Tərif 2
1-ci tərifin şərtini ödəyən çoxbucaqlı çevrə ətrafında məhdudlaşmış adlanır.
Şəkil 1. Yazılı dairə
Teorem 1 (üçbucağa daxil edilmiş dairə haqqında)
Teorem 1
İstənilən üçbucağa bir dairə yaza bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Onun içərisində $O$ nöqtəsində kəsişən bissektrisalar çəkək və ondan üçbucağın tərəflərinə perpendikulyarlar çəkək (şək. 2).
Şəkil 2. Teorem 1-in təsviri
Mövcudluq: Mərkəzi $O$ nöqtəsində və radiusu $OK olan çevrə çəkək.\ $$O$ nöqtəsi üç bissektrisa üzərində yerləşdiyindən o, $ABC$ üçbucağının tərəflərindən bərabər məsafədədir. Yəni, $OM=OK=OL$. Nəticə etibarilə, qurulmuş dairə $M\ və\ L$ nöqtələrindən də keçir. $OM,OK\ və\OL$ üçbucağın tərəflərinə perpendikulyar olduğundan, çevrənin tangens teoremi ilə qurulmuş çevrə üçbucağın hər üç tərəfinə toxunur. Buna görə də, üçbucağın özbaşınalığına görə, hər hansı bir üçbucaqda bir dairə yazıla bilər.
Unikallıq: Tutaq ki, mərkəzi $O"$ nöqtəsində olan başqa bir dairə $ABC$ üçbucağına yazıla bilər. Onun mərkəzi üçbucağın tərəflərindən bərabər məsafədə yerləşir və buna görə də $O$ nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və radiusuna bərabərdir. uzunluq $OK$ Lakin sonra bu dairə birinci ilə üst-üstə düşəcək.
Teorem sübut edilmişdir.
Nəticə 1: Üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzi onun bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir.
Yazılı dairə anlayışı ilə bağlı daha bir neçə fakt:
Hər dördbucaqlı bir dairəyə sığa bilməz.
İstənilən dairəvi dördbucaqlıda əks tərəflərin cəmi bərabərdir.
Qabarıq dördbucağın əks tərəflərinin cəmi bərabərdirsə, onda bir dairə yazıla bilər.
Tərif 3
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrənin üzərində yerləşirsə, onda çevrə çoxbucaqlı ətrafında dairəvi adlanır (şək. 3).
Tərif 4
2-ci tərifə cavab verən çoxbucaqlının dairəyə daxil edildiyi deyilir.
Şəkil 3. Dairəvi dairə
Teorem 2 (üçbucağın dairəsi haqqında)
Teorem 2
Hər hansı bir üçbucağın ətrafında bir dairə təsvir edə bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Onun içində $O$ nöqtəsində kəsişən perpendikulyar bissektrisalar çəkək və onu üçbucağın təpələri ilə birləşdirək (şək. 4).
Şəkil 4. Teorem 2-nin təsviri
Mövcudluq: Gəlin mərkəzi $O$ nöqtəsində və radiusu $OC$ olan bir dairə quraq. $O$ nöqtəsi üçbucağın təpələrindən bərabər məsafədədir, yəni $OA=OB=OC$. Nəticə etibarı ilə, qurulmuş dairə verilmiş üçbucağın bütün təpələrindən keçir, yəni onun bu üçbucağın ətrafında əhatə olunmuşdur.
Unikallıq: Tutaq ki, $ABC$ üçbucağının ətrafında mərkəzi $O"$ nöqtəsində olan başqa bir dairə təsvir edilə bilər. Onun mərkəzi üçbucağın təpələrindən bərabər məsafədə yerləşir və buna görə də $O$ nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və radius $OC $ uzunluğuna bərabərdir, lakin sonra bu dairə birinci ilə üst-üstə düşəcəkdir.
Teorem sübut edilmişdir.
Nəticə 1: Üçbucağın ətrafında çəkilmiş çevrənin mərkəzi onun biseksektoral perpendikulyarlarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür.
Dairə anlayışı ilə bağlı daha bir neçə faktı təqdim edirik:
Dördbucaqlı ətrafında dairəni təsvir etmək həmişə mümkün deyil.
İstənilən tsiklik dördbucaqlıda əks bucaqların cəmi $(180)^0$-dır.
Dördbucaqlının əks bucaqlarının cəmi $(180)^0$ olarsa, onun ətrafında çevrə çəkilə bilər.
Yazılı və məhdud dairələr anlayışlarına dair problem nümunəsi
Misal 1
İkitərəfli üçbucağın əsası 8 sm, tərəfi isə 5 sm-dir, çəkilmiş dairənin radiusunu tapın.
Həll.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Nəticə 1-ə görə, dairənin mərkəzinin bissektrisaların kəsişməsində olduğunu bilirik. $O$ nöqtəsində kəsişən $AK$ və $BM$ bissektrisalarını çəkək. $O$ nöqtəsindən $BC$ tərəfinə perpendikulyar $OH$ çəkək. Bir şəkil çəkək:
Şəkil 5.
Üçbucaq ikitərəfli olduğundan, $BM$ həm median, həm də hündürlükdür. Pifaqor teoremi ilə $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- daxil edilmiş dairənin tələb olunan radiusu. $MC$ və $CH$ kəsişən tangenslərin seqmentləri olduğundan, kəsişən tangenslər haqqında teoremə əsasən $CH=MC=4\cm$ olur. Buna görə də, $BH=5-4=1\ sm$. $BO=3-r$. Pifaqor teoreminə görə $OHB$ üçbucağından əldə edirik:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Cavab:$\frac(4)(3)$.
Tərif 2
1-ci tərifin şərtini ödəyən çoxbucaqlı çevrə ətrafında məhdudlaşmış adlanır.
Şəkil 1. Yazılı dairə
Teorem 1 (üçbucağa daxil edilmiş dairə haqqında)
Teorem 1
İstənilən üçbucağa bir dairə yaza bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Onun içərisində $O$ nöqtəsində kəsişən bissektrisalar çəkək və ondan üçbucağın tərəflərinə perpendikulyarlar çəkək (şək. 2).
Şəkil 2. Teorem 1-in təsviri
Mövcudluq: Mərkəzi $O$ nöqtəsində və radiusu $OK olan çevrə çəkək.\ $$O$ nöqtəsi üç bissektrisa üzərində yerləşdiyindən o, $ABC$ üçbucağının tərəflərindən bərabər məsafədədir. Yəni, $OM=OK=OL$. Nəticə etibarilə, qurulmuş dairə $M\ və\ L$ nöqtələrindən də keçir. $OM,OK\ və\OL$ üçbucağın tərəflərinə perpendikulyar olduğundan, çevrənin tangens teoremi ilə qurulmuş çevrə üçbucağın hər üç tərəfinə toxunur. Buna görə də, üçbucağın özbaşınalığına görə, hər hansı bir üçbucaqda bir dairə yazıla bilər.
Unikallıq: Tutaq ki, mərkəzi $O"$ nöqtəsində olan başqa bir dairə $ABC$ üçbucağına yazıla bilər. Onun mərkəzi üçbucağın tərəflərindən bərabər məsafədə yerləşir və buna görə də $O$ nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və radiusuna bərabərdir. uzunluq $OK$ Lakin sonra bu dairə birinci ilə üst-üstə düşəcək.
Teorem sübut edilmişdir.
Nəticə 1: Üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzi onun bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir.
Yazılı dairə anlayışı ilə bağlı daha bir neçə fakt:
Hər dördbucaqlı bir dairəyə sığa bilməz.
İstənilən dairəvi dördbucaqlıda əks tərəflərin cəmi bərabərdir.
Qabarıq dördbucağın əks tərəflərinin cəmi bərabərdirsə, onda bir dairə yazıla bilər.
Tərif 3
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrənin üzərində yerləşirsə, onda çevrə çoxbucaqlı ətrafında dairəvi adlanır (şək. 3).
Tərif 4
2-ci tərifə cavab verən çoxbucaqlının dairəyə daxil edildiyi deyilir.
Şəkil 3. Dairəvi dairə
Teorem 2 (üçbucağın dairəsi haqqında)
Teorem 2
Hər hansı bir üçbucağın ətrafında bir dairə təsvir edə bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Onun içində $O$ nöqtəsində kəsişən perpendikulyar bissektrisalar çəkək və onu üçbucağın təpələri ilə birləşdirək (şək. 4).
Şəkil 4. Teorem 2-nin təsviri
Mövcudluq: Gəlin mərkəzi $O$ nöqtəsində və radiusu $OC$ olan bir dairə quraq. $O$ nöqtəsi üçbucağın təpələrindən bərabər məsafədədir, yəni $OA=OB=OC$. Nəticə etibarı ilə, qurulmuş dairə verilmiş üçbucağın bütün təpələrindən keçir, yəni onun bu üçbucağın ətrafında əhatə olunmuşdur.
Unikallıq: Tutaq ki, $ABC$ üçbucağının ətrafında mərkəzi $O"$ nöqtəsində olan başqa bir dairə təsvir edilə bilər. Onun mərkəzi üçbucağın təpələrindən bərabər məsafədə yerləşir və buna görə də $O$ nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və radius $OC $ uzunluğuna bərabərdir, lakin sonra bu dairə birinci ilə üst-üstə düşəcəkdir.
Teorem sübut edilmişdir.
Nəticə 1: Üçbucağın ətrafında çəkilmiş çevrənin mərkəzi onun biseksektoral perpendikulyarlarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür.
Dairə anlayışı ilə bağlı daha bir neçə faktı təqdim edirik:
Dördbucaqlı ətrafında dairəni təsvir etmək həmişə mümkün deyil.
İstənilən tsiklik dördbucaqlıda əks bucaqların cəmi $(180)^0$-dır.
Dördbucaqlının əks bucaqlarının cəmi $(180)^0$ olarsa, onun ətrafında çevrə çəkilə bilər.
Yazılı və məhdud dairələr anlayışlarına dair problem nümunəsi
Misal 1
İkitərəfli üçbucağın əsası 8 sm, tərəfi isə 5 sm-dir, çəkilmiş dairənin radiusunu tapın.
Həll.
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Nəticə 1-ə görə, dairənin mərkəzinin bissektrisaların kəsişməsində olduğunu bilirik. $O$ nöqtəsində kəsişən $AK$ və $BM$ bissektrisalarını çəkək. $O$ nöqtəsindən $BC$ tərəfinə perpendikulyar $OH$ çəkək. Bir şəkil çəkək:
Şəkil 5.
Üçbucaq ikitərəfli olduğundan, $BM$ həm median, həm də hündürlükdür. Pifaqor teoremi ilə $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- daxil edilmiş dairənin tələb olunan radiusu. $MC$ və $CH$ kəsişən tangenslərin seqmentləri olduğundan, kəsişən tangenslər haqqında teoremə əsasən $CH=MC=4\cm$ olur. Buna görə də, $BH=5-4=1\ sm$. $BO=3-r$. Pifaqor teoreminə görə $OHB$ üçbucağından əldə edirik:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Cavab:$\frac(4)(3)$.
Yazılı üçbucaq- təpələri bütün dairənin üzərində olan üçbucaq. Sonra çevrənin üçbucağın ətrafına çəkildiyi deyilir.
Aydındır ki, dairəvi dairənin mərkəzindən üçbucağın təpələrinin hər birinə qədər olan məsafə eyni və bu dairənin radiusuna bərabərdir.
Hər hansı bir üçbucağın ətrafında bir dairə təsvir edə bilərsiniz və yalnız bir.
Dairə yazılmışdır bütün tərəflərinə toxunarsa, üçbucağa çevrilir. Sonra üçbucağın özü olacaq təsvir edilmişdir dairə ətrafında. Yazılı çevrənin mərkəzindən üçbucağın hər tərəfinə qədər olan məsafə bu dairənin radiusuna bərabərdir.
İstənilən üçbucağa bir dairə yaza bilərsiniz və yalnız bir.
Özünüz və üçbucağın ətrafındakı bir dairəni təsvir etməyə çalışın daxil edin dairəni üçbucağa çevirin.
Sizcə niyə dairənin mərkəzi üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsi, dairənin mərkəzi isə onun tərəflərinə perpendikulyar bissektrisaların kəsişmə nöqtəsidir?
IN Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarıən çox yayılmışları yazılı və hüdudları çəkilmiş müntəzəm üçbucaqlardır.
Başqa vəzifələr də var. Onları həll etmək üçün sizə lazım olacaq üçbucağın sahəsi üçün daha iki düstur, və həmçinin sinus teoremi.
Kvadrat üçbucaq onun perimetrinin hasilinin yarısına və yazılmış dairənin radiusuna bərabərdir.
S = p r,
burada p = ( a+b+c) - yarım perimetr,
r üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusudur.
Əsasən C hissəsindəki məsələlərdə istifadə olunan başqa bir düstur var:
Harada a, b, c- üçbucağın tərəfləri, R - əhatə olunmuş dairənin radiusu.
İstənilən üçbucaq üçün doğrudur sinus teoremi:
1. İkitərəfli düzbucaqlıya daxil edilmiş çevrənin radiusu 2-dir. Bu üçbucağın c hipotenuzunu tapın. Zəhmət olmasa cavabınızda qeyd edin.
Üçbucaq düzbucaqlı və ikitərəflidir. Bu o deməkdir ki, onun ayaqları eynidir. Qoy hər ayaq bərabər olsun A. Sonra hipotenuz bərabərdir A .
ABC üçbucağının sahəsini iki şəkildə yazırıq:
Bu ifadələri bərabərləşdirərək bunu əldə edirik. Çünki biz bunu alırıq. Sonra .
Cavabı yazacağıq.
2. ABC üçbucağının AB tərəfi onun ətrafına çəkilmiş çevrənin radiusuna bərabərdir. C bucağını tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.
Sinus qanununa görə,
Bu günahı C = alırıq. C bucağı ensizdir. Beləliklə, 150 ° -ə bərabərdir.
Cavab: 150.
3. İkitərəfli üçbucağın tərəfləri 40, əsası 48-dir. Bu üçbucağın dairəvi radiusunu tapın.
Üçbucağın bucaqları verilmir. Yaxşı, onun sahəsini iki fərqli şəkildə ifadə edək.
S = ah, burada h üçbucağın hündürlüyüdür. Tapmaq çətin deyil - axı ikitərəfli üçbucaqda hündürlük də mediandır, yəni AB tərəfini yarıya bölür. Pifaqor teoremindən istifadə edərək h = 32 tapırıq. Onda R = 25.
EGE-Study » Tədris materialları» Həndəsə: sıfırdan C4-ə qədər » Yazılı və əhatəli dördbucaqlılar
Bu dərsdə biz yazılı və dairəvi dairələr nəzəriyyəsinin əsaslandığı əsasları xatırlayacağıq, sərhədlənmiş və yazılan dördbucaqlıların xüsusiyyətlərini xatırlayacağıq. Bundan əlavə, biz müxtəlif hallarda cızılmış və yazılan dairənin radiuslarını tapmaq üçün düsturlar əldə edəcəyik.
Mövzu: Dairə
Dərs: Yazılı və Dahili Dairələr
Hər şeydən əvvəl, bir üçbucağa nisbətən yazılı və dairəvi dairələrdən danışırıq. Üçbucağın bissektrisalarının və perpendikulyar bissektrisalarının xassələrini öyrəndiyimiz üçün bu mövzuya hazırlaşmışıq.
Dairə istənilən üçbucaqda yazıla bilər (bax. Şəkil 1).
düyü. 1
Sübut:
Biz bilirik ki, üçbucağın bütün bissektrisaları bir nöqtədə kəsişir - qoy O nöqtəsində olsun. AO, BO, CO bissektrisalarını çəkək. Onların kəsişmə nöqtəsi O üçbucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir. Bucağın tərəflərindən - AC və AB-dən bərabər məsafədədir, çünki bu bucağın bissektrisasına aiddir. Eynilə, bucaqların tərəflərindən və beləliklə, üçbucağın üç tərəfindən bərabər məsafədədir.
O nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə - OM-dən AC tərəfinə, OL-dən BC-yə, OK-dən AB-yə perpendikulyar salaq. Bu perpendikulyarlar O nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə olan məsafələr olacaq və onlar bərabərdir:
.
O nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə qədər olan məsafəni r kimi işarə edək və mərkəzi O nöqtəsində və radiusu r olan çevrəni nəzərdən keçirək.
Dairə AB düz xəttinə toxunur, çünki ilə ortaq K nöqtəsi var və bu nöqtəyə çəkilmiş OK radiusu AB düz xəttinə perpendikulyardır. Eynilə, dairə AC və BC xətlərinə toxunur. Beləliklə, dairə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunur, yəni o, üçbucağın içərisinə yazılmışdır.
Beləliklə, üçbucağın üç bissektrisaları dairənin mərkəzi olan nöqtədə kəsişir.
Başqa bir teoremi nəzərdən keçirək, bu, üçbucağın perpendikulyar bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsinə aiddir. Biz bilirik ki, onlar bir nöqtədə kəsişirlər və bu nöqtə üçbucaq ətrafında çəkilmiş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür.
İstənilən üçbucağın ətrafında dairə çəkilə bilər.
Beləliklə, üçbucaq verilir. BC üçbucağının tərəfinə p 1 bissektrisasını, AB tərəfinə p 2, AC tərəfinə p 3 çəkək (şək. 2-ə bax).
Perpendikulyar bissektrisaların xassələri haqqında teoremə görə, seqmentin perpendikulyar bissektrisasına aid olan nöqtə seqmentin uclarından bərabər məsafədə yerləşir. Ona görə də, çünki Q nöqtəsi AC seqmentinə perpendikulyar bisektora aiddir. Eynilə. Beləliklə, Q nöqtəsi üçbucağın təpələrindən bərabər məsafədədir. Beləliklə, QA, QB, QC radiuslardır
düyü. 2
üçbucaq ətrafında çevrələnmiş dairə. Radiusu R kimi qeyd edək. Biseksektoral perpendikulyarların kəsişməsinin O nöqtəsi çevrilmiş çevrənin mərkəzidir.
Müəyyən bir dördbucaqlıya yazılmış dairəni və bu dördbucağın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək (bax şək. 3).
Bucağın bissektrisasında yerləşən nöqtənin xassələrini xatırlayaq.
Bucaq verilmişdir, onun bissektrisa AL, M nöqtəsi bissektrisa üzərində yerləşir.
M nöqtəsi bucağın bissektrisasında yerləşirsə, o zaman bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir, yəni M nöqtəsindən AC-yə və bucağın tərəflərinin BC-yə qədər olan məsafələri bərabərdir.
düyü. 3
Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. M nöqtəsindən AB tərəfinə MK və AC tərəfinə MR perpendikulyarları çəkirik.
Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bu düz üçbucaqlar, və onlar bərabərdir, çünki ümumi hipotenuzası AM var və bucaqlar bərabərdir, çünki AL bucağın bissektrisasıdır. Beləliklə, düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuza və iti bucaq baxımından bərabərdir, bundan belə nəticə çıxır ki, sübut etmək lazım olan budur. Beləliklə, bucağın bissektrisasındakı nöqtə həmin bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir.
Bundan əlavə, ayaqları. Beləliklə, bir nöqtədən dairəyə çəkilmiş toxunan seqmentlər bərabərdir.
Beləliklə, dördbucaqlıya qayıdaq. İlk addım onun içinə bissektrisa çəkməkdir.
Dördbucaqlının bütün bissektrisaları bir nöqtədə kəsişir - O nöqtəsi, daxil edilmiş dairənin mərkəzi.
O nöqtəsindən K, L, M, N nöqtələrinə dördbucaqlının tərəflərinə perpendikulyarları aşağı salırıq və toxunma nöqtələrini təyin edirik (bax şək. 3).
Bir nöqtədən çevrəyə çəkilmiş tangenslər bir-birinə bərabərdir, beləliklə, hər təpədən bir cüt bərabər tangens çıxır: , , , .
düyü. 3
Əgər dairəni dördbucaqlıya daxil etmək olarsa, onda onun əks tərəflərinin cəmi bərabərdir. Bunu sübut etmək asandır:
Mötərizələri genişləndirək:
Beləliklə, sadə, lakin vacib bir teoremi sübut etdik.
Əgər dairəni dördbucaqlıya daxil etmək olarsa, onda onun əks tərəflərinin cəmi bərabərdir.
Ədalətli tərs teorem.
Dördbucaqlıda əks tərəflərin cəmi bərabərdirsə, onda bir dairə yazıla bilər.
Dördbucaqlı ətrafında çevrələnmiş bir dairəni nəzərdən keçirək.
Mərkəzi O olan dairə və ixtiyari ABCD dördbucaqlı verilmişdir. Bu dördbucağın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək. Verilmiş dördbucaqlının bütün dörd perpendikulyar bisektoru bir nöqtədə kəsişir: bu nöqtə dairənin mərkəzidir.
Bütün dörd perpendikulyar bisektorun bir nöqtədə kəsişdiyini sübut etmək yorucu olardı. Başqa bir əlamət var. Gəlin ےА bucağını nəzərdən keçirək, bu, çevrənin yazılı bucağıdır, qövsə söykənir və bu qövsün dərəcə ölçüsünün yarısı ilə ölçülür (bax. Şəkil 4). ےА bucağını , sonra qövsü kimi qeyd edək . Eynilə, əks bucağı ےС olaraq təyin edirik, o, dairəyə yazılmışdır və qövsə söykənir. Beləliklə, qövs.
düyü. 4
Qövslər tam bir dairə təşkil edir. Buradan:
, 
Nəticə ifadəni ikiyə bölərək alırıq:
Beləliklə, biz birbaşa teoremi sübut etdik.
Teorem
Dördbucaqlının ətrafında dairə çəkilibsə, onun əks bucaqlarının cəmi .
Bu, zəruri və kafi əlamətdir, yəni əks teorem doğrudur.
Dördbucaqlının əks bucaqlarının cəmi olarsa, bu dördbucağın ətrafında dairə çəkilə bilər.
Bu teoremlərə əsaslanaraq qeyd edirik ki, paraleloqram ətrafında çevrəni təsvir etmək qeyri-mümkündür, çünki onun əks bucaqları bərabərdir və onların cəmi bərabər deyildir (bax şək. 5).
düyü. 5
Bir paraleloqramın ətrafında bir çevrə təsvir edilə bilərdi, əgər onun əks bucaqları 90°-yə bərabər olarsa, yəni düzbucaqlı olsaydı, beləliklə, bir düzbucaqlı ətrafında bir dairə təsvir edilə bilərdi (bax. Şəkil 6).
düyü. 6
Rombun ətrafındakı dairəni təsvir etmək də qeyri-mümkündür, lakin onu daxil etmək olar, çünki rombun bütün tərəfləri bərabərdir və buna görə də rombun əks tərəflərinin cəmi bərabərdir.
Bundan əlavə, rombda hər bir diaqonal bissektrisadır;
düyü. 7
Beləliklə, biz sübut etdik ki, çevrə istənilən üçbucaqda yazıla bilər və bu çevrənin mərkəzi üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Həm də sübut etdik ki, hər hansı üçbucaq ətrafında çevrə təsvir oluna bilər və onun mərkəzi perpendikulyar bisektorların kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşəcək. Bundan əlavə, gördük ki, bəzi dördbucaqlılar dairə ilə yazıla bilər və bunun üçün dördbucağın əks tərəflərinin cəminin bərabər olması lazımdır. Onu da göstərdik ki, bəzi dördbucaqlılar ətrafında çevrəni təsvir etmək olar və bunun üçün zəruri və kafi şərt əks bucaqların cəminin bərabərliyidir.
İstinadlar
- Aleksandrov A.D. və başqaları, 8-ci sinif. - M.: Təhsil, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Həndəsə 8 sinif. - M.: Təhsil, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Həndəsə 8 sinif. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
Ev tapşırığı
Bu məqalədə tələb olunan minimum dairə məlumat dəsti var uğurla başa çatması Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanı.
Çevrə dairənin mərkəzi adlanan verilmiş nöqtədən eyni məsafədə yerləşən nöqtələr toplusudur.
Dairənin üzərində yerləşən hər hansı bir nöqtə üçün bərabərlik təmin edilir (Seqmentin uzunluğu dairənin radiusuna bərabərdir.
Dairənin iki nöqtəsini birləşdirən xətt seqmentinə deyilir akkord.
Dairənin mərkəzindən keçən akkorda deyilir diametri dairə() .
Ətraf:
Dairə sahəsi:
Bir dairənin qövsü:
Çevrənin iki nöqtə arasında qalan hissəsi deyilir qövs dairələr. Bir dairədə iki nöqtə iki qövs təyin edir. Akkord iki qövsdən ibarətdir: və . Bərabər akkordlar bərabər qövsləri əhatə edir.
İki radius arasındakı bucaq deyilir mərkəzi bucaq :
Qövs uzunluğunu tapmaq üçün bir nisbət edirik:
a) bucaq dərəcə ilə verilir:
b) bucaq radyanla verilir:
Akkorda perpendikulyar diametr , bu akkordu və onun keçdiyi qövsləri yarıya bölür:
Əgər akkordlar Və dairələr bir nöqtədə kəsişir , onda bir nöqtə ilə bölündükləri akkord seqmentlərinin məhsulları bir-birinə bərabərdir:
Bir dairəyə toxunan.
Bir dairə ilə ortaq nöqtəsi olan düz xətt deyilir tangens dairəyə. Bir dairə ilə ortaq iki nöqtəsi olan düz xətt deyilir sekant
Dairəyə toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.
Əgər verilmiş nöqtədən dairəyə iki tangens çəkilirsə, onda tangens seqmentləri bir-birinə bərabərdir və dairənin mərkəzi bu nöqtədə təpə ilə bucağın bisektorunda yerləşir:
Əgər verilmiş nöqtədən çevrəyə tangens və sekant çəkilirsə, onda tangens seqment uzunluğunun kvadratı məhsula bərabərdir bütün seqment onun xarici hissəsinə kəsilir :
Nəticə: bir sekantın bütün seqmentinin və onun xarici hissəsinin hasili digər sekantın bütün seqmentinin və onun xarici hissəsinin hasilinə bərabərdir:
Bir dairədə bucaqlar.
Mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsü onun dayandığı qövsün dərəcə ölçüsünə bərabərdir:
Təpəsi çevrə üzərində olan və tərəflərində akkordlar olan bucaq deyilir yazılmış bucaq . Yazılı bucaq onun keçdiyi qövsün yarısı ilə ölçülür:
∠∠
Diametrə uyğun olaraq yazılmış bucaq düzgündür:
∠∠∠
Bir qövsün altındakı yazılı bucaqlar bərabərdir :
Bir akkorda daxil olan yazılı bucaqlar bərabərdir və ya onların cəmi bərabərdir
∠∠
Verilmiş əsası və təpə bucaqları bərabər olan üçbucaqların təpələri eyni çevrə üzərində yerləşir:
İki akkord arasındakı bucaq (dairənin içərisində təpəsi olan bucaq) verilmiş bucaq daxilində və şaquli bucağın içərisində olan dairənin qövslərinin bucaq dəyərlərinin cəminin yarısına bərabərdir.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
İki sekant arasındakı bucaq (dairənin xaricində təpəsi olan bucaq) bucağın içərisində olan dairənin qövslərinin bucaq dəyərlərinin yarı fərqinə bərabərdir.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Yazılı dairə.
Dairə deyilir çoxbucaqlı şəklində yazılmışdır , yanlarına toxunarsa. Yazılı dairənin mərkəzi çoxbucaqlının bucaqlarının bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir.
Hər çoxbucaqlı bir dairəyə sığa bilməz.
Bir dairənin yazılmış olduğu çoxbucaqlı sahəsi düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar
burada çoxbucaqlının yarımperimetri və içəriyə alınmış çevrənin radiusudur.
Buradan yazılmış dairə radiusu bərabərdir
Bir dairə qabarıq dördbucaqlıya yazılmışdırsa, əks tərəflərin uzunluqlarının cəmi bərabərdir. . Əksinə: qabarıq dördbucaqlıda əks tərəflərin uzunluqlarının cəmi bərabərdirsə, onda dördbucaqlıya bir dairə yazıla bilər:
İstənilən üçbucağa bir dairə yaza bilərsiniz və yalnız bir. Dairənin mərkəzi üçbucağın daxili bucaqlarının bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir.
Yazılı dairə radiusu
bərabərdir. Budur 
Məhdud dairə.
Dairə deyilir çoxbucaqlı haqqında təsvir edilmişdir , çoxbucaqlının bütün təpələrindən keçirsə. Dairənin mərkəzi çoxbucaqlının tərəflərinin perpendikulyar bisektorlarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Radius, verilmiş çoxbucaqlının hər hansı üç təpəsi ilə müəyyən edilmiş üçbucaqla əhatə olunmuş dairənin radiusu kimi hesablanır:
Dördbucaqlı ətrafında bir dairə yalnız və yalnız əks bucaqlarının cəmi bərabər olduqda təsvir edilə bilər. .
Hər hansı bir üçbucağın ətrafında bir dairə təsvir edə bilərsiniz və yalnız bir. Onun mərkəzi üçbucağın tərəflərinin perpendikulyar bisektorlarının kəsişmə nöqtəsində yerləşir:
Circumradius düsturlardan istifadə edərək hesablanır:
Üçbucağın tərəflərinin uzunluqları haradadır və onun sahəsidir.
Ptolemey teoremi
Dövrlü dördbucaqlıda diaqonalların hasili onun əks tərəflərinin məhsullarının cəminə bərabərdir: