Предмет. Производна. Геометричен и механичен смисъл на производната

Ако тази граница съществува, тогава се казва, че функцията е диференцируема в точка. Производната на функция се означава с (формула 2).

1. Геометрично значение на производната. Нека да разгледаме графиката на функцията. От фиг. 1 става ясно, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията може да се напише формула 3. Той съдържа ъгъла на наклона на секущата AB.

По този начин съотношението на разликата е равно на наклона на секанса. Ако фиксирате точка A и преместите точка B към нея, тогава тя намалява неограничено и се доближава до 0, а секансът AB се доближава до допирателната AC. Следователно границата на съотношението на разликата е равна на наклона на допирателната в точка А. Това води до заключението.

Производната на функция в точка е наклонът на допирателната към графиката на тази функция в тази точка. Ето какво геометричен смисълпроизводна.

1. Уравнение на тангенс . Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точка. В общия случай уравнението на права линия с ъглов коефициент има вида: . За да намерим b, се възползваме от факта, че допирателната минава през точка A: . Следва: . Замествайки този израз вместо b, получаваме уравнението на допирателната (формула 4).

Тип работа: 7

Състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика. Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Получаваме система от уравнения

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

отговор

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Ъгловият коефициент на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=-2x+5, което означава y" (x_0)=-2x_0+5 Ъгловият коефициент на линията y=-3x+4, определен в условието, е равен на -3 -2x_0 +5=-3.

Получаваме: x_0 = 4.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил" Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точки A(-6; 2) и B(-1; 1).

Нека означим с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата линия AB образува ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox, която е тъпа. Както е известно, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точка x_0.Забележете това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

От тук, използвайки формулите за редукция, получаваме:

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-голяма от нула. Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

От тук, използвайки формулите за редукция, получаваме:

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

\begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

От тук, използвайки формулите за редукция, получаваме:

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Наклонът на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=2x-4, което означава y"(x_0)= 2x_0-4 Наклонът на допирателната y =4x-7 е равен на 4. Следователно намираме стойност на x_0-4=4.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

От тук, използвайки формулите за редукция, получаваме:

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка x_0.

От фигурата определяме, че допирателната минава през точки A(1; 1) и B(5; 4).

Нека означим с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата линия AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.

Статията предоставя подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графични означения. Уравнението на допирателна ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателна към криви от 2-ри ред.

Определение 1

Ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y = k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката x е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за правата линия.

Определение 2

• Наклонът на правата линия y = k x + b се нарича числов коефициент k.
• Ъгловият коефициент е равен на тангенса на правата линия, с други думи k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Ъгълът на наклона на права линия е равен на 0 само ако е успоредна на x и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нулата е равен на 0. Това означава, че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0 са изпълнени
• 0 и има увеличение в графиката.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ако α = π 2, тогава местоположението на правата е перпендикулярно на x. Равенството се определя от x = c, като стойността c е реално число.

Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2

Определение 3

Когато ъгловият коефициент на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона, ясно е, че тангенса на правоъгълен триъгълник A B C може да се намери чрез съотношението на срещуположната страна към съседната.

Определение 4

Получаваме формула за намиране на секанс от формата:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точки A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно ъгловият коефициент на секанса се определя с помощта на равенството k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът разделя графиката визуално на 3 части: вляво от точка A, от A до B, вдясно от B. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за съвпадащи, т.е. те са зададени с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че правата линия и нейният секанс в този случай съвпадат.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение от вида y = 0 за секанс, тогава броят на точките на пресичане със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точка x 0 ; f (x 0) е права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0), с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0.

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава е ясно, че правата, определена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1; 2). За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е показана в черно, синята линия е допирателната, а червената точка е пресечната точка.

Очевидно y = 2 x се слива с правата y = x + 1.

За да определим допирателната, трябва да разгледаме поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За по-голяма яснота представяме чертеж.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна, а ъгълът на наклон на секущата α ще започне да клони към ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точка A се счита за гранична позиция на секанса A B, когато B клони към A, т.е. B → A.

Сега нека преминем към разглеждане на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждане на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) и ∆ x е се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота нека дадем пример за чертеж.

Нека разгледаме полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме определението за тангенс за решаване, т.е. получаваме връзката ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производната в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0 , тогава го означаваме като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест, откриваме, че f '(x) може да съществува в точка x 0 и подобно на допирателната към дадена графика на функцията в точката на допиране, равна на x 0, f 0 (x 0), където стойността на наклонът на тангентата в точката е равен на производната в точка x 0 . Тогава получаваме, че k x = f " (x 0) .

Геометричният смисъл на производната на функция в точка е, че дава концепцията за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнина, е необходимо да имате ъглов коефициент с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 при пресичане.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално, при условие че lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо отсъствие при условието lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния ъглов коефициент k x = f "(x 0). Когато е успоредна на оста o x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на o y - k x = ∞, и формата на допирателното уравнение x = x 0 нараства с k x > 0, намалява с k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнение за допирателната към графиката на функцията y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точката с координати (1; 3) и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Откриваме, че точката с координати, определени от условието (1; 3) е точка на допиране, тогава x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1. Разбираме това

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f' (x) в точката на допирателна е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, синият цвят е изображението на допирателната, а червената точка е точката на допирателна. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Установете съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че домейнът на дефиниция на дадена функция се счита за набор от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f' (x) е недефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , което означава, че съществуваща вертикална допирателна в точка (1; 1).

отговор:уравнението ще приеме формата x = 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

За по-голяма яснота нека го изобразим графично.

Пример 4

Намерете точките върху графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, където

1. Няма допирателна;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4.

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на обхвата на дефиницията. По условие имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширяваме модула и решаваме системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; + ∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Необходимо е да се разграничи функцията. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Когато x = − 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x = - 2, където получаваме това

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, тоест допирателната в точката ( - 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x = t g α x = f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f ' (x) ще бъдат точките на допиране, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2, тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 и за x ∈ (- 2; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчислете стойностите на съответните функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 се считат за търсените точки от графиката на функцията.

Нека помислим графично изображениерешения.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са точките на допир.

1. Когато линиите са успоредни, ъгловите коефициенти са равни. След това е необходимо да се търсят точки на графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5. За да направите това, трябва да решите уравнение под формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞), тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът е по-малък от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15, 5; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4.

отговор:черна линия – графика на функцията, червена линия – графика на y = 8 5 x + 4, синя линия – допирателни в точки - 1; 4 15, 5; 8 3.

Може да има безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, които са разположени перпендикулярно на правата линия y = - 2 x + 1 2.

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на допирателната точка въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията е следната: произведението на ъгловите коефициенти, които са перпендикулярни на прави линии, е равно на - 1, тоест записано като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че ъгловият коефициент е разположен перпендикулярно на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Сега трябва да намерите координатите на допирните точки. Трябва да намерите x и след това неговата стойност за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x = y "(x 0). От това равенство намираме стойностите на x за точките на контакт.

Разбираме това

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

това тригонометрично уравнениеще се използва за изчисляване на ординатите на допирателните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени са x допирни точки. Сега трябва да преминете към търсене на стойностите на y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От това получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са точките на допир.

отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функция и допирателна върху координатна права.

Фигурата показва, че функцията се намира на интервала [ - 10 ; 10 ], където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са разположени перпендикулярно на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2. Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по известни схеми.

Допирателна към окръжност

За определяне на окръжност с център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R, приложете формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция се намира отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функция от вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на o y, тогава получаваме уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна към елипса

Когато елипсата има център в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b, то може да се уточни с помощта на уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. По-долу, за по-голяма яснота, разгледайте фигурата.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки със стойности на x, равни на x = 2.

Решение

Необходимо е да се намерят допирателните точки, които съответстват на стойността x = 2. Заместваме в съществуващото уравнение на елипсата и намираме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и решаването на уравнението на елипсата по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно горната полуелипса е определена с помощта на функция от формата y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, а долната полуелипса y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Нека приложим стандартен алгоритъм, за да създадем уравнение за допирателна към графиката на функция в точка. Нека запишем, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Откриваме, че уравнението на втората допирателна със стойност в точката
2 ; - 5 3 2 + 5 приема формата

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се означават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хипербола има център в x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r се изпълнява неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b , тогава се определя с помощта на неравенството x-x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x център) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на y, а във втория са успоредни на x.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателната към хипербола, е необходимо да се установи на коя функция принадлежи точката на допирателна. За да се определи това, е необходимо да се замени в уравненията и да се провери за идентичност.

Пример 7

Напишете уравнение за допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 и y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се определи към коя функция принадлежи зададена точкас координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно за проверка на първата функция е необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не важи.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите склона.

Разбираме това

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ясно е изобразено така:

Тангента на парабола

За да създадете уравнение за допирателната към параболата y = a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0), трябва да използвате стандартен алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Такава допирателна при върха е успоредна на x.

Трябва да дефинирате параболата x = a y 2 + b y + c като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графично изобразен като:

За да разберете дали точка x 0, y (x 0) принадлежи на функция, продължете внимателно според стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на o y спрямо параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме ъгъл на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точка x 0 на тази функция и е равна на тангенса на ъгъла на наклон.

Получаваме:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

От тук определяме стойността на x за точките на контакт.

Първата функция ще бъде написана като

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че за такава функция няма тангенс с ъгъл 150°.

Втората функция ще бъде написана като

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки са 23 4 ; - 5 + 3 4 .

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим графично по следния начин:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Какво е дериват?
Дефиниция и значение на производна функция

Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното поставяне на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В края на краищата, както е от училище: стандартният учебник първо дава дефиницията на производната, нейното геометрично, механично значение. След това учениците намират производни на функции по дефиниция и всъщност едва тогава те усъвършенстват техниката на диференциране, използвайки производни таблици.

Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да РАЗБЕРЕТЕ ДОБРЕ граница на функция, и по-специално, безкрайно малки количества. Въпросът е в това определението за производна се основава на концепцията за лимит, което е слабо разгледано в училищен курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранита на знанието не разбират самата същност на производното. По този начин, ако имате малко разбиране за диференциално смятане или мъдър мозък успешно се е отървал от този багаж в продължение на много години, моля, започнете с функционални граници. В същото време овладейте/запомнете тяхното решение.

Същият практически смисъл диктува, че първо е изгодно научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции. Теорията си е теория, но, както се казва, винаги искаш да правиш разлика. В това отношение е по-добре да отработите изброените основни уроци и може би майстор на диференциациятабез дори да осъзнават същността на действията си.

Препоръчвам да започнете с материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-прости задачи с производни, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но можете да почакате. Факт е, че много приложения на производното не изискват разбирането му и не е изненадващо теоретичен уроксе появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на нарастващи/намаляващи интервали и екстремумифункции. Освен това той беше по темата доста дълго време. Функции и графики”, докато най-накрая реших да го сложа по-рано.

Затова, мили чайници, не бързайте да абсорбирате есенцията от производното като гладни животни, защото насищането ще е безвкусно и непълно.

Концепцията за нарастване, намаляване, максимум, минимум на функция

много учебни помагаладоведе до концепцията за производна, използвайки някои практически проблеми, а също така излязох с интересен пример. Представете си, че ни предстои пътуване до град, до който може да се стигне по различни начини. Нека веднага да отхвърлим кривите криволичещи пътеки и да разгледаме само правите магистрали. Правите посоки обаче също са различни: можете да стигнете до града по гладка магистрала. Или по хълмиста магистрала - нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг се спуска през цялото време. Екстремните ентусиасти ще изберат маршрут през дефиле със стръмна скала и стръмно изкачване.

Но каквито и да са вашите предпочитания, препоръчително е да познавате района или поне да го локализирате топографска карта. Ами ако такава информация липсва? В крайна сметка можете да изберете например гладка пътека, но в резултат да се натъкнете на ски писта с весели финландци. Не е факт, че навигатор или дори сателитно изображение ще предостави надеждни данни. Следователно би било хубаво да формализираме релефа на пътя с помощта на математика.

Нека да разгледаме някакъв път (изглед отстрани):

За всеки случай напомням един елементарен факт: пътуването се осъществява отляво надясно. За простота приемаме, че функцията непрекъснатов разглеждания район.

Какви са характеристиките на тази графика?

На интервали функция увеличава, тоест всяка следваща негова стойност повечепредишен. Грубо казано, графикът върви отдолу нагоре(изкачваме хълма). И на интервала функцията намалява– всяка следваща стойност по-малкопредишен и графикът ни е в сила отгоре надолу(слизаме по склона).

Нека обърнем внимание и на специални точки. В точката, до която достигаме максимум, т.е съществуватакъв участък от пътя, където стойността ще бъде най-голямата (най-високата). В същата точка се постига минимум, И съществуванеговия квартал, в който стойността е най-малка (най-ниска).

Ще разгледаме по-строга терминология и дефиниции в клас. относно екстремумите на функцията, но засега нека изучим още един важна характеристика: на интервали функцията се увеличава, но се увеличава на различни скорости. И първото нещо, което хваща окото ви е, че графиката се издига по време на интервала много по-готино, отколкото на интервала . Възможно ли е да се измери стръмността на пътя с помощта на математически инструменти?

Скорост на промяна на функцията

Идеята е следната: нека вземем някаква стойност (прочетете "делта x"), което ще извикаме увеличение на аргументаи нека започнем да го „пробваме“ на различни точки по нашия път:

1) Нека погледнем най-лявата точка: преминавайки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Количеството се нарича увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата в стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека създадем отношение, което ще бъде мярка за стръмността на нашия път. Очевидно това е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни, тогава .

внимание! Обозначенията са ЕДНОсимвол, тоест не можете да „откъснете“ „делтата“ от „X“ и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът засяга и символа за нарастване на функцията.

Нека изследваме естеството на получената дроб по-смислено. Нека първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). След като изминахме разстоянието от метри (лявата червена линия), ще се окажем на надморска височина от 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде метри (зелена линия) и: . по този начин на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличава среднос 4 метра...забравихте оборудването си за катерене? =) С други думи, изградената връзка характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ПРОМЕНЯНЕ (в случая растеж) на функцията.

Забележка : числови стойностиРазглежданият пример отговаря само приблизително на пропорциите на чертежа.

2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук нарастването е по-плавно, така че увеличението (пурпурна линия) е относително малко и съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде много скромно. Относително казано, метри и темп на растеж на функциятае . Тоест тук за всеки метър от пътеката има среднополовин метър височина.

3) Малко приключение на планинския склон. Нека погледнем горната черна точка, разположена на ординатната ос. Да приемем, че това е знакът от 50 метра. Отново преодоляваме разстоянието, в резултат на което се озоваваме по-ниско - на ниво 30 метра. Тъй като движението се извършва отгоре надолу(в посока „контра“ на оста), след това финал увеличението на функцията (височината) ще бъде отрицателно: метра (кафяв сегмент на чертежа). И в този случай вече говорим за темп на намаляванеХарактеристики: , тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява среднос 2 метра. Погрижете се за дрехите си в петата точка.

Сега нека се запитаме: коя е най-добрата стойност за „стандарт за измерване“, която да използваме? Това е напълно разбираемо, 10 метра е много грубо. На тях лесно могат да се поберат добра дузина хълмове. Независимо от неравностите, отдолу може да има дълбока клисура, а след няколко метра другата му страна с още едно стръмно изкачване. По този начин с десет метра няма да получим разбираемо описание на такива участъци от пътя чрез съотношението .

От горната дискусия следва следното заключение: как по-малка стойност , толкова по-точно ще опишем топографията на пътя. Освен това следните факти са верни:

– За всекиповдигащи точки можете да изберете стойност (дори и много малка), която се вписва в границите на определено увеличение. Това означава, че съответното нарастване на височината ще бъде гарантирано положително и неравенството ще показва правилно растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.

- По същия начин, за всякаквиточка на наклон има стойност, която ще пасне напълно на този наклон. Следователно, съответното увеличение на височината е очевидно отрицателно и неравенството ще покаже правилно намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.

– Особено интересен случай е, когато скоростта на изменение на функцията е нула: . Първо, нулево увеличение на височината () е знак за плавен път. И второ, има и други интересни ситуации, примери за които виждате на фигурата. Представете си, че съдбата ни е довела до самия връх на хълм с реещи се орли или дъното на дере с квакащи жаби. Ако направите малка стъпка във всяка посока, промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията всъщност е нула. Точно такава картина се наблюдава по точките.

Така стигнахме до невероятна възможност да характеризираме съвършено точно скоростта на промяна на функция. В края на краищата, математическият анализ позволява да се насочи нарастването на аргумента към нула: , т.е. безкрайно малък.

В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функция, което ще ни уведомиза всички равнинни участъци, изкачвания, спускания, върхове, долини, както и скоростта на растеж/намаляване във всяка точка по пътя?

Какво е дериват? Дефиниция на производна.
Геометричен смисъл на производна и диференциал

Моля, прочетете внимателно и не прекалено бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, че е полезно да изучавате теорията няколко пъти, за да разберете напълно всички точки (съветът е особено подходящ за „технически“ студенти, които имат висша математикаиграе важна роля в образователния процес).

Естествено, в самата дефиниция на производната в точка я заместваме с:

До какво стигнахме? И стигнахме до извода, че за функцията по закон се поставя в съответствие друга функция, което се нарича производна функция(или просто производна).

Производната характеризира скорост на промянафункции как? Идеята минава като червена нишка от самото начало на статията. Нека разгледаме някои точки област на дефиницияфункции Нека функцията е диференцируема в дадена точка. След това:

1) Ако , тогава функцията нараства в точката . И очевидно има интервал(дори много малка), съдържаща точка, в която функцията расте, а графиката й върви „отдолу нагоре“.

2) Ако , тогава функцията намалява в точката . И има интервал, съдържащ точка, в която функцията намалява (графиката върви „отгоре надолу“).

3) Ако , тогава безкрайно близоблизо до точка функцията поддържа скоростта си постоянна. Това се случва, както беше отбелязано, с постоянна функция и в критичните точки на функцията, по-специално при минимални и максимални точки.

Малко семантика. Какво означава глаголът „диференцирам“ в широк смисъл? Да се ​​разграничи означава да се подчертае дадена характеристика. Чрез диференциране на функция ние "изолираме" скоростта на нейното изменение под формата на производна на функцията. Какво, между другото, се разбира под думата "производно"? функция се случиот функция.

Термините много сполучливо се интерпретират от механичния смисъл на производното :
Нека разгледаме закона за промяна на координатите на тялото в зависимост от времето и функцията на скоростта на движение на дадено тяло. Функцията характеризира скоростта на промяна на координатите на тялото, следователно е първата производна на функцията по отношение на времето: . Ако понятието „движение на тялото“ не съществуваше в природата, тогава нямаше да има производнапонятието "скорост на тялото".

Ускорението на тялото е скоростта на промяна на скоростта, следователно: . Ако първоначалните концепции за „движение на тялото“ и „скорост на тялото“ не съществуваха в природата, тогава нямаше да съществуват производнапонятието „ускорение на тялото“.

За да разберете геометричната стойност на производната, разгледайте графиката на функцията y = f(x). Нека вземем произволна точка M с координати (x, y) и точка N близо до нея (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Нека начертаем ординатите $\overline(M_(1) M)$ и $\overline(N_(1) N)$, а от точка M - права линия, успоредна на оста OX.

Съотношението $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ е тангенса на ъгъла $\alpha $1, образуван от секущата MN с положителната посока на оста OX. Тъй като $\Delta $x клони към нула, точка N ще се доближи до M и граничната позиция на секанса MN ще бъде допирателната MT към кривата в точка M. По този начин производната f`(x) е равна на допирателната на ъгъла $\alpha $, образуван от допирателната към кривата в точка M (x, y) с положителна посока към оста OX - ъгловият коефициент на допирателната (фиг. 1).

Фигура 1. Функционална графика

При изчисляване на стойности с помощта на формули (1) е важно да не правите грешки в знаците, т.к. увеличението може да бъде и отрицателно.

Точка N, лежаща на крива, може да се стреми към M от всяка страна. Така че, ако на фигура 1 тангентата е дадена в обратна посока, ъгълът $\alpha $ ще се промени с размер $\pi $, което значително ще повлияе на тангенса на ъгъла и съответно на ъгловия коефициент.

Заключение

От това следва, че съществуването на производна е свързано със съществуването на допирателна към кривата y = f(x), а ъгловият коефициент - tg $\alpha $ = f`(x) е краен. Следователно допирателната не трябва да е успоредна на оста OY, в противен случай $\alpha $ = $\pi $/2 и допирателната на ъгъла ще бъде безкрайна.

В някои точки непрекъснатата крива може да няма допирателна или да има допирателна, успоредна на оста OY (фиг. 2). Тогава функцията не може да има производна в тези стойности. Може да има произволен брой подобни точки на функционалната крива.

Фигура 2. Изключителни точки на кривата

Помислете за Фигура 2. Нека $\Delta $x клони към нула от отрицателни или положителни стойности:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Ако в този случай отношения (1) имат крайна граница, тя се означава като:

В първия случай производната е отляво, във втория производната е отдясно.

Наличието на граница показва еквивалентността и равенството на левите и десните производни:

Ако лявата и дясната производна не са равни, тогава в дадена точка има допирателни, които не са успоредни на OY (точка M1, фиг. 2). В точките M2, M3 отношенията (1) клонят към безкрайност.

За точки N, разположени вляво от M2, $\Delta $x $

Вдясно от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но изразът също е f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

За точката $M_3$ отляво $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. изразите (1) както отляво, така и отдясно са положителни и клонят към +$\infty $ и при $\Delta $x се доближава до -0 и +0.

Случаят на отсъствие на производна в определени точки на правата (x = c) е представен на фигура 3.

Фигура 3. Без производни

Пример 1

Фигура 4 показва графика на функцията и допирателната към графиката в абсцисната точка $x_0$. Намерете стойността на производната на функцията по абсцисата.

Решение. Производната в точка е равна на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента. Нека изберем две точки от допирателната с цели координати. Нека например това са точки F (-3,2) и C (-2,4).