Непрекъснатост на функция на две променливи в точка. Предел и непрекъснатост на функция на две променливи

76. Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж . Функцията z=f(x,y) има условен минимум (максимум) във вътрешната точка M 0 (x 0 ,y 0), ако за всяка точка M(x,y) от някакъв квартал O(M 0), удовлетворяващ уравнението на връзката ϕ(x,y)=0, условието ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y 0)≤ 0). В общия случай този проблем води до намиране на обичайния екстремум на Лагранж L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) с неизвестен множител на Лагранж λ. Необходимото условие за екстремума на функцията на Лагранж L(x,y,λ) е система от три уравнения с три неизвестни x,y,λ: . Достатъчно условие за екстремума на функцията на Лагранж е следното твърдение ∆>0, тогава функцията z=f(x,y) в точката M 0 (x 0 ,y 0) има условен минимум, ∆<0- то условный максимум.

77. Числови серии. Основни понятия. Конвергенция на сериите . Цифрови сериисе нарича израз на формата, където u 1 ,u 2 ,….,u n ,… са извикани реални или комплексни числа членове на номер, u n - общ членред. Серия се счита за дадена, ако е известен общият член на серията u n, изразен като функция на нейния номер n: u n =f(n). частична сумасерия и се означава със S n, т.е. S n =u 1 +u 2 +…+u n. Ако има крайна граница на последователността от частични суми на серията , тогава тази граница се нарича сума на сериятаи те казват, че редът се сближава.

78. Необходим признак за конвергенция. Хармонична серия. Теорема:Нека числовата поредица u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) се събира и S е нейната сума. Тогава, при неограничено нарастване на броя n на членовете на серията, нейният общ член u n клони към 0. Този знак е необходим, но не достатъчен знак за сходимостта на серията, т.к. можете да посочите серията, за която е валидно равенството

Всъщност, ако се сближи, ще бъде равно на 0. По този начин теоремата, която доказахме, понякога ни позволява, без да изчисляваме сумата S n, да направим заключение за разминаването на определена серия. Например, сериалът се разминава, защото . Хармонична серия- сума, съставена от безкраен брой членове, обратни на последователни числа от естествения ред: Серията се нарича хармонична, защото се състои от „хармоници“: (\displaystyle k)та хармоника, извлечена от струна на цигулка, е основният тон, произведен от струна с дължина (\displaystyle (\frac (1)(k))) от дължината на оригиналния низ.

Определение 1

Ако за всяка двойка $(x,y)$ от стойности на две независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $z$, тогава се казва, че $z$ е функция на две променливи $(x,y) $ в този домейн.

Нотация: $z=f(x,y)$.

Нека е дадена функция $z=f(x,y)$ от две независими променливи $(x,y)$.

Бележка 1

Тъй като променливите $(x,y)$ са независими, едната от тях може да се променя, докато другата остава постоянна.

Нека дадем на променливата $x$ увеличение от $\Delta x$, като запазим стойността на променливата $y$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи увеличение, което ще се нарича частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $x$. Обозначение:

Определение 2

Частната производна по отношение на променливата $x$ на дадена функция $z=f(x,y)$ е границата на съотношението на частичното увеличение $\Delta _(x) z$ на дадена функция към увеличаване на $\Delta x$ при $\Delta x\ до 0$.

Нотация: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

Бележка 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Делта x\до 0) \frac(f(x+\Делта x,y)-f(x,y))(\Делта x) .\]

Нека дадем на променливата $y$ увеличение от $\Delta y$, като същевременно запазим стойността на променливата $x$ непроменена.

Тогава функцията $z=f(x,y)$ ще получи увеличение, което ще се нарича частично увеличение на функцията $z=f(x,y)$ по отношение на променливата $y$. Обозначение:

Определение 3

Частната производна по отношение на променливата $y$ на дадена функция $z=f(x,y)$ е границата на съотношението на частичното увеличение $\Delta _(y) z$ на дадена функция към увеличаване на $\Delta y$ при $\Delta y\ до 0$.

Нотация: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

Бележка 3

По дефиниция на частична производна имаме:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Имайте предвид, че правилата за изчисляване на частната производна на дадена функция съвпадат с правилата за изчисляване на производни на функция на една променлива. Въпреки това, когато се изчислява частната производна, е необходимо да се помни за коя променлива се търси частната производна.

Пример 1

Решение:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (по променлива $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (по променлива $y$).

Пример 2

Определете частните производни на дадената функция:

в точка (1;2).

Решение:

По дефиниция на частични производни получаваме:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (по променлива $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (по променлива $y$).

\[\ляво. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \left. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Определение 4

Ако за всяка тройка $(x,y,z)$ от стойности на три независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $w$, тогава се казва, че $w$ е функция на три променливи $(x, y,z)$ в тази област.

Нотация: $w=f(x,y,z)$.

Определение 5

Ако за всеки набор $(x,y,z,...,t)$ от стойности на независими променливи от определен регион е свързана определена стойност $w$, тогава се казва, че $w$ е функция на променливите $(x,y, z,...,t)$ в тази област.

Нотация: $w=f(x,y,z,...,t)$.

За функция на три или повече променливи, частните производни по отношение на всяка от променливите се определят по същия начин, както за функция на две променливи:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Делта t) $.

Пример 3

Определете частните производни на дадената функция:

Решение:

По дефиниция на частични производни получаваме:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (по променлива $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (по променлива $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (по променлива $z$).

Пример 4

Определете частните производни на дадената функция:

в точка (1;2;1).

Решение:

По дефиниция на частични производни получаваме:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (по променлива $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (по променлива $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (по променлива $z$) .

Стойности на частични производни в дадена точка:

\[\ляво. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \left. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \left. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Пример 5

Определете частните производни на дадената функция:

Решение:

По дефиниция на частични производни получаваме:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ (по променлива $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (по променлива $y $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (по променлива $z $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (по променлива $t $).

Катедра: Висша математика

Резюме

по дисциплина "Висша математика"

Тема: “Граница и непрекъснатост на функции на няколко променливи”

Толиати, 2008 г

Въведение

Концепцията за функция на една променлива не обхваща всички зависимости, които съществуват в природата. Дори и в най-простите задачи има количества, чиито стойности се определят от комбинацията от стойностите на няколко количества.

За изследване на такива зависимости се въвежда понятието функция на няколко променливи.

Понятие за функция на няколко променливи

Определение.величина uсе нарича функция на няколко независими променливи ( х, г, z, …, t), ако всеки набор от стойности на тези променливи е свързан с определена стойност на количеството u.

Ако променливата е функция на две променливи XИ при, тогава се означава функционалната зависимост

z = f (х, г).

Символ fдефинира тук набор от действия или правило за изчисляване на стойност zза дадена двойка стойности XИ при.

И така, за функцията z = х 2 + 3xy

при X= 1 и при= 1 имаме z = 4,

при X= 2 и при= 3 имаме z = 22,

при X= 4 и при= 0 имаме z= 16 и т.н.

Количеството се нарича по подобен начин uфункция на три променливи х, г, z, ако е дадено правило, като за дадена тройка от стойности х, гИ zизчислете съответната стойност u:

u = Е (х, г, z).

Ето симв Едефинира набор от действия или правило за изчисляване на стойност u, съответстващи на тези стойности х, гИ z.

И така, за функцията u = xy + 2xz – 3yz

при X = 1, при= 1 и z= 1 имаме u = 0,

при X = 1, при= -2 и z= 3 имаме u = 22,

при X = 2, при= -1 и z= -2 имаме u = -16 и т.н.

Така, ако по силата на някакъв закон на всяко население пчисла ( х, г, z, …, t) от някакъв набор дприсвоява конкретна стойност на променлива u, тогава uнаречена функция на ппроменливи х, г, z, …, t, определени на множеството д, и се обозначава

u = f(х, г, z, …, t).

Променливи х, г, z, …, tсе наричат ​​аргументи на функцията, множество д– област на дефиниране на функцията.

Частичната стойност на функция е стойността на функцията в даден момент М 0 (х 0 , г 0 , z 0 , …, t 0) и е обозначен f (М 0) = f (х 0 , г 0 , z 0 , …, t 0).

Домейнът на функция е набор от всички стойности на аргументи, които съответстват на всички реални стойности на функцията.

Функция на две променливи z = f (х, г) в пространството се представя от някаква повърхност. Тоест, когато точка с координати X, приминава през цялата област на дефиниране на функцията, разположена в равнината xOy, съответната пространствена точка, най-общо казано, описва повърхността.

Функция на три променливи u = Е (х, г, z) разглеждана като функция на точка от определен набор от точки в триизмерното пространство. По същия начин функцията ппроменливи u = f(х, г, z, …, t) се разглежда като функция на точка от някои п-измерително пространство.

Граница на функция на няколко променливи

За да дадем концепцията за границата на функция от няколко променливи, ние се ограничаваме до случая на две променливи XИ при. По дефиниция функция f (х, г) има ограничение в точката ( X 0 , при 0), равно на числото А, означени както следва:

(те също пишат f (х, г) →Апри (х, г) → (X 0 , при 0)), ако е дефиниран в някаква околност на точката ( X 0 , при 0), освен може би в самия момент и ако има ограничение

каквато и да е тенденцията ( X 0 , при 0) последователност от точки ( x k, y k).

Точно както в случая на функция на една променлива, може да се въведе друга еквивалентна дефиниция на границата на функция на две променливи: функция fима в точка ( X 0 , при 0) граница, равна на А, ако е дефиниран в някаква околност на точката ( X 0 , при 0) освен, може би, за самата тази точка и за всяко ε > 0 има δ > 0, така че

| f (х, г) – А| < ε(3)

за всички (х, г) , удовлетворяващи неравенствата

Това определение от своя страна е еквивалентно на следното: за всяко ε > 0 има δ-околност на точката ( X 0 , при 0), така че за всички ( х, г) от този квартал, различен от ( X 0 , при 0), неравенството (3) е изпълнено.

Тъй като координатите на произволна точка ( х, г) околност на точка ( X 0 , при 0) може да се запише като х = х 0 + Δ X, y = y 0 + Δ при, то равенство (1) е еквивалентно на следното равенство:

Помислете за някаква функция, дефинирана в околност на точката ( X 0 , при 0), освен може би самата тази точка.

Нека ω = (ω X, ω при) – произволен вектор с дължина едно (|ω| 2 = ω X 2 + ω при 2 = 1) и t> 0 – скаларен. Гледни точки

(X 0 + tω X, г 0 + tω при) (0 < t)

образуват лъч, излизащ от ( X 0 , при 0) по посока на вектора ω. За всяко ω можем да разгледаме функцията

f(X 0 + tω X, г 0 + tω при) (0 < t< δ)

от скаларна променлива t, където δ е сравнително малко число.

Ограничението на тази функция (една променлива) t)

ако съществува, естествено е да го наречем граница fв точка ( X 0 , при 0) в посока ω.

Пример 1.Функции

определен на равнината ( х, г) с изключение на точката X 0 = 0, при 0 = 0. Имаме (вземете предвид това

(за ε > 0 задаваме δ = ε/2 и след това | f (х, г) | < ε, если

от което става ясно, че границата φ в точката (0, 0) в различни посоки обикновено е различна (единичният вектор на лъча г = kx, X> 0, има формата

Пример 2.Нека разгледаме в Р 2 функция

Тази функция в точката (0, 0) на която и да е линия г = kxпреминаването през началото има граница, равна на нула:

Тази функция обаче няма ограничение в точките (0, 0), защото когато y = x 2

Ще пишем

|f (х, г) | > Н,

веднага щом 0<

Можем да говорим и за лимит f, Кога X, при → ∞:

Например, в случай на крайно число Аравенството (5) трябва да се разбира в смисъл, че за всяко ε > 0 има такова Н> 0, което е за всички X, при, за което | х| > Н, |г| > Н, функция fдефинирани и неравенството е в сила

Много явления, случващи се в природата, икономиката и социалния живот, не могат да бъдат описани с помощта на функция на една променлива. Например рентабилността на едно предприятие зависи от печалбата, основния и оборотния капитал. За да се изследва този вид зависимост, се въвежда концепцията за функция на няколко променливи.

Тази лекция обсъжда функциите на две променливи, тъй като всички основни понятия и теореми, формулирани за функции на две променливи, могат лесно да бъдат обобщени за случая на по-голям брой променливи.

Нека б– набор от подредени двойки реални числа.

Определение 1Ако всяка подредена двойка числа, според някакъв закон, е свързана с едно реално число, тогава те казват, че даденото функция на две променливи или .Извикват се номерата независими променливиили аргументи на функцията, а числото е зависима променлива.

Например, формулата, изразяваща обема на цилиндър, е функция на две променливи: – радиус на основата и – височина.

Двойка числа понякога се нарича точка, а функция от две променливи понякога се нарича точкова функция.

Функционална стойност в точката означават или и се обади частна стойност на функция от две променливи.

Наборът от всички точки, в които е дефинирана функция , наречена област на дефиниция тази функция. За функция на две променливи областта на дефиниране е цялата координатна равнина или част от нея, ограничена от една или повече линии.

Например, областта на дефиниране на функция е цялата равнина и функции – единична окръжност с център в началото ( или .

Концепциите за граница и непрекъснатост на функция на две променливи са подобни на случая на една променлива.

Нека е произволна точка на равнината. – съседство на точката е множеството от всички точки, чиито координати удовлетворяват неравенството. С други думи, околността на точка е всички вътрешни точки на окръжност с център в точката и радиус.

Определение 2Номерът се нарича граница на функциятапри (или в точката ), ако за всяко произволно малко положително число съществува (в зависимост от), така че за всички , удовлетворяващо неравенството, неравенството е изпълнено .

Лимитът е посочен, както следва: или .

Пример 1Намерете границата .

Решение.Нека въведем нотацията , където . При имаме това. Тогава

.

Определение 3Функцията се извиква непрекъснато в точка, ако: 1) е определена в точка и нейната околност; 2) има краен предел; 3) тази граница е равна на стойността на функцията в точката, т.е. .

функция наречен непрекъснато в някаква област, ако е непрекъсната във всяка точка от тази област.

Точките, в които условието за непрекъснатост не е изпълнено, се наричат точки на прекъсванетази функция. В някои функции точките на прекъсване образуват цели линии на прекъсване. Например една функция има две разделителни линии: axis() и axis().

Пример 2Намерете точки на прекъсване на функцията .

Решение.Тази функция не е дефинирана в онези точки, в които знаменателят изчезва, тоест в точките, където или . Това е кръг с център в началото и радиус. Това означава, че линията на прекъсване на оригиналната функция ще бъде кръг.

2 Частични производни от първи ред. Пълен диференциал.
Частични производни от по-висок порядък

Нека е дадена функция на две променливи . Нека да дадем увеличение на аргумента и да оставим аргумента непроменен. Тогава функцията ще получи увеличение, което се извиква частно увеличение по променливаи се обозначава с:

По същия начин, като фиксираме аргумента и му даваме увеличение, получаваме частично увеличение на функция по променлива:

Количеството се нарича пълно нарастване на функцията в точката .

Определение 4 Частична производна на функция на две променливи според една от тези променливи се извиква границата на съотношението на съответното частично нарастване на функция към нарастването на дадена променлива, когато последната клони към нула (ако тази граница съществува).

Частичната производна се означава по следния начин: или , или .

Така по дефиниция 4 имаме:

Функции с частни производни се изчисляват по едни и същи правила и формули като функция на една променлива, като се има предвид, че при диференциране по отношение на променлива, се счита за константа и когато се диференцира по отношение на променлива се счита за константа.

Пример 3Намерете частични производни на функции:

Решение:

1 За да намерим, ние броим постоянна стойност и диференциране като функция на една променлива:

По същия начин, като се има предвид постоянна стойност, намираме:

.

.

Определение 5 Пълна диференциална функция е сумата от произведенията на частните производни на тази функция с увеличенията на съответните независими променливи, т.е.

.

За нефиксирани: , а формулата за общия диференциал може да бъде записана като

или .

Пример 4Намерете пълния диференциал на функция .

Решение.защото , след това използвайки формулата за общия диференциал, която намираме

.

Частичните производни се наричат ​​частни производни от първи ред.

Определение 6 Частични производни от втори ред функции се наричат ​​частни производни на частни производни от първи ред.

Има четири частични производни от втори ред. Те се обозначават, както следва:

или ; или ;

или ; или .

Частичните производни от 3-ти, 4-ти и по-високи разряди се дефинират по подобен начин. Например за функцията имаме:

; и т.н.

Наричат ​​се частични производни от втори или по-висок ред, взети по отношение на различни променливи смесени частични производни.За функция това са производни. Забележете, че в случая, когато смесените производни са непрекъснати, тогава равенството е в сила.

Пример 5Намерете частните производни от втори ред на функцията.

Решение.Частичните производни от първи ред за тази функция се намират в пример 3:

Диференциране и по променливи XИ г, получаваме:

3 Екстремум на функция на няколко променливи.
Необходими и достатъчни условия за съществуване на екстремум

Определение 7Точката се нарича минимална (максимална) точкафункция, ако има околност на точка такава, че за всички точки от тази околност неравенството , ().

Точки на минимум и максимум на функция се наричат екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са екстремуми на функцията(съответно минимум и максимум).

Имайте предвид, че минималните и максималните функции имат местенхарактер, тъй като стойността на функцията в точка се сравнява с нейните стойности в точки, достатъчно близки до .

Теорема 1(необходими условия за екстремум). Ако е точката на екстремума на диференцируемата функция, тогава нейните частни производни в тази точка са равни на нула: .

Наричат ​​се точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула критиченили стационарен. В критичните точки функцията може или не може да има екстремум.

Теорема 2(достатъчно условие за екстремум). Нека функцията: а) е дефинирана в някаква околност на критичната точка, в която И ; б) има непрекъснати частни производни от втори ред . Тогава ако , тогава функцията в точката има екстремум: максимум, ако A<0; минимум, если А>0; Ако , тогава функцията няма екстремум. В случай въпросът за наличието на екстремум остава открит.

Когато се изследва функция на две променливи за екстремум, се препоръчва да се използва следната схема:

1 Намерете частични производни от първи ред: И .

2 Решете системата от уравнения и намерете критичните точки на функцията.

3 Намерете частични производни от втори ред: , , .

4 Изчислете стойностите на частичните производни от втори ред във всяка

достигнете критичната точка и, използвайки достатъчни условия, направете заключение за наличието на екстремум.

5 Намерете екстремумите на функцията.

Пример 6Намерете екстремумите на функцията .

Решение:

1 Намиране на частични производни И :

; .

2 За да определим критичните точки, решаваме системата от уравнения:

или

От първото уравнение на системата намираме: . Заместване на намерената стойност гвъв второто уравнение получаваме:

, , ,

.

Намиране на стойностите г, съответстващи на стойностите . Заместващи стойности в уравнението, получаваме: ; Таблица на основните неопределени интеграли равенството е изпълнено.

Решение.Нека разграничим резултата от интеграцията:

.

Получихме подинтегралната функция, следователно интегрирането е правилно.

Определение 1.Номер Асе нарича граница на функция в точка (или в и ), ако за всяко произволно малко положително число има положително число, такова че за всички точки, разположени на разстояние, по-малко от от точката, неравенството е в сила

Лимитът е посочен.

Определение 2.функция
се нарича непрекъсната в точка, ако границата на функцията в тази точка съществува и .

Точките, в които функцията няма свойството на непрекъснатост, се наричат ​​точки на прекъсване.

Всички свойства и методи на теорията за границите на функция на една променлива се пренасят върху функции на няколко променливи.

2) Случайната променлива е едно от основните понятия на теорията на вероятностите. Случайна променлива е измерима функция, дефинирана в някакво вероятностно пространство

Дискретна стойност е случайна променлива, която при тестване може да приеме една от изолираните стойности, чийто брой е краен. Тук спадат количествата от първата група.
Непрекъсната се нарича случайна променлива, която в границите на своето изменение може да приема всякакви стойности, които могат да бъдат крайни или безкрайни. Те включват количества от втора група.

Билет №6

1) Степенуване- двоична операция, първоначално получена от многократното умножение на естествено число по себе си. Обозначение: нар степенс базаИ индикатор .

Формулата на Моавърза комплексни числа гласи, че

за всеки

Формулата е кръстена на математика I. Moivre, приятел на великия I. Newton, който я установява през 1707 г.; Л. Ойлер даде модерен вид на формулата.

Доказателство [редактиране]

Формулата на Моавър непосредствено следва от формулата на Ойлер и тъждеството за експоненциали, където b- цяло число.

Приложение [редактиране]

Подобна формула е приложима и при изчисляване на корени п-та степен на ненулево комплексно число:

Къде к = 0, 1, …, п-1.

Вероятност на хипотези

Вероятност на хипотези.

Нека се случи събитие A при настъпване на едно от несъвместимите събития B1, B2,?Bn, образуващи пълна група. Тъй като не е известно предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат ​​хипотези. Вероятността за настъпване на събитие А се определя от формулата за обща вероятност:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Формула на Бейс:

,

Предварителна вероятност за хипотеза А(вижте по-долу за значението на тази терминология);

Вероятност на хипотезата Апри настъпване на събитие б(постериорна вероятност);

Вероятност за настъпване на събитие бако хипотезата е вярна А;

Обща вероятност за настъпване на събитие б.

Пример:

Пример за изчисление

Нека вероятността за брак за първия работник е , за втория работник - , а за третия - . Първият правеше части, вторият правеше части, а третият правеше части. Управителят на магазина взема случайна част и тя се оказва дефектна. Въпросът е колко вероятно е третият работник да е направил тази част?

Събитие - дефектна част, събитие - част, произведена от работник. Тогава , където , и . Според формулата за пълна вероятност

Използвайки формулата на Bayes, получаваме:

Билет №12

1. Тригонометрични редове на Фурие- представяне на произволна функция с период под формата на серия

коефициенти ao,an и bn се наричат ​​коефициенти на Фурие и ако могат да бъдат намерени, тогава ред (1) се нарича ред на Фурие, съответстващ на функцията f(x). За серия (1) терминът (a1cosx+b1sinx) се нарича първи или основен хармоник,

Редица на Фурие от периодични функции с период 2π.

Редица на Фурие

Стандартна (=обикновена) нотация чрез сумата от sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

където ao, a1,a2,...,b1,b2,.. са реални константи, т.е.

2.Противоположни събития.
Отсрещаназовете две уникално възможни събития, които образуват пълна група. Ако едно от две противоположни събития е означено с А, тогава обикновено се обозначава другото

Теорема. Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Пример 1.Попадение и пропуск при стрелба по мишена са противоположни събития. Ако А е попадение, тогава обратното събитие е пропуск.

Пример 2.Част се взема на случаен принцип от кутия. Събитията „появи се стандартна част” и „появи се нестандартна част” са противоположни

, очевидно равно на 10/21, както е посочено по-горе. [ 1 ]

Нека изчислим вероятност за противоположно събитиеА. Събитието е, че избраното число не съдържа нито една от трите дадени цифри. [ 2 ]

Сума вероятности от противоположни събитияравно на едно. [ 3 ]

В същото време вероятност за противоположно събитиеА ще бъде по-голямо от 1-а, тоест ще бъде толкова близо до единица, колкото вероятността за събитие А е близо до нула

Билет №9

1. Честотен полигон наречена начупена линия, чиито сегменти свързват точки ( х 1 ; n 1 ), (х 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). За да се изгради честотен полигон, опциите се нанасят върху абсцисната ос. x i , а по ординатата - съответните честоти n i . Точки ( x i ; n i ) се свързват с прави отсечки и се получава честотен полигон

Честотна хистограманаречена стъпаловидна фигура, състояща се от правоъгълници, чиито основи са частични интервали на дължина ч , а височините са равни на отношението NIH (честотна плътност).

2. Събития АИ INсе наричат ​​независими ако P(AB) = P(A) P(B).Няколко събития А, IN, СЪС,... се наричат ​​независими, ако вероятността за тяхното съвместно изпълнение е равна на произведението на вероятностите за всеки от тях поотделно: Р(ABC…) = Р(А)Р(IN)Р(СЪС)…

Понякога съотношението Р(AB) = Р(А) Р(IN|А) = П(б)П(А|б), валиден за П(А)П(B) > 0, наричана още теорема за умножение на вероятностите

Билет №11

1) Случайна променлива X се нарича непрекъсната (непрекъснато разпределена) променлива, ако има неотрицателна функция p(t), дефинирана на цялата числена ос, така че за всички x функцията на разпределение на случайната променлива F(x ) е равно на:

.

В този случай функцията p(t) се нарича плътност на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива.

Ако такава функция p(t) не съществува, тогава X не е непрекъснато разпределена случайна променлива.

По този начин, знаейки плътността на разпределението, използвайки формула (6.7), лесно може да се намери функцията на разпределение F(x). И обратно, използвайки известна функция на разпределение, плътността на разпределение може да бъде възстановена:

Свойства на плътността на вероятността

непрекъсната случайна променлива:

1. Плътността на разпределение е неотрицателна функция:

Геометрично това означава, че графиката на плътността на разпределението е разположена над оста Ox или на тази ос.

Като се има предвид, че F(+¥)=1, получаваме: =1. Тези. площта между графиката на плътността на вероятността и оста x е равна на единица.

Тези две свойства са характерни за разпределението на плътността на вероятностите. Доказано е и обратното твърдение:

Сумата от събития A и B е третото събитие A + B, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията A или B.

Продуктът на събития A и B е третото събитие AB, което възниква тогава и само ако и двете събития A и B.

Концепциите за сумата и произведението на две събития очевидно се прехвърлят към случая на всяко множество от събития.

Събитие, противоположно на събитие А, е събитие, което се случва тогава и само ако събитие А не се случва.