« Физика - 11 клас"
1
.
По време на електромагнитните колебания възникват периодични промени електрически заряд, ток и напрежение. Електромагнитните трептения се разделят на свободни, затихнали, принудени и собствени трептения.
2
.
Най-простата система, в която се наблюдават свободни електромагнитни трептения, е колебателна верига. Състои се от телена намотка и кондензатор.
Свободни електромагнитни трептения възникват, когато кондензаторът се разрежда през индуктор.
Принудените трептения се причиняват от периодични ЕМП.
В колебателния кръг енергията електрическо полезареденият кондензатор периодично се превръща в енергия магнитно полеток
При липса на съпротивление във веригата общата енергия на електромагнитното поле остава непроменена.
3
.
Електромагнитните и механичните вибрации имат различна природа, но се описват с едни и същи уравнения.
Уравнението, описващо електромагнитните трептения във веригата, има формата
Къде
р- заряд на кондензатора
q"- втора производна на заряда по време;
ω 0 2- квадрат на цикличната честота на трептене, в зависимост от индуктивността Ли контейнери СЪС.
4
.
Решението на уравнението, описващо свободните електромагнитни трептения, се изразява или чрез косинус, или чрез синус:
q = q m cos ω 0 tили q = q m sin ω 0 t.
5
.
Трептенията, които възникват според закона на косинуса или синуса, се наричат хармонични.
Максимална стойност на таксата q mвърху плочите на кондензатора се нарича амплитуда на трептенията на заряда.
величина ω 0
се нарича циклична честота на трептенията и се изразява чрез числото vвибрации в секунда: ω 0 = 2πv.
Периодът на трептене се изразява като циклична честота, както следва:
Количеството под знака за косинус или синус в решението на уравнението свободни вибрации, се нарича фаза на трептене.
Фазата определя състоянието на трептящата система в даден момент за дадена амплитуда на трептене.
6
.
Поради наличието на съпротивление във веригата, трептенията в нея избледняват с времето.
7
Принудителни трептения, т.е. променлив електрически ток, възникват във верига под въздействието на външно периодично напрежение.
Като цяло се наблюдава фазово изместване φ между колебанията на напрежението и тока.
В промишлените AC вериги токът и напрежението се променят хармонично с честота v = 50 Hz.
Променливото напрежение в краищата на веригата се създава от генератори в електроцентралите.
8
.
Мощността във верига с променлив ток се определя от ефективните стойности на тока и напрежението:
P = IU cos φ.
9
.
Съпротивлението на верига с кондензатор е обратно пропорционално на произведението на цикличната честота и електрическия капацитет.
10
.
Индуктор осигурява устойчивост на променлив ток.
Това съпротивление, наречено индуктивно съпротивление, е равно на произведението на цикличната честота и индуктивността.
ωL = X L
11
.
При принудителни електромагнитни колебания е възможен резонанс - рязко увеличаване на амплитудата на тока по време на принудителни колебания, когато честотата на външното променливо напрежение съвпада с естествената честота на колебателната верига.
Резонансът е ясно изразен само когато активното съпротивление на веригата е достатъчно ниско.
Едновременно с увеличаването на силата на тока при резонанс има рязко увеличение на напрежението на кондензатора и бобината. Явлението електрически резонанс се използва в радиокомуникациите.
12
.
Собствените колебания се възбуждат в колебателната верига на транзисторния генератор поради енергията на източник на постоянно напрежение.
Генераторът използва транзистор, т.е. полупроводниково устройство, състоящо се от емитер, база и колектор и имащо две pn преходи. Флуктуациите в тока във веригата причиняват колебания на напрежението между емитера и основата, които контролират тока във веригата на резервоара (обратна връзка).
Енергията се подава към веригата от източника на напрежение, компенсирайки загубата на енергия във веригата през резистора.
Електрическите трептения означават периодични промени в заряда, тока и напрежението. Най-простата система, в която са възможни свободни електрически трептения, е така нареченият колебателен кръг. Това е устройство, състоящо се от кондензатор и намотка, свързани помежду си. Ще приемем, че няма активно съпротивление на бобината, в който случай веригата се нарича идеална. Когато енергията се придаде на тази система, в нея ще възникнат незатихващи хармонични колебания на заряда на кондензатора, напрежението и тока.
Можете да придадете енергия на осцилаторната верига по различни начини. Например зареждане на кондензатор от източник DCили чрез възбуждане на ток в индуктор. В първия случай енергията се притежава от електрическото поле между плочите на кондензатора. Във втория енергията се съдържа в магнитното поле на тока, протичащ през веригата.
§1 Уравнение на трептенията във верига
Нека докажем, че когато енергията се предава на веригата, в нея ще възникнат незатихващи хармонични трептения. За да направите това, трябва да получите диференциално уравнениехармонични вибрации на формата.
Да кажем, че кондензаторът е зареден и окъсен към бобината. Кондензаторът ще започне да се разрежда и през намотката ще тече ток. Съгласно втория закон на Кирхоф, сумата от паданията на напрежението по затворена верига е равна на сумата от ЕДС в тази верига.
В нашия случай спадът на напрежението е, защото веригата е идеална. Кондензаторът във веригата се държи като източник на ток; потенциалната разлика между плочите на кондензатора действа като ЕМП, където е зарядът на кондензатора и е електрическият капацитет на кондензатора. Освен това, когато през бобината протича променящ се ток, в нея възниква самоиндуктивна ЕДС, където е индуктивността на бобината и е скоростта на промяна на тока в бобината. Тъй като самоиндукцията ЕДС предотвратява процеса на разреждане на кондензатора, вторият закон на Кирхоф приема формата
Но токът във веригата е разрядният или зареждащият ток на кондензатора, следователно. Тогава
Диференциалното уравнение се трансформира до формата
Чрез въвеждането на нотацията получаваме добре известното диференциално уравнение на хармоничните трептения.
Това означава, че зарядът на кондензатора в осцилиращата верига ще се промени според хармоничния закон
където е максималната стойност на заряда на кондензатора, е цикличната честота, е началната фаза на трептенията.
Период на колебание на заряда. Този израз се нарича формула на Томпсън.
Напрежение на кондензатора
Ток на веригата
Виждаме, че в допълнение към заряда на кондензатора, според хармоничния закон, токът във веригата и напрежението на кондензатора също ще се променят. Напрежението осцилира във фаза със заряда и силата на тока води заряда
включена фаза.
Енергия на електрическото поле на кондензатор
Текуща енергия на магнитното поле
Така енергиите на електричното и магнитното поле също се изменят по хармоничния закон, но с двойна честота.
Нека обобщим
Електрическите трептения трябва да се разбират като периодични промени в заряда, напрежението, тока, енергията на електрическото поле и енергията на магнитното поле. Тези вибрации, подобно на механичните, могат да бъдат свободни или принудени, хармонични и нехармонични. В идеална колебателна верига са възможни свободни хармонични електрически трептения.
§2 Процеси, протичащи в колебателен кръг
Математически доказахме съществуването на свободни хармонични трептения в една колебателна верига. Остава обаче неясно защо е възможен подобен процес. Какво причинява трептения във веригата?
При свободните механични вибрации е открита такава причина - това е вътрешната сила, която възниква при извеждане на системата от равновесно положение. Тази сила във всеки момент е насочена към равновесното положение и е пропорционална на координатата на тялото (със знак минус). Нека се опитаме да намерим подобна причина за възникването на трептения в колебателната верига.
Оставете трептенията във веригата да се възбудят, като заредите кондензатора и го окъсите към намотката.
В началния момент зарядът на кондензатора е максимален. Следователно напрежението и енергията на електрическото поле на кондензатора също са максимални.
Във веригата няма ток, енергията на магнитното поле на тока е нула.
Първа четвърт на периода– разреждане на кондензатора.
Плочите на кондензатора с различни потенциали са свързани с проводник, така че кондензаторът започва да се разрежда през намотката. Зарядът, напрежението на кондензатора и енергията на електрическото поле намаляват.
Токът, който се появява във веригата, се увеличава, но неговото увеличение се предотвратява от самоиндукционната емф, която се появява в намотката. Енергията на магнитното поле на тока се увеличава.
Измина една четвърт от периода- кондензаторът е разреден.
Кондензаторът се разреди, напрежението върху него стана равно на нула. Енергията на електрическото поле в този момент също е нула. Според закона за запазване на енергията тя не може да изчезне. Енергията на полето на кондензатора се преобразува напълно в енергията на магнитното поле на намотката, която в този момент достига максималната си стойност. Максимален ток във веригата.
Изглежда, че в този момент токът във веригата трябва да спре, тъй като причината за тока - електрическото поле - е изчезнала. Изчезването на тока обаче отново се предотвратява от самоиндуктивната едс в намотката. Сега той ще поддържа намаляващия ток и ще продължи да тече в същата посока, зареждайки кондензатора. Започва втората четвърт на периода.
Втора четвърт на периода – презареждане на кондензатора.
Токът, поддържан от самоиндукционната емф, продължава да тече в същата посока, като постепенно намалява. Този ток зарежда кондензатора в обратна полярност. Зарядът и напрежението на кондензатора се увеличават.
Енергията на магнитното поле на тока, намалявайки, се превръща в енергията на електрическото поле на кондензатора.
Измина втората четвърт от периода - кондензаторът се презареди.
Кондензаторът се презарежда, докато има ток. Следователно, в момента, когато токът спре, зарядът и напрежението на кондензатора поемат максималната стойност.
Енергията на магнитното поле в този момент беше напълно преобразувана в енергията на електрическото поле на кондензатора.
Ситуацията във веригата в този момент е еквивалентна на първоначалната. Процесите във веригата ще се повторят, но в обратна посока. Една пълна осцилация във веригата, продължаваща за определен период, ще приключи, когато системата се върне в първоначалното си състояние, тоест, когато кондензаторът се презареди в първоначалния си поляритет.
Лесно е да се види, че причината за колебанията във веригата е феноменът на самоиндукция. ЕМП на самоиндукция предотвратява промяната на тока: предотвратява незабавното му увеличаване и незабавно изчезване.
Между другото, не би било излишно да се сравнят изразите за изчисляване на квазиеластична сила в механична осцилаторна система и самоиндукционната емф във веригата:
Преди това бяха получени диференциални уравнения за механични и електрически осцилаторни системи:
Въпреки фундаменталните различия във физическите процеси на механичните и електрическите колебателни системи, математическата идентичност на уравненията, описващи процесите в тези системи, е ясно видима. Трябва да поговорим за това по-подробно.
§3 Аналогия между електрически и механични вибрации
Внимателен анализ на диференциални уравнения за пружинно махало и осцилаторна верига, както и формули, свързващи величини, характеризиращи процеси в тези системи, ни позволява да идентифицираме кои количества се държат по същия начин (Таблица 2).
| Пружинно махало | Осцилаторна верига |
| Координата на тялото() | Зареждане на кондензатора () |
| Скорост на тялото | Сила на тока във веригата |
| Потенциална енергия на еластично деформирана пружина | Енергия на електрическото поле на кондензатор |
| Кинетична енергия на товара | Енергия на магнитното поле на токова намотка |
| Реципрочната стойност на твърдостта на пружината | Капацитет на кондензатора |
| Тегло на товара | Индуктивност на бобината |
| Еластична сила | ЕДС на самоиндукция, равна на напрежението върху кондензатора |
Таблица 2
Важно е не само формалното сходство между величините, описващи процесите на трептене на махалото и процесите във веригата. Самите процеси са идентични!
Крайните позиции на махалото са еквивалентни на състоянието на веригата, когато зарядът на кондензатора е максимален.
Равновесното положение на махалото е еквивалентно на състоянието на веригата, когато кондензаторът е разреден. В този момент еластичната сила става нула и няма напрежение върху кондензатора във веригата. Скоростта на махалото и токът във веригата са максимални. Потенциалната енергия на еластична деформация на пружината и енергията на електрическото поле на кондензатора са равни на нула. Енергията на системата се състои от кинетичната енергия на товара или енергията на магнитното поле на тока.
Разреждането на кондензатор протича подобно на движението на махало от крайно положение до равновесно положение. Процесът на презареждане на кондензатора е идентичен с процеса на отстраняване на товара от равновесно положение до крайно положение.
Обща енергияосцилаторна система или остава непроменена във времето.
Подобна аналогия може да се проследи не само между пружинно махало и колебателен кръг. Универсални закони на свободните вибрации от всякакво естество! Тези модели, илюстрирани с примера на две осцилаторни системи (пружинно махало и осцилаторна верига), са не само възможни, но трябва да се види в трептенията на всяка система.
По принцип е възможно да се реши проблема с всеки колебателен процес, като се замени с колебания на махалото. За да направите това, достатъчно е компетентно да конструирате еквивалентна механична система, решите механична задачаи заменете стойностите в крайния резултат. Например, трябва да намерите периода на трептене във верига, съдържаща кондензатор и две бобини, свързани паралелно.
Осцилиращата верига съдържа един кондензатор и две намотки. Тъй като бобината се държи като тежестта на пружинно махало, а кондензаторът като пружина, еквивалентната механична система трябва да съдържа една пружина и две тежести. Проблемът е как тежестите са прикрепени към пружината. Възможни са два случая: единият край на пружината е фиксиран, а към свободния край е прикрепена една тежест, втората е към първия или тежестите са прикрепени към различни краища на пружината.
Когато намотки с различна индуктивност са свързани паралелно, през тях протичат различни токове. Следователно скоростите на товарите в идентична механична система също трябва да бъдат различни. Очевидно това е възможно само във втория случай.
Вече намерихме периода на тази трептителна система. То е равно. Заменяйки масите на товарите с индуктивността на намотките и реципрочната стойност на твърдостта на пружината с капацитета на кондензатора, получаваме.
§4 Трептящ кръг с източник на постоянен ток
Да разгледаме осцилаторна верига, съдържаща източник на постоянен ток. Нека кондензаторът първоначално е незареден. Какво ще се случи в системата след затваряне на ключ K? Ще се наблюдават ли в този случай трептения и каква е тяхната честота и амплитуда?
Очевидно след затваряне на ключа кондензаторът ще започне да се зарежда. Записваме втория закон на Кирхоф:
Следователно токът във веригата е зарядният ток на кондензатора. Тогава. Диференциалното уравнение се трансформира до формата
* Решаваме уравнението чрез промяна на променливи.
Нека обозначим . Диференцираме два пъти и като вземем предвид факта, че , получаваме . Диференциалното уравнение приема формата
Това е диференциално уравнение на хармоничните трептения, решението му е функцията
където е цикличната честота, интеграционните константи и се намират от началните условия.
Зарядът на кондензатора се променя според закона
Веднага след като ключът е затворен, зарядът на кондензатора е нула и няма ток във веригата. Като вземем предвид началните условия, получаваме система от уравнения:
Решавайки системата, получаваме и . След като ключът се затвори, зарядът на кондензатора се променя според закона.
Лесно е да се види, че във веригата възникват хармонични трептения. Наличието на източник на постоянен ток във веригата не повлия на честотата на трептене, тя остана равна. „Равновесното положение“ се е променило - в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът се зарежда. Амплитудата на колебанията на заряда на кондензатора е равна на Cε.
Същият резултат може да се получи по-просто, като се използва аналогия между трептения във верига и трептения на пружинно махало. Източник на постоянен ток е еквивалентен на постоянно силово поле, в което е поставено пружинно махало, например гравитационно поле. Липсата на заряд върху кондензатора в момента на затваряне на веригата е идентична с липсата на деформация на пружината в момента, в който махалото е приведено в трептящо движение.
В постоянно силово поле периодът на трептене на пружинно махало не се променя. Периодът на трептене във веригата се държи по същия начин - той остава непроменен, когато във веригата се въведе източник на постоянен ток.
В равновесно положение, когато скоростта на товара е максимална, пружината се деформира:
Когато токът в трептящия кръг е максимален. Вторият закон на Кирхоф ще бъде написан по следния начин
В този момент зарядът на кондензатора е равен на Същият резултат може да се получи въз основа на израз (*), като се извърши замяната
§5 Примери за решаване на задачи
Проблем 1Закон за запазване на енергията
Л= 0,5 µH и кондензатор с капацитет СЪС= 20 pF възникват електрически трептения. Какво е максималното напрежение на кондензатора, ако амплитудата на тока във веригата е 1 mA? Активното съпротивление на бобината е незначително.
Решение:
2 В момента, когато напрежението на кондензатора е максимално (максимален заряд на кондензатора), във веригата няма ток. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора
3 В момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът е напълно разреден. Общата енергия на системата се състои само от енергията на магнитното поле на намотката
4 Въз основа на изрази (1), (2), (3) получаваме равенството . Максималното напрежение на кондензатора е
Проблем 2Закон за запазване на енергията
В трептяща верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор с капацитет С,възникват електрически трептения с период T = 1 μs. Максимална стойност на таксата. Какъв е токът във веригата в момента, когато зарядът на кондензатора е равен на ? Активното съпротивление на бобината е незначително.
Решение:
1 Тъй като активното съпротивление на намотката може да бъде пренебрегнато, общата енергия на системата, състояща се от енергията на електрическото поле на кондензатора и енергията на магнитното поле на намотката, остава непроменена във времето:
2 В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, няма ток във веригата. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора
3 Въз основа на (1) и (2) получаваме равенството . Токът във веригата е равен на.
4 Периодът на трептене във веригата се определя по формулата на Томсън. Оттук. Тогава за тока във веригата получаваме
Проблем 3Осцилационен кръг с два паралелно свързани кондензатора
В трептяща верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор с капацитет С,възникват електрически трептения с амплитуда на заряда. В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, превключвателят K е затворен. Какъв ще бъде периодът на трептене във веригата след затваряне на ключа? Каква е амплитудата на тока във веригата след затваряне на ключа? Пренебрегнете омичното съпротивление на веригата.
Решение:
1 Затварянето на ключа води до появата на друг кондензатор във веригата, свързан паралелно на първия. Общият капацитет на два паралелно свързани кондензатора е равен на .
Периодът на трептенията във веригата зависи само от нейните параметри и не зависи от това как са възбудени трептенията в системата и каква енергия е предадена на системата за това. Според формулата на Томсън.
2 За да намерим амплитудата на тока, нека разберем какви процеси се случват във веригата след затваряне на превключвателя.
Вторият кондензатор беше свързан в момента, когато зарядът на първия кондензатор беше максимален, следователно нямаше ток във веригата.
Кондензаторът на веригата трябва да започне да се разрежда. Разрядният ток, достигнал възела, трябва да бъде разделен на две части. Въпреки това, в разклонението с намотката възниква ЕМП на самоиндукция, което предотвратява увеличаването на разрядния ток. Поради тази причина целият разряден ток ще тече в клона с кондензатора, чието омично съпротивление е нула. Токът ще спре веднага щом напреженията на кондензаторите се изравнят и първоначалният заряд на кондензатора ще се преразпредели между двата кондензатора. Времето на преразпределение на заряда между два кондензатора е незначително поради липсата на омично съпротивление в клоновете с кондензатори. През това време токът в клона с намотката няма да има време да възникне. Трептенията в новата система ще продължат след преразпределението на заряда между кондензаторите.
Важно е да се разбере, че в процеса на преразпределение на заряда между два кондензатора енергията на системата не се запазва! Преди ключът да бъде затворен, един кондензатор, верига, имаше енергия:
След преразпределение на заряда кондензаторната банка има енергия:
Лесно се вижда, че енергията на системата е намаляла!
3 Намираме новата амплитуда на тока, използвайки закона за запазване на енергията. По време на процеса на трептене енергията на кондензаторната банка се преобразува в енергията на магнитното поле на тока:
Моля, имайте предвид, че законът за запазване на енергията започва да „работи“ едва след като преразпределението на заряда между кондензаторите приключи.
Проблем 4Осцилаторна верига с два последователно свързани кондензатора
Осцилаторната верига се състои от намотка с индуктивност L и два последователно свързани кондензатора С и 4С. Кондензатор с капацитет C е зареден до напрежение, кондензатор с капацитет 4C не е зареден. След затваряне на ключа започват трептения във веригата. Какъв е периодът на тези трептения? Определете амплитудата на тока, максималните и минималните стойности на напрежението на всеки кондензатор.
Решение:
1 В момента, когато токът във веригата е максимален, в намотката няма самоиндуктивна емф. За този момент записваме втория закон на Кирхоф
Виждаме, че в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторите се зареждат до същото напрежение, но в обратна полярност:
2 Преди затваряне на превключвателя, общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора C:
В момента, когато токът във веригата е максимален, енергията на системата е сумата от енергията на магнитното поле на тока и енергията на два кондензатора, заредени на същото напрежение:
Според закона за запазване на енергията
За да намерим напрежението на кондензаторите, използваме закона за запазване на заряда - зарядът на долната плоча на кондензатор C се прехвърля частично към горната плоча на кондензатор 4C:
Заместваме намерената стойност на напрежението в закона за запазване на енергията и намираме амплитудата на тока във веригата:
3 Нека намерим границите, в които напрежението на кондензаторите се променя по време на трептения.
Ясно е, че в момента на затваряне на веригата е имало максимално напрежение на кондензатор С. Следователно кондензаторът 4C не е зареден.
След затваряне на ключа, кондензатор C започва да се разрежда и кондензатор с капацитет 4C започва да се зарежда. Процесът на разреждане на първия и зареждане на втория кондензатор завършва веднага щом токът във веригата спре. Това ще стане след половината период. Според законите за запазване на енергията и електрическия заряд:
Решавайки системата, намираме:
Знакът минус означава, че след половин цикъл кондензаторът C се зарежда в полярност, обратна на първоначалната.
Проблем 5Осцилационен кръг с две последователно свързани намотки
Трептящият кръг се състои от кондензатор с капацитет С и две индуктивни бобини L 1И L 2. В момента, когато токът във веригата достигне максималната си стойност, в първата намотка бързо (в сравнение с периода на трептене) се вкарва желязна сърцевина, което води до увеличаване на нейната индуктивност с μ пъти. Каква е амплитудата на напрежението по време на по-нататъшни трептения във веригата?
Решение:
1 Когато сърцевината се вкара бързо в бобината, трябва да се поддържа магнитният поток (феноменът на електромагнитната индукция). Следователно, бърза промяна в индуктивността на една от намотките ще доведе до бърза промяна на тока във веригата.
2 По време на въвеждането на сърцевината в намотката зарядът на кондензатора не е имал време да се промени; сърцевината е била въведена в момента, когато токът във веригата е бил максимален. След една четвърт от периода енергията на магнитното поле на тока ще се трансформира в енергията на зареден кондензатор:
Заместваме текущата стойност в получения израз ази намерете амплитудата на напрежението на кондензатора:
Проблем 6Осцилационен кръг с две успоредно свързани намотки
Индукторите L 1 и L 2 са свързани чрез ключове K1 и K2 към кондензатор с капацитет C. В началния момент и двата ключа са отворени и кондензаторът е зареден до потенциална разлика. Първо, ключът K1 е затворен и когато напрежението на кондензатора стане нула, K2 е затворен. Определете максималното напрежение на кондензатора след затваряне на K2. Пренебрегвайте съпротивленията на бобината.
Решение:
1 Когато превключвателят K2 е отворен, възникват трептения във веригата, състояща се от кондензатор и първата бобина. Докато K2 се затвори, енергията на кондензатора се е прехвърлила в енергията на магнитното поле на тока в първата намотка:
2 След затваряне на K2 има две бобини, свързани паралелно в трептящия кръг.
Токът в първата намотка не може да спре поради явлението самоиндукция. На възела се разделя: една част от тока отива към втората намотка, а другата зарежда кондензатора.
3 Напрежението на кондензатора ще бъде максимално, когато токът спре аз, зареждащ кондензатор. Очевидно в този момент токовете в намотките ще бъдат равни.
:Махалото се движи постъпателно със скоростта на центъра на масата и осцилира спрямо центъра на масата.
Еластичната сила е максимална в момента на максимална деформация на пружината. Очевидно в този момент относителната скорост на товарите става нула и спрямо масата тежестите се движат със скоростта на центъра на масата. Записваме закона за запазване на енергията:
Решавайки системата, намираме
Правим замяна
и получаваме предварително намерената стойност за максималното напрежение
§6 Задачи за самостоятелно решаване
Упражнение 1 Изчисляване на периода и честотата на собствените трептения
1 Осцилаторната верига включва бобина с променлива индуктивност, която варира в рамките L 1= 0,5 µH до L 2= 10 µH и кондензатор, чийто капацитет може да варира от C 1= 10 pF до
C 2=500 pF. Какъв честотен диапазон може да бъде покрит чрез настройка на тази верига?
2 Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако индуктивността й се увеличи 10 пъти, а капацитетът й се намали 2,5 пъти?
3. Осцилиращ кръг с кондензатор 1 µF е настроен на честота 400 Hz. Ако свържете втори кондензатор паралелно с него, тогава честотата на трептене във веригата става равна на 200 Hz. Определете капацитета на втория кондензатор.
4 Трептящият кръг се състои от намотка и кондензатор. Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако към веригата се включи последователно втори кондензатор, чийто капацитет е 3 пъти по-малък от капацитета на първия?
5 Определете периода на трептене на веригата, която включва намотка (без сърцевина) с дължина V= 50 cm m площ на напречното сечение
С= 3 cm 2, имайки Н= 1000 оборота и капацитет на кондензатора СЪС= 0,5 µF.
6 Осцилаторната верига включва индуктор Л= 1,0 µH и въздушен кондензатор, чиято площ на пластината С= 100 cm 2. Веригата е настроена на честота 30 MHz. Определете разстоянието между плочите. Активното съпротивление на веригата е незначително.
Конспект на лекцията
1. Трептящи вериги. Квазистационарни течения.
2. Собствени електрически трептения.
2.1. Естествени незатихващи трептения.
2.2. Естествени затихващи трептения.
3. Принудени електрически трептения.
3.1. Съпротивление в AC верига.
3.2. Капацитет във верига с променлив ток.
3.3. Индуктивност във верига с променлив ток.
3.4. Принудителни вибрации. Резонанс.
3.5. Проблем с косинус фи.
Осцилаторни вериги. Квазистационарни течения.
трептения електрически величини- заряд, напрежение, ток - могат да се наблюдават във верига, състояща се от последователно свързани съпротивления ( Р), контейнери ( В) и индуктори ( Л) (фиг. 11.1).
ориз. 11.1.
Когато превключите позиция 1 ДО, кондензаторът се зарежда от източника.
Ако сега го превключите на позиция 2, тогава във веригата RLCще се появят колебания с период Т, подобно на трептенията на товар върху пружина.
Наричат се колебания, които възникват само поради вътрешните енергийни ресурси на системата собствени.Първоначално енергията се предава на кондензатора и се локализира в електростатично поле. Когато кондензаторът е късо към намотка, във веригата се появява разряден ток и в намотката се появява магнитно поле. E.m.f. Самоиндукцията на бобината ще предотврати мигновеното разреждане на кондензатора. След една четвърт от периода кондензаторът ще бъде напълно разреден, но токът ще продължи да тече, поддържан от електродвижещата сила на самоиндукция. По времето 
този e.m.f. ще презареди кондензатора. Токът във веригата и магнитното поле ще намалеят до нула, зарядът на кондензаторните пластини ще достигне максималната си стойност.
Тези колебания на електрическите величини във веригата ще се появят за неопределено време, ако съпротивлението на веригата Р= 0. Този процес се нарича естествени незатихващи трептения. Наблюдавахме подобни трептения в механична трептителна система, когато в нея няма съпротивителна сила. Ако съпротивлението на резистора Р(съпротивителната сила в механичен осцилатор) не може да бъде пренебрегната, тогава в такива системи ще възникне естествени затихващи трептения.
На графиките на фиг. 11.2. зависимостите на заряда на кондензатора от времето са представени в случай на незатихване ( А) и затихване ( b,V,Ж) вибрации. Характерът на затихналите трептения се променя с увеличаване на съпротивлението на резистора Р. Когато съпротивлението превиши определена критичензначение Р k, в системата не възникват трептения. Едно монотонно периодиченразреждане на кондензатора (фиг. 11.2. Ж.).
ориз. 11.2.
Преди да преминем към математическия анализ на осцилаторните процеси, ще направим една важна забележка. Когато съставяме уравненията на трептенията, ще използваме правилата на Кирхоф (законите на Ом), които са валидни, строго погледнато, за постоянен ток. Но в осцилиращите системи токът се променя с времето. Но дори и в този случай можете да използвате тези закони за моментната стойност на тока, ако скоростта на промяна на тока не е твърде висока. Такива течения се наричат квазистационарни („квази“ (лат.) - сякаш). Но какво означава, че скоростта е „твърде“ или „не твърде“ висока? Ако токът се промени в определен участък от веригата, импулсът на тази промяна ще достигне най-отдалечената точка на веригата след време:
.
тук ле характерният размер на контура и с- скоростта на светлината, с която се разпространява сигналът във веригата.
Скоростта на промяна на тока се счита за не твърде висока и токът е квазистационарен, ако:
,
Къде Т- периодът на промяна, който е характерното време на колебателния процес.
Например, за верига с дължина 3 m забавянето на сигнала ще бъде == 
= 10-8 s. Тоест, променливият ток в тази верига може да се счита за квазистационарен, ако неговият период е повече от10 –6 s, което съответства на честотата= 
10 6 Hz. Така за честоти 010 6 Hz в разглежданата верига могат да се използват правилата на Кирхоф за моментни стойности на тока и напрежението.
Електрически вибрации и електромагнитни вълни
Колебателните промени в електрическата верига в количествата заряд, ток или напрежение се наричат електрически трептения. Променливият електрически ток е един от видовете електрически трептения.
Високочестотните електрически трептения се произвеждат в повечето случаи с помощта на осцилиращ кръг.
Трептящият кръг е затворена верига, състояща се от индуктивност Ли контейнери В.
Период на собствените трептения на веригата:
и токът във веригата се променя според закона на затихналите трептения:
Когато една колебателна верига е изложена на променлива ЕМП, във веригата се установяват принудителни трептения. Амплитуда на принудителни колебания на тока при постоянни стойности Л, В, Рзависи от съотношението на естествената честота на трептенията на веригата и честотата на промяна на синусоидалната ЕМП (фиг. 1).
Съгласно закона на Био-Савар-Лаплас токът на проводимост създава магнитно поле със затворени силови линии. Това поле се нарича вихър.
Променливият проводящ ток създава променливо магнитно поле. Променливият ток, за разлика от постоянния ток, преминава през кондензатор; но този ток не е ток на проводимост; нарича се ток на изместване. Токът на изместване е променящо се във времето електрическо поле; той създава променливо магнитно поле, точно като променлив ток на проводимост. Плътност на тока на отклонение:
Във всяка точка в пространството промяната във времето на индукцията на електрическото поле създава променливо вихрово магнитно поле (фиг. 2а). Вектори Бполученото магнитно поле лежи в равнина, перпендикулярна на вектора г. Математическото уравнение, изразяващо този модел, се нарича Първото уравнение на Максуел.
При електромагнитна индукция възниква електрическо поле със затворени силови линии (вихрово поле), което се проявява като индуцирана емф. Във всяка точка на пространството промяна във времето на вектора на индукция на магнитното поле създава променливо вихрово електрическо поле (фиг. 2b). Вектори гна полученото електрическо поле лежи в равнина, перпендикулярна на вектора Б. Математическото уравнение, което описва този модел, се нарича Второто уравнение на Максуел.
Съвкупността от променливи електрически и магнитни полета, които са неразривно свързани помежду си, се нарича електромагнитно поле.
От уравненията на Максуел следва, че промяна във времето в електрическото (или магнитното) поле, което възниква във всяка точка, ще се премести от една точка в друга и ще настъпят взаимни трансформации на електрически и магнитни полета.
Електромагнитните вълни са процес на едновременно разпространение в пространството на променящи се електрически и магнитни полета. Вектори на напрегнатостта на електрическото и магнитното поле ( дИ з) към електромагнитната вълна са перпендикулярни един на друг и векторът vскоростта на разпространение е перпендикулярна на равнината, в която лежат двата вектора дИ з(фиг. 3), това е вярно при разпръскване електромагнитни вълнии неограничено пространство.
Скоростта на разпространение на електромагнитните вълни във вакуум не зависи от дължината на вълната и е равна на
Скоростта на електромагнитните вълни в различни среди е по-малка от скоростта във вакуум.
В електрически вериги, както и в механични системи, като натоварване на пружина или махало, може да възникне свободни вибрации.
Електромагнитни вибрациинаречени периодични взаимосвързани промени в заряда, тока и напрежението.
безплатнотрептения са тези, които възникват без външно въздействие поради първоначално натрупаната енергия.
Принуденсе наричат трептения във верига под въздействието на външна периодична електродвижеща сила
Свободни електромагнитни трептения – това са периодично повтарящи се промени в електромагнитните величини (р– електрически заряд,аз– сила на тока,U– потенциална разлика), възникваща без потребление на енергия от външни източници.
Най-простата електрическа система, способна на свободни трептения, е серийна RLC веригаили колебателна верига.
Осцилаторна верига –е система, състояща се от последователно свързани кондензаториВ, индукториЛ и проводник със съпротивлениеР
Помислете за затворена осцилаторна верига, състояща се от индуктивност L и контейнери СЪС.
За да възбудите трептения в тази верига, е необходимо да придадете определен заряд на кондензатора от източника ε . Когато ключът Ке в позиция 1, кондензаторът е зареден до напрежение. След превключване на ключа в позиция 2 започва процесът на разреждане на кондензатора през резистора Ри индуктор Л. При определени условия този процес може да има колебателен характер.
На екрана на осцилоскопа могат да се наблюдават свободни електромагнитни трептения.
Както може да се види от графиката на трептенията, получена на осцилоскоп, свободните електромагнитни трептения са избледняванеамплитудата им намалява с времето. Това се случва, защото част електрическа енергияпри активно съпротивление R се преобразува във вътрешна енергия. проводник (проводникът се нагрява, когато през него преминава електрически ток).
Нека да разгледаме как възникват трептения в една осцилаторна верига и какви енергийни промени възникват. Нека първо разгледаме случая, когато няма загуба на електромагнитна енергия във веригата ( Р = 0).
Ако заредите кондензатора до напрежение U 0, тогава в началния момент t 1 = 0, стойностите на амплитудата на напрежението U 0 и заряда q 0 = CU 0 ще бъдат установени върху плочите на кондензатора.
Общата енергия W на системата е равна на енергията на електрическото поле W el:
Ако веригата е затворена, токът започва да тече. Във веригата се появява емф. самоиндукция
Поради самоиндукция в бобината, кондензаторът се разрежда не мигновено, а постепенно (тъй като, според правилото на Ленц, полученият индуциран ток със своето магнитно поле противодейства на промяната в магнитния поток, която го е причинила. Т.е. полето на индуцирания ток не позволява моментално увеличаване на магнитния поток на тока във веригата). В този случай токът нараства постепенно, достигайки максималната си стойност I 0 в момент t 2 = T/4 и зарядът на кондензатора става нула.
Тъй като кондензаторът се разрежда, енергията на електрическото поле намалява, но в същото време енергията на магнитното поле се увеличава. Общата енергия на веригата след разреждане на кондензатора е равна на енергията на магнитното поле W m:
В следващия момент токът тече в същата посока, намалявайки до нула, което кара кондензатора да се презареди. Токът не спира незабавно след разреждането на кондензатора поради самоиндукция (сега магнитното поле на индукционния ток предотвратява моменталното намаляване на магнитния поток на тока във веригата). В момента t 3 =T/2 зарядът на кондензатора отново е максимален и равен на първоначалния заряд q = q 0, напрежението също е равно на първоначалното U = U 0 и токът във веригата е нула I = 0.
След това кондензаторът отново се разрежда, токът протича през индуктивността в обратна посока. След период от време T системата се връща в първоначалното си състояние. Пълната осцилация приключва и процесът се повтаря.
Графиката на промените в заряда и силата на тока по време на свободни електромагнитни колебания във веригата показва, че колебанията в силата на тока изостават от колебанията на заряда с π/2.
Във всеки един момент общата енергия е:
При свободни трептения възниква периодична трансформация на електрическа енергия У e, съхранен в кондензатор, в магнитна енергия У m намотки и обратно. Ако няма загуба на енергия в осцилаторната верига, тогава общата електромагнитна енергия на системата остава постоянна.
Свободните електрически вибрации са подобни на механичните вибрации. Фигурата показва графики на промените в заряда р(t) кондензатор и отклонение х(t) натоварване от равновесно положение, както и графики на тока аз(t) и скорост на натоварване υ( t) за един период на трептене.
При липса на затихване има свободни трептения в електрическа верига хармоничен, тоест възникват съгласно закона
р(t) = р 0 cos(ω t + φ 0)
Опции ЛИ Вколебателната верига се определя само от собствената честота на свободните трептения и периода на трептене - формула на Томпсън
Амплитуда р 0 и началната фаза φ 0 се определят начални условия, тоест начинът, по който системата е изведена от равновесие.
За колебанията в заряда, напрежението и тока се получават следните формули:
За кондензатор:
р(t) = р 0 cosω 0 t
U(t) = U 0 cosω 0 t
За индуктор:
аз(t) = аз 0 cos(ω 0 t+ π/2)
U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Да си припомним Основни характеристики на колебателното движение:
р 0, U 0 , аз 0 - амплитуда– модул на най-голямата стойност на флуктуиращата величина
Т - период– минималният период от време, след който процесът се повтаря напълно
ν - Честота– брой трептения за единица време
ω - Циклична честота– брой трептения за 2n секунди
φ - фаза на трептене- величина под знака косинус (синус) и характеризираща състоянието на системата във всеки момент.