Регресионният анализ е статистически метод за изследване на зависимостта на случайна променлива от променливи. Основи на анализа на данни Регресионна зависимост

6. Основният показател, отразяващ качеството на регресионния анализ е коефициент на детерминация (R 2).

Коефициент на определянепоказва каква част от зависимата променлива " при" се взема предвид в анализа и се дължи на влиянието върху него на факторите, включени в анализа.

Коефициент на определяне (R 2)приема стойности в интервала. Регресионното уравнение е качествено, ако R 2 ≥0,8.

Коефициентът на детерминация е равен на квадрата на корелационния коефициент, т.е.

Пример 6.1.Въз основа на следните данни съставете и анализирайте регресионно уравнение:

Решение.

1) Изчислете коефициента на корелация: . Отношенията между знаците са директни и умерени.

2) Конструирайте сдвоено уравнение на линейна регресия.

2.1) Създайте таблица за изчисление.

,

Сдвоено уравнение на линейна регресия: y x =25,17+0,087x.

3) Намерете теоретичните стойности " y x" чрез заместване на действителните стойности в регресионното уравнение " х».

4) Изградете графики на действителните " y"и теоретични стойности" y x"ефективна характеристика (Фигура 6.1): r xy =0,47) и малък брой наблюдения.

7) Изчислете коефициента на детерминация: R 2=(0,47) 2 =0,22. Построеното уравнение е с лошо качество.

защото изчисленията при извършване на регресионен анализ са доста обширни; препоръчва се използването на специални програми (Statistica 10, SPSS и др.).

Фигура 6.2 показва таблица с резултатите от регресионния анализ, извършен с помощта на програмата Statistica 10.

Фигура 6.2. Резултати от регресионен анализ, извършен с помощта на програмата Statistica 10

5. Литература:

1. Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика: Учебник. ръководство за университети / V.E. Гмурман. - М.: Висше училище, 2003. - 479 с.

2. Койчубеков Б.К. Биостатистика: Учебник. - Алмати: Evero, 2014. - 154 с.

3. Лобоцкая Н.Л. Висша математика. / Н.Л. Лобоцкая, Ю.В. Морозов, А.А. Дунаев. - Мн.: Висше училище, 1987. - 319 с.

4. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицината и биологията: Ръководство. В 2 тома / Ред. Ю.М. Комарова. Т. 1. Теоретична статистика. - М.: Медицина, 2000. - 412 с.

5. Приложение на методите за статистически анализ за изследване на общественото здраве и здравеопазването: учебник / изд. Кучеренко В.З. - 4-то изд., преработено. и допълнителни – М.: GEOTAR - Media, 2011. - 256 с.

В резултат на изучаването на материала в глава 4 студентът трябва:

зная

• основни понятия на регресионния анализ;
• методи за оценка и свойства на оценките на най-малките квадрати;
• основни правила за тестване на значимост и интервална оценка на уравнения и регресионни коефициенти;

да бъде в състояние да

• използват примерни данни, за да намерят оценки на параметрите на модели с двумерни и множествени регресионни уравнения и да анализират техните свойства;
• проверка на значимостта на уравнението и коефициентите на регресия;
• намиране на интервални оценки на значими параметри;

собствен

• умения за статистическа оценка на параметри на двумерни и множествени регресионни уравнения; умения за проверка на адекватността на регресионни модели;
• умения за получаване на регресионно уравнение с всички значими коефициенти с помощта на аналитичен софтуер.

Основни понятия

След извършване на корелационен анализ, когато се установи наличието на статистически значими връзки между променливите и се оцени степента на тяхната близост, обикновено се пристъпва към математическо описание на типа зависимости с помощта на методи за регресионен анализ. За целта се избира клас функции, които свързват ефективния показател прии аргументи„ изчисляват оценки на параметрите на уравнението за свързване и анализират точността на полученото уравнение.

Функция|, описваща зависимостта на условната средна стойност от резултантната характеристика приот дадените стойности на аргумента се извиква регресионно уравнение.

Терминът "регресия" (от лат. регресия –отстъпление, връщане към нещо) е въведено от английския психолог и антрополог Ф. Галтън и се свързва с един от първите му примери, в който Галтън, обработвайки статистически данни, свързани с въпроса за наследствеността на височината, установява, че ако височината на бащите се отклонява от средната височина на всички бащи хинча, тогава височината на техните синове се отклонява от средната височина на всички синове с по-малко от хинча. Установената тенденция беше наречена регресия към средната стойност.

Терминът "регресия" е широко използван в статистическата литература, въпреки че в много случаи той не характеризира точно статистическата връзка.

За точното описание на регресионното уравнение е необходимо да се знае условният закон на разпределение на ефективния показател u.В статистическата практика обикновено не е възможно да се получи такава информация, така че те се ограничават до търсене на подходящи приближения за функцията f(x u х 2,... l*), въз основа на предварителен съдържателен анализ на явлението или на първоначални статистически данни.

В рамките на индивидуалните допускания на модела за вида на разпределението на вектора на индикаторите<) может быть получен общий вид регресионни уравнения, Където. Например, при предположението, че наборът от изследвани индикатори се подчинява на ()-мерния закон за нормално разпределение с вектор на математическите очаквания

Къде и ковариационната матрица,

къде е дисперсията y,

Регресионното уравнение (условно математическо очакване) има формата

Така, ако многовариантна случайна променлива ()

се подчинява на ()-мерния закон за нормално разпределение, след това на регресионното уравнение на ефективния индикатор прив обяснителните променливи е линейна хизглед.

В статистическата практика обаче човек обикновено трябва да се ограничи до намирането на подходящи приближения за неизвестната истинска регресионна функция f(x),тъй като изследователят няма точни познания за условния закон за разпределение на вероятностите на анализирания показател за ефективност приза дадени стойности на аргумент Х.

Нека да разгледаме връзката между истинските, моделните и регресионните оценки. Нека ефективният индикатор присвързани с аргумента хсъотношение

където е случайна променлива, която има нормален закон на разпределение, и и. Истинската регресионна функция в този случай има формата

Да предположим, че точната форма на истинското регресионно уравнение не ни е известна, но имаме девет наблюдения на двуизмерна случайна променлива, свързана с отношенията, представени на фиг. 4.1.

Ориз. 4.1. Относителното положение на истинатаf(x) и теоретиченопарегресионни модели

Разположението на точките на фиг. 4.1 ни позволява да се ограничим до класа на линейните зависимости на формата

Използвайки метода на най-малките квадрати, намираме оценката на регресионното уравнение.

За сравнение, на фиг. 4.1 показва графики на истинската регресионна функция и теоретичната апроксимираща регресионна функция. Оценката на регресионното уравнение се сближава с последното по вероятност опас неограничено увеличение на размера на извадката ().

Тъй като погрешно избрахме линейна регресионна функция вместо истинска регресионна функция, което, за съжаление, е доста често срещано в практиката на статистическите изследвания, нашите статистически заключения и оценки няма да имат свойството последователност, т.е. Без значение как увеличаваме броя на наблюденията, нашата примерна оценка няма да се сближи с истинската регресионна функция

Ако сме избрали правилно класа на регресионните функции, тогава неточността в описанието използва опаби се обяснило само с ограничената извадка и следователно може да бъде направено толкова малко, колкото желаете

За да се възстанови най-добре условната стойност на показателя за ефективност и неизвестната регресионна функция от първоначалните статистически данни, най-често се използват следните: критерии за адекватностфункции на загуба.

1. Метод на най-малките квадрати,според който квадратът на отклонението на наблюдаваните стойности на ефективния индикатор, , от стойностите на модела е сведен до минимум, където коефициентите на регресионното уравнение; са стойностите на вектора на аргументите в „-M наблюдение:

Проблемът за намиране на оценка на вектора е решен. Получената регресия се нарича среден квадрат.

2. Метод на най-малкото модули, според който сумата от абсолютните отклонения на наблюдаваните стойности на ефективния показател от модулните стойности е минимизирана, т.е.

Получената регресия се нарича означава абсолютно(Медиана).

3. Минимаксен методсе свежда до минимизиране на максималния модул на отклонение на наблюдаваната стойност на ефективния показател y,от стойността на модела, т.е.

Получената регресия се нарича минимакс.

В практическите приложения често има проблеми, при които се изучава случайна променлива y,в зависимост от определен набор от променливи и неизвестни параметри. Ще разгледаме () като (k + 1)-мерна генерална съвкупност, от която произволна извадка от П,където () е резултатът от i-тото наблюдение. Необходимо е да се оценят неизвестни параметри въз основа на резултатите от наблюденията. Задачата, описана по-горе, се отнася до проблеми с регресионен анализ.

Регресионен анализ се нарича метод за статистически анализ на зависимостта на случайна величина привърху променливи, разглеждани в регресионния анализ като неслучайни стойности, независимо от истинския закон на разпределение

По време на обучението си студентите много често се сблъскват с различни уравнения. Едно от тях - регресионното уравнение - е разгледано в тази статия. Този тип уравнение се използва специално за описание на характеристиките на връзката между математическите параметри. Този тип равенство се използва в статистиката и иконометрията.

Определение за регресия

В математиката регресията означава определено количество, което описва зависимостта на средната стойност на набор от данни от стойностите на друго количество. Регресионното уравнение показва, като функция на определена характеристика, средната стойност на друга характеристика. Регресионната функция има формата на просто уравнение y = x, в което y действа като зависима променлива, а x като независима променлива (фактор на характеристиките). Всъщност регресията се изразява като y = f (x).

Какви са видовете връзки между променливите?

Като цяло има два противоположни типа връзки: корелация и регресия.

Първият се характеризира с равенството на условните променливи. В този случай не е надеждно известно коя променлива зависи от другата.

Ако няма равенство между променливите и условията казват коя променлива е обяснителна и коя е зависима, тогава можем да говорим за наличие на връзка от втори тип. За да се състави уравнение на линейна регресия, ще е необходимо да се установи какъв тип връзка се наблюдава.

Видове регресии

Днес има 7 различни вида регресия: хиперболична, линейна, множествена, нелинейна, двойна, обратна, логаритмично линейна.

Хиперболични, линейни и логаритмични

Уравнението на линейната регресия се използва в статистиката за ясно обяснение на параметрите на уравнението. Изглежда като y = c+t*x+E. Хиперболичното уравнение има формата на правилна хипербола y = c + m / x + E. Логаритмично линейно уравнение изразява връзката с помощта на логаритмична функция: In y = In c + m * In x + In E.

Множествени и нелинейни

Двата по-сложни типа регресия са множествена и нелинейна. Уравнението на множествената регресия се изразява чрез функцията y = f(x 1, x 2 ... x c) + E. В тази ситуация y действа като зависима променлива, а x действа като обяснителна променлива. Променливата E е стохастична; тя включва влиянието на други фактори в уравнението. Уравнението на нелинейната регресия е малко противоречиво. От една страна, по отношение на взетите под внимание показатели, тя не е линейна, но от друга страна, в ролята на оценяващи показатели, е линейна.

Обратни и сдвоени видове регресии

Обратната е вид функция, която трябва да бъде преобразувана в линейна форма. В най-традиционните приложни програми той има формата на функция y = 1/c + m*x+E. Уравнение за регресия по двойки показва връзката между данните като функция на y = f (x) + E. Точно както в други уравнения, y зависи от x, а E е стохастичен параметър.

Понятие за корелация

Това е индикатор, показващ наличието на връзка между две явления или процеси. Силата на връзката се изразява като корелационен коефициент. Стойността му варира в интервала [-1;+1]. Отрицателен индикатор показва наличието на обратна връзка, положителен индикатор показва директна обратна връзка. Ако коефициентът приеме стойност, равна на 0, тогава няма връзка. Колкото по-близо е стойността до 1, толкова по-силна е връзката между параметрите; колкото по-близо до 0, толкова по-слаба е тя.

Методи

Корелационните параметрични методи могат да оценят силата на връзката. Те се използват на базата на оценка на разпределението за изследване на параметри, които се подчиняват на закона за нормалното разпределение.

Параметрите на уравнението на линейната регресия са необходими за идентифициране на вида на зависимостта, функцията на уравнението на регресията и оценка на показателите на избраната формула за връзка. Корелационното поле се използва като метод за идентифициране на връзката. За да направите това, всички съществуващи данни трябва да бъдат изобразени графично. Всички известни данни трябва да бъдат нанесени в правоъгълна двумерна координатна система. Така се образува корелационно поле. Стойностите на описващия фактор са отбелязани по абсцисната ос, докато стойностите на зависимия фактор са отбелязани по ординатната ос. Ако има функционална връзка между параметрите, те се подреждат под формата на линия.

Ако коефициентът на корелация на такива данни е по-малък от 30%, можем да говорим за почти пълна липса на връзка. Ако е между 30% и 70%, това показва наличието на средно-тесни връзки. 100% индикатор е доказателство за функционална връзка.

Нелинейното регресионно уравнение, също като линейното, трябва да бъде допълнено с корелационен индекс (R).

Корелация за множествена регресия

Коефициентът на детерминация е показател на квадрата на множествената корелация. Той говори за тясната връзка на представения набор от показатели с изследваната характеристика. Може да се говори и за естеството на влиянието на параметрите върху резултата. Уравнението на множествената регресия се оценява с помощта на този показател.

За да се изчисли индикаторът за множествена корелация, е необходимо да се изчисли неговият индекс.

Метод на най-малките квадрати

Този метод е начин за оценка на регресионните фактори. Същността му е да се минимизира сумата от квадратите на отклоненията, получени в резултат на зависимостта на фактора от функцията.

Уравнение на двойна линейна регресия може да бъде изчислено с помощта на такъв метод. Този тип уравнения се използват, когато се открие сдвоена линейна връзка между индикатори.

Параметри на уравнението

Всеки параметър на линейната регресионна функция има специфично значение. Уравнението на сдвоената линейна регресия съдържа два параметъра: c и m. Параметърът m показва средната промяна в крайния показател на функцията y, при условие че променливата x намалява (увеличава) с една условна единица. Ако променливата x е нула, тогава функцията е равна на параметъра c. Ако променливата x не е нула, тогава факторът c няма икономическо значение. Единственото влияние върху функцията е знакът пред фактора c. Ако има минус, тогава можем да кажем, че промяната в резултата е бавна в сравнение с фактора. Ако има плюс, това означава ускорена промяна в резултата.

Всеки параметър, който променя стойността на регресионното уравнение, може да бъде изразен чрез уравнение. Например фактор c има формата c = y - mx.

Групирани данни

Има условия на задачата, при които цялата информация е групирана по атрибут x, но за определена група са посочени съответните средни стойности на зависимия индикатор. В този случай средните стойности характеризират как се променя индикаторът в зависимост от x. По този начин групираната информация помага да се намери регресионното уравнение. Използва се като анализ на взаимоотношенията. Този метод обаче има своите недостатъци. За съжаление средните показатели често са подложени на външни колебания. Тези колебания не отразяват модела на връзката; те просто маскират нейния „шум“. Средните стойности показват модели на връзка много по-лоши от уравнение на линейна регресия. Те обаче могат да се използват като основа за намиране на уравнение. Чрез умножаване на броя на отделна популация по съответната средна стойност, може да се получи сумата y в рамките на групата. След това трябва да съберете всички получени суми и да намерите крайния индикатор y. Малко по-трудно е да се правят изчисления с индикатора за сума xy. Ако интервалите са малки, можем условно да приемем, че показателят x за всички единици (в групата) е еднакъв. Трябва да го умножите по сумата от y, за да намерите сумата от произведенията на x и y. След това всички суми се събират заедно и се получава общата сума xy.

Уравнение за множествена регресия по двойки: оценка на важността на връзката

Както беше обсъдено по-рано, множествената регресия има функция от формата y = f (x 1,x 2,…,x m)+E. Най-често такова уравнение се използва за решаване на проблема с търсенето и предлагането на даден продукт, доходите от лихви върху обратно изкупени акции и за изследване на причините и вида на функцията на производствените разходи. Също така се използва активно в голямо разнообразие от макроикономически изследвания и изчисления, но на ниво микроикономика това уравнение се използва малко по-рядко.

Основната задача на множествената регресия е да се изгради модел от данни, съдържащ огромно количество информация, за да се определи допълнително какво влияние има всеки от факторите поотделно и в тяхната съвкупност върху показателя, който трябва да се моделира и неговите коефициенти. Регресионното уравнение може да приема голямо разнообразие от стойности. В този случай за оценка на връзката обикновено се използват два вида функции: линейни и нелинейни.

Линейната функция е изобразена под формата на следната зависимост: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m. В този случай a2, a m се считат за „чисти“ регресионни коефициенти. Те са необходими за характеризиране на средната промяна на параметъра y с промяна (намаляване или увеличаване) на всеки съответен параметър x с една единица, при условие на стабилни стойности на други показатели.

Нелинейните уравнения имат например формата на степенна функция y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm. В този случай показателите b 1, b 2 ..... b m се наричат ​​коефициенти на еластичност, те показват как ще се промени резултатът (с колко%) с увеличение (намаляване) на съответния показател x с 1% и със стабилен показател на други фактори.

Какви фактори трябва да се вземат предвид при конструирането на множествена регресия

За да се изгради правилно множествената регресия, е необходимо да се установи на кои фактори трябва да се обърне специално внимание.

Необходимо е да има известно разбиране за естеството на връзките между икономическите фактори и това, което се моделира. Факторите, които ще трябва да бъдат включени, трябва да отговарят на следните критерии:

• Трябва да се подложи на количествено измерване. За да се използва фактор, който описва качеството на даден обект, във всеки случай трябва да му се даде количествена форма.
• Не трябва да има взаимовръзка на факторите или функционална връзка. Такива действия най-често водят до необратими последици - системата от обикновени уравнения става безусловна и това води до нейната ненадеждност и неясни оценки.
• В случай на огромен индикатор за корелация, няма начин да се установи изолираното влияние на факторите върху крайния резултат на индикатора, следователно коефициентите стават неинтерпретируеми.

Методи на изграждане

Има огромен брой методи и методи, които обясняват как можете да изберете фактори за уравнение. Всички тези методи обаче се основават на избора на коефициенти с помощта на корелационен индикатор. Сред тях са:

• Метод на елиминиране.
• Метод на превключване.
• Поетапен регресионен анализ.

Първият метод включва филтриране на всички коефициенти от общия набор. Вторият метод включва въвеждането на много допълнителни фактори. Е, третото е елиминирането на факторите, които преди са били използвани за уравнението. Всеки от тези методи има право на съществуване. Те имат своите плюсове и минуси, но всички те могат да решат проблема с премахването на ненужните индикатори по свой начин. По правило резултатите, получени от всеки отделен метод, са доста близки.

Методи за многомерен анализ

Такива методи за определяне на фактори се основават на разглеждане на индивидуални комбинации от взаимосвързани характеристики. Те включват дискриминантен анализ, разпознаване на формата, анализ на главните компоненти и клъстерен анализ. Освен това има и факторен анализ, но той се появи поради развитието на компонентния метод. Всички те се прилагат при определени обстоятелства, при определени условия и фактори.

Регресионен анализметод за моделиране на измерените данни и изследване на техните свойства. Данните се състоят от двойки стойности зависима променлива(променлива на отговора) и независима променлива(обяснителна променлива). Регресионният модел е функция на независимата променлива и параметри с добавена случайна променлива. Параметрите на модела се настройват така, че моделът да отговаря най-добре на данните. Критерият за качеството на приближението (обективна функция) обикновено е средната квадратична грешка: сумата от квадратите на разликата между стойностите на модела и зависимата променлива за всички стойности на независимата променлива като аргумент. Клон на регресионния анализ на математическата статистика и машинното обучение. Предполага се, че зависимата променлива е сумата от стойностите на някакъв модел и случайна променлива. Правят се предположения относно естеството на разпределението на това количество, наречено хипотеза за генериране на данни. Статистически тестове, наречени остатъчни анализи, се извършват, за да потвърдят или опровергаят тази хипотеза. Предполага се, че независимата променлива не съдържа грешки. Регресионният анализ се използва за прогнозиране, анализ на времеви редове, тестване на хипотези и идентифициране на скрити връзки в данните.

Определение за регресионен анализ

Извадката може да не е функция, а релация. Например данните за изграждане на регресия могат да бъдат така: . В такава извадка една стойност на променлива съответства на няколко стойности на променлива.

Линейна регресия

Линейната регресия предполага, че функцията зависи линейно от параметрите. В този случай не е необходима линейна зависимост от свободната променлива,

В случая, когато функцията на линейната регресия има формата

тук са компонентите на вектора.

Стойностите на параметрите в случай на линейна регресия се намират с помощта на метода на най-малките квадрати. Използването на този метод е оправдано от предположението за Гаусово разпределение на случайната променлива.

Разликите между действителните стойности на зависимата променлива и реконструираните се наричат регресионни остатъци(остатъци). В литературата се използват и синоними: остатъциИ грешки. Една от важните оценки на критерия за качество на получената зависимост е сумата от квадратите на остатъците:

Тук сума на квадратите на грешките.

Дисперсията на остатъците се изчислява по формулата

Тук средна квадратична грешка, средна квадратична грешка.

Графиките показват проби, обозначени със сини точки, и регресионни връзки, обозначени с плътни линии. Свободната променлива се нанася по абсцисната ос, а зависимата променлива се нанася по ординатната ос. И трите зависимости са линейни по отношение на параметрите.

Нелинейна регресия

Нелинейни регресионни модели – модели на формата

което не може да бъде представено като скаларно произведение

където са параметрите на регресионния модел, е свободна променлива от пространството, е зависима променлива, е случайна променлива и е функция от някакъв даден набор.

Стойностите на параметрите в случай на нелинейна регресия се намират с помощта на един от методите за градиентно спускане, например алгоритъма Levenberg-Marquardt.

Относно условията

Терминът "регресия" е въведен от Франсис Галтън в края на 19 век. Галтън откри, че децата на родители с висок или нисък ръст обикновено не наследяват изключителна височина и нарече това явление „регресия към посредственост“. Първоначално терминът се използва изключително в биологичен смисъл. След работата на Карл Пиърсън този термин започва да се използва в статистиката.

В статистическата литература се прави разлика между регресия, включваща една свободна променлива, и регресия, включваща няколко свободни променливи едноизмеренИ многоизмеренрегресия. Предполага се, че използваме няколко свободни променливи, тоест вектор на свободна променлива. В специални случаи, когато свободната променлива е скала, тя ще бъде означена с . Разграничете линеенИ нелинейнирегресия. Ако регресионният модел не е линейна комбинация от функции на параметрите, тогава се казва, че е нелинейна регресия. В този случай моделът може да бъде произволна суперпозиция на функции от определено множество. Нелинейните модели са експоненциални, тригонометрични и други (например радиални базисни функции или перцептрон на Розенблат), които предполагат, че връзката между параметрите и зависимата променлива е нелинейна.

Разграничете параметриченИ непараметричнирегресия. Трудно е да се направи строга граница между тези два вида регресии. В момента няма общоприет критерий за разграничаване на един тип модел от друг. Например линейните модели се считат за параметрични, а моделите, които включват осредняване на зависимата променлива върху пространството на свободната променлива, са непараметрични. Пример за параметричен регресионен модел: линеен предиктор, многослоен перцептрон. Примери за модели на смесена регресия: радиални базисни функции. Непараметричен модел с подвижно осредняване в прозорец с известна ширина. Като цяло, непараметричната регресия се различава от параметричната регресия по това, че зависимата променлива не зависи от една стойност на свободната променлива, а от някакво специфично съседство на тази стойност.

Има разграничение между термините „апроксимация на функцията“, „апроксимация“, „интерполация“ и „регресия“. Тя е следната.

Апроксимация на функции.Дадена е функция на дискретен или непрекъснат аргумент. Необходимо е да се намери функция от определено параметрично семейство, например сред алгебрични полиноми от дадена степен. Функционалните параметри трябва да осигуряват минимум някаква функционалност, например,

Срок приближениесиноним на термина „апроксимация на функцията“. По-често се използва, когато говорим за дадена функция, като функция на дискретен аргумент. Тук също трябва да намерите функция, която минава най-близо до всички точки на дадена функция. Това въвежда концепцията остатъциразстояния между точки на непрекъсната функция и съответните точки на дискретна аргументна функция.

Интерполацияфункции частен случай на апроксимационния проблем, когато се изисква в определени точки т.нар интерполационни възлистойностите на функцията и функцията, която я приближава, съвпадаха. В по-общ план се налагат ограничения върху стойностите на определени деривати на деривати. Тоест, дадена е функция на дискретен аргумент. Изисква се да се намери функция, която минава през всички точки. В този случай метриката обикновено не се използва, но често се въвежда концепцията за „гладкост“ на желаната функция.