(İLƏ)…

Bəzən nisbət R(AB) = R(A) R(IN|A) = P(B)P(A|B), üçün etibarlıdır P(A)P(B) > 0, buna ehtimal vurma teoremi də deyilir

Bilet № 11

1) X təsadüfi kəmiyyəti, bütün ədədi oxda müəyyən edilmiş mənfi olmayan p(t) funksiyası varsa fasiləsiz (fasiləsiz paylanmış) dəyişən adlanır ki, bütün x üçün təsadüfi dəyişən F(x) paylama funksiyası olsun. ) bərabərdir:

.

Bu halda p(t) funksiyası fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanma sıxlığı adlanır.

Əgər belə bir p(t) funksiyası mövcud deyilsə, X davamlı paylanmış təsadüfi dəyişən deyil.

Beləliklə, paylanma sıxlığını bilməklə (6.7) düsturundan istifadə etməklə F(x) paylanma funksiyasını asanlıqla tapmaq olar. Və əksinə, məlum paylama funksiyasından istifadə edərək paylama sıxlığı bərpa edilə bilər:

Ehtimal sıxlığının xassələri

davamlı təsadüfi dəyişən:

1. Paylanma sıxlığı mənfi olmayan funksiyadır:

Həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, paylanma sıxlığı qrafiki ya Ox oxunun üstündə, ya da bu oxda yerləşir.

F(+¥)=1 olduğunu nəzərə alsaq, alırıq: =1. Bunlar. ehtimal sıxlığı qrafiki ilə x oxu arasındakı sahə birinə bərabərdir.

Bu iki xüsusiyyət ehtimal sıxlığının paylanması üçün xarakterikdir. Qarşılıqlı ifadə də sübut edilmişdir:

A və B hadisələrinin cəmi A və B hadisələrindən ən azı biri baş verdikdə baş verən üçüncü A + B hadisəsidir.

A və B hadisələrinin hasili üçüncü AB hadisəsidir ki, bu da yalnız və yalnız həm A, həm də B hadisələri olduqda baş verir.

İki hadisənin cəmi və hasili anlayışları açıq şəkildə hər hansı hadisələr toplusunun işinə köçürülür.

A hadisəsinə əks olan hadisə yalnız və yalnız A hadisəsi baş vermədikdə baş verən hadisədir.