Познаването на формата и размера на Земята е необходимо в много области на науката и технологиите и най-вече за правилното изобразяване земната повърхностпод формата на планове и карти.
Физическата повърхност на Земята се състои от 24,4% земна повърхност и 70,6% водна повърхност, считани за спокойно състояние.
Земята не е правилно геометрично тяло. Повърхността му и особено повърхността на сушата е много сложна и не може да се изрази с математическа формула.
Представа за фигурата на Земята като цяло може да се получи, като си представим, че цялата планета е ограничена от умствено разширената повърхност на океаните в спокойно състояние. Такава затворена повърхност във всяка точка е перпендикулярна на отвеса, т.е. на посоката на гравитацията. Викат я равна повърхност.
Равната повърхност е изпъкнала повърхност, перпендикулярна на посоката на гравитацията (отвес).
Човек може да си представи много равни повърхности, които обикалят около Земята. Тази, която съвпада със средното ниво на водата на Световния океан, умствено продължена под земята, се нарича геоидна повърхности ограниченото от него тяло - геоид.
Математическата повърхност на Земята се счита за равна повърхност, във всяка точка от която посоката на отвеса (гравитацията) и нормалата съвпадат.
Поради неравномерното разпределение на масите вътре в Земята, геоидът няма правилна геометрична форма и повърхността му не може да бъде изразена математически, така че за практически изчисления той се заменя с по-прости геометрични модели. От тях той се доближава най-много до геоида сфероидили елипсоид на революцията, получена чрез завъртане на елипсата около нейната малка (полярна) ос.
Размерите на елипсоида се характеризират с дължините на неговата голяма полуос Аи второстепенна ос б,както и компресия, определена по формулата:
През последните два века учените многократно са определяли размера на земния елипсоид. Най-успешният математически модел на Земята е предложен през 1946 г. проф. Красовскивъв формата референтен елипсоид.
Голяма полуос a= 6 378 245 m;
Малка полуос b=6 356 863 m.
Компресия = 1:298,3=0,0033523299.
Елипсоидът на Красовски е фигура, получена чрез завъртане на елипса около малката й ос. Земята е сплескана на полюсите поради влиянието центробежна сила, което се случва, когато земята се върти около оста си.
При практически изчисления Земята се приема като сфера със среден радиус R = 6371,11 km. Малка площ от земната повърхност практически може да се счита за хоризонтална равнина, по-голяма площ - като част от сфера.
В Русия Балтийската височинна система, измерена от нивото, се приема като равна повърхност Балтийско море(Кронщадски крак).
Геоид, квазигеоид и общ наземен елипсоид са три модела на Земята. Нека дадем техните определения от гледна точка на съвременните представи за фигурата на Земята.
Под фигура на ЗемятаВ момента те разбират фигура, ограничена от физическата повърхност на Земята, т.е. повърхността на твърдата му черупка на сушата и ненарушената повърхност на моретата и океаните.
Сушата заема една трета от земната повърхност и се издига над водата средно с около 900 метра, което е незначително в сравнение с радиуса на Земята (6371 км). Следователно, като първо приближение, геоидът се приема като фигура на Земята.
Нека дадем две дефиниции на геоида:
1. Стриктен: Геоидът е равната повърхност на гравитационното поле на Земята, минаваща през началото на броя на височината.
2. Нестроги: Геоидът е фигура, ограничена от ненарушената повърхност на моретата и океаните и продължена под континентите, така че отвесите във всичките му точки да са перпендикулярни на нея.
Повече от сто години, тоест от първата половина на миналия век, геодезистите и геофизиците изучават фигурата на геоида и смятат това за основната научна задача на висшата геодезия. В средата на миналия век съветският учен Молоденски доказа, че фигурата на геоида, строго погледнато, е неопределима. Той предлага основната задача на висшата геодезия да бъде изучаването на фигурата на истинската Земя и нейното гравитационно поле. Молоденски създава теория, която позволява точно определяне на фигурата на Земята въз основа на измервания, направени на земната повърхност, без да включва никакви хипотези за вътрешната й структура.
В теорията на Молоденски повърхността е въведена като спомагателна квазигеоид, съвпадащ с геоида на океаните и моретата и много малко отклоняващ се от повърхността на геоида на сушата (по-малко от 2 m) .
За разлика от геоида, повърхността на квазигеоида може да бъде строго определена от резултатите от наземни наблюдения.
С концепцията земен елипсоидвече се сблъскахме при разглеждането на основния научен проблем на висшата геодезия, повърхността на земния елипсоид е математически и геометрично простата повърхност, върху която могат да се решават геодезически проблеми на координиращи точки на земната повърхност и която е достатъчно близо до повърхността на земята. Земният елипсоид е елипсоид на въртене с ниска полярна компресия. Неговата повърхност може да бъде получена чрез завъртане на полуелипсата PEP 1 около нейната малка ос PP 1 (Фигура 1.2).
ориз. 1.2. Към понятието земен елипсоид: - голяма полуос; b- второстепенна ос.
Повърхността на земния елипсоид в геодезията се приема за референтна повърхност, определяща височините на точки от повърхността на изследваната фигура на земята спрямо нея.
Формата и размерите на земния елипсоид се характеризират с голяма и малка полуос и b, а по-често чрез голяма полуос и полярна компресия
(1.1)
или голямата полуос и ексцентрицитет на меридианната елипса:
(1.2)
Елипсоидът, който има най-голяма близост до фигурата на Земята като цяло, се нарича обикновен земен елипсоид .
Параметрите на общия земен елипсоид се определят при условията:
1) центърът на елипсоида трябва да съвпада с центъра на масата на Земята, а неговата малка ос - с оста на въртене на Земята;
2) обемът на елипсоида трябва да бъде равен на обема на геоида (квазигеоид);
3) сумата от квадратите на отклоненията във височината на повърхността на елипсоида от повърхността на геоида (квазигеоида) трябва да бъде минимална.
Параметрите на земния елипсоид могат да се получат с помощта на т.нар степенни измервания, който се състои в полагане на триангулационни серии в посоките на меридиани и паралели на различни географски ширини с определяне на астрономически ширини, дължини и азимути на страните в крайните точки, както и въз основа на резултатите от сателитни наблюдения.
В продължение на век и половина учени от различни страни определят параметрите на земния елипсоид, използвайки резултатите от градусните измервания, с които разполагат. Резултатът от тези определения е появата на множество елипсоиди.
Всяка страна приема като работник елипсоида, който е най-подходящ за нейната територия. В съответствие с този критерий се извършва и ориентацията му върху тялото на Земята, т.е. определяне на координатите на началната точка. Такива работещи елипсоиди, използвани в различни държави, се наричат справка - елипсоиди. В СССР и редица страни от Източна Европа е приета референция - елипсоидът на Красовски, 1940 г. Елипсоидът на Красовски е най-точният от всички елипсоиди, получени от обработката на наземни измервания. Размерите му са близки до размерите на OSE, установени от данни от сателитни наблюдения.
5. Основни раздели на висшата геодезия; връзка на дисциплината с други науки
Висшата геодезия е обширна област на знанието. Състои се от редица големи раздели, някои от които, когато се разгледат в детайли, са самостоятелни дисциплини. Нека изброим основните раздели на висшата геодезия.
1.Основни геодезически работи. Този раздел разглежда методите за точно определяне на относителната позиция на точките на земната повърхност чрез извършване на високоточни ъглови, линейни и нивелационни измервания (триангулация, полигонометрия и нивелация); основната координатна линия, спрямо която се правят тези измервания, е отвес.
2. Геодезическа гравиметрия: разглежда методите за измерване на ускорението на земното притегляне в точки от земната повърхност, както и методите за отчитане на нееднородността на гравитационното поле в резултатите от геодезическите измервания.
3. Геодезическа астрономия: разглежда методите за определяне на географски ширини, дължини и азимути от наблюдения на небесни тела.
4. Космическа или сателитна геодезия: решава същите проблеми като висшата геодезия, но с помощта на наблюдения на изкуствени земни спътници.
5. Сфероидална геодезия: разглежда методите за решаване на геодезически задачи върху повърхността на земния елипсоид.
6. Теоретична геодезия: разработва теории и методи за решаване на основния научен проблем на геодезията - определяне на фигурата и външното гравитационно поле на Земята - и техните изменения във времето.
В своите изследвания висшата геодезия широко използва най-новите постиженияфизика, математика, астрономия. При разработване на високопрецизна измервателна техника - приложна оптика, прецизно приборостроене, лазерна техника и др. При математическа обработка на резултатите от измерванията се използват теория на вероятностите, математическа статистика и методи. най-малки квадрати. Всички изчисления се извършват на най-новите компютри. За решаване на научни геодинамични проблеми е необходима тясна връзка между висшата геодезия и геологията, геотектониката, геофизиката, сеизмологията и др.
6.Основен координатни системи, използвани във висшата геодезия. Концепция за геодезически и астрономически координати и азимути
Във висшата геодезия се използват следните координатни системи:
1. Геодезическа координатна система.
2. Система от правоъгълни пространствени координати.
3. Система от равнинни правоъгълни координати.
4. Система от правоъгълни праволинейни координати X, г, свързани с равнината на меридиана на дадена точка.
5. Геоцентрична координатна система.
6. Координатна система с намалена географска ширина и геодезическа дължина.
7. Система от правоъгълни сфероидни координати.
В практиката на геодезическата работа най-често се използват първите три от изброените координатни системи, които ще разгледаме по-подробно.
| Н |
| д′ |
| д |
ориз. 2.1. Геодезически координати IN, Л, Нточки на земната повърхност М.
PE 0 P" -
РmР" - равнината на местния геодезически меридиан (прекарана през точка М(m) на терена).
Мmn е нормалата към елипсоида, спусната от точка M.
Геодезическа ширинаточки M(m) се нарича остър ъгъл INмежду екваториалната равнина ди нормално (Ммм)към повърхността на елипсоида в дадена точка.
Геодезическата ширина варира от 0 0 до 90 0. Той има положителен знак в северното полукълбо и отрицателен знак в южното полукълбо.
Геодезическа дължинаЛточки M(m)наречен двустенен ъгъл Рm д 0 между равнина PE 0 P"Гринуички (начален) меридиан и равнина PmP"местна геодезическа меридианна точка M(m). Дължините се измерват от началния меридиан и варират от 0 0 до 360 0. В Русия и Беларус от запад на изток, в някои страни е обратното.
Геодезическа височинаточки Мплощ се нарича разстояние ммтази точка от повърхността на референтния елипсоид, измерена по нормалата.
Точките, разположени над повърхността на елипсоида, имат положителни височини, а отдолу - отрицателни.
Геодезическите координати не могат да бъдат директно измерени.
Астрономически координатихарактеризиращ се с астрономическа ширина и астрономическа дължина л.
| м |
| ж |
| К |
ориз. 2.2. Астрономически координати и лточки на земната повърхност М.
EE 0 - равнина на земния екватор;
PE 0 E" - равнина на Гринуич или начален меридиан;
Р 1 m P 1 " - равнината на местния астрономически меридиан.
M mg е отвес, минаващ през точка M.
Астрономическа ширинаточки M(m) се нарича остър ъгъл между равнината на земния екватор ди отвес Mmgв този момент.
Астрономическата ширина варира от 0 0 до 90 0. Той има положителен знак в северното полукълбо и отрицателен знак в южното полукълбо.
Астрономическа дължинаточки M(m)наречен двустенен ъгъл между равнината PE 0 P"Гринуич (нулев) меридиан и равнината на астрономическия меридиан на дадена точка. Под равнината астрономически меридианточки разбират равнината, преминаваща през отвес (Mmg) в дадена точка и права линия, успоредна на оста на въртене на Земята (в общия случай равнината на астрономическия меридиан не минава през полюсите на Земята).
В първо приближение земята може да се счита за сфера. Във второто приближение Земята се приема за елипсоид на въртене; в някои изследвания се счита за двуосен елипсоид. Геоид-тяло, взето като теоретична фигура на Земята, ограничено от повърхността на океаните в тяхното спокойно състояние, продължено под континентите. Поради неравномерното разпределение на масите в земната кора, геоидът има неправилна геометрична форма, а неговата. повърхността не може да бъде изразена математически, което е необходимо за решаване на геодезически задачи. При решаване на геодезически задачи геоидът се заменя с близки до него геометрично правилни повърхности. И така, за приблизителни изчисления Земята се приема като сфера с радиус 6371 км. Елипсоидът се доближава до формата на геоид - фигура, получена чрез завъртане на елипса (фиг. 2.1) около малката й ос. Размерите на земния елипсоид се характеризират със следните основни параметри: а- голяма полуос, b малка полуос, полярна компресия и д– първият ексцентрицитет на меридианната елипса, където и.
Прави се разлика между обикновен земен елипсоид и референтен елипсоид.
Център обикновен земен елипсоидпоставена в центъра на масата на Земята, оста на въртене е подравнена със средната ос на въртене на Земята и размерите са взети така, че да осигурят най-голяма близост на повърхността на елипсоида до повърхността на геоида. Глобалният елипсоид се използва при решаване на глобални геодезически проблеми и по-специално при обработка на сателитни измервания. В момента широко се използват два глобални елипсоида: PZ-90 (Параметри на Земята 1990 г., Русия) и WGS-84 (Световна геодезическа система 1984 г., САЩ).
Референтен елипсоид– елипсоид, приет за геодезическа работа в определена страна. Приетата в страната координатна система е свързана с референтния елипсоид. Параметрите на референтния елипсоид се избират при условие за най-добро приближение на дадена част от земната повърхност. В този случай центровете на елипсоида и Земята не са подравнени.
В Русия от 1946 г. се използва референтният елипсоид Елипсоидът на Красовски с параметри: А= 6 378 245 m, a = 1/298,3.
2. Координатни системи в геодезията. Абсолютни и относителни височини.
Координатни системи, използвани в геодезията
За определяне на положението на точките в геодезията се използват пространствени правоъгълни, геодезични и плоски правоъгълни координати.
Пространствени правоъгълни координати. Началото на координатната система се намира в центъра Оземен елипсоид (фиг. 2.2).
ос Знасочена по оста на въртене на елипсоида на север. ос Xсе намира в пресечната точка на екваториалната равнина с главния меридиан на Гринуич. ос Yнасочени перпендикулярно на осите ЗИ Xна изток.
Геодезически координати. Геодезическите координати на една точка са нейната ширина, дължина и височина (фиг. 2.2).
Геодезическа ширина точкиМнаречен ъгъл IN, образувана от нормалата към повърхността на елипсоида, минаваща през дадена точка и екваториалната равнина.
Географската ширина се измерва от екватора на север и юг от 0 до 90 и се нарича север или юг. Северната ширина се счита за положителна, а южната за отрицателна.
Секционни равнини на елипсоид, минаващи през оста OZ, се наричат геодезически меридиани.
Геодезическа дължинаточки Мнаречен двустенен ъгъл Л, образувана от равнините на началния (Гринуич) геодезичен меридиан и геодезическия меридиан на дадена точка.
Географската дължина се измерва от началния меридиан в диапазона от 0 до 360 на изток или от 0 до 180 на изток (положителна) и от 0 до 180 на запад (отрицателна).
Височина на геодезическа точка Ме височината му Ннад повърхността на земния елипсоид.
Геодезическите координати и пространствените правоъгълни координати са свързани с формулите
X =(N+H) cos б cos Л, Y=(N+H) cos бгрях Л, Z=[(1 д 2 )N+H]грях б,
Къде дпървият ексцентрицитет на меридианната елипса и Н радиус на кривина на първия вертикал. В същото време Н= а/ (1д 2 грях 2 б) 1/2 . Геодезическите и пространствените правоъгълни координати на точките се определят чрез сателитни измервания, както и чрез свързването им с геодезически измервания към точки с известни координати. Обърнете внимание, че заедно с геодезичните има и астрономическа ширина и дължина. Астрономическа ширинатова е ъгълът, образуван от отвеса в дадена точка с равнината на екватора. Астрономическа дължина – ъгълът между равнините на Гринуичкия меридиан и астрономическия меридиан, преминаващ през отвеса в дадена точка. Астрономическите координати се определят на земята от астрономически наблюдения. Астрономическите координати се различават от геодезичните, тъй като посоките на отвесите не съвпадат с посоките на нормалите към повърхността на елипсоида. Ъгълът между направлението на нормалата към повърхността на елипсоида и отвеса в дадена точка от земната повърхност се нарича отклонение на отвеса.
Обобщение на геодезически и астрономически координати е терминът - географски координати.
Равнинни правоъгълни координати. За решаване на проблемите на инженерната геодезия те преминават от пространствени и геодезически координати към по-прости - плоски координати, които позволяват да се изобрази теренът на равнина и да се определи позицията на точките с помощта на две координати XИ при.
Тъй като изпъкналата повърхност на Земята не може да бъде изобразена на равнина без изкривяване, въвеждането на плоски координати е възможно само в ограничени области, където изкривяванията са толкова малки, че могат да бъдат пренебрегнати. В Русия е приета система от правоъгълни координати, чиято основа е равноъгълната напречна цилиндрична проекция на Гаус. Повърхността на елипсоида се изобразява върху равнина в части, наречени зони. Зоните са сферични триъгълници, ограничени от меридиани и простиращи се от северен полюсна юг (фиг. 2.3).
Размерът на зоната по дължина е 6. Централният меридиан на всяка зона се нарича аксиален меридиан. Зоните са номерирани от Гринуич на изток. Географска дължинааксиален меридиан
номер на зона N е равен на:
0 = 6 N 3 . Аксиалният меридиан на зоната и екваторът са изобразени на равнината с прави линии (фиг. 2.4). За абсцисната ос се приема аксиалният меридианх г. , а екваторът е зад ординатната ос ОТяхното пресичане (точка
) служи като начало на координатите за тази зона. Аксиалният меридиан на зоната и екваторът са изобразени на равнината с прави линии (фиг. 2.4). За абсцисната ос се приема аксиалният меридиан 0 = 0, гЗа да се избегнат отрицателни стойности на ординатата, се приемат координатите на пресичане X 0 = 500 km, което е еквивалентно на изместване на оста
500 км западно. гТака че по правоъгълните координати на една точка може да се прецени в коя зона се намира, до ординатата
номерът на координатната зона е зададен отляво. Нека, например, координатите на точкаА
Аксиалният меридиан на зоната и екваторът са изобразени на равнината с прави линии (фиг. 2.4). За абсцисната ос се приема аксиалният меридиан Нека, например, координатите на точка имат формата: г Нека, например, координатите на точка= 6 276 427 m,
= 12 428 566 m Нека, например, координатите на точкаТези координати показват, че точката гнамира се на разстояние 6276427 m от екватора, в западната част (
500 km) от 12-та координатна зона, на разстояние 500000 428566 = 71434 m от аксиалния меридиан. За пространствени правоъгълни, геодезически и плоски правоъгълни координати в Русия е приета единна координатна система SK-95, фиксирана на земята от точки на държавната геодезическа мрежа и изградена според сателитни и наземни измервания от 1995 г.
Височинни системи Височините в инженерната геодезия се изчисляват от една от нивата.Височина на точката
наричаме разстоянието по отвеса от точка до равна повърхност, взето като начало на изчисляване на височините.Височините са абсолютни, ако се измерват от повърхността на основното ниво, тоест от повърхността на геоида. На фиг. 2,5 сегмента отвесааа И Vv Нека, например, координатите на точкаИ IN.
- абсолютни височини на точкитеВисочините се наричат условни, ако се измерват от повърхността на основното ниво, тоест от повърхността на геоида. На фиг. 2,5 сегмента отвес ако някоя друга равна повърхност е избрана като начална точка за изчисляване на височини. На фиг. 2,5 сегмента отвес И И Нека, например, координатите на точкаИ IN.
- условни височини на точки Приет в РусияБалтийска височинна система. Абсолютните височини се изчисляват от равната повърхност.обикновено се наричат височини марка.Например, ако височината на точка Нека, например, координатите на точкаравно на з Нека, например, координатите на точка= 15,378 m, тогава казваме, че надморската височина на точката е 15,378 m.
Разликата във височините на две точки се нарича превишаване. И така, превишаване на точката INнад точката Нека, например, координатите на точкаравни
ч AB = з IN з А .
Познаване на височината на точка Нека, например, координатите на точка, за определяне на височината на точка INпревишението се измерва на място ч AB. Височина на точката INизчислено по формулата
з IN = з А + ч AB .
Измерване на височини и след това изчисляване на височините на точките се нарича изравняване.
Абсолютната височина на точка трябва да се разграничава от нейната геодезическивисочина, тоест височината, измерена от повърхността на земния елипсоид (вижте раздел 2.2). Геодезическата височина се различава от абсолютната височина по степента на отклонение на повърхността на геоида от повърхността на елипсоида.
§ 1. Фигура и размери на Земята
Многобройни изследвания и измервания са установили, че Земята има формата на математически неправилно тяло, наречено геоид. Повърхността, образуваща геоида, за разлика от физическата повърхност на Земята с нейните неравности (планини, падини и др.), е хоризонтална във всичките си точки, т.е. съвпада с нормалата към посоката на гравитацията и се определя като равна повърхност. В природата такава равнинна повърхност съвпада със средното водно ниво на океаните и откритите морета в спокойно състояние (при липса на вълни, течения, приливи и други смущаващи фактори), умствено разширено под всички континенти. Неравномерността на геоида се дължи на неравномерното разпределение на масите в дебелината на Земята, чието притегателно действие определя посоката на гравитацията.
Теоретичните изследвания и резултатите от обработката на астрономо-геодезически и гравиметрични измервания, както и резултатите от наблюдения на изкуствени спътници на Земята показват, че геоидът е близък до математически правилна фигура - елипсоид на въртене, образуван от въртенето на елипса около неговата малка ос. Следователно, когато се извършват геодезически, картографски и други работи, които изискват висока точност, елипсоидът на въртене се приема като фигура на Земята.
Отклонението на височината на повърхността на геоида от повърхността на земния елипсоид, приет в СССР и правилно подбран по размер и ориентиран в тялото на Земята, практически не надвишава 100-150 m идентифициран със сфероид, представляващ равновесната фигура на въртяща се хомогенна течна маса. Отклонението във височината на повърхностите на елипсоида на въртене и сфероида не надвишава 2-3 m.
Определянето на размерите на земния елипсоид, който има най-голяма близост до фигурата на Земята като цяло, продължава да бъде една от основните задачи на висшата геодезия. Ето защо в различните страни обработката на резултатите от геодезическа и топографска работа се нарича спомагателна математическа повърхност, представляваща земен елипсоид с размери, приети за дадена страна. Елипсоид с определени размери, към чиято повърхност се отнасят всички резултати от геодезическа и топографска работа в държавата, се нарича референтен елипсоид.
Основните елементи, които определят размерите на земния елипсоид са неговите полуоси: голяма а и малка b. В допълнение, за характеризиране на земния елипсоид, както и за някои изчисления, се използват следните понятия: полярна компресия α на земния елипсоид, изразена с формулата
α = a - b / a, (1 формула)
и неговият ексцентрицитет (e), определен от израза
e = √ a 2 - b 2 / a (втора формула)
От 1946 г. за всички геодезически и картографски работи на територията на СССР е приет референтният елипсоид на Ф. Н. Красовски с размери:
- голяма полуос a = 6 378 245 m;
- малка полуос b = 6 356 863 m;
- полярна компресия α = 1:298,3;
- квадрат на ексцентрицитета e 2 =1:149,15.
При извеждането на размерите на референтния елипсоид група учени, геодезисти, топографи и калкулатори под ръководството на проф. F.N. подобна работа, извършена в други страни. Размерите на референтния елипсоид на Красовски се потвърждават и от резултатите от обработката на наблюдения на изкуствени спътници на Земята, направени през последните години.
Ориентацията на земния елипсоид в тялото на Земята със съответните размери на полуосите и компресията се характеризира с така наречените оригинални геодезични дати. Първоначалните геодезични дати са координатите на началната точка на триангулация, които определят нейната ширина B 0, дължина L 0, азимут A 0 към всяка съседна точка и височина h 0 на повърхността на геоида спрямо повърхността на референтния елипсоид.
Тези дати се приемат като начални при изчисляването на координатите на всички останали точки от земната повърхност.
При използванечужди. Когато използвате карти, трябва да се помни, че различните страни имат различни референтни геодезични дати. Следователно едни и същи точки на карти, публикувани в различни страни, могат да имат различни координати. Въпреки че тази разлика може да е малка, тя трябва да се вземе предвид при навигацията и прехвърлянето на позицията на кораба от една карта на друга, когато плава близо до брега, трябва да се извършва не според географските координати, а според посоката и разстоянието до най-близката опорна точка, разположена на двете карти.
Вземането на Земята като елипсоид на революцията е по същество второ приближение при определяне на фигурата на Земята. При решаването на някои задачи на практическата навигация, които не изискват висока точност, се оказва възможно да се ограничим до първото приближение при определяне на формата на Земята - да приемем Земята като сфера. Такива задачи включват изчисления на обхвата на видимост на забележителностите в морето, изчисления за плаване по най-краткото разстояние, аналитични изчисления при определяне на местоположение с помощта на радио пеленги, изчисления с помощта на аналитични формули за мъртво изчисление и някои други.
За да определят радиуса на Земята - топка, те обикновено започват от някои допълнителни условия.
Едно от тях е условието дължината на една минута от дъгата на меридиана (или всеки голям кръг върху топката) да бъде равна на 1852 m, т.е. дължината на стандартна морска миля. В този случай радиусът на топката, която отговаря на посоченото условие, ще бъде равен на
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6 366 707 m.
При решаването на редица задачи от картографията се поставя условието обемът на земното кълбо да е равен на обема на земния елипсоид или повърхността на сферата да е равна на повърхността на елипсоида. Дължината на радиуса R на топка със същия обем като земния елипсоид е равна на
R = кубичен корен √ (a 2 * b) = 6371109,7 m.
Ако е зададено условието, че повърхността на топката е равна на повърхността на елипсоида, тогава радиусът на такава топка се приема равен на 
където M е радиусът на кривината на меридиана; N е радиусът на кривината на първия вертикал в дадена точка.
§ 2. Географска координатна система
Позицията на точка върху всяка повърхност или в пространството се определя от набор от специфични величини, наречени координати. Координатите могат да бъдат изразени в линейни или ъглови мерки; те определят положението на координатните линии спрямо координатните оси, взети за начало. За да се определи положението на точките на земната повърхност, те могат да се използват различни системикоординати: географски, правоъгълни, полярни и др. Най-често използваната система е географската координатна система.
Малката ос на елипсоида пресича повърхността на последния в две точки, които се наричат северни и южните полюси. Равнините, преминаващи през оста на въртене на Земята, се наричат равнини на земните меридиани, които в напречно сечение с повърхността на Земята образуват големи кръгове, наречени меридиани. Равнината, перпендикулярна на земната ос и минаваща през центъра на елипсоида, се нарича екваториална равнина. Големият кръг, образуван от пресичането на тази равнина с повърхността на елипсоида, се нарича земен екватор. Равнините, успоредни на равнината на земния екватор, в напречно сечение с повърхността на Земята образуват малки кръгове, наречени земни паралели. 
Координатните оси на географската координатна система са: екваторът и един от меридианите, взети за начален; координатните линии са земни паралели и меридиани и величини, които определят позицията на точките, т.е. координати, географска ширина и географска дължина.
Географската ширина на точка от земната повърхност е ъгълът между нормалата към повърхността на елипсоида в тази точка и равнината на екватора. Географската ширина в навигацията се обозначава с гръцката буква φ (фи). Географските ширини се броят от екватора до полюсите от 0 до 90°. Ширините на северното полукълбо се считат за положителни и при аналитичните изчисления се вземат със знак плюс. Северните ширини са обозначени с буквата N. Точкови ширини южното полукълбо, обозначени с буквата S, се считат за отрицателни и им се поставя знак минус.
Географската ширина определя позицията на паралела, на който се намира определената точка.
Географската дължина на дадена точка е двустенният ъгъл, образуван от равнината на началния меридиан и равнината на меридиана, минаваща през тази точка. Двустенният ъгъл се измерва чрез сферичния ъгъл при полюса между началния меридиан и меридиана на определяната точка или числено равната му екваториална дъга, затворена между посочените меридиани.
По принцип всеки земен меридиан може да се приеме за начален меридиан. Според международното споразумение от 1884 г. повечето страни по света, в т.ч съветски съюз, за начален меридиан се приема меридианът, минаващ през обсерваторията Гринуич, разположена близо до Лондон.
Географските дължини се броят на изток и на запад от Гринуичкия меридиан от 0 до 180°. Географска дължинав навигацията се означава с гръцката буква λ (ламбда). Дължините на точките, разположени в източното полукълбо, се считат за положителни (знак плюс), западните дължини се считат за отрицателни (знак минус). Когато определяте дължината на определена точка на земната повърхност, не забравяйте да посочите нейното име: източна - Ost или, както е обичайно, E, западна - W. В зависимост от метода за изчисляване на географските координати, геодезическите и астрономическите координати са отличен.
IN геометрична дефинициягеодезически координати, които се получават в резултат на геодезически измервания (триангулация, полигонометрия), няма разлика с общата формулировка на географските координати. Местоположението на точките, фиксирани от геодезическата ширина и геодезическа дължина, също се отнася до математически правилна фигура-елипсоид на въртене.
При определяне на местоположение с астрономически методи, наблюдателят има работа с отвес, който съвпада с посоката на гравитацията, а не с нормалата към повърхността на елипсоида. Следователно в астрономическата координатна система географската ширина се определя като ъгъл между екваториалната равнина и посоката на отвеса в дадена точка. Географската дължина на място, определена астрономически, е двустенният ъгъл между равнината на началния меридиан (меридиан на Гринуич) и равнината на астрономическия меридиан на дадена точка. Използваният термин - астрономически меридиан - трябва да се разбира като следа от сечението на земната повърхност от равнина, минаваща през отвес в дадена точка и успоредна на оста на света. От дефиницията на астрономическите координати става ясно, че за разлика от геодезичните координати, те фиксират позицията на точките спрямо повърхността на действителната фигура на земния геоид. 
Нормалата към повърхността на земния елипсоид в общия случай не минава през центъра на земята. В същото време при решаването на астрономически задачи, както и на редица специални проблеми на математическата картография, става необходимо да се определи положението на точките на земната повърхност спрямо центъра на Земята. В този случай дължината на произволна точка K ще бъде определена по същия начин, както в географската координатна система, а ширината ще бъде получена като ъгъл между екваториалната равнина и правата линия, свързваща тази точка с центъра на елипсоид. Тази ширина се нарича геоцентрична ширина и се обозначава с φ". Фигурата показва, че геоцентричната ширина обикновено е по-малка от географската ширина чрез намаляване на r на ширината, което може да се изчисли с помощта на формулата
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / дъга 1"" (3 формула)
За точки, разположени на екватора и на полюса, намалението на географската ширина е нула. Намалението достига най-голямата си стойност (11,5") на ширина 45°.
В случаите, когато формата на Земята се приема като сфера, позицията на точките на сферичната Земя се определя по същия начин, както на повърхността на елипсоид, чрез техните географски координати, т.е. географска ширина и дължина. Но нормалата върху земната топка съвпада с нейния радиус. 
Следователно географската ширина φ на определена точка M на глобусще бъде ъгълът в центъра на сферата между екваториалната равнина и радиуса, минаващ през определената точка. От сравнение на дефинициите за географска ширина става ясно, че геоцентричната ширина е само специален случай на сферична ширина.
Глава 1
§ 3. Разлика на географските ширини и разлика на дължините
Географските координати - географска ширина и дължина - еднозначно определят положението на конкретна точка от земната повърхност. Преходът от една точка на земната повърхност към друга е съпроводен с промяна на техните географски координати. Точките, лежащи на един и същ паралел, имат еднаква географска ширина и различни дължини. Точките, разположени на един и същ меридиан, имат еднаква дължина и различни географски ширини. Като цяло две точки, които не са на един и същ меридиан или паралел, имат различни географски ширини и различни дължини. В практиката на навигацията често е необходимо да се знае как географските координати са се променили или ще се променят при преместване от една точка на земната повърхност в друга и да можете да изчислите тези промени. Величините, които характеризират промяната в географските координати при преминаване от една точка на земната повърхност към друга, са разликата в географската ширина и разликата в дължината.
Разликата в географската ширина (DL) на две точки на земната повърхност е меридианната дъга, затворена между паралелите на тези точки.
За да изчислите разликата в географската ширина, използвайте формулата
РШ = φ 2 - φ 1,
като се вземат предвид знаците + и - според името им. Всъщност фигурата показва, че промяната в географската ширина (RL), когато корабът се движи от точка А до точка Б, се характеризира с дъга A "B, числено равна на разликата в дъгите на меридианите на точките на пристигане B и точките на заминаване A , определени съответно от географските ширини φ B и φ A.
Разликата в географската ширина, изчислена с помощта на формула (4), получава знак плюс, ако е към N, и знак минус, ако разликата в географската ширина е към S. Разликата в географската ширина може да варира от 0 до ±180°.
Разликата в географската дължина (LD), която характеризира промяната в географската дължина, както се вижда от фигурата, е централният ъгъл между меридианите на две точки. Този ъгъл се измерва от дъгата на екватора между посочените меридиани. Въз основа на това разликата в дължината на две точки на повърхността на Земята се нарича по-малката от дъгите на екватора, затворени между меридианите на тези точки. От това определение следва, че разликата в географската дължина може да има стойности от 0 до ±180 °. Като вземем предвид приетите по-рано обозначения (за източна дължина има знак плюс, а за западна дължина има знак минус), можем да напишем формула за изчисляване на пътеката за рулиране от две точки:
RD = λ 2 - λ 1
Разликата в географската дължина ще има знак плюс, ако е направена към Ost, и знак минус, ако е направена към W. Посоченото правило има следното геометрично значение: ако меридианът на точката на пристигане λ 2 е разположен на изток от меридиана на началната точка λ 1, тогава разликата в дължината се прави до Ost и й се присвоява знак плюс. Обратно, когато меридианът на точката на пристигане е разположен на запад от меридиана на точката на заминаване, разликата в географската дължина се прави на W и й се присвоява знак минус.
Когато решавате задачата за изчисляване на пътеката за рулиране по формулата, можете да получите резултат над 180 °. В тези случаи, за да се намери по-малката от дъгите на екватора, полученият резултат трябва да се извади от 360° и неговият знак (име) трябва да се обърне.
Известно е, че Земята е сферична, т.е. няма формата на перфектна сфера. Фигурата му е неправилна и като всяко въртящо се тяло е леко сплесната в полюсите. Освен това, поради неравномерното разпределение на масите земна материяи глобалните тектонични деформации на Земята имат обширни, макар и доста леки, изпъкнали и вдлъбнатини. Сложната фигура на нашата планета, ограничена от равната повърхност на океана, се нарича геоид. Почти невъзможно е точно да се определи формата му, но съвременните измервания с висока точност от сателити позволяват да се получи доста добра представа за него и дори да се опише с уравнение.
Най-доброто геометрично приближение до реалната фигура на Земята се осигурява от елипсоид на въртене - геометрично тяло, което се образува чрез въртене на елипса около малката й ос. Компресията на елипсоида симулира компресията на планетата при полюсите. Фигурата показва как меридионалните сечения на геоида и земния елипсоид не съвпадат.
Изчисляването и усъвършенстването на размерите на земния елипсоид, започнало през 18 век, продължава и до днес. Сега за това се използват сателитни наблюдения и прецизни гравиметрични измервания. Това не е лесна задача: трябва да изчислите геометрично правилна фигура - референтен елипсоид, който е най-приближен до геоида и спрямо който ще се извършват всички геодезически изчисления и ще се изчисляват картографски проекции. Много изследователи, използвайки различни изходни данни и изчислителни методи, получават различни резултати. Следователно исторически се е случило, че в различни временаи в различни страни бяха приети и законодателно определени различни елипсоиди и техните параметри не съвпадат един с друг.
В Русия е приет референтният елипсоид на Ф.Н.Красовски, изчислен през 1940 г. Неговите параметри са както следва:
голяма полуос (а) - 6 378 245 m;
малка полуос (b) - 6 356 863 m;
компресия a = (a - b)/a- 1: 298.3.
В САЩ и Канада доскоро използваха елипсоида на Кларк, изчислен през 1866 г.; неговата голяма полуос е с 39 m по-къса от тази на руския елипсоид, а компресията е определена на 1:295,0. В много страни Западна Европаи някои азиатски страни възприеха елипсоида на Хейфорд, изчислен през 1909 г., а в предишния английски колонии- в Индия и страните от Южна Азия използват елипсоида на Еверест, изчислен от британците през 1830 г. През 1984 г. въз основа на сателитни измервания е изчислен международният елипсоид WGS-84 (Световна геодезическа система). Общо в света има около една и половина дузина различни елипсоиди.
Картите, съставени на базата на различни елипсоиди, се получават в малко по-различни координатни системи, което създава неудобство. Въпреки това, за да се приеме единен международен елипсоид, е необходимо да се преизчислят координатите и да се компилират отново всички карти, а това е дълга, сложна и най-важното скъпа задача.
Несъответствията се забелязват главно на мащабни карти при определяне на точните координати на обекти от тях. Но на средно- и дребномащабни карти, широко използвани от географите, подобни разлики не са много чувствителни. Освен това понякога вместо елипсоид те вземат сфера и след това приемат стойността R = 6367,6 km като среден радиус на Земята. Грешките при замяна на елипсоид с топка се оказват толкова малки, че не се появяват по никакъв начин на повечето географски карти.