Ev
Rasional funksiyaların (kəsrlərin) müfəssəl həlli ilə inteqrasiyası nümunələri nəzərdən keçirilir.Məzmun Həmçinin baxın:
Kvadrat tənliyin kökləri
,
,
.
Burada aşağıdakı rasional fraksiyaların inteqrasiyasının üç nümunəsi üçün ətraflı həllər təqdim edirik:
Misal 1
.
İnteqralı hesablayın: 3 Burada inteqral əlaməti rasional funksiyadır, çünki inteqral çoxhədlilərin bir hissəsidir. Məxrəc çoxhədli dərəcəsi ( 4 ) say çoxhədlinin dərəcəsindən kiçikdir (
1.
). Buna görə əvvəlcə fraksiyanın bütün hissəsini seçməlisiniz. 4
Kəsirin bütün hissəsini seçək. x-i bölün tərəfindən x:
3 - 6 x 2 + 11 x - 6
.
2.
Buradan
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: 1
:
.
1
Gəlin x = əvəz edək 1
:
3 - 6 x 2 + 11 x - 6
.
.
.
x-ə bölün -
Kvadrat tənliyin həlli.
.
3.
Tənliyin kökləri: , .
.
Sonra
.
Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək.
Beləliklə, tapdıq:
Misal 1
.
Gəlin inteqrasiya edək. Misal 2 Burada kəsrin payı sıfır dərəcə çoxhədlidir ( 0 < 3 1 = x 0
1.
). Məxrəc üçüncü dərəcəli çoxhədlidir. Çünki
.
, onda kəsr düzgündür. Gəlin onu sadə fraksiyalara bölək. 3
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməlisiniz:
1, 3, -1, -3
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: 1
:
.
Tutaq ki, onun ən azı bir tam kökü var. Sonra ədədin bölənidir 1
(x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər: Beləliklə, bir kök tapdıq x =. 1
:
x-i bölün
.
3 + 2 x - 3
x-də Belə ki,.
Kvadrat tənliyin həlli: x 2 + x + 3 = 0< 0
Diskriminantı tapın: D =
.
2.
.
1 2 - 4 3 = -11:
(2.1)
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: 1
. 1 = 0
,
.
Çünki D (2.1)
, onda tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Beləliklə, məxrəcin faktorlara bölünməsini əldə etdik: 0
:
(x - 1)(x 2 + x + 3);
.
. (2.1)
Sonra x - 2
:
;
Gəlin əvəz edək;
.
.
3.
Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək.
(2.2)
.
x =
;
;
.
1 = 3 A - C 2
.
.
bərabər tutaq Belə ki, x üçün əmsallar 0 = A + Bİkinci inteqralı hesablamaq üçün biz payda məxrəcin törəməsini seçirik və məxrəci kvadratların cəminə qədər azaldırıq.
Hesablayın I (2.2)
:
.
x tənliyindən bəri
Misal 1
.
həqiqi kökləri yoxdur, onda x 3 2 + x + 3 > 0 4 . 3 < 4 Buna görə də modul işarəsi buraxıla bilər.
1.
ünvanına çatdırırıq
.
, onda kəsr düzgündür. Gəlin onu sadə fraksiyalara bölək. 2
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməlisiniz:
1, 2, -1, -2
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: -1
:
.
Tutaq ki, onun ən azı bir tam kökü var. Sonra ədədin bölənidir -1
Gəlin x = əvəz edək Misal 3:
x-i bölün
.
İndi üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməliyik:
.
Əgər bu tənliyin tam kökə malik olduğunu fərz etsək, o, ədədin bölənidir. 2
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməlisiniz:
1, 2, -1, -2
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: -1
:
.
Beləliklə, başqa bir x = kökü tapdıq -1
.
.
Əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, çoxhədlini -ə bölmək mümkün olardı, lakin biz şərtləri qruplaşdıracağıq: 2 + 2 = 0
x tənliyindən bəri
.
2.
həqiqi kökləri yoxdur, onda məxrəcin faktorlara bölünməsini alırıq:
.
Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək. Biz formada genişləndirmə axtarırıq: Kəsirin məxrəcindən xilas oluruq, vururuq:
(3.1)
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: -1
(x + 1) 2 (x 2 + 2) 1 = 0
,
.
. (3.1)
:
;
.
Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz: -1
Sonra x + 1 = 0
:
;
;
.
Çünki D (3.1)
, onda tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Beləliklə, məxrəcin faktorlara bölünməsini əldə etdik: 0
:
Fərqləndirək;
.
. (3.1)
Sonra x - 3
:
;
və nəzərə alın ki, x +;
.
0 = 2 A + 2 B + D
.
3.
Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək.
.
Beləliklə, sadə fraksiyalara parçalanma tapdıq: Həmçinin baxın: Fraksiya deyilir
düzgün
, əgər payın ən yüksək dərəcəsi məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən kiçikdirsə. Düzgün rasional kəsrin inteqralı aşağıdakı formaya malikdir:
- $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$ Rasional kəsrlərin inteqrallanması düsturu məxrəcdə çoxhədlinin köklərindən asılıdır. Əgər $ ax^2+bx+c $ polinomunda: Yalnız
- mürəkkəb köklər
- , onda ondan tam kvadrat seçmək lazımdır: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
Müxtəlif həqiqi köklər $ x_1 $ və $ x_2 $, sonra inteqralı genişləndirmək və qeyri-müəyyən əmsalları tapmaq lazımdır $ A $ və $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$ Bir çox kök $ x_1 $, sonra inteqralı genişləndirək və aşağıdakı düstur üçün qeyri-müəyyən $ A $ və $ B $ əmsallarını tapırıq: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$Əgər fraksiya olarsa səhv, yəni saydakı ən yüksək dərəcə məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən böyük və ya ona bərabərdir, onda əvvəlcə onu azaltmaq lazımdır.
düzgün
çoxhədlini saydan çoxhədlini məxrəcdən ayırmaqla əmələ gətirir. Bu halda, rasional kəsrin inteqrasiyası üçün düstur aşağıdakı formaya malikdir:
| $$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$ |
| Həll nümunələri |
| Misal 1 |
|
Rasional kəsrin inteqralını tapın: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ Həll Kəsr düzgündür və çoxhədlinin yalnız mürəkkəb kökləri var. Beləliklə, tam bir kvadrat seçirik: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Tam bir kvadrat qatlayırıq və onu $ x-5 $ diferensial işarəsi altına qoyuruq: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. təmin edəcəyik ətraflı həlli. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək! |
| Cavab verin |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Misal 2 |
| Rasional kəsrlərin inteqrasiyasını yerinə yetirin: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Misal 1 |
|
Kvadrat tənliyi həll edək: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Kökləri yazırıq: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Alınan kökləri nəzərə alaraq, inteqralı çeviririk: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Rasional kəsrin genişləndirilməsini həyata keçiririk: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Sayları bərabərləşdiririk və $ A $ və $ B $ əmsallarını tapırıq: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Balta + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(hallar) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(hallar) $$ $$ \begin(hallar) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(hallar) $$ Tapılan əmsalları inteqrala əvəz edirik və həll edirik: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Cavab verin |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Bunu xatırladaq fraksiya rasional$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$, ümumi halda iki çoxhədli %%P_n(x)%% və % nisbəti olan funksiyalar adlanır. %Q_m(x)% %.
Əgər %%m > n \geq 0%% olarsa, onda rasional kəsr deyilir Həmçinin baxın:, əks halda - yanlış. Çoxhədlilərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək, düzgün olmayan rasional kəsr çoxhədli %%P_(n - m)%% dərəcəsi %%n - m%% və bəzi uyğun kəsrin cəmi kimi təqdim edilə bilər, yəni. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ burada dərəcə %%l%% %%P_l(x)%% polinomunun %%Q_n(x)%% polinomunun %%n%% dərəcəsindən azdır.
Beləliklə, qeyri-müəyyən inteqral rasional funksiyanın çoxhədli və uyğun rasional kəsirinin qeyri-müəyyən inteqrallarının cəmi kimi göstərilə bilər.
Sadə rasional kəsrlərdən inteqrallar
Düzgün rasional kəsrlər arasında dörd növ vardır ki, bunlar kimi təsnif edilir sadə rasional kəsrlər:
- %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
burada %%k > 1%% tam ədəddir və %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. kvadrat tənliklərəsl kökləri yoxdur.
İlk iki növ kəsrlərin qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması
İlk iki növ fraksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması çətinlik yaratmır: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(massiv) $$
Üçüncü növ kəsrlərin qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması
Əvvəlcə məxrəcdə mükəmməl kvadratı vurğulamaqla üçüncü növ kəsri çeviririk: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), %%p^2-dən $$ - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, biz bunu %%a^2%% kimi qeyd edirik. Həmçinin %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% əvəz edərək məxrəci çeviririk və üçüncü növ kəsrin inteqralını $$ \begin( şəklində yazırıq. massiv)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d) t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiv) $$
Qeyri-müəyyən inteqralın xəttiliyindən istifadə edərək, sonuncu inteqralı ikinin cəmi kimi təqdim edirik və birincisində diferensial işarəsi altında %%t%% təqdim edirik: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (+ (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^-da 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\sol(t^2 + a^2\sağ))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiv) $$
Orijinal %%x%% dəyişəninə qayıdaraq, nəticədə üçüncü növün bir hissəsi üçün $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x alırıq. = \frac(A)( 2) \ln \sol| x^2 + px + q\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ burada %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
4-cü tip inteqralın hesablanması çətindir və ona görə də bu kursda əhatə olunmur.
Kəsrə görə rasional funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının tapılması məsələsi sadə kəsrlərin inteqrallaşdırılmasına gəlir. Buna görə də, əvvəlcə fraksiyaların parçalanma nəzəriyyəsinin ən sadə hissəsi ilə tanış olmağı məsləhət görürük.
Misal.
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.
Həll.
İnteqralın payının dərəcəsi məxrəcin dərəcəsinə bərabər olduğundan, əvvəlcə çoxhədli çoxhədliyə sütunla bölmək yolu ilə bütün hissəni seçirik: 
Buna görə də, 
.
Yaranan düzgün rasional kəsrin daha sadə kəsrlərə parçalanması formaya malikdir 
. Beləliklə, 
Alınan inteqral üçüncü tipin ən sadə kəsirinin inteqralıdır. Bir az irəliyə baxaraq qeyd edirik ki, onu diferensial işarənin altına daxil etməklə götürə bilərsiniz.
Çünki 
, Bu 
. Buna görə 
Beləliklə, 
İndi dörd növdən hər birinin sadə fraksiyalarının inteqrallaşdırılması üsullarını təsvir etməyə keçək.
Birinci tip sadə kəsrlərin inteqrasiyası
Birbaşa inteqrasiya metodu bu problemi həll etmək üçün idealdır:
Misal.
Funksiyanın əks törəmələri çoxluğunu tapın
Həll.
Əqli törəmənin xassələrindən, əks törəmələr cədvəlindən və inteqrasiya qaydasından istifadə edərək qeyri-müəyyən inteqralı tapaq.
Səhifənin yuxarısı
İkinci tip sadə kəsrlərin inteqrasiyası
Bu problemi həll etmək üçün birbaşa inteqrasiya üsulu da uyğundur: 
Misal.
Həll.
Səhifənin yuxarısı
Üçüncü tip sadə kəsrlərin inteqrasiyası 
Əvvəlcə qeyri-müəyyən inteqralı təqdim edirik 
cəmi olaraq:
Birinci inteqralı diferensial işarənin altına cəmləyərək alırıq: 
Buna görə də, 
Əldə olunan inteqralın məxrəcini çevirək: 
Beləliklə, 
Üçüncü növ sadə fraksiyaların inteqrasiyası üçün düstur aşağıdakı formanı alır: 
Misal.
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın 
.
Həll.
Yaranan düsturdan istifadə edirik: 
Bu formulumuz olmasaydı, nə edərdik: 
Səhifənin yuxarısı
Dördüncü tip sadə kəsrlərin inteqrasiyası 
İlk addım onu diferensial işarənin altına qoymaqdır: 
İkinci addım formanın inteqralını tapmaqdır 
. Bu tip inteqrallar təkrarlanma düsturlarından istifadə etməklə tapılır. (Təkrarlanma düsturlarından istifadə edərək inteqrasiya bölməsinə baxın.) Aşağıdakı təkrarlanan düstur bizim vəziyyətimiz üçün uyğundur:
Misal.
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın
Həll.
Bu inteqral növü üçün əvəzetmə metodundan istifadə edirik. Gəlin yeni dəyişən təqdim edək (irrasional funksiyaların inteqrasiyası bölməsinə baxın): 
Əvəz etdikdən sonra biz var: 
Dördüncü tipli kəsrin inteqralını tapmağa gəldik. Bizim vəziyyətimizdə əmsallarımız var M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Və n=3. Təkrarlanan düsturu tətbiq edirik: 
Əks dəyişdirmədən sonra nəticə əldə edirik:
| İnteqrasiya triqonometrik funksiyalar | ||||||||||||||||||||
1. Formanın inteqralları    düsturlardan istifadə edərək triqonometrik funksiyaların məhsulunu cəmiyə çevirməklə hesablanır:  Məsələn, 2.Formanın inteqralları  , Harada m və ya n– diferensial işarənin altına cəmlənərək hesablanan tək müsbət ədəd.   Məsələn, , Harada m Və n 3. Formanın inteqralları  – hətta müsbət ədədlər dərəcəni azaltmaq üçün düsturlardan istifadə etməklə hesablanır: Məsələn,  4. İnteqrallar  burada dəyişəni dəyişdirərək hesablanır: və ya Məsələn,  5. Formanın inteqralları universal triqonometrik əvəzetmədən istifadə edərək rasional kəsrlərin inteqrallarına endirilir (çünki  =[sayı və məxrəci ]-ə böldükdən sonra ]= ;  Məsələn, |
||||||||||||||||||||
| Qeyd etmək lazımdır ki, universal əvəzetmənin istifadəsi çox vaxt çətin hesablamalara səbəb olur. | ||||||||||||||||||||
§5. Ən sadə irrasionallıqların inteqrasiyası  Ən sadə irrasionallıq növlərinin inteqrasiyası üsullarını nəzərdən keçirək. 1. Bu tip funksiyalar 3-cü növün ən sadə rasional fraksiyaları ilə eyni şəkildə inteqrasiya olunur: məxrəcdə  kvadrat üçbucaqlı  tam kvadrat seçilir və yeni dəyişən təqdim edilir. n Misal. 2. (inteqral işarəsi altında – arqumentlərin rasional funksiyası). Bu tip inteqrallar əvəzetmədən istifadə etməklə hesablanır. Xüsusilə inteqral şəklində işarə edirik. Əgər inteqralda müxtəlif dərəcəli köklər varsa:, sonra harada işarələyin  – ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu  m,k
.
|
Misal 1.
44 
Misal 2.
- düzgün olmayan rasional kəsr, bütün hissəni seçin: 3. Formanın inteqralları
triqonometrik əvəzetmələrdən istifadə etməklə hesablanır:
45 Müəyyən inteqral 
, ,
Müəyyən inteqral
- birinci komponenti inteqrasiya oluna bilən funksiya və ya funksional olan, ikincisi isə bu funksiyanı (funksional) təyin edən çoxluqda bir domen olan cütlər dəstində müəyyən edilmiş əlavə monoton normallaşdırılmış funksional.
Tərif
Bu barədə müəyyən olunsun. Onu bir neçə ixtiyari nöqtəsi olan hissələrə ayıraq. Sonra seqmentin bölündüyünü söyləyirlər. Sonra, ixtiyari bir nöqtə seçin
İntervaldakı funksiyanın müəyyən inteqralı inteqral cəmlərin həddidir, çünki bölmənin rütbəsi sıfıra meyllidir, əgər o bölmədən və nöqtələrin seçimindən asılı olmayaraq mövcuddursa, yəni.
Göstərilən limit mövcuddursa, funksiya Riemann inteqral edilə bilən funksiyasıdır.
Təyinatlar
· - aşağı hədd.
· 
· - yuxarı hədd.
· - inteqral funksiyası.
· - qismən seqmentin uzunluğu.
· - müvafiq bölmə üzrə funksiyanın inteqral cəmi.
- qismən seqmentin maksimum uzunluğu.
Müəyyən inteqral ədədi olaraq absis oxu, düz xətlər və funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsinə bərabərdir.
Nyuton-Leybnits teoremi
[redaktə]
("Newton-Leibniz Formula" səhifəsindən yönləndirildi)
Nyuton-Leybnits düsturu və ya təhlilin əsas teoremi iki əməliyyat arasındakı əlaqəni verir: müəyyən inteqralın alınması və əks törəmənin hesablanması.
Sübut
İnteqrasiya olunan funksiya intervalda verilsin. Bunu qeyd etməklə başlayaq
yəni seqment üzərində müəyyən inteqralda hansı hərfin (və ya) işarənin altında olmasının fərqi yoxdur.
İxtiyari qiymət təyin edək və müəyyən edək yeni xüsusiyyət 
. -nin bütün qiymətləri üçün müəyyən edilir, çünki bilirik ki, on -un inteqralı varsa, onda on -un da inteqralı var, burada. Təriflə nəzərdən keçirdiyimizi xatırlayaq
(1)
Qeyd edək ki
Onun intervalda davamlı olduğunu göstərək. Əslində qoy ; Sonra
və əgər , onda
Beləliklə, kəsiklərin olub-olmamasından asılı olmayaraq davamlıdır; üzərində inteqral olması vacibdir.
Şəkildə qrafik göstərilir. Dəyişən rəqəmin sahəsi . Onun artımı rəqəmin sahəsinə bərabərdir 
, ki, öz məhdudluğuna görə, onun davamlılıq və ya kəsilmə nöqtəsi, məsələn, nöqtə olmasından asılı olmayaraq, sıfıra meyllidir.
İndi funksiya nəinki inteqral oluna bilər, həm də nöqtədə davamlı olsun. Sübut edək ki, onda bu nöqtədə törəmə bərabərdir
(2)
Əslində, göstərilən nöqtə üçün
(1) , (3)
Biz qoyuruq və o, TO-ya nisbətən sabit olduğundan 
. Bundan əlavə, bir nöqtədə davamlılıq səbəbiylə, hər kəs üçün belə təyin edə bilərsiniz.
bu bərabərsizliyin sol tərəfinin o(1) üçün olduğunu sübut edir.
(3)-dəki həddi keçmək nöqtədə törəmənin mövcudluğunu və (2) bərabərliyinin etibarlılığını göstərir. Burada müvafiq olaraq sağ və sol törəmələrdən bəhs edərkən.
Əgər funksiya üzərində davamlıdırsa, yuxarıda sübut edilənə əsasən müvafiq funksiya
(4)
-ə bərabər törəmə var. Buna görə də funksiya üçün antitörəmədir.
Bu nəticə bəzən dəyişən yuxarı sərhəd inteqral teoremi və ya Barrou teoremi adlanır.
Biz sübut etdik ki, intervalda davamlı olan ixtiyari funksiyanın bu intervalda (4) bərabərliyi ilə müəyyən edilmiş əks törəmə var. Bu, intervalda davamlı hər hansı bir funksiya üçün antitörəmənin mövcudluğunu sübut edir.
Qoy indi ixtiyari biri olsun funksiyanın əks törəməsi haqqında . Biz bilirik ki, , harada bəzi sabit. Bu bərabərliyi fərz etsək və bunu nəzərə alsaq, əldə edirik.
Beləliklə, . Amma
Yanlış inteqral
[redaktə]
Vikipediyadan material - pulsuz ensiklopediya
- düzgün olmayan rasional kəsr, bütün hissəni seçin:çağırdı sənin deyil aşağıdakı şərtlərdən ən azı biri yerinə yetirildikdə:
· Limit a və ya b (yaxud hər iki hədd) sonsuzdur;
· f(x) funksiyası seqment daxilində bir və ya bir neçə kəsilmə nöqtəsinə malikdir.
[redaktə]Birinci növ düzgün olmayan inteqrallar
. Sonra:
1. Əgər 
və inteqral deyilir . Bu halda konvergent adlanır.
, və ya sadəcə fərqlidir.
və-dən çoxluqda müəyyən edilmiş və davamlı olsun 
. Sonra:
1. Əgər 
, sonra qeyd istifadə olunur 
və inteqral deyilir birinci növ düzgün olmayan Rieman inteqralı. Bu halda konvergent adlanır.
2. Sonlu yoxdursa 
( və ya ), onda inteqralın ayrıldığı deyilir , və ya sadəcə fərqlidir.
Əgər funksiya bütün say xəttində müəyyən edilmiş və davamlıdırsa, onda bu funksiyanın düsturla müəyyən edilmiş iki sonsuz inteqrasiya həddi ilə düzgün olmayan inteqralı ola bilər:
, burada c ixtiyari ədəddir.
[redaktə] Birinci növ düzgün olmayan inteqralın həndəsi mənası
Yanlış inteqral sonsuz uzunluq sahəsini ifadə edir əyri trapesiya.
[redaktə] Nümunələr
[redaktə] İkinci növ düzgün olmayan inteqrallar
-də təyin olunsun, x=a və nöqtəsində sonsuz kəsilməyə məruz qalsın 
. Sonra:
1. Əgər 
, sonra qeyd istifadə olunur 
və inteqral deyilir
divergent adlanır , və ya sadəcə fərqlidir.
-də təyin olunsun, x=b və nöqtəsində sonsuz kəsilməyə məruz qalsın 
. Sonra:
1. Əgər 
, sonra qeyd istifadə olunur və inteqral deyilir ikinci növ düzgün olmayan Rieman inteqralı. Bu halda inteqrala konvergent deyilir.
2. Əgər və ya , onda təyinat eyni qalır və divergent adlanır , və ya sadəcə fərqlidir.
Əgər funksiya seqmentin daxili nöqtəsində kəsilməyə məruz qalırsa, onda ikinci növ düzgün olmayan inteqral düsturla müəyyən edilir:
[redaktə] Həndəsi məna düzgün olmayan inteqrallar II növ
Yanlış inteqral sonsuz hündür əyri trapezoidin sahəsini ifadə edir
[redaktə] Misal
[redaktə]İzolyasiya edilmiş hal
Funksiya bütün say xəttində müəyyən edilsin və nöqtələrdə kəsikliyə malik olsun.
Sonra düzgün olmayan inteqralı tapa bilərik
[redaktə] Koşi meyarı
1. və-dən çoxluqda təyin olunsun 
.
Sonra 
birləşir
2. və üzərində müəyyən olunsun 
.
Sonra birləşir
[redaktə]Mütləq yaxınlaşma
İnteqral 
çağırdı tamamilə konvergent, Əgər 
birləşir.
Əgər inteqral mütləq yaxınlaşırsa, onda o, yaxınlaşır.
[redaktə] Şərti yaxınlaşma
İnteqral deyilir şərti konvergent, əgər yaxınlaşırsa, lakin ayrılırsa.
48 12. Uyğun olmayan inteqrallar.
Müəyyən inteqralları nəzərdən keçirərkən, inteqrasiya sahəsinin məhdud olduğunu güman etdik (daha dəqiq desək, bu [ seqmentidir. a ,b ]); Müəyyən bir inteqralın mövcudluğu üçün inteqral [ ilə məhdudlaşmalıdır. a ,b ]. Zəng edəcəyik müəyyən inteqrallar, bu şərtlərin hər ikisinin təmin edildiyi (həm inteqrasiya sahəsinin, həm də inteqral funksiyanın məhdudluğu) sahibi; bu tələblərin pozulduğu inteqrallar (yəni inteqral və ya inteqrasiya sahəsi qeyri-məhduddur və ya hər ikisi birlikdə) sənin deyil. Bu bölmədə düzgün olmayan inteqralları öyrənəcəyik.
- 12.1. Sərhədsiz interval üzərində yanlış inteqrallar (birinci növ düzgün olmayan inteqrallar).
- 12.1.1. Sonsuz interval üzərində düzgün olmayan inteqralın tərifi. Nümunələr.
- 12.1.2. Yanlış inteqral üçün Nyuton-Leybnits düsturu.
- 12.1.3. Mənfi olmayan funksiyalar üçün müqayisə meyarları.
- 12.1.3.1. Müqayisə əlaməti.
- 12.1.3.2. Həddindən artıq formada müqayisə əlaməti.
- 12.1.4. Sonsuz intervalda düzgün olmayan inteqralların mütləq yaxınlaşması.
- 12.1.5. Abel və Dirixletin yaxınlaşması üçün testlər.
- 12.2. Sərhədsiz funksiyaların düzgün olmayan inteqralları (ikinci növ düzgün olmayan inteqrallar).
- 12.2.1. Sərhədsiz funksiyanın düzgün olmayan inteqralının tərifi.
- 12.2.1.1. Sinqulyarlıq inteqrasiya intervalının sol ucundadır.
- 12.2.1.2. Nyuton-Leybniz düsturunun tətbiqi.
- 12.2.1.3. İnteqrasiya intervalının sağ sonundakı təklik.
- 12.2.1.4. İnteqrasiya intervalının daxili nöqtəsində təklik.
- 12.2.1.5. İnteqrasiya intervalında bir neçə xüsusiyyət.
- 12.2.2. Mənfi olmayan funksiyalar üçün müqayisə meyarları.
- 12.2.2.1. Müqayisə əlaməti.
- 12.2.2.2. Həddindən artıq formada müqayisə əlaməti.
- 12.2.3. Fasiləsiz funksiyaların düzgün olmayan inteqrallarının mütləq və şərti yaxınlaşması.
- 12.2.4. Abel və Dirixletin yaxınlaşması üçün testlər.
12.1. Sərhədsiz interval üzərində yanlış inteqrallar
(birinci növ düzgün olmayan inteqrallar).
12.1.1. Sonsuz interval üzərində düzgün olmayan inteqralın tərifi. Qoy funksiya olsun f
(x
) yarım oxda müəyyən edilir və istənilən intervalda inteqral oluna bilir [ -dən, bu halların hər birində müvafiq hədlərin mövcudluğunu və sonluğunu nəzərdə tutur. İndi nümunələrin həlli daha sadə görünür: 
.
12.1.3. Mənfi olmayan funksiyalar üçün müqayisə meyarları. Bu bölmədə bütün inteqralların bütün tərif sahəsi üzərində mənfi olmadığını fərz edəcəyik. İndiyə qədər biz inteqralın yaxınlaşmasını onu hesablayaraq təyin etmişik: əgər uyğun meylli ( və ya ) əks törəmənin sonlu həddi varsa, onda inteqral yaxınlaşır, əks halda ayrılır. Praktik problemləri həll edərkən, ilk növbədə, yaxınlaşma faktını müəyyən etmək və yalnız bundan sonra inteqralı hesablamaq vacibdir (bundan əlavə, antitörəmə çox vaxt ifadələrlə ifadə edilmir. elementar funksiyalar). Mənfi olmayan funksiyaların uyğun olmayan inteqrallarını hesablamadan onların yaxınlaşmasını və divergensiyasını təyin etməyə imkan verən bir sıra teoremləri tərtib edib sübut edək.
12.1.3.1. Müqayisə işarəsi. Qoy funksiyalar f
(x
) Və g
(x
) inteqral
Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral hesablamada kəsri inteqrasiya etmək üçün əlverişli düstur yoxdur. Və buna görə də kədərli bir tendensiya var: fraksiya nə qədər mürəkkəbdirsə, onun inteqralını tapmaq bir o qədər çətindir. Bu baxımdan, indi sizə danışacağım müxtəlif hiylələrə müraciət etməlisiniz. Hazırlanmış oxucular dərhal faydalana bilər məzmun cədvəli:
- Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu
Süni sayğaclara çevrilmə üsulu
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Yeri gəlmişkən, nəzərdən keçirilən inteqral dəyişən metodunun dəyişdirilməsi ilə də həll edilə bilər, işarə edir, lakin həllin yazılması daha uzun olacaq.
Misal 2
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Qeyd etmək lazımdır ki, dəyişənlərin dəyişdirilməsi üsulu artıq burada işləməyəcək.
Diqqət, vacibdir! 1, 2 nömrəli nümunələr tipikdir və tez-tez baş verir. Xüsusilə, belə inteqrallar tez-tez digər inteqralların həlli zamanı, xüsusən də irrasional funksiyaları (kökləri) birləşdirərkən yaranır.
Baxılan texnika işdə də işləyir əgər payın ən yüksək dərəcəsi məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən böyükdürsə.
Misal 3
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.
Numeratoru seçməyə başlayırıq.
Numeratorun seçilməsi alqoritmi belədir:
1) Numeratorda mən təşkil etməliyəm, amma orada. Nə etməli? Mən onu mötərizədə qoyuram və: .
2) İndi bu mötərizələri açmağa çalışıram, nə baş verir? . Hmm... bu daha yaxşıdır, lakin ilkin hesabda iki yoxdur. Nə etməli? Çoxaltmaq lazımdır:
3) Yenidən mötərizələri açıram: . Və burada ilk uğur! Düzgün çıxdı! Amma problem ondadır ki, əlavə termin yaranıb. Nə etməli? İfadənin dəyişməsinin qarşısını almaq üçün konstruksiyama eyni şeyi əlavə etməliyəm: 
. Həyat asanlaşdı. Numeratorda yenidən təşkil etmək mümkündürmü?
4) Mümkündür. Gəlin cəhd edək: 
. İkinci terminin mötərizələrini açın: 
. Bağışlayın, amma əvvəlki addımda məndə yox idi. Nə etməli? İkinci termini aşağıdakılarla çoxaltmalısınız: 
5) Yenə yoxlamaq üçün ikinci müstəvidə mötərizələri açıram: 
. İndi normaldır: 3-cü bəndin son konstruksiyasından əldə edilmişdir! Ancaq yenə kiçik bir "amma" var, əlavə bir termin meydana çıxdı, yəni ifadəmə əlavə etməliyəm: 
Əgər hər şey düzgün aparılıbsa, onda bütün mötərizələri açdıqda inteqranın orijinal payını almalıyıq. Yoxlayırıq:
Başlıq.
Beləliklə: 
Hazır. Sonuncu termində funksiyanın diferensial altında cəmlənməsi metodundan istifadə etdim.
Cavabın törəməsini tapıb ifadəni ümumi məxrəcə endirsək, onda tam olaraq orijinal inteqral funksiyasını alacağıq. Nəzərdən keçirilən cəmdə parçalanma üsulu ifadənin ümumi məxrəcə gətirilməsinin əks hərəkətindən başqa bir şey deyil.
Bu cür nümunələrdə paylayıcının seçilməsi alqoritmi ən yaxşı şəkildə qaralama şəklində edilir. Bəzi bacarıqlarla zehni olaraq işləyəcək. Mən 11-ci güc üçün seçim edərkən rekord qıran bir hadisəni xatırlayıram və hesablayıcının genişləndirilməsi Verdin demək olar ki, iki xəttini tutdu.
Misal 4
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.
Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu
Növbəti növ fraksiyaları nəzərdən keçirməyə davam edək.
, , , (əmsallar və sıfıra bərabər deyil).
Əslində, dərsdə arksinus və arktangens ilə bir neçə hal artıq qeyd edilmişdir Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu. Bu cür nümunələr funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi və cədvəldən istifadə edərək sonrakı inteqrasiya yolu ilə həll edilir. Uzun və yüksək loqarifmlərlə daha tipik nümunələr:
Misal 5
Misal 6
Burada inteqrallar cədvəlini götürmək və hansı düsturları görmək məsləhətdir Necə transformasiya baş verir. Qeyd edin necə və niyə Bu nümunələrdə kvadratlar vurğulanır. Xüsusilə, 6-cı Nümunədə əvvəlcə məxrəci formada təmsil etməliyik 
, sonra onu diferensial işarənin altına gətirin. Və standartdan istifadə etmək üçün bütün bunları etmək lazımdır cədvəl formuludur 
.
Niyə baxın, 7 və 8 nömrəli nümunələri özünüz həll etməyə çalışın, xüsusən də onlar olduqca qısadır:
Misal 7
Misal 8
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Əgər siz də bu nümunələri yoxlamağı bacarırsınızsa, o zaman böyük hörmət - diferensiasiya bacarıqlarınız əladır.
Tam kvadrat seçim üsulu
Formanın inteqralları 
(əmsallar və sıfıra bərabər deyil) həll edilir tam kvadrat çıxarma üsulu artıq dərsdə görünən Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri.
Əslində, belə inteqrallar indicə baxdığımız dörd cədvəlli inteqraldan birinə qədər azalır. Bu, tanış qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə əldə edilir:
Düsturlar məhz bu istiqamətdə tətbiq edilir, yəni metodun ideyası ifadələri ya məxrəcdə süni şəkildə təşkil etmək və sonra onları müvafiq olaraq hər hansı birinə çevirməkdir.
Misal 9
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın
Bu, ən sadə nümunədir termini ilə – vahid əmsalı(bəzi rəqəm və ya mənfi deyil).
Məxrəcə baxaq, burada bütün məsələ aydın şəkildə təsadüfə düşür. Məxrəci çevirməyə başlayaq:
Aydındır ki, 4 əlavə etməlisiniz. Və ifadənin dəyişməməsi üçün eyni dördü çıxarın:
İndi formula tətbiq edə bilərsiniz:
Dönüşüm tamamlandıqdan sonra HƏMİŞƏƏks hərəkəti yerinə yetirmək məsləhətdir: hər şey yaxşıdır, heç bir səhv yoxdur.
Sözügedən nümunənin son dizaynı belə görünməlidir: 
Hazır. "freebie" nin xülasəsi mürəkkəb funksiya diferensial işarəsi altında: , prinsipcə, laqeyd qala bilər
Misal 10
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır
Misal 11
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Öndə bir mənfi olduqda nə etməli? Bu halda mötərizədə mənfini çıxarıb şərtləri bizə lazım olan ardıcıllıqla sıralamalıyıq: . Daimi(bu halda iki) toxunma!
İndi mötərizədə birini əlavə edirik. İfadəni təhlil edərək, mötərizənin xaricində birini əlavə etmək lazım olduğu qənaətinə gəlirik:
Burada düsturu alırıq, tətbiq edirik:
HƏMİŞƏ Layihəni yoxlayırıq:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.
Təmiz nümunə bu kimi görünür: 
Tapşırığı çətinləşdirir
Misal 12
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın: 
Burada termin artıq vahid əmsalı deyil, “beş”dir.
(1) Əgər bir sabit varsa, onu dərhal mötərizədən çıxarırıq.
(2) Ümumiyyətlə, bu sabiti inteqraldan kənara çıxarmaq həmişə daha yaxşıdır ki, mane olmasın.
(3) Aydındır ki, hər şey düstura düşəcək. Termini başa düşməliyik, yəni "iki" almalıyıq
(4) Bəli, . Bu o deməkdir ki, biz ifadəyə əlavə edirik və eyni kəsri çıxarırıq.
(5) İndi tam kvadrat seçin. Ümumi halda biz də hesablamalıyıq , lakin burada uzun loqarifmin düsturu var 
, və hərəkəti yerinə yetirməyin mənası yoxdur, niyə aşağıda aydın olacaq;
(6) Əslində, düsturu tətbiq edə bilərik 
, yalnız “X” əvəzinə bizdə var ki, bu da cədvəl inteqralının etibarlılığını inkar etmir. Düzünü desək, bir addım qaçırıldı - inteqrasiyadan əvvəl funksiya diferensial işarənin altına alınmalı idi: 
, lakin dəfələrlə qeyd etdiyim kimi, buna çox vaxt laqeyd yanaşılır.
(7) Kök altındakı cavabda bütün mötərizələri geriyə genişləndirmək məsləhətdir:
Çətin? Bu inteqral hesablamanın ən çətin hissəsi deyil. Baxmayaraq ki, nəzərdən keçirilən nümunələr yaxşı hesablama texnikası tələb etdiyi üçün o qədər də mürəkkəb deyil.
Misal 13
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Cavab dərsin sonundadır.
Məxrəcdə kökləri olan inteqrallar var ki, onlar əvəzetmədən istifadə edərək məqalədə onlar haqqında oxuya bilərsiniz; Kompleks inteqrallar, lakin çox hazırlıqlı tələbələr üçün nəzərdə tutulub.
Diferensial işarənin altındakı payın cəmlənməsi
Bu, dərsin son hissəsidir, lakin bu tip inteqrallar olduqca yaygındır! Yorğunsansa, bəlkə sabah oxumaq daha yaxşıdır? ;)
Nəzərə alacağımız inteqrallar əvvəlki bəndin inteqrallarına bənzəyir, onların forması var: və ya 
(əmsallar , və sıfıra bərabər deyil).
Yəni, indi paylayıcıda xətti funksiyamız var. Belə inteqralları necə həll etmək olar?