›

Намерете височината на триъгълника въз основа на основата му. Намерете най-голямата височина на триъгълника

За да решите много геометрични задачи, трябва да намерите височината на дадена фигура. Тези задачи имат практическо значение. При извършване на строителни работи определянето на височината помага да се изчисли необходимото количество материали, както и да се определи колко точно са направени наклони и отвори. Често, за да създадете модели, трябва да имате представа за свойствата

За много хора, въпреки добрите оценки в училище, когато конструират обикновени геометрични формиВъзниква въпросът как да се намери височината на триъгълник или успоредник. И е най-трудно. Това е така, защото триъгълникът може да бъде остър, тъп, равнобедрен или прав. Всеки от тях има свои собствени правила за изграждане и изчисляване.

Как да намерим височината на триъгълник, в който всички ъгли са остри, графично

Ако всички ъгли на триъгълник са остри (всеки ъгъл в триъгълника е по-малък от 90 градуса), тогава, за да намерите височината, трябва да направите следното.

  1. Използвайки дадените параметри, построяваме триъгълник.
  2. Нека въведем някои обозначения. A, B и C ще бъдат върховете на фигурата. Ъглите, съответстващи на всеки връх, са α, β, γ. Страните срещу тези ъгли са a, b, c.
  3. Надморската височина е перпендикулярът, прекаран от върха на ъгъла към противоположната страна на триъгълника. За да намерим височините на триъгълник, построяваме перпендикуляри: от върха на ъгъл α към страна a, от върха на ъгъл β към страна b и т.н.
  4. Нека означим пресечната точка на височината и страната a като H1, а самата височина като h1. Пресечната точка на височината и страната b ще бъде H2, височината, съответно, h2. За страна c височината ще бъде h3, а пресечната точка ще бъде H3.

Височина в триъгълник с тъп ъгъл

Сега нека да разгледаме как да намерим височината на триъгълник, ако има такъв (повече от 90 градуса). В този случай надморската височина, изтеглена от тъпия ъгъл, ще бъде вътре в триъгълника. Останалите две височини ще бъдат извън триъгълника.

Нека ъглите α и β в нашия триъгълник са остри, а ъгълът γ е тъп. След това, за да се построят височините, идващи от ъглите α и β, е необходимо да се продължат срещу тях страните на триъгълника, за да се начертаят перпендикуляри.

Как да намерите височината на равнобедрен триъгълник

Такава фигура има две равни страни и основа, докато ъглите в основата също са равни един на друг. Това равенство на страни и ъгли улеснява конструирането на височини и тяхното изчисляване.

Първо, нека начертаем самия триъгълник. Нека страните b и c, както и ъглите β, γ са съответно равни.

Сега нека начертаем височината от върха на ъгъл α, като го обозначим с h1. Защото тази височина ще бъде както ъглополовяща, така и медиана.

За основата може да се направи само една конструкция. Например, начертайте медиана - сегмент, свързващ върха на равнобедрен триъгълник и противоположната страна, основата, за да намерите височината и ъглополовящата. И за да изчислите дължината на височината за другите две страни, можете да конструирате само една височина. По този начин, за да определите графично как да изчислите височината на равнобедрен триъгълник, е достатъчно да намерите две от трите височини.

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

За правоъгълен триъгълник определянето на височините е много по-лесно, отколкото за други. Това се случва, защото самите крака образуват прав ъгъл и следователно са височини.

За да конструирате третата височина, както обикновено, нарисувайте перпендикуляр, свързващ върха прав ъгъли противоположната страна. В резултат на това, за да се създаде триъгълник в този случай, е необходима само една конструкция.

Почти никога не е възможно да се определят всички параметри на триъгълник без допълнителни конструкции. Тези конструкции са уникални графични характеристики на триъгълник, които помагат да се определи размерът на страните и ъглите.

Определение

Една от тези характеристики е височината на триъгълника. Надморската височина е перпендикуляр, прекаран от върха на триъгълник към противоположната му страна. Върхът е една от трите точки, които заедно с трите страни образуват триъгълник.

Дефиницията на височината на триъгълник може да звучи така: височината е перпендикулярът, прекаран от върха на триъгълника към правата линия, съдържаща срещуположната страна.

Това определение звучи по-сложно, но отразява по-точно ситуацията. Факт е, че в тъп триъгълник не е възможно да се начертае височината вътре в триъгълника. Както може да се види на фигура 1, височината в този случай е външна. Освен това не е стандартна ситуация за нанасяне на височината правоъгълен триъгълник. В този случай две от трите височини на триъгълника ще преминат през краката, а третата от върха към хипотенузата.

ориз. 1. Височина на тъп триъгълник.

Обикновено височината на триъгълника се обозначава с буквата h. Височината е посочена и на други фигури.

Как да намерим височината на триъгълник?

Има три стандартни начина за намиране на височината на триъгълник:

Чрез Питагоровата теорема

Този метод се използва за равностранен и равнобедрен триъгълник. Нека анализираме решението за равнобедрен триъгълник и след това да кажем защо същото решение е валидно за равностранен триъгълник.

дадени: равнобедрен триъгълник ABC с основа AC. AB=5, AC=8. Намерете височината на триъгълника.

ориз. 2. Чертеж към проблема.

За равнобедрен триъгълник е важно да знаете коя страна е основата. Това определя страните, които трябва да бъдат равни, както и височината, на която действат определени свойства.

Свойства на надморската височина на равнобедрен триъгълник, начертан към основата:

  • Височината съвпада с медианата и ъглополовящата
  • Разделя основата на две равни части.

Височината означаваме с ВD. Намираме DC като половината от основата, тъй като височината на точка D разделя основата наполовина. DC=4

Височината е перпендикуляр, което означава, че BDC е правоъгълен триъгълник, а височината BH е катет на този триъгълник.

Нека намерим височината с помощта на Питагоровата теорема: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Всеки равностранен триъгълник е равнобедрен, само основата му е равна на страните му. Тоест можете да използвате същата процедура.

През областта на триъгълник

Този метод може да се използва за всеки триъгълник. За да го използвате, трябва да знаете площта на триъгълника и страната, към която е начертана височината.

Височините в триъгълника не са равни, така че за съответната страна ще може да се изчисли съответната височина.

Формула за площ на триъгълник: $$S=(1\over2)*bh$$, където b е страна на триъгълника, a h е височината, начертана от тази страна. Нека изразим височината от формулата:

$$h=2*(S\над b)$$

Ако площта е 15, страната е 5, тогава височината е $$h=2*(15\over5)=6$$

Чрез тригонометричната функция

Третият метод е подходящ, ако са известни страната и ъгълът в основата. За да направите това, ще трябва да използвате тригонометричната функция.

ориз. 3. Чертеж към проблема.

Ъгъл ВСН=300, а страна BC=8. Все още имаме същия правоъгълен триъгълник BCH. Нека използваме синус. Синус е отношението на срещуположната страна към хипотенузата, което означава: BH/BC=cos BCH.

Ъгълът е известен, както и страната. Нека изразим височината на триъгълника:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Косинусовата стойност обикновено се взема от таблиците на Bradis, но стойностите тригонометрични функцииза 30,45 и 60 градуса - таблични числа.

Какво научихме?

Научихме каква е височината на триъгълника, какви височини има и как се обозначават. Разбрах го типични задачии записа три формули за височината на триъгълник.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Средна оценка: 4.6. Общо получени оценки: 152.

Триъгълник) или преминават извън триъгълника при тъп триъгълник.

Енциклопедичен YouTube

    1 / 5

    ✪ МЕДИАНА НА ВИСОЧИНА Бисектрикса на триъгълник 7 клас

    ✪ ъглополовяща, медиана, височина на триъгълник. Геометрия 7 клас

    ✪ 7 клас, урок 17, Медиани, ъглополовящи и височини на триъгълник

    ✪ Медиана, ъглополовяща, надморска височина на триъгълник | Геометрия

    ✪ Как да намерим дължината на ъглополовящата, медианата и височината? | Маниак с мен #031 | Борис Трушин

    субтитри

Свойства на пресечната точка на три височини на триъгълник (ортоцентър)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ стрелка надясно (CA))+(\стрелка надясно (EC))\cdot (\стрелка надясно (AB))=0)

(За да докажете самоличността, трябва да използвате формулите

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (ЕК)))

Пресечната точка на две височини на триъгълника трябва да се приеме като точка E.)

  • Ортоцентъризогонално конюгиран с центъра описана окръжност .
  • Ортоцентърлежи на същата права като центроида, центърът заобиколен кръги център на окръжност от девет точки (вижте правата линия на Ойлер).
  • Ортоцентърна остроъгълен триъгълник е центърът на окръжността, вписана в неговия ортотриъгълник.
  • Центърът на триъгълник, описан от ортоцентъра с върхове в средите на страните на дадения триъгълник. Последният триъгълник се нарича допълнителен към първия триъгълник.
  • Последното свойство може да се формулира по следния начин: Центърът на описаната около триъгълника окръжност служи ортоцентърдопълнителен триъгълник.
  • Точки, симетрични ортоцентърна триъгълник по отношение на страните му лежат върху описаната окръжност.
  • Точки, симетрични ортоцентъртриъгълници спрямо средите на страните също лежат върху описаната окръжност и съвпадат с точки, диаметрално противоположни на съответните върхове.
  • Ако O е центърът на описаната окръжност ΔABC, тогава O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • Разстоянието от върха на триъгълника до ортоцентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до срещуположната страна.
  • Всеки сегмент, извлечен от ортоцентърПреди да се пресече с описаната окръжност, тя винаги се разделя наполовина от окръжността на Ойлер. Ортоцентъре хомотетният център на тези две окръжности.
  • Теорема на Хамилтън. Три прави сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на остроъгълен триъгълник, го разделят на три триъгълника, имащи същата окръжност на Ойлер (окръжност от девет точки) като оригиналния остроъгълен триъгълник.
  • Следствия от теоремата на Хамилтън:
    • Три прави сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на остър триъгълник, го разделят на три Триъгълник на Хамилтънс равни радиуси на описаните окръжности.
    • Радиусите на описаните окръжности от три Триъгълници на Хамилтънравен на радиуса на окръжността, описана около първоначалния остроъгълен триъгълник.
  • В остър триъгълник ортоцентърът лежи вътре в триъгълника; в тъп ъгъл - извън триъгълника; в правоъгълна - на върха на прав ъгъл.

Свойства на височините на равнобедрен триъгълник

  • Ако две височини в триъгълник са равни, тогава триъгълникът е равнобедрен (теорема на Щайнер-Лемус), а третата височина е едновременно медианата и ъглополовящата на ъгъла, от който излиза.
  • Обратното също е вярно: в равнобедрен триъгълник две височини са равни, а третата височина е едновременно медиана и ъглополовяща.
  • U равностранен триъгълники трите височини са равни.

Свойства на основите на височини на триъгълник

  • Основаниявисочини образуват така наречения ортотриъгълник, който има свои собствени свойства.
  • Окръжността, описана около ортотриъгълник, е окръжността на Ойлер. Тази окръжност също съдържа три среди на страните на триъгълника и три среди на три сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на триъгълника.
  • Друга формулировка на последното свойство:
    • Теорема на Ойлер за окръжност от девет точки. Основаниятри височинипроизволен триъгълник, средите на трите му страни ( основите на своя вътрешенмедиани) и средните точки на три сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, всички лежат на една и съща окръжност (на кръг от девет точки).
  • Теорема. Във всеки триъгълник сегментът, свързващ основаниядве височинитриъгълник, отрязва подобен на дадения триъгълник.
  • Теорема. В триъгълник сегментът, свързващ основаниядве височинитриъгълници, разположени на две страни антипаралеленна трето лице, с което няма допирни точки. Винаги може да се начертае окръжност през двата му края, както и през двата върха на третата спомената страна.

Други свойства на височините на триъгълника

  • Ако триъгълник универсален (скален), след това го вътрешниъглополовяща, начертана от който и да е връх, лежи между вътрешнимедиана и височина, изтеглени от един и същи връх.
  • Височината на триъгълник е изогонално свързана с диаметъра (радиуса) описана окръжност, изтеглен от същия връх.
  • В остроъгълен триъгълник има две височиниотрежете подобни триъгълници от него.
  • В правоъгълен триъгълник височина, изтеглен от върха на прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на първоначалния.

Свойства на минималната надморска височина на триъгълник

Минималната надморска височина на триъгълник има много екстремни свойства. Например:

  • Минималната ортогонална проекция на триъгълник върху прави, лежащи в равнината на триъгълника, има дължина, равна на най-малката от неговите височини.
  • Минималният прав разрез в равнината, през който може да бъде изтеглена твърда триъгълна плоча, трябва да има дължина, равна на най-малката от височините на тази плоча.
  • При непрекъснато движение на две точки по периметъра на триъгълника една към друга, максималното разстояние между тях по време на движението от първата среща до втората не може да бъде по-малко от дължината на най-малката височина на триъгълника.
  • Минималната височина в триъгълник винаги е в рамките на този триъгълник.

Основни взаимоотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),)Къде S (\displaystyle S)- площта на триъгълника, a (\displaystyle a)- дължината на страната на триъгълника, с която се спуска височината.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),)Къде b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- продукт на страните, R − (\displaystyle R-)радиус на описаната окръжност
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) .
  • (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).) 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) , Къде r (\displaystyle r)
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))) 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) S (\displaystyle S)- площта на триъгълника.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (а))))))))), a (\displaystyle a)- страната на триъгълника, към която се спуска височината h a (\displaystyle h_(a)).
  • Височина на равнобедрен триъгълник, спусната до основата: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)
Къде c (\displaystyle c)- основа, a (\displaystyle a)- страна.

Теорема за надморската височина на правоъгълен триъгълник

Ако надморската височина в правоъгълен триъгълник ABC е дължина h (\displaystyle h)изтеглен от върха на прав ъгъл, разделя хипотенузата с дължина c (\displaystyle c)на сегменти m (\displaystyle m)И n (\displaystyle n), съответстващ на краката b (\displaystyle b)И a (\displaystyle a), тогава са верни следните равенства.

Надморската височина на триъгълник е перпендикулярът, спуснат от който и да е връх на триъгълника към противоположната страна или към неговото продължение (страната, към която се спуска перпендикулярът, в този случай се нарича основа на триъгълника).

В тъп триъгълник две височини попадат върху продължението на страните и лежат извън триъгълника. Третият е вътре в триъгълника.

В остър триъгълник и трите височини лежат вътре в триъгълника.

В правоъгълен триъгълник краката служат като надморска височина.

Как да намерите височината от основата и площта

Нека си припомним формулата за изчисляване на площта на триъгълник. Площта на триъгълник се изчислява по формулата: A = 1/2bh.

  • A е площта на триъгълника
  • b е страната на триъгълника, върху която се спуска височината.
  • h - височината на триъгълника

Погледнете триъгълника и помислете какви количества вече знаете. Ако ви е дадена област, маркирайте я с "A" или "S". Трябва също да ви бъде дадено значението на страната, маркирайте я с "b". Ако не ви е дадена зоната и не ви е дадена страната, използвайте друг метод.

Имайте предвид, че основата на триъгълника може да бъде всяка страна на триъгълника, до която се спуска височината (независимо как е позициониран триъгълникът). За да разберете по-добре това, представете си, че можете да завъртите този триъгълник. Обърнете го така, че страната, която познавате, да сочи надолу.

Например площта на триъгълник е 20, а една от страните му е 4. В този случай „A = 20″“, „b = 4′“.

Заменете дадените ви стойности във формулата, за да изчислите площта (A = 1/2bh) и намерете височината. Първо умножете страната (b) по 1/2 и след това разделете площта (A) на получената стойност. По този начин ще намерите височината на триъгълника.

В нашия пример: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 часа
10 = ч

Запомнете свойствата на равностранен триъгълник. В равностранен триъгълник всички страни и всички ъгли са равни (всеки ъгъл е 60˚). Ако начертаете височината в такъв триъгълник, ще получите два равни правоъгълни триъгълника.
Например, разгледайте равностранен триъгълник със страна 8.

Спомнете си Питагоровата теорема. Питагоровата теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник с катети “a” и “b” хипотенузата “c” е равна на: a2+b2=c2. Тази теорема може да се използва за намиране на височината на равностранен триъгълник!

Разделете равностранния триъгълник на два правоъгълни триъгълника (за да направите това, начертайте височината). След това маркирайте страните на един от правоъгълните триъгълници. Страничната страна на равностранен триъгълник е хипотенузата "c" на правоъгълен триъгълник. Крак „a” е равен на 1/2 от страната на равностранния триъгълник, а катет „b” е желаната височина на равностранния триъгълник.

И така, в нашия пример за равностранен триъгълник с известна страна 8: c = 8 и a = 4.

Включете тези стойности в Питагоровата теорема и изчислете b2. Първо поставете на квадрат „c“ и „a“ (умножете всяка стойност сама по себе си). След това извадете a2 от c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Премахнете корен квадратенот b2, за да намерите височината на триъгълника. За да направите това, използвайте калкулатор. Получената стойност ще бъде височината на вашия равностранен триъгълник!

b = √48 = 6,93

Как да намерите височина с помощта на ъгли и страни

Помислете какви значения знаете. Можете да намерите височината на триъгълник, ако знаете стойностите на страните и ъглите. Например, ако е известен ъгълът между основата и страната. Или ако стойностите на трите страни са известни. И така, нека обозначим страните на триъгълника: „a“, „b“, „c“, ъглите на триъгълника: „A“, „B“, „C“ и областта - буквата „S“.

Ако знаете и трите страни, ще ви трябва площта на триъгълника и формулата на Heron.

Ако знаете двете страни и ъгъла между тях, можете да използвате следната формула, за да намерите площта: S=1/2ab(sinC).

Ако ви бъдат дадени стойностите на трите страни, използвайте формулата на Heron. Използвайки тази формула, ще трябва да извършите няколко стъпки. Първо трябва да намерите променливата "s" (обозначаваме половината от периметъра на триъгълника с тази буква). За да направите това, заменете известните стойности в тази формула: s = (a+b+c)/2.

За триъгълник със страни a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Резултатът е: s=12/2, където s=6.

След това, като втора стъпка, намираме площта (втората част от формулата на Heron). Площ = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо думата "площ", вмъкнете еквивалентната формула, за да намерите площта: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).

Сега намерете еквивалентен израз за височина (h). За нашия триъгълник ще бъде валидно следното уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Където 3/2h=√(6(2(3(1))). Оказва се, че 3/2h = √(36). С помощта на калкулатор изчислете квадратния корен. В нашия пример: 3/2h = 6. Оказва се, че височината (h) е равна на 4, страната b е основата.

Ако според условията на задачата са известни две страни и ъгъл, можете да използвате друга формула. Заменете площта във формулата с еквивалентния израз: 1/2bh. Така ще получите следната формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Може да се опрости до следната форма: h = a(sin C) за премахване на една неизвестна променлива.

Сега всичко, което остава, е да се реши полученото уравнение. Например, нека "a" = 3, "C" = 40 градуса. Тогава уравнението ще изглежда така: “h” = 3(sin 40). С помощта на калкулатор и таблица със синуси изчислете стойността на „h“. В нашия пример h = 1,928.

Изчисляването на височината на триъгълник зависи от самата фигура (равнобедрен, равностранен, мащабен, правоъгълен). В практическата геометрия сложни формули, като правило, не се срещат. Достатъчно, за да знаете общ принципизчисления, така че да може да бъде универсално приложим за всички триъгълници. Днес ще ви запознаем с основни принципиизчисляване на височината на фигура с помощта на формули за изчисление, базирани на свойствата на височините на триъгълниците.

Какво е височина?

Височината има няколко отличителни свойства

  1. Точката, където всички височини се свързват, се нарича ортоцентър. Ако триъгълникът е заострен, тогава ортоцентърът е разположен вътре във фигурата; ако един от ъглите е тъп, тогава ортоцентърът, като правило, е разположен отвън.
  2. В триъгълник, където единият ъгъл е 90°, ортоцентърът и върхът съвпадат.
  3. В зависимост от вида на триъгълника има няколко формули за намиране на височината на триъгълника.

Традиционни компютри

  1. Ако p е половината от периметъра, тогава a, b, c са обозначенията на страните на търсената фигура, h е височината, тогава първата и най-проста формула ще изглежда така: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
  2. В училищните учебници често можете да намерите задачи, в които са известни стойността на една от страните на триъгълник и размерът на ъгъла между тази страна и основата. Тогава формулата за изчисляване на височината ще изглежда така: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
  3. Когато е дадена площта на триъгълника - S, както и дължината на основата - a, тогава изчисленията ще бъдат възможно най-прости. Височината се намира по формулата: h = 2S/a.
  4. Когато е даден радиусът на окръжността, описана около фигурата, първо изчисляваме дължините на двете й страни и след това пристъпваме към изчисляване на зададената височина на триъгълника. За да направим това, използваме формулата: h = b ∙ c/2R, където b и c са двете страни на триъгълника, които не са основата, а R е радиусът.
Как да намерим височината на равнобедрен триъгълник?

Всички страни на тази фигура са еквивалентни, дължините им са равни, следователно ъглите в основата също ще бъдат равни. От това следва, че височините, които начертаваме върху основите, също ще бъдат равни, те също са медиани и ъглополовящи едновременно. Говорейки на прост език, надморската височина в равнобедрен триъгълник разделя основата на две. Триъгълникът с прав ъгъл, който се получава след изчертаване на височината, ще се разглежда с помощта на Питагоровата теорема. Нека означим страната като a и основата като b, тогава височината h = ½ √4 a2 − b2.

Как да намерим височината на равностранен триъгълник?

Формулата за равностранен триъгълник (фигура, в която всички страни са равни по размер) може да бъде намерена въз основа на предишни изчисления. Необходимо е само да се измери дължината на една от страните на триъгълника и да се обозначи като a. Тогава височината се извлича по формулата: h = √3/2 a.

Как да намерим височината на правоъгълен триъгълник?

Както знаете, ъгълът в правоъгълния триъгълник е 90°. Височината, спусната от едната страна, е и втората страна. Височините на триъгълник с прав ъгъл ще лежат върху тях. За да получите данни за височината, трябва леко да трансформирате съществуващата формула на Питагор, като посочите краката - a и b, както и измерване на дължината на хипотенузата - c.

Нека намерим дължината на катета (страната, към която ще бъде перпендикулярна височината): a = √ (c2 − b2). Дължината на втория крак се намира по същата формула: b =√ (c2 − b2). След което можете да започнете да изчислявате височината на триъгълник с прав ъгъл, като първо изчислите площта на фигурата - s. Стойност на височината h = 2s/a.

Изчисления с мащабен триъгълник

Когато скален триъгълник има остри ъгли, височината, спусната до основата, се вижда. Ако триъгълникът има тъп ъгъл, тогава височината може да е извън фигурата и трябва да я продължите мислено, за да получите точката на свързване на височината и основата на триъгълника. Най-лесният начин да измерите височината е да я изчислите чрез една от страните и размера на ъглите. Формулата е следната: h = b sin y + c sin ß.