›

Vərəq üçün fraktal ölçü tərifləri. Fraktal xassələri

Yuxarı və aşağı Minkowski ölçülərini məhdudlaşdırın və müvafiq olaraq danışın.

Minkowski ölçüsünə yaxın bir anlayış Hausdorff ölçüsüdür. Bir çox hallarda bu ölçülər üst-üstə düşür, baxmayaraq ki, onların fərqli olduğu dəstlər var.

Nümunələr

Detallarda

Bunu göstərən qeyri-rəsmi müzakirə aşağıdakı kimidir. Seqment 1/2 faktoru ilə orijinal seqmentə bənzər 2 hissəyə bölünə bilər. Diametr dəstləri ilə bir seqmenti örtmək üçün 1 / n, yarıların hər birini belə dəstlərlə örtməliyik. Ancaq onların yarısı üçün 2 / diametrli dəstlərin bütün seqmenti ilə eyni məbləğə ehtiyacınız var. n. Bu səbəbdən seqment üçün bizdə var. Yəni artdıqda n iki dəfə ρ( n) də ikiqatdır. Başqa sözlə, ρ( n) xətti funksiyadır.

Kvadrat üçün oxşar arqument verir. Yəni artdıqda n iki dəfə ρ( n) 4 dəfə artır. Başqa sözlə, ρ( n) kvadrat funksiyadır. Nəhayət, Koch əyrisi hər biri 1/3 əmsalı ilə orijinal əyriyə bənzəyən 4 hissədən ibarətdir. Ona görə də onun üçün. Əvəz edən n = 3 k, alırıq. Buradan belə çıxır ki, ölçü ln4 /-ə bərabərdir. ln 3 .

Formal olaraq: n fraktalın addımı olsun, n-ci pillədə 4 olacaq n bərabər seqmentlər, uzunluq 3 − n. ε üçün uzunluğu 3 − olan seqmenti götürün n, sonra bütün Koch əyrisini əhatə etmək üçün bizə 4 lazımdır n seqmentlər. ε→0 şərtinin ödənilməsi üçün n→-ə meyl edək. alın

Xüsusiyyətlər

  • Çoxluqların sonlu birliyinin Minkovski ölçüsü onların ölçülərinin maksimumuna bərabərdir. Hausdorff ölçüsündən fərqli olaraq, bu hesablana bilən birləşmə üçün doğru deyil. Məsələn, 0 ilə 1 arasında olan rasional ədədlər çoxluğu Minkovski ölçüsü 1-ə malikdir, baxmayaraq ki, o, bir elementli çoxluqların (hər birinin ölçüsü 0-a malikdir) hesablana bilən birliyidir. Sıfırdan fərqli Minkovski ölçüsü olan qapalı hesablana bilən çoxluğun nümunəsi yuxarıda verilmişdir.
  • Hər hansı bir çoxluğun aşağı Minkovski ölçüsü onun Hausdorff ölçüsündən böyük və ya ona bərabərdir.
  • İstənilən çoxluğun Minkovski ölçüsü onun bağlanmasının Minkovski ölçüsünə bərabərdir. Buna görə də qapalı çoxluqların yalnız Minkovski ölçüləri haqqında danışmaq məntiqlidir.

həmçinin bax

Wikimedia Fondu. 2010.

  • Trakya (Balkan yarımadasındakı orijinal bölgə)
  • fraktal kainat

Digər lüğətlərdə "Fraktal Ölçü" nə olduğuna baxın:

    Ölçü (dəyərlər)- Ölçü: Riyaziyyatda Ölçü nəzəriyyəsi ölçülərin öyrənildiyi topologiyanın bir hissəsidir - müəyyən bir növün ədədi topoloji invariantları. Məkanın ölçüsü ... ... Wikipedia üçün tələb olunan müstəqil parametrlərin sayıdır

    Ölçü- Ölçü: Riyaziyyatda Ölçü nəzəriyyəsi ölçülərin öyrənildiyi topologiyanın bir hissəsidir - müəyyən bir növün ədədi topoloji invariantları. Məkan ölçüsü dövləti təsvir etmək üçün tələb olunan müstəqil parametrlərin sayıdır ... ... Vikipediya

    fraktal qrafika- Mandelbrot dəsti fraktalın klassik nümunəsidir.Fraktal (lat. fractus əzilmiş) öz-özünə oxşarlıq xassəsinə malik həndəsi fiqur mənasını verən termindir, yəni bir neçə hissədən ibarət olan və hər biri bir-birinə bənzəyir. bütün rəqəm ... ... Vikipediya

    fraktal kainat

    fraktal kosmologiya- Atomizmdən fərqli olaraq maddənin sonsuz yuvalanması nəzəriyyəsi (fraktal nəzəriyyə), alternativ fəlsəfi, fiziki və kosmoloji nəzəriyyə. Bu nəzəriyyə müşahidə edilən ... ... Vikipediyanın strukturu haqqında induktiv məntiqi nəticələrə əsaslanır

    fraktal nəzəriyyə- Atomizmdən fərqli olaraq maddənin sonsuz yuvalanması nəzəriyyəsi (fraktal nəzəriyyə), alternativ fəlsəfi, fiziki və kosmoloji nəzəriyyə. Bu nəzəriyyə müşahidə edilən ... ... Vikipediyanın strukturu haqqında induktiv məntiqi nəticələrə əsaslanır

    Turbulentlik- Bu adda film üçün bax: Turbulentlik (film). Davamlı Mexanika ... Vikipediya

    nizamsız axın

    turbulent axın- Davamlı mexanika Kontinuum mühit Klassik mexanika Kütlənin saxlanması qanunu impulsun saxlanması qanunu ... Wikipedia

    Turbulentlik- Davamlı mexanika Kontinuum mühit Klassik mexanika Kütlənin saxlanması qanunu impulsun saxlanması qanunu ... Wikipedia

Kitablar

  • Dinamik xaos, S. P. Kuznetsov. Dinamik xaos haqqında fikirlərin əsasları təsvir edilmişdir - bu yaxınlarda fəal şəkildə öyrənilən və müxtəlif təbiətli qeyri-xətti sistemlərdə rast gəlinən bir fenomen - mexaniki, ...

Fraktallar haqqında çox danışılır. İnternetdə fraktallara həsr olunmuş yüzlərlə sayt var. Lakin məlumatların çoxu fraktalların gözəl olması ilə bağlıdır. Fraktalların sirri onların kəsr ölçüsü ilə izah olunur, lakin fraksiya ölçüsünün nə olduğunu az adam başa düşür.

1996-cı ildə haradasa kəsr ölçüsünün nə olduğu və onun mənasının nə olduğu ilə maraqlandım. Təsəvvür edin ki, bunun elə də mürəkkəb bir şey olmadığını və hər bir tələbənin bunu başa düşə biləcəyini biləndə təəccübləndim.

Mən burada fraksiya ölçüsünün nə olduğunu məşhur şəkildə ifadə etməyə çalışacağam. Bu mövzuda kəskin məlumat çatışmazlığını kompensasiya etmək.

Bədən ölçüləri

Birincisi, cisimlərin ölçülməsi ilə bağlı gündəlik fikirlərimizi müəyyən bir nizama salmaq üçün kiçik bir giriş.

Formulaların riyazi dəqiqliyinə çalışmadan, ölçü, ölçü və ölçünün nə olduğunu anlayaq.

Bir obyektin ölçüsü bir hökmdarla ölçülə bilər. Əksər hallarda ölçü qeyri-məlumatlı olur. Hansı "dağ" daha böyükdür?

Hündürlükləri müqayisə etsək, daha qırmızı, eni isə yaşıldır.

Ölçülərin müqayisəsi, əgər əşyalar bir-birinə bənzəyirsə, məlumatlandırıcı ola bilər:

İndi hansı ölçüləri müqayisə etsək də: eni, hündürlüyü, tərəfi, perimetri, yazılmış dairənin radiusu və ya hər hansı başqa, həmişə yaşıl dağın daha böyük olduğu ortaya çıxır.

Ölçü həm də obyektlərin ölçülməsinə xidmət edir, lakin o, hökmdarla ölçülmür. Tam olaraq necə ölçüldüyü barədə danışacağıq, amma indi onun əsas xüsusiyyətini qeyd edirik - tədbir əlavədir.

Gündəlik dildə iki obyekt birləşdirildikdə obyektlərin cəminin ölçüsü ilkin obyektlərin ölçülərinin cəminə bərabər olur.

Bir ölçülü obyektlər üçün ölçü ölçüyə mütənasibdir. Uzunluğu 1 sm və 3 sm olan seqmentləri götürsəniz, onları bir-birinə "qatlayın", onda "ümumi" seqmentin uzunluğu 4 sm (1 + 3 = 4 sm) olacaq.

Qeyri-ölçülü cisimlər üçün ölçü bəzi qaydalara əsasən hesablanır ki, onlar tədbirin əlavəliyi qoruyub saxlaması üçün seçilir. Məsələn, tərəfləri 3 sm və 4 sm olan kvadratları götürsəniz və onları "qatlasanız" (bir-birinə birləşdirsəniz), onda sahələr (9 + 16 = 25 sm²) toplanacaq, yəni nəticənin tərəfi (ölçüsü) olacaqdır. 5 sm olsun.

Həm şərtlər, həm də cəmi kvadratlardır. Onlar bir-birinə bənzəyir və ölçülərini müqayisə edə bilərik. Məlum olur ki, cəminin böyüklüyü terminlərin ölçülərinin cəminə bərabər deyil (5≄4+3).

Ölçü və ölçü necə bağlıdır?

Ölçü

Yalnız ölçü və ölçü və ölçüsü birləşdirməyə imkan verir.

Ölçüsü - D, ölçü - M, ölçü - L qeyd edək. Onda bu üç kəmiyyəti birləşdirən düstur belə görünəcək:

Bizə tanış olan tədbirlər üçün bu düstur tanış maskalar alır. İki ölçülü cisimlər üçün (D=2) ölçü (M) sahə (S), üçölçülü cisimlər üçün (D=3) - həcm (V):


S \u003d L 2, V \u003d L 3

Diqqətli oxucu soruşacaq ki, biz bərabər işarəni hansı hüquqla yazmışıq? Yaxşı, kvadratın sahəsi onun tərəfinin kvadratına bərabərdir, amma dairənin sahəsi? Bu düstur hər hansı obyekt üçün işləyirmi?

Bəli və xeyr. Bərabərlikləri nisbətlərlə əvəz edib əmsallar daxil edə bilərsiniz və ya düsturun işləməsi üçün cisimlərin ölçülərini daxil etdiyimizi güman edə bilərsiniz. Məsələn, bir dairə üçün qövs uzunluğunun ölçüsünü "pi" radianlarının kökünə bərabər adlandıracağıq. Niyə də yox?

Hər halda, əmsalların olması və ya olmaması sonrakı əsaslandırmanın mahiyyətini dəyişməyəcəkdir. Sadəlik üçün əmsalları təqdim etməyəcəyəm; istəsəniz, onları özünüz əlavə edə bilərsiniz, bütün əsaslandırmaları təkrarlaya və onların (mülahizələrin) etibarlılığını itirmədiyinə əmin ola bilərsiniz.

Bütün deyilənlərdən belə bir nəticə çıxarmalıyıq ki, rəqəm N dəfə kiçildilirsə (miqyaslı), onda o, orijinal N D dəfəyə uyğun olacaq.

Doğrudan da, (D=1) seqment 5 dəfə kiçilsə, o zaman ilkin birinə tam beş dəfə sığar (5 1 =5); Əgər üçbucaq (D = 2) 3 dəfə kiçilsə, o zaman orijinala 9 dəfə sığar (3 2 = 9).

Kub (D = 3) 2 dəfə azaldılsa, o, orijinala 8 dəfə (2 3 = 8) uyğunlaşacaqdır.

Bunun əksi də doğrudur: əgər fiqurun ölçüsü N dəfə kiçildildikdə onun n dəfə orijinala sığdığı ortaya çıxsa (yəni ölçüsü n dəfə azalıb), onda ölçüsü hesablamaq olar. formula ilə.

Mandelbrot fraktalın aşağıdakı ilkin tərifini təklif etdi:

Fraktal, Hausdorff-Besikoviç ölçüsü topoloji ölçüsündən ciddi şəkildə böyük olan çoxluqdur.

Bu tərif öz növbəsində çoxluq terminlərinin, Hausdorff-Besikovitz ölçüsünün və həmişə tam ədəd olan topoloji ölçüsünün təriflərini tələb edir. Məqsədlərimizə görə, biz eyni anlayışların daha ciddi, lakin formal təqdimatındansa, bu terminlərin çox boş təriflərinə və illüstrativ təsvirlərə (sadə nümunələrdən istifadə etməklə) üstünlük veririk. Mandelbrot onun ilkin tərifini aşağıdakılarla əvəz etməyi təklif edərək daraltdı

Fraktal müəyyən mənada bütünə bənzəyən hissələrdən ibarət strukturdur.

Fraktalların ciddi və tam tərifi hələ mövcud deyil. Fakt budur ki, birinci tərif, bütün düzgünlüyünə və dəqiqliyinə baxmayaraq, həddindən artıq məhdudlaşdırıcıdır. Fizikada rast gəlinən bir çox fraktalları istisna edir. İkinci tərif kitabımızda vurğulanan və təcrübədə müşahidə edilən mühüm fərqləndirici xüsusiyyəti ehtiva edir: fraktal hansı miqyasda müşahidə olunsa da, eyni görünür. Ən azı bir neçə gözəl cumulus buludları götürün. Onlar nəhəng "donuzlardan" ibarətdir ki, onların üzərində daha kiçik "qöpəklər" qalxır, onların üzərində - hətta daha az "qöpəklər" və s. həll edə biləcəyiniz ən kiçik miqyasda. Əslində buludların yalnız görünüşü və əlavə məlumat olmadan buludların ölçüsünü təxmin etmək mümkün deyil.

Bu kitabda müzakirə olunan fraktallar kosmosda iç-içə olan nöqtələr toplusu kimi düşünülə bilər. Məsələn, adi Evklid fəzasında xətt təşkil edən nöqtələr çoxluğu topoloji ölçüyə və Hausdorff-Besikoviç ölçüsünə malikdir.Evklid fəza ölçüsü Çünki Mandelbrotun tərifinə görə, xətt üçün fraktal deyil, bu da təsdiq edir. tərifin əsaslılığı. Eynilə c fəzasında səth təşkil edən nöqtələr çoxluğu topoloji ölçüyə malikdir.Adi səthin nə qədər mürəkkəb olsa da fraktal olmadığını görürük. Nəhayət, top və ya tam kürə malikdir.Bu nümunələr nəzərdən keçirdiyimiz dəstlərin bəzi növlərini müəyyən etməyə imkan verir.

Hausdorff-Besikoviç ölçüsünün və deməli, fraktal ölçünün tərifində mərkəzi yeri fəzada nöqtələr arasındakı məsafə anlayışı təşkil edir. "Bölgəni" necə ölçmək olar

kosmosda Y nöqtələrini təyin edir? Əyrilərin uzunluğunu, səthlərin sahəsini və ya cismin həcmini ölçməyin asan yolu, Şəkil 1-də göstərildiyi kimi boşluğu 8 kənarı olan kiçik kublara bölməkdir. 2.5. Kubların əvəzinə diametri 8 olan kiçik kürələri götürmək olar. Əgər kiçik kürənin mərkəzini çoxluğun hansısa nöqtəsinə yerləşdirsək, mərkəzdən uzaqda yerləşən bütün nöqtələr bu kürə ilə əhatə olunacaq. Bizi maraqlandıran nöqtələr toplusunu əhatə etmək üçün lazım olan kürələrin sayını hesablayaraq, çoxluğun ölçüsünün ölçüsünü əldə edirik. Bir əyri onu əhatə etmək üçün lazım olan 8 uzunluqda düz xətt seqmentlərinin sayını təyin etməklə ölçülə bilər. Təbii ki, adi əyri üçün əyrinin uzunluğu həddə keçidlə müəyyən edilir

Limitdə misal asimptotik olaraq əyrinin uzunluğuna bərabər olur və 8-dən asılı deyil.

Bir sıra nöqtələrə sahə təyin edilə bilər. Məsələn, əyrinin sahəsi onu əhatə etmək üçün lazım olan dairələrin və ya kvadratların sayını təyin etməklə müəyyən edilə bilər. Əgər bu kvadratların sayıdırsa və onların hər birinin sahəsidirsə, əyrinin sahəsi

Eynilə, əyrinin V həcmini dəyər kimi təyin etmək olar

düyü. 2.5. Bir əyrinin "böyüklüyünün" ölçülməsi.

Təbii ki, adi əyrilər üçün - nöqtəsində yox olur və yeganə maraq ölçüsü əyrinin uzunluğudur.

Göründüyü kimi, adi bir səth üçün onu örtmək üçün tələb olunan kvadratların sayı səth sahəsinin harada olduğu ifadəsi ilə həddə müəyyən edilir.

Səthlərə səthi örtmək üçün tələb olunan kubların həcmlərinin cəmini təşkil edən bir həcm təyin edilə bilər:

Bu həcmlə, gözlənildiyi kimi, yox olur.

Səthlərə istənilən uzunluq təyin edilə bilərmi? Formal olaraq, kəmiyyəti belə uzunluqda götürə bilərik

Bu nəticə məntiqlidir, çünki səthi sonlu sayda düz xətt seqmentləri əhatə edə bilməz. Belə nəticəyə gəlirik ki, üçölçülü fəzada səth təşkil edən nöqtələr çoxluğunun yeganə mənalı ölçüsü sahədir.

Əyriləri meydana gətirən nöqtələr dəstlərinin edə biləcəyini görmək asandır

düyü. 2.6. Səthin "ölçüsü" nün ölçülməsi.

o qədər güclü şəkildə bükülürlər ki, onların uzunluğu sonsuz olur və həqiqətən də müstəvini dolduran əyrilər (Peano əyriləri) var. Elə bir qəribə şəkildə əyilmiş səthlər də var ki, boşluğu doldurur. Bu cür qeyri-adi nöqtələr toplusunu da nəzərdən keçirməyimiz üçün təqdim etdiyimiz çoxluğun böyüklüyünün ölçülərini ümumiləşdirmək faydalıdır.

İndiyə qədər kosmosda Y nöqtələri çoxluğunun ölçüsünün ölçüsünü təyin edərkən biz bəzi test funksiyasını - xətt seqmenti, kvadrat, dairə, top və ya kub seçmişik və düz xətt seqmentləri üçün ölçü yaradaraq çoxluğu əhatə etmişik. , kvadratlar və kublar, dairələr və kürələr üçün həndəsi əmsal Biz belə nəticəyə gəlirik ki, ümumi halda ölçünün -ölçüsü seçimindən asılı olaraq, sıfıra və ya sonsuzluğa bərabərdir. Çoxluğun Hausdorff-Besikoviç ölçüsü ölçünün dəyərini sıfırdan sonsuza dəyişdirdiyi kritik ölçüdür:

Çoxluğun ölçüsünü biz adlandırırıq. at dəyəri çox vaxt sonlu olur, lakin sıfır və ya sonsuz ola bilər; kəmiyyətin hansı dəyərdə kəskin dəyişməsi vacibdir. Qeyd edək ki, yuxarıdakı tərifdə Hausdorff-Besikoviç ölçüsü yerli xassə kimi görünür, o mənada ki, bu ölçü həddi aşacaq dərəcədə kiçik diametrli və ya əhatə etmək üçün istifadə edilən test funksiyasının ölçüsü 8 olan nöqtələr dəstlərinin xassələrini xarakterizə edir. dəst. Buna görə də fraktal ölçü də çoxluğun lokal xarakteristikası ola bilər. Əslində burada nəzərə alınmalı olan bir neçə incə məqam var. Xüsusilə, Hausdorff-Besikoviç ölçüsünün tərifi, bütün topların diametrinin 8-dən az olması şərti ilə mütləq eyni ölçüdə olmayan toplar dəstini əhatə etməyə imkan verir. Bu halda, -ölçü infimumdur, yəni, kobud desək, bütün mümkün əhatələrlə əldə edilən minimum dəyər. Nümunələr üçün təriqətə baxın. 5.2. Maraqlananlar Falconerin kitabında sualın ciddi riyazi təqdimatını tapacaqlar.

Fraktalların üçüncü xüsusiyyəti fraktal obyektlərin Evkliddən başqa bir ölçüyə (başqa sözlə, topoloji ölçüyə) malik olmasıdır. Fraktal ölçü əyrinin mürəkkəbliyinin ölçüsüdür. Fərqli fraktal ölçülərə malik bölmələrin növbələşməsini və sistemin xarici və daxili amillərin necə təsir etdiyini təhlil edərək, sistemin davranışını proqnozlaşdırmağı öyrənmək olar. Və ən əsası, qeyri-sabit şərtləri diaqnoz etmək və proqnozlaşdırmaq.

Müasir riyaziyyatın arsenalında Mandelbrot obyektlərin qeyri-kamilliyinin əlverişli kəmiyyət ölçüsünü tapdı - konturun əyriliyi, səthin qırışması, həcmin qırılması və məsaməliliyi. İki riyaziyyatçı - Feliks Hausdorff (1868-1942) və Abram Samoyloviç Besikoviç (1891-1970) tərəfindən təklif edilmişdir. İndi o, öz yaradıcılarının şərəfli adlarını - Hausdorff-Besikoviç ölçüsünü layiqincə daşıyır. Ölçü nədir və maliyyə bazarlarının təhlili ilə bağlı bizə nə üçün lazımdır? Bundan əvvəl biz yalnız bir ölçü tipini - topoloji bilirdik (şək. 3.11). Ölçü sözünün özü obyektin neçə ölçüyə malik olduğunu göstərir. Düz xətt üçün 1-ə bərabərdir, yəni. bizdə yalnız bir ölçü var, yəni xəttin uzunluğu. Bir təyyarə üçün ölçü 2 olacaq, çünki iki ölçülü ölçüyə, uzunluğa və enə sahibik. Kosmik və ya bərk obyektlər üçün ölçü 3-dür: uzunluq, en və hündürlük.

Məsələn, kompüter oyunlarını götürək. Əgər oyun 3D qrafikasında hazırlanırsa, o zaman məkan və həcmlidir, 2D qrafikasında isə qrafiklər müstəvidə göstərilir (şək. 3.10).

Hausdorff-Besikoviç ölçüsündə ən qeyri-adi (demək daha düzgün olardı - qeyri-adi) topoloji ölçü kimi təkcə tam ədədləri deyil, həm də kəsr dəyərləri qəbul edə bilməsi idi. Düz xətt (sonsuz, yarı sonsuz və ya sonlu seqment üçün) üçün birinə bərabər olan Hausdorff-Besicovitch ölçüsü əyrilik artdıqca artır, topoloji ölçü isə xəttlə baş verən bütün dəyişiklikləri inadla rədd edir.

Ölçü çoxluğun mürəkkəbliyini xarakterizə edir (məsələn, düz xətt). Əgər bu, topoloji ölçüsü 1-ə (düz xətt) bərabər olan əyridirsə, onda əyri sonsuz sayda əyilmələr və budaqlar ilə elə mürəkkəbləşə bilər ki, onun fraktal ölçüsü ikiyə yaxınlaşsın, yəni. demək olar ki, bütün təyyarəni dolduracaq (Şəkil 3.12).

Dəyərini artırmaqla, Hausdorff-Besikoviç ölçüsü onu kəskin şəkildə dəyişmir, çünki topoloji ölçü "öz yerində", 1-dən dərhal 2-yə keçid edərdi. Hausdorff-Besikoviç ölçüsü - və bu, ilk baxışdan qeyri-adi görünə bilər. və təəccüblüdür, kəsr qiymətləri alır: düz xətt üçün birinə bərabərdir, bir az əyri xətt üçün 1,15 olur, daha əyri xətt üçün 1,2, çox əyri xətt üçün 1,5 və s. (şək.3.13).

Hausdorff-Besikoviç ölçüsünün fraksiya, tam olmayan dəyərləri qəbul etmək qabiliyyətini vurğulamaq üçün Mandelbrot öz neologizmi ilə çıxış etdi və onu fraktal ölçü adlandırdı. Deməli, fraktal ölçü (təkcə Hausdorff-Besikoviç deyil, həm də hər hansı digər) mütləq tam deyil, həm də kəsr dəyərləri qəbul edə bilən ölçüdür.

Xətti həndəsi fraktallar üçün ölçü onların öz oxşarlığını xarakterizə edir. Şək.3.17 (a)-a nəzər salın, xətt hər birinin uzunluğu r=1/3 olan N=4 seqmentdən ibarətdir. Nəticədə nisbəti alırıq:

D = logN/log(1/r)

Multifraktallar (qeyri-xətti obyektlər) haqqında danışarkən vəziyyət tamamilə fərqlidir. Burada ölçü obyektin oxşarlığının tərifi kimi mənasını itirir və özünə bənzəyən xətti fraktalların unikal ölçüsündən qat-qat az təbii olan müxtəlif ümumiləşdirmələr vasitəsilə müəyyən edilir. Multifraktallarda H dəyəri ölçü göstəricisi kimi çıxış edir.Daha ətraflı olaraq biz bunu “Valyuta bazarında dövrün müəyyən edilməsi” fəslində nəzərdən keçirəcəyik.

Fraktal ölçüsünün dəyəri sistemə təsir edən amillərin sayını təyin edən göstərici kimi xidmət edə bilər. Valyuta bazarında ölçülülük qiymət dəyişkənliyini xarakterizə edə bilər. Hər bir valyuta cütünün öz davranışı var. GBP/USD cütlüyü EUR/USD ilə müqayisədə daha impulsiv davranışa malikdir. Ən maraqlısı odur ki, bu valyutalar eyni strukturla qiymət səviyyələrinə doğru irəliləyirlər, lakin onların fərqli ölçüləri var ki, bu da gündaxili ticarətə və təcrübəsizlərin gözündən yayınan model dəyişikliklərinə təsir edə bilər.

Fraktal ölçüsü 1,4-dən az olduqda, sistemə sistemi bir istiqamətdə hərəkət etdirən bir və ya bir neçə qüvvə təsir edir. Ölçü təxminən 1,5 olarsa, sistemə təsir edən qüvvələr çoxistiqamətlidir, lakin bir-birini daha çox və ya daha az kompensasiya edir. Bu vəziyyətdə sistemin davranışı stoxastikdir və klassik statistik üsullarla yaxşı təsvir edilmişdir. Fraktal ölçüsü 1,6-dan çox olarsa, sistem qeyri-sabit olur və yeni vəziyyətə keçməyə hazırdır. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, müşahidə etdiyimiz struktur nə qədər mürəkkəb olsa, güclü hərəkət ehtimalı bir o qədər artır.

Şəkil 3.14-də bu terminin mənasını daha dərindən öyrənmək üçün riyazi modellə bağlı ölçü göstərilir. Qeyd edək ki, hər üç rəqəm eyni dövrü göstərir. 3.14(a)-da ölçü 1,2, Şəkil 3.14(b)-də ölçü 1,5, şək.3-də. 14(c) 1.9. Görünür ki, ölçünün artması ilə cismin qavranılması mürəkkəbləşir, salınımların amplitudası artır.

Maliyyə bazarlarında ölçü təkcə qiymət dəyişkənliyi kimi deyil, həm də dövrlərin (dalğaların) detalı kimi əks olunur. Onun sayəsində bir dalğanın müəyyən zaman miqyasına aid olub-olmadığını ayırd edə biləcəyik.

Şəkil 3.15 EUR/USD cütlüyünü gündəlik qiymət miqyasında göstərir. Diqqət edin, formalaşmış dövrü və yeni, daha böyük bir dövrün başlanğıcını aydın görə bilərsiniz. Saat miqyasına keçərək, dövrlərdən birini artıraraq, daha kiçik dövrləri və D1 miqyasında yerləşən böyük bir hissəsini qeyd edə bilərik (Şəkil 3.16). Döngə detalları, yəni. onların ölçüsü vəziyyətin gələcəkdə necə inkişaf edə biləcəyini ilkin şərtlərdən müəyyən etməyə imkan verir. Deyə bilərik ki, fraktal ölçü nəzərdən keçirilən çoxluğun miqyasının dəyişməzlik xassəsini əks etdirir.

İnvariantlıq anlayışı Mandelbrot tərəfindən "scalant" sözündən - miqyaslana bilən, yəni. obyekt dəyişməzlik xassəsinə malik olduqda, onun müxtəlif nümayiş səviyyələri (miqyasları) olur.

Şəkildə "A" dairəsi mini dövrü (ətraflı dalğa) vurğulayır, "B" dairəsi daha böyük dövrün dalğasını qeyd edir. Dalğaların ölçüsünə görə biz həmişə dövrün ölçüsünü müəyyən edə bilərik.

Beləliklə, deyə bilərik ki, fraktallar real obyekti klassik modellər şəklində təqdim etmək mümkün olmadıqda model kimi istifadə olunur. Və bu o deməkdir ki, biz qeyri-xətti əlaqələr və məlumatların qeyri-deterministik (təsadüfi) təbiəti ilə məşğul oluruq. İdeoloji mənada qeyri-xəttilik müxtəlif inkişaf yolları, alternativ yollardan seçimin mövcudluğu və müəyyən təkamül sürəti, eləcə də təkamül proseslərinin dönməzliyi deməkdir. Riyazi mənada qeyri-xətti müəyyən bir növ riyazi tənliklər (qeyri-xətti) deməkdir. diferensial tənliklər) mühitin xüsusiyyətlərindən asılı olaraq birdən çox güclərdə və ya əmsallarda istənilən dəyərləri ehtiva edir.

Klassik modelləri tətbiq etdikdə (məsələn, trend, reqressiya və s.) biz deyirik ki, obyektin gələcəyi unikal şəkildə müəyyən edilir, yəni. tamamilə ilkin şərtlərdən asılıdır və aydın proqnoza uyğundur. Excel-də bu modellərdən birini müstəqil olaraq yerinə yetirə bilərsiniz. Klassik modelin nümunəsi daim azalan və ya artan tendensiya kimi təqdim edilə bilər. Və biz obyektin keçmişini (modelləşdirmə üçün ilkin məlumatlar) bilməklə onun davranışını proqnozlaşdıra bilərik. Fraktallar isə obyektin inkişaf üçün bir neçə variantı olduğu və sistemin vəziyyəti hazırda yerləşdiyi mövqe ilə müəyyən edildiyi halda istifadə olunur. Yəni biz obyektin ilkin şərtlərini nəzərə alaraq xaotik inkişafı simulyasiya etməyə çalışırıq. Bu sistem banklararası valyuta bazarıdır.

İndi gəlin bir düz xəttdən fraktal dediyimiz şeyi özünəməxsus xüsusiyyətləri ilə necə əldə edə biləcəyimizi nəzərdən keçirək.

Şəkil 3.17(a) Kox əyrisini göstərir. Bir xətt seqmentini götürün, onun uzunluğu = 1, yəni. hələ də topoloji ölçüdür. İndi biz onu üç hissəyə böləcəyik (hər biri uzunluğun 1/3 hissəsi) və orta üçdə birini çıxaracağıq. Ancaq orta üçdə birini bərabərtərəfli üçbucağın iki tərəfi kimi təmsil oluna bilən iki seqmentlə (uzunluğun hər 1/3 hissəsi) əvəz edəcəyik. Layihənin bu ikinci mərhələsi (b) Şəkil 3.17(a)-da təsvir edilmişdir. Bu nöqtədə hər biri uzunluğun 1/3 hissəsi olan 4 kiçik hissəmiz var, buna görə də bütün uzunluq 4(1/3) = 4/3-dir. Sonra xəttin 4 kiçik lobunun hər biri üçün bu prosesi təkrarlayırıq. Bu üçüncü mərhələdir (c). Bu, bizə uzunluğun hər 1/9-u olan 16 daha kiçik xətt seqmenti verəcəkdir. Beləliklə, bütün uzunluq indi 16/9 və ya (4/3)2-dir. Nəticədə fraksiya ölçüsü əldə etdik. Ancaq təkcə bu, yaranan quruluşu düz bir xəttdən fərqləndirmir. O, özünə bənzəyir və onun hər hansı bir nöqtəsində tangens çəkmək mümkün deyil (şək. 3.17 (b)).

“Fraktal” və “fraktal həndəsə” anlayışları ötən əsrin 70-80-ci illərində yaranmışdır. Onlar riyaziyyatçıların və proqramçıların gündəlik həyatına möhkəm daxil olublar. "Fraktal" sözü latın fractusundan gəlir, fraksiya deməkdir, fraqmentlərdən ibarətdir. 1975-ci ildə Amerika riyaziyyatçısı Benoit Mandelbrot tərəfindən tədqiq etdiyi qeyri-müntəzəm (“qırıq”) özünəbənzər strukturları ifadə etmək təklif edilmişdir.

Mandelbrotun verdiyi tərifə görə, “fraktal müəyyən mənada bütünə bənzəyən hissələrdən ibarət strukturdur”. Fraktal sonsuz öz-özünə oxşar həndəsi fiqurdur, onun hər bir fraqmenti miqyas kiçildildikdə təkrarlanır (bax. Şəkil 6). Fraktallarda müşahidə olunan miqyas dəyişkənliyi ya dəqiq, ya da təxmini ola bilər.

Şəkil 6. Mandelbrot çoxluğu timsalında fraktalların öz-özünə oxşarlığı

Riyazi nöqteyi-nəzərdən fraktal, ilk növbədə, fraksiya ölçüləri toplusudur.

Fraktal həndəsənin doğulması adətən 1977-ci ildə Mandelbrotun "Təbiətin fraktal həndəsəsi" kitabının nəşri ilə əlaqələndirilir, burada müəllif 1875-1925-ci illərdə işləmiş alimlərin elmi nəticələrini toplayıb sistemləşdirmişdir. eyni ərazidə (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Fraktal həndəsə riyaziyyatda və təbiətin riyazi təsvirində inqilabdır. Fraktal həndəsənin kəşfçisi B. Mandelbrotun özü bu barədə belə yazır: “Niyə həndəsəni çox vaxt soyuq və quru adlandırırlar? Səbəblərdən biri onun buludun, dağın, ağacın və ya dəniz sahilinin şəklini təsvir edə bilməməsidir. Buludlar kürə deyil, dağlar konus deyil, sahil xətləri dairələr deyil, yer qabığı hamar deyil və şimşək düz bir xətt üzrə hərəkət etmir. Təbiət bizə yalnız yüksək dərəcəni deyil, tamamilə fərqli bir mürəkkəblik səviyyəsini göstərir.

Mandelbrot göstərdi ki, real dünyanın həndəsəsi Evklid deyil, fraktaldır. “Adi” Evklid obyektləri riyazi abstraksiyadır, təbiət isə hamar olmayan, kobud, kələ-kötür formalara üstünlük verir. Evklid həndəsəsinə yeni bir həndəsə əlavə edildi ki, onun fərqi hamar cisimlərlə və üçbucaq, kvadrat, dairə, top və s. kimi tanış fiqurlarla işləməməsidir. Fraktallar çoxlu fiziki hadisələri və təbii formasiyaları böyük dəqiqliklə təsvir edir. Fraktallardan istifadə edərək qar dənəciyi, dəniz atı, ağac budaqları, ildırım çaxması və dağ silsilələri çəkilə bilər. Buna görə də bir çox müasir alimlər təbiətin fraktallıq xüsusiyyətinə malik olduğunu söyləyirlər.

fraktal ölçü

Fraktal obyektlərin əsas xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, "standart" topoloji ölçü (məkan üçün, səth üçün - , xətt üçün - , nöqtə üçün) onları təsvir etmək üçün kifayət deyil, bildiyiniz kimi, həmişə tam ədəddir. Ölçü kosmosda bir nöqtənin mövqeyini təsvir etmək üçün lazım olan minimum parametrlər sayı kimi başa düşülürdü. Belə sadəlövh qavrayışın uğursuzluğu seqmentin və kvadratın nöqtələri arasında təkbətək uyğunluq aşkar edildikdən və seqmentin kvadrat üzərində davamlı xəritələşdirilməsindən sonra aydın oldu (bax. Şəkil 7). Onlardan birincisi Kantor (1877), ikincisi Peano (1890) tərəfindən tikilmişdir.

Şəkil 7. Peano xəttinin tikintisi

Fraktallar həndəsi "girinti" ilə xarakterizə olunur. Buna görə də F.Hausdorff və A.S. tərəfindən təqdim edilən fraktal ölçünün xüsusi konsepsiyası. Besikoviç. Klassik Evklid həndəsəsinin ideal obyektlərinə tətbiq edildiyi kimi, o, topoloji ölçü ilə eyni ədədi dəyərləri verdi, lakin yeni ölçü real obyektlərdəki hər cür qüsurlara daha incə həssaslıq göstərdi, bu da əvvəllər olanları ayırd etməyə və fərdiləşdirməyə imkan verdi. simasız və seçilməz idi. Bu incə alət hansı adi həndəsi obyektin - nöqtənin, xəttin və ya müstəvinin konkret ekzotik fraktal dəstinə daha yaxın olması barədə nəticə çıxarmağa imkan verir.

Mandelbrot, Hausdorff ölçüsü topoloji ölçüsündən ciddi şəkildə böyük olan çoxluq kimi fraktalın ciddi riyazi tərifini verdi. Hamar Evklid xətti tam olaraq birölçülü məkanı doldurarkən, fraktal əyri ikiölçülü fəzaya daxil olur, çünki onun ölçüsü 1 ilə 2 arasındadır. Fraktallar sonsuz qırıq, "ikiqat" xətlərdir. Onlar bir akkordeona bənzəyirlər, hər bir parçası, hətta çox kiçik olsa da, onu düzəltməyə çalışsanız, sonsuz uzunluqda olur.

Fraktal ölçüsünü müntəzəm fraktalların (riyazi abstraksiya) misalında müzakirə edək. Əvvəlcə bərabər uzunluq parçalarına bölünmüş vahid uzunluqlu bir seqmenti nəzərdən keçirin ki, beləliklə. Azaldıqca dəyər xətti olaraq artır, bu da bir ölçülü əyri üçün gözlənilir. Eynilə, vahid sahənin kvadratını tərəfi olan bərabər kvadratlara bölsək, iki ölçülü obyekt üçün gözlənilən nəticəni alırıq. Mübahisə etmək olar ki, ümumi halda obyektin ölçüsü haradadır (bax. Şəkil 8).

Şəkil 8. Obyektin n ölçülü kublarla örtülməsi

Buna görə də, bu bərabərliyin hər iki hissəsinin loqarifmini götürərək və sıfıra meyl kimi limitə keçsək, ölçüsü aşağıdakı formada ifadə edə bilərik:

Bu bərabərlik Hausdorff və ya fraktal ölçüsünün tərifidir, adətən fraksiya dəyərləri alır.

Fərdi nöqtələrdən ibarət olan, lakin həqiqi oxun hər hansı bir seqmenti qədər çoxuna malik olan çoxluğa misal verək. Uzunluğu bir seqment götürün 1. Onu üç bərabər hissəyə bölərək, orta hissəni istisna edirik. Qalan iki seqmentlə eyni proseduru edəcəyik və nəticədə hər birinin uzunluğu 1/9 olan 4 seqment alacağıq və s. sonsuzluğa - Şek. 9.

Şəkil 9. Cantor dəstinin konstruksiyası

Bu prosedurun nəticəsi olan nöqtələr dəsti Kantor dəstidir. Bu çoxluğun uzunluğunun sıfıra bərabər olduğunu görmək asandır. Həqiqətən,

İndi onun Hausdorff və ya fraktal ölçüsünü tapaq. Bunu etmək üçün "standart" olaraq uzunluğu olan bir seqment seçirik

Dəsti əhatə etmək üçün tələb olunan belə seqmentlərin minimum sayı

Buna görə də onun fraktal ölçüsü

Həmçinin, ölçü obyektin tutduğu məkanın həmin hissəsinin ölçüsünün dəyişməsinin onun xətti ölçülərinin dəyişməsindən asılılığına əsasən müəyyən edilə bilər:

Xətt üçün. Təyyarə üçün. Həcmi üçün.

Gəlin aşağıdakı təcrübəni edək: bərabərtərəfli üçbucaq götürün və Şəkil 10-da göstərildiyi kimi onu təşkil edən hər bir xətti ardıcıl olaraq dörd digəri ilə əvəz edin.

Şəkil 10. Kox qar dənəciyinin qurulması

Bu əməliyyatı uzun müddət təkrarlasaq, görünüşünə görə qar dənəciyinə bənzəyən müəyyən bir obyekt əldə edəcəyik (bu, Koch qar dənəciyi adlanır) və hər addımda qar dənəciyinin sahəsini məhdudlaşdıran əyrinin uzunluğu artır. Üçdə bir. Onun ölçüsü bərabər olacaq, çünki qar dənəciyinin hər üç dəfə artması üçün əyrinin uzunluğu dörd dəfə artır. İterasiyaların sayını sonsuzluğa buraxsaq, sonlu sahəsi sonsuz əyri ilə məhdudlaşan obyekti alırıq.