Една от най-често използваните от всички тригонометрични таблици на Bradis е таблицата на синусите. В тази статия ще разберем концепцията за синус (sin), ще научим как да намираме синусови стойности за различни ъгли (0, 30, 45, 60, 90) и ще разберем защо е необходима таблица със синуси.
Таблица на синусите и нейното приложение
Първо, трябва да ви напомним какво означава понятието синус на ъгъл.
синус -това е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.
Това е вярно, ако триъгълникът е правоъгълен.
Стандартен правоъгълен триъгълник: страни a (BC) и b (AC) са катети, страна c (AB) е хипотенузата
Пример: намерете синуса на ъгъл ⍺ и ъгъл β
sin ⍺ = a/cили отношението на страната BC към страната AB. Ако вземем ъгъл β, тогава страната b или AC ще се счита за противоположна. Хипотенузата в този случай е същата - AB. След това:
sin β = b/sили AC отношение AB.
В правоъгълен триъгълник винаги 2 кракаи само една хипотенуза
Както знаете, има 360 стойности на цели числа, но често трябва да изчислите стойностите за най-популярните ъгли, като например: синус 0°, синус 30°, синус 45°, синус 60°, синус 90. °. Тези стойности могат да бъдат намерени в таблиците на Bradis.
Въпреки факта, че през 2021 г. празнува стогодишнината си, масата Bradis не е загубила своята актуалност. По-специално, той се използва от архитекти, дизайнери и конструктори за извършване на бързи междинни изчисления. Масите Bradis са одобрени за използване в училища с полагане на Единния държавен изпит, за разлика от калкулаторите.
Онлайн калкулатор за изчисляване на синус на ъгъл
Таблица със стойности на тригонометрични функции
Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за указване корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".
Вижте същополезни материали:
За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, показваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани
Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.
Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.
Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.
Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.
Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)
|
стойност на ъгъл α (градуси) |
стойност на ъгъл α (чрез pi) |
грях (синус) |
cos (косинус) |
tg (тангента) |
ctg (котангенс) |
сек (секанс) |
cosec (косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгъла функцията няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.
Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)
| стойност на ъгъл α (градуси) | стойност на ъгъл α в радиани | грях (синус) | cos (косинус) | tg (тангенса) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Намерете ъгъл по синус
И така, имаме възможност да изчислим синуса на всеки ъгъл от 0 до 90° e с два знака след десетичната запетая. Няма нужда от готова маса; за приблизителни изчисления винаги можем да го съставим сами, ако желаем.
Но за да решавате тригонометрични задачи, трябва да можете да правите обратното - да изчислявате ъгли от даден синус. Това също е лесно. Да предположим, че трябва да намерите ъгъл, чийто синус е равен на 0,38. Тъй като този синус е по-малък от 0,5, желаният ъгъл е по-малък от 30°. Но е по-голямо от 15°, тъй като sin 15°, както знаем, е равно на 0,26. За да намерим този ъгъл, който се намира между 15 и 30°, процедираме, както беше обяснено по-рано:
И така, желаният ъгъл е приблизително 22,5°. Друг пример: намерете ъгъл, чийто синус е 0,62.
Желаният ъгъл е приблизително 38,6°.
И накрая, третият пример: намерете ъгъл, чийто синус е 0,91.
Тъй като този синус е между 0,71 и 1, желаният ъгъл е между 45° и 90°. На: фиг. 91 слънцее синусът на ъгъл L, ако Вирджиния= 1. Знаейки слънце,лесно намиране на синуса на ъгъл В:
Сега нека намерим ъгъла IN,чийто синус е 0,42; след това ще бъде лесно да се намери ъгъл А равен на 90° - IN.
Тъй като 0,42 лежи между 0,26 и 0,5, тогава ъгълът INлежи между 15° и 30°, Дефинира се както следва:
И следователно ъгъл A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Вече сме напълно оборудвани за приблизително решаване на тригонометрични проблеми, тъй като можем да намираме синуси от ъгли и ъгли от синуси с точност, достатъчна за полеви цели.
Но дали само синус е достатъчен за това? Нямаме ли нужда от останалите тригонометрични функции - косинус, тангенс и т.н.? Сега ще покажем с няколко примера, че за нашата опростена тригонометрия можем напълно да се справим само със синуса.
Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.
Произход на тригонометрията
Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.
Исторически основният обект на изследване в този клон на математическата наука са били правоъгълните триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.
Начален етап
Първоначално хората говореха за връзката между ъглите и страните, използвайки само примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в ежедневиетотози клон на математиката.
Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, които започват в гимназията.
Сферична тригонометрия
По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс, котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му поне защото земната повърхност, а повърхността на всяка друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще присъства триизмерно пространство"дъговидна".
Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.
Правоъгълен триъгълник
След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.
Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема числената му стойност е равна на корена от сбора на квадратите на другите две страни.
Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.
Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.
Определение
И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.
Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! защо Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата, независимо колко е дълъг катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.
И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.
Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.
И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.
Най-простите формули
В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаването на проблеми.
Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сборът от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равен на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.
Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометрична формуланапълно неузнаваем. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимото повече сложни формуливърху лист хартия.
Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи
Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.
Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла алфа равен на ъгъла бета.
И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.
Теореми
Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.
Синусовата теорема гласи, че разделянето на дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл води до същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.
Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.
Грешки от невнимание
Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.
Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си загубите времето в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.
Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.
Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синусът е 30 градуса равен на косинус 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.
Приложение
Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.
В заключение
Така че вие сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.
Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължината на трите страни и размера на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.
Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основна целТригонометричният проблем се превръща в намирането на корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.