Четири начина за решаване на задачи за намиране на разстоянието между косите линии. Разстояние между две пресичащи се прави Разстояние между прави в пространството

Разстоянието между косите прави е дължината на техния общ перпендикуляр (отсечката с краища на тези прави и перпендикулярна на всяка от тях). Поетапен изчислителен метод (построяване на общ перпендикуляр). b ρ Пример a

Построете равнина, съдържаща едната права и успоредна на другата. Тогава желаното разстояние ще бъде равно на разстоянието от някаква точка на втората права линия до построената равнина (на този етап можете да използвате метода на координатите) Метод на успоредни прави и равнини. Пример b ρ a α A B shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/

Построете равнина, перпендикулярна на една от дадените прави, и постройте ортогонална проекция на другата права върху тази равнина. Ортогонален метод на проектиране. Пример b ρ a α A B L N S NE - проекция b

Ако AB и CD пресичат ръбове на триъгълната пирамида ABCD, d е разстоянието между тях, α е ъгълът между AB и CD, V е обемът на пирамидата ABCD, тогава опорната задача. Пример B C A D За методи за намиране на ъгъла между линиите вижте:

От системата определете координатите, след това намерете Let, тогава условието е изпълнено: Определете координатите на векторите на посоката и. Векторно - координатен метод. Пример B C A D Забележка: за да запишете координатите на точки M и K, използвайте формулата: M K

В правилна четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите BD и SA. Решение: D. p .: OH може да се намери от триъгълника AOS по метода на площта. O A B C D S H OH - общ перпендикуляр на правите BD и AS Назад

В правилна четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите BD и SA. Решение: (половината от диагонала на единичния квадрат) O A B C D S H Назад

В правилна триъгълна призма ABCA 1 C 1 B 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите AA 1 и B 1 C. Решение: B C C1C1 B1B1 H A A1A1 D. p .: (перпендикуляр до пресечната точка на перпендикулярни равнини) От триъгълника ASN Назад

В правилна пресечена четириъгълна пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 със страни на основата равни на 4 и 8 и височина равна на 6, намерете разстоянието между диагонала и BD 1 на диагонала на по-голямата основа AC. Решение: B A C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 D.p.: H (е неговата проекция върху (BB 1 D 1)) Да разгледаме равнобедрен трапец BB 1 D 1 D Назад

В правилна пресечена четириъгълна пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 със страни на основата равни на 4 и 8 и височина равна на 6, намерете разстоянието между диагонала и BD 1 на диагонала на по-голямата основа AC. Решение: BD B1B1 D1D1 O Назад K H В триъгълник BD 1 K Триъгълниците BD 1 K и BON са подобни в два ъгъла В триъгълник BHO

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба BD 1 и диагонала на лицето AB 1. Решение: Разгледайте пирамидата D 1 AB 1 B. Вземете AB 1 B за основа , тогава височината е BC. (диагонал на единичен квадрат) A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B (диагонал на единичен куб) Намерете ъгъла между правите AB 1 и B 1 D 1. Можете да използвате векторно-координатния метод. обратно

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба BD 1 и диагонала на лицето AB 1. Решение: Нека въведем правоъгълна координатна система A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B X Z Y Тогава: Назад

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба BD 1 и диагонала на лицето AB 1. Решение: A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B Назад

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба AB 1 и диагонала на лицето A 1 C 1. Решение: A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B Въвеждаме правоъгълна координатна система Тогава: Нека M K Тогава: X Z Y Назад и

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба AB 1 и диагонала на лицето A 1 C 1. Решение: A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B X Z Y M K Назад

В единичния куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 намерете разстоянието между диагонала на куба AB 1 и диагонала на лицето A 1 C 1. Решение: Назад

2) В правилна четириъгълна пирамида MABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите MA и BC Тренировъчни упражнения Решение 3) Страната на основата ABC на правилна триъгълна пирамида ABCD е равна на височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. Решение 1) Намерете разстоянието между непресичащите се диагонали на две съседни стени на куб, чиято дължина на ръба е 1.

Решение: Задни задачи 1) Намерете разстоянието между непресичащите се диагонали на две съседни стени на куб, чиято дължина на ръба е 1. A C D D1D1 B1B1 C A1A1 B O O O1O1 H Построяваме ортогонална проекция на правата AB 1 върху равнината (BB 1 D 1) D. p .: Намерете O 1 H намерете от триъгълника B 1 OO 1

Решение: A D B C M O N 2) В правилна четириъгълна пирамида MABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите MA и BC. (триъгълник AMD е равностранен) Намерете ъгъла между правите AD и BC. Задачи на въоръжените сили || AD => "> "> " title="Solution: A D B C M O N 2) В правилна четириъгълна пирамида MABCD с всички ръбове, равни на 1, намерете разстоянието между правите MA и BC. (триъгълник AMD е равностранен) Намерете ъгъла между правите AD и BC. Задачи на въоръжените сили || AD =>"> title="Решение: A D B C M O N 2) В правилна четириъгълна пирамида MABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите MA и BC. (триъгълник AMD е равностранен) Намерете ъгъла между правите AD и BC. Задачи на въоръжените сили || AD =>"> !}

A B C D Решение: A1A1 C1C1 3) Страната на основата ABC на правилната триъгълна пирамида ABCD е равна, височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. Отсечките AC 1 и BA 1 са ръбовете на триъгълната пирамида C 1 ABA 1 (подпорна задача). 5) Обемът на пирамидата с основа VA 1 A? 4) Разстояние от точка C 1 до равнината (BDA) (височината на пирамидата)? 6) ρ(VA 1 ;AC 1)? 1) Дължините на ребрата BA 1 и AC 1? 2) Синусът на ъгъла между правите BA 1 и AC 1? 3) Площта на основата на пирамидата - VA 1 A? O Задачи

A 3) Страната на основата ABC на правилната триъгълна пирамида ABCD е равна, височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. Решение: O A D A1A1 X Z Y x CxC 1) Въведете правоъгълна координатна система Тогава: xDxD Намерете координатите на точките C и D B X Y O C H (свойство на медианата на триъгълника) xDxD x CxC C B C1C1 Задачи

Страната на основата ABC на правилната триъгълна пирамида ABCD е равна, височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. Решение: A B C D A1A1 C1C1 X Z Y (средни точки на CD и AD) Определете координатите на насочващите вектори Задачи

Страната на основата ABC на правилната триъгълна пирамида ABCD е равна, височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. Решение: 4) Намерете разстоянието от точка C 1 до равнината (BDA) (височината на пирамидата). Нека изведем уравнението на равнината (EFP) Проблеми

A B C D Решение: A1A1 C1C1 3) Страната на основата ABC на правилната триъгълна пирамида ABCD е равна, височината на пирамидата е DO=6. Точките A 1, C 1 са среди съответно на ръбовете AD и CD. Намерете разстоянието между правите BA 1 и AC 1. 5) Намерете обема на пирамидата с основа BA 1 A? O Задачи

При създаването на презентацията е използвано ръководството:

РАЗСТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРАВИТЕ В ПРОСТРАНСТВОТО Разстоянието между две пресичащи се прави в пространството е дължината на общия перпендикуляр, прекаран към тези прави. Ако едната от двете пресичащи се прави лежи в равнина, а другата е успоредна на тази равнина, то разстоянието между тези прави е равно на разстоянието между правата и равнината. Ако две пресичащи се прави лежат в успоредни равнини, тогава разстоянието между тези прави е равно на разстоянието между успоредните равнини.

Куб 1 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и BC. Отговор: 1.

Куб 2 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и CD. Отговор: 1.

Куб 3 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и B 1 C 1. Отговор: 1.

Куб 4 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и C 1 D 1. Отговор: 1.

Куб 5 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и BC 1. Отговор: 1.

Куб 6 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и B 1 C. Отговор: 1.

Куб 7 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и CD 1. Отговор: 1.

Куб 8 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и DC 1. Отговор: 1.

Куб 9 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и CC 1. Отговорът:

Куб 10 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и BD. Решение. Нека O е средата на BD. Желаното разстояние е дължината на отсечката AO. Равно е на Отговор:

Куб 11 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и B 1 D 1. Отговорът:

Куб 12 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и BD 1. Решение. Нека P, Q са средните точки на AA 1, BD 1. Желаното разстояние е дължината на отсечката PQ. Равно е на Отговор:

Куб 13 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AA 1 и BD 1. Отговорът:

Куб 14 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието по прави AB 1 и CD 1. Отговор: 1.

Куб 15 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AB 1 и BC 1. Решение. Желаното разстояние е равно на разстоянието между успоредните равнини AB 1 D 1 и BDC 1. Диагоналът A 1 C е перпендикулярен на тези равнини и се разделя на три равни части в пресечните точки. Следователно желаното разстояние е равно на дължината на отсечката EF и е равно на Отговор:

Куб 16 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AB 1 и A 1 C 1. Решението е подобно на предишното. Отговор:

Куб 17 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието между правите AB 1 и BD. Решението е подобно на предишното. Отговор:

Куб 18 В единичния куб A…D 1 намерете разстоянието по прави AB 1 и BD 1. Решение. Диагоналът BD 1 е перпендикулярен на равнината на равностранния триъгълник ACB 1 и го пресича в центъра P на вписаната му окръжност. Желаното разстояние е равно на радиуса OP на тази окръжност. OP = Отговор:

Пирамида 1 В единичен тетраедър ABCD намерете разстоянието между правите AD и BC. Решение. Желаното разстояние е равно на дължината на сегмента EF, където E, F са средните точки на ръбовете AD, GF. В триъгълник DAG DA = 1, AG = DG = Отговор: Следователно EF =

Пирамида 2 В правилна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите AB и CD. Отговор: 1.

Пирамида 3 В правилна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите SA и BD. Решение. Желаното разстояние е равно на височината OH на триъгълника SAO, където O е средата на BD. В правоъгълен триъгълник SAO имаме: SA = 1, AO = SO = Отговор: Следователно OH =

Пирамида 4 В правилна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите SA и BC. Решение. Равнината SAD е успоредна на правата BC. Следователно желаното разстояние е равно на разстоянието между правата BC и равнината SAD. Тя е равна на височината EH на триъгълника SEF, където E, F са среди на ръбовете BC, AD. В триъгълник SEF имаме: EF = 1, SE = SF = Височина SO е Следователно, EH = Отговор:

Пирамида 5 В правилна 6-та пирамида SABCDEF с основни ръбове, равни на 1, намерете разстоянието между правите AB и DE. Отговор:

Пирамида 6 В правилната 6-та пирамида SABCDEF, чиито странични ръбове са 2, а основните ръбове са 1, намерете разстоянието между правите SA и BC. Решение: Продължете ръбовете BC и AF, докато се пресекат в точка G. Общият перпендикуляр на SA и BC е височината AH на триъгълник ABG. Равно е на Отговор:

Пирамида 7 В правилната 6-та пирамида SABCDEF, чиито странични ръбове са 2, а основните ръбове са 1, намерете разстоянието между правите SA и BF. Решение: Желаното разстояние е височината GH на триъгълника SAG, където G е пресечната точка на BF и AD. В триъгълника SAG имаме: SA = 2, AG = 0,5, височина SO е равна на От тук намираме GH = Отговор:

Пирамида 8 В правилната 6-та пирамида SABCDEF, чиито странични ръбове са 2, а основните ръбове са 1, намерете разстоянието между правите SA и CE. Решение: Желаното разстояние е височината GH на триъгълника SAG, където G е пресечната точка на CE и AD. В триъгълника SAG имаме: SA = 2, AG = , височината SO е равна на От тук намираме GH = Отговор:

Пирамида 9 В правилната 6-та пирамида SABCDEF, чиито странични ръбове са 2, а основните ръбове са 1, намерете разстоянието между правите SA и BD. Решение: Правата BD е успоредна на равнината SAE. Желаното разстояние е равно на разстоянието между правата BD и тази равнина и е равно на височината PH на триъгълника SPQ. В този триъгълник височината SO е, PQ = 1, SP = SQ = От тук намираме PH = Отговор:

Пирамида 10 В правилната 6-та пирамида SABCDEF, чиито странични ръбове са 2, а основните ръбове са 1, намерете разстоянието между правите SA и BG, където G е средата на ръба SC. Решение: Начертайте права през точка G, успоредна на SA. Нека с Q обозначим пресечната му точка с правата AC. Желаното разстояние е равно на височината QH правоъгълен триъгълник ASQ, в който AS = 2, AQ = , SQ = От тук намираме QH = Отговор: .

Призма 1 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите: BC и B 1 C 1. Отговор: 1.

Призма 2 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и BC. Отговор:

Призма 3 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и BC 1. Отговорът:

Призма 4 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и A 1 C 1. Отговор: 1.

Призма 5 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и A 1 C. Решение: Търсеното разстояние е равно на разстоянието между правата AB и равнината A 1 B 1 C. Нека означим D и D 1 средите на ръбовете AB и A 1 B 1. В правоъгълен триъгълник CDD 1 начертайте височина DE от върха D. Ще бъде желаното разстояние. Имаме DD 1 = 1, CD = Отговор: Следователно DE = , CD 1 = .

Призма 6 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB 1 и BC 1. Решение: Нека построим призмата до 4-ъгълна призма. Желаното разстояние ще бъде равно на разстоянието между успоредните равнини AB 1 D 1 и BDC 1. То е равно на височината OH на правоъгълния триъгълник AOO 1, в който е Отг. Тази височина е

Призма 7 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и A 1 B 1. Отговор: 1.

Призма 8 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и B 1 C 1. Отговор: 1.

Призма 9 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и C 1 D 1. Отговор: 1.

Призма 10 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и DE. Отговор: .

Призма 11 В правилната 6-та призма A ... F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB и D 1 E 1. Отговор: 2.

Призма 12 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и CC 1. Отговор: .

Призма 13 В правилната 6-та призма A ... F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и DD 1. Отговор: 2.

Призма 14 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и B 1 C 1. Решение: Нека продължим страните B 1 C 1 и A 1 F 1, докато те се пресичат в точка G. Триъгълник A 1 B 1 G е равностранен. Височината му A 1 H е търсеният общ перпендикуляр. Дължината му е равна. Отговор: .

Призма 15 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и C 1 D 1. Решение: Търсеният общ перпендикуляр е отсечката A 1 C 1. Неговата дължина е равно. Отговор: .

Призма 16 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и BC 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между успоредните равнини ADD 1 и BCC 1. То е равно. Отговор: .

Призма 17 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и CD 1. Решение: Търсеният общ перпендикуляр е отсечката AC. Дължината му е равна. Отговор: .

Призма 18 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и DE 1. Решение: Търсеният общ перпендикуляр е отсечката A 1 E 1. Дължината й е равна . Отговор: .

Призма 19 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и BD 1. Решение: Търсеният общ перпендикуляр е отсечката AB. Дължината му е 1. Отговор: 1.

Призма 20 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и CE 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между правата AA 1 и равнината CEE 1 То е равно. Отговор: .

Призма 21 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и BE 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между правата AA 1 и равнината BEE 1 То е равно. Отговор: .

Призма 22 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AA 1 и CF 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между правата AA 1 и равнината CFF 1 То е равно. Отговор: .

Призма 23 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите: AB 1 и DE 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между успоредните равнини ABB 1 и DEE 1. Разстоянието между тях е равно. Отговор: .

Призма 24 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите: AB 1 и CF 1. Решение: Желаното разстояние е разстоянието между правата AB 1 и равнината CFF 1 То е равно. Отговор:

Призма 25 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB 1 и BC 1. Решение: Нека O, O 1 са центровете на лицата на призмата. Равнините AB 1 O 1 и BC 1 O са успоредни. Равнината ACC 1 A 1 е перпендикулярна на тези равнини. Желаното разстояние d е равно на разстоянието между правите AG 1 и GC 1. В успоредника AGC 1 G 1 имаме AG = Отговор: ; AG 1 = Височината, начертана към страната AA 1, е равна на 1. Следователно d= . .

Призма 26 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB 1 и BD 1. Решение: Да разгледаме равнината A 1 B 1 HG, перпендикулярна на BD 1. ортогонална проекцияотвежда правата BD 1 до точката H на тази равнина и правата AB 1 до правата GB 1. Следователно желаното разстояние d е равно на разстоянието от точката H до правата GB 1. В правоъгълния триъгълник GHB 1 имаме GH = 1; Отговор: B 1 H = . Следователно d = .

Призма 27 В правилната 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите: AB 1 и BE 1. Решение: Да разгледаме равнината A 1 BDE 1, перпендикулярна на AB 1. Ортогоналната проекция върху тази равнина премества правата AB 1 в точка G, а правата BE 1 остава на място. Следователно желаното разстояние d е равно на разстоянието GH от точката G до правата BE 1. В правоъгълен триъгълник A 1 BE 1 имаме A 1 B = ; A 1 E 1 =. Отговор: Следователно d = .

В тази статия, използвайки примера за решаване на задача C2 от Единния държавен изпит, се анализира методът за намиране на координати с помощта на метода. Спомнете си, че линиите са коси, ако не лежат в една и съща равнина. По-специално, ако една линия лежи в равнина, а втората линия пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата линия, тогава такива линии са коси (вижте фигурата).

За намиране разстояния между пресичащи се линиинеобходимо:

1. Начертайте равнина през една от изкривените линии, която е успоредна на другата изкривена линия.
2. Пуснете перпендикуляр от всяка точка на втората права линия към получената равнина. Дължината на този перпендикуляр ще бъде желаното разстояние между линиите.

Нека анализираме по-подробно този алгоритъм, като използваме примера за решаване на задача C2 от Единния държавен изпит по математика.

Разстояние между линиите в пространството

Задача.в едно кубче ABCDA 1 б 1 ° С 1 д 1 намерете разстоянието между линиите BA 1 и Д.Б. 1 .

Ориз. 1. Чертеж към задачата

Решение.През средата на диагонала на куба Д.Б. 1 (точка О) начертайте права, успоредна на правата А 1 б. Пресечни точки на дадена линия с ръбове пр.н.еИ А 1 д 1 обозначават съответно нИ М. Направо MNлежи в самолета MNB 1 и успоредна на правата А 1 б, която не лежи в тази равнина. Това означава, че прекият А 1 буспоредна на равнината MNB 1 на базата на успоредност на права и равнина (фиг. 2).

Ориз. 2. Желаното разстояние между пресичащите се линии е равно на разстоянието от всяка точка на избраната линия до изобразената равнина

Сега търсим разстоянието от някаква точка на правата линия А 1 бдо самолета MNB 1 . Това разстояние по дефиниция ще бъде желаното разстояние между косите линии.

За да намерим това разстояние, използваме метода на координатите. Въвеждаме правоъгълна декартова координатна система, така че нейният произход да съвпада с точка B, оста хбеше насочен по ръба BA, ос Y- по реброто пр.н.е, ос З- по реброто BB 1 (фиг. 3).

Ориз. 3. Избираме правоъгълна декартова координатна система, както е показано на фигурата

Намираме уравнението на равнината MNB 1 в тази координатна система. За целта първо определяме координатите на точките М, нИ б 1: Получените координати се заместват в общо уравнениеправа линия и получаваме следната система от уравнения:

От второто уравнение на системата получаваме от третото, а след това от първото получаваме.Получените стойности заместваме в общото уравнение на правата линия:

Имайте предвид, че в противен случай самолетът MNB 1 ще премине през началото. Разделяме двете страни на това уравнение на и получаваме:

Разстоянието от точка до равнина се определя по формулата.

Сред огромния брой стереометрични задачи в учебниците по геометрия, в различни колекции от задачи, учебни наръчници за университети, задачите за намиране на разстоянието между косите линии са изключително редки. Може би това се дължи както на теснотата на тяхното практическо приложение (спрямо училищната програма, за разлика от „печелившите“ задачи за изчисляване на площи и обеми), така и на сложността на тази тема.

Практикувайте провеждане на изпитапоказва, че много ученици изобщо не започват да изпълняват задачи по геометрия, включени в изпитната работа. За да се гарантира успешното изпълнение на геометрични задачи с повишено ниво на сложност, е необходимо да се развие гъвкавостта на мисленето, способността да се анализира предложената конфигурация и да се изолират части в нея, чието разглеждане ви позволява да намерите начин за решаване проблемът.

Училищният курс включва изучаване на четири начина за решаване на задачи за намиране на разстоянието между пресичащи се линии. Изборът на метод се определя, на първо място, от характеристиките на конкретна задача, предоставените от нея възможности за избор и, второ, от способностите и характеристиките на "пространственото мислене" на конкретен ученик. Всеки от тези методи ви позволява да решите най-важната част от проблема - изграждането на сегмент, перпендикулярен на двете пресичащи се линии (за изчислителната част на задачите не се изисква разделяне на методи).

Основните методи за решаване на задачи за намиране на разстоянието между косите линии

Намиране на дължината на общия перпендикуляр на две пресичащи се прави, т.е. сегмент с краища на тези линии и перпендикулярен на всяка от тези линии.

Намиране на разстоянието от една от пресичащите се прави до успоредна на нея равнина, минаваща през другата права.

Намиране на разстоянието между две успоредни равнини, минаващи през дадени коси прави.

Намиране на разстоянието от точка, която е проекцията на една от косите линии върху равнина, перпендикулярна на нея (така наречения „екран“), до проекцията на друга права върху същата равнина.

Ще демонстрираме и четирите метода на следния най-прост задача: „В куб с ръб Анамерете разстоянието между всеки ръб и диагонала на лице, което не го пресича." Отговор: .

Снимка 1

h skr е перпендикулярна на равнината на страничната повърхност, съдържаща диагонала ди е перпендикулярна на ръба, така че h скри е разстоянието между ръба Аи диагонал д.

Фигура 2

Равнината А е успоредна на ръба и минава през дадения диагонал, следователно през дадения h скре не само разстоянието от ръба до равнината A, но и разстоянието от ръба до дадения диагонал.

Фигура 3

Равнините A и B са успоредни и минават през две дадени наклонени прави, така че разстоянието между тези равнини е равно на разстоянието между двете наклонени прави.

Фигура 4

Равнина А е перпендикулярна на ръба на куба. Когато се проектира върху диагонала А дтози диагонал се обръща към една от страните на основата на куба. Това h скре разстоянието между правата, съдържаща ръба, и проекцията на диагонала върху равнината C, а оттам и между правата, съдържаща ръба, и диагонала.

Нека се спрем по-подробно на приложението на всеки метод за многостени, изучавани в училище.

Приложението на първия метод е доста ограничено: той се използва добре само в някои задачи, тъй като е доста трудно да се определи и обоснове точното местоположение в най-простите задачи и приблизителното местоположение на общия перпендикуляр на две пресичащи се линии в сложни проблеми. Освен това, когато намирате дължината на този перпендикуляр в сложни задачи, може да срещнете непреодолими трудности.

Задача 1. В правоъгълен паралелепипед с размери а, б, знамерете разстоянието между страничния ръб и диагонала на основата, който не се пресича с него.

Фигура 5

Нека AHBD. Тъй като A 1 A е перпендикулярна на равнината ABCD, то A 1 A AH.

AH е перпендикулярна на двете пресичащи се прави, следователно AH? е разстоянието между правите A 1 A и BD. В правоъгълен триъгълник ABD, знаейки дължините на краката AB и AD, намираме височината AH, като използваме формулите за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник. Отговор:

Задача 2. В правилна 4-странна пирамида със страничен ръб Ли основна страна анамерете разстоянието между апотемата и страната на основата, която пресича страничната повърхност, съдържаща тази апотема.

Фигура 6

SHCD като апотема, ADCD като ABCD е квадрат. Следователно DH е разстоянието между правите SH и AD. DH е равно на половината от страната на CD. Отговор:

Използването на този метод също е ограничено поради факта, че ако можете бързо да изградите (или да намерите готова) равнина, минаваща през една от пресичащите се линии и успоредна на друга линия, тогава изграждането на перпендикуляр от всяка точка на втората линия към тази равнина (вътре в полиедъра) създава затруднения. Въпреки това, в прости задачи, където конструкцията (или намирането) на посочения перпендикуляр не създава затруднения, този метод е най-бързият и лесен и следователно достъпен.

Задача 2. Решението на вече посочения по-горе проблем по този начин не създава особени затруднения.

Фигура 7

Равнината EFM е успоредна на правата AD, тъй като AD || EF. Правата MF лежи в тази равнина, така че разстоянието между правата AD и равнината EFM е равно на разстоянието между правата AD и правата MF. Нека направим OHAD. OHEF, OHMO, следователно OH(EFM), следователно OH е разстоянието между правата AD и равнината EFM, а оттам и разстоянието между правата AD и правата MF. Намиране на OH от триъгълник AOD.

Задача 3. В правоъгълен паралелепипед с размери а,бИ чнамерете разстоянието между страничния ръб и диагонала на паралелепипеда, който не се пресича с него.

Фигура 8

Правата AA 1 е успоредна на равнината BB 1 D 1 D, B 1 D принадлежи на тази равнина, следователно разстоянието от AA 1 до равнината BB 1 D 1 D е равно на разстоянието между правите AA 1 и B 1 D. Начертайте AHBD . Също така, AH B 1 B, следователно AH(BB 1 D 1 D), следователно AHB 1 D, т.е. AH е желаното разстояние. Намерете AH от правоъгълния триъгълник ABD.

Отговор:

Задача 4. В правилна шестоъгълна призма A:F 1 с вис чи основна страна анамерете разстоянието между редовете:

Фигура 9 Фигура 10

а) AA 1 и ED 1.

Да разгледаме равнината E 1 EDD 1 . Следователно A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Също така A 1 E 1 AA 1 . Следователно A 1 E 1 е разстоянието от правата AA 1 до равнината E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1)., следователно AE 1 е разстоянието от правата линия AA 1 до правата линия ED 1. Намираме A 1 E 1 от триъгълника F 1 A 1 E 1 с помощта на косинусовата теорема. Отговор:

б) AF и диагонал BE 1.

Нека начертаем права FH, перпендикулярна на BE от точка F. EE 1 FH, FHBE, следователно FH(BEE 1 B 1), следователно FH е разстоянието между правата AF и (BEE 1 B 1), и следователно разстоянието между правата AF и диагонала BE 1 . Отговор:

МЕТОД III

Приложението на този метод е изключително ограничено, тъй като е по-лесно да се изгради равнина, успоредна на една от линиите (метод II), отколкото две успоредни равнини, но метод III може да се използва в призми, ако пресичащите се линии принадлежат на успоредни лица, а също и в случаите, когато в полиедър е лесно да се построят успоредни сечения, съдържащи дадени прави.

Задача 4.

Фигура 11

а) Равнините BAA 1 B 1 и DEE 1 D 1 са успоредни, тъй като AB || ED и AA 1 || EE1. ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1), следователно разстоянието между правите AA 1 и ED 1 е равно на разстоянието между равнините BAA 1 B 1 и DEE 1 D 1 . A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , следователно A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Доказваме по подобен начин, че A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Така A 1 E 1 е разстоянието между равнините BAA 1 B 1 и DEE 1 D 1 , а оттам и между правите AA 1 и ED 1 . Намерете A 1 E 1 от триъгълник A 1 F 1 E 1 , който е равнобедрен с ъгъл A 1 F 1 E 1 равен на . Отговор:

Фигура 12

b) Разстоянието между AF и диагонала BE 1 е подобно.

Задача 5. В куб с ръб Анамерете разстоянието между два непресичащи се диагонала на две съседни лица.

Този проблем се счита за класически в някои ръководства, но по правило решението му се дава по метод IV, но е напълно достъпно за решение по метод III.

Фигура 13

Известна трудност в тази задача е доказателството, че диагоналът A 1 C е перпендикулярен на двете успоредни равнини (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 и BC 1 A 1 B 1 , следователно правата BC 1 е перпендикулярна на равнината A 1 B 1 C и следователно BC 1 A 1 C. Също така, A 1 CBD. Следователно правата A 1 C е перпендикулярна на равнината BC 1 D. Изчислителната част на задачата не създава особени затруднения, тъй като h скр= EF се намира като разликата между диагонала на куба и височините на две еднакви правилни пирамиди A 1 AB 1 D 1 и CC 1 BD.

МЕТОД IV.

Този метод има доста широко приложение. За задачи със средна и повишена трудност може да се счита за основна. Не е необходимо да го прилагате само когато един от трите предишни метода работи по-лесно и по-бързо, тъй като в такива случаи метод IV може само да усложни решението на проблема или да го направи трудно достъпен. Този метод е много изгоден за използване в случай на перпендикулярност на пресичащи се линии, тъй като не е необходимо да се изгражда проекция на една от линиите върху "екрана"

L и основната страна а.

Фигура 16

В този и подобни проблеми метод IV води до решение по-бързо от други методи, тъй като чрез конструиране на сечение, което играе ролята на "екран", перпендикулярен на AC (триъгълник BDM), е ясно, че по-нататък няма нужда да се изгражда проекция на друга линия (BM) върху този екран. DH - желано разстояние. DH се намира от триъгълник MDB с помощта на формули за площ. Отговор: .