В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем определение тригонометрична функция y = sin t върху координатната окръжност и разгледайте графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.
Тема: Тригонометрични функции
Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика
Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.
Нека дефинираме закона за съответствие за .
Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).
Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.
Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.
Фигурата показва това 
защото е ординатата на точка от единичната окръжност.
Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.
Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)
Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).
Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.
Разгледайте свойствата на функцията:
1) Обхват на определението:
2) Диапазон от стойности: 
3) Странна функция:
4) Най-малък положителен период:
5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос: 
6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:
7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:
8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:
9) Увеличаване на интервалите:
10) Намаляващи интервали:
11) Минимални точки: 
12) Минимални функции:
13) Максимален брой точки: 
14) Максимални функции:
Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.
Референции
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Урок за образователни институции (ниво на профил) изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и смятане за 10 клас ( наръчник за обучениеза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Просвещение, 1996.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено проучванеалгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).
8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.
А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Допълнителни уеб ресурси
3. Образователен порталза подготовка за изпити ().
Урок и презентация на тема: "Функция y=sin(x). Определения и свойства"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"
Какво ще изучаваме:
- Свойства на функцията Y=sin(X).
- Функционална графика.
- Как да изградим графика и нейния мащаб.
- Примери.
Свойства на синуса. Y=грех(X)
Момчета, вече се запознахме с тригонометричните функции числов аргумент. помните ли ги
Нека разгледаме по-подробно функцията Y=sin(X)
Нека запишем някои свойства на тази функция:
1) Областта на дефиниция е множеството от реални числа.
2) Функцията е нечетна. Нека си припомним определението странна функция. Една функция се нарича нечетна, ако е изпълнено равенството: y(-x)=-y(x). Както помним от призрачните формули: sin(-x)=-sin(x). Дефиницията е изпълнена, което означава, че Y=sin(X) е нечетна функция.
3) Функцията Y=sin(X) нараства на отсечката и намалява на отсечката [π/2; π]. Когато се движим по първата четвърт (обратно на часовниковата стрелка), ординатата се увеличава, а когато се движим през втората четвърт намалява.
4) Функцията Y=sin(X) е ограничена отдолу и отгоре. Това свойство следва от факта, че
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Най-малката стойност на функцията е -1 (при x = - π/2+ πk). Най-голямата стойност на функцията е 1 (при x = π/2+ πk).
Нека използваме свойства 1-5, за да начертаем функцията Y=sin(X). Ще изградим нашата графика последователно, прилагайки нашите свойства. Нека започнем да изграждаме графика върху сегмента.
Особено внимание трябва да се обърне на мащаба. По ординатната ос е по-удобно да вземете единичен сегмент, равен на 2 клетки, а по абсцисната ос е по-удобно да вземете единичен сегмент (две клетки), равен на π/3 (виж фигурата).
_2.png)
Начертаване на функцията синус x, y=sin(x)
Нека изчислим стойностите на функцията на нашия сегмент:
_3.png)
Нека изградим графика, използвайки нашите точки, като вземем предвид третото свойство.
_4.png)
Таблица за преобразуване на призрачни формули
Нека използваме второто свойство, което казва, че нашата функция е нечетна, което означава, че може да бъде отразена симетрично по отношение на произхода:
_5.png)
Знаем, че sin(x+ 2π) = sin(x). Това означава, че на интервала [- π; π] графиката изглежда по същия начин като на сегмента [π; 3π] или или [-3π; - π] и така нататък. Всичко, което трябва да направим, е внимателно да преначертаем графиката на предишната фигура по цялата ос x.
_6.png)
Графиката на функцията Y=sin(X) се нарича синусоида.
Нека напишем още няколко свойства според построената графика:
6) Функцията Y=sin(X) нараства върху всяка отсечка от вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k е цяло число и намалява на всеки сегмент от формата: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – цяло число.
7) Функцията Y=sin(X) е непрекъсната функция. Нека да разгледаме графиката на функцията и да се уверим, че нашата функция няма прекъсвания, това означава непрекъснатост.
8) Диапазон от стойности: сегмент [- 1; 1]. Това се вижда ясно и от графиката на функцията.
9) Функция Y=sin(X) - периодична функция. Нека отново да погледнем графиката и да видим, че функцията приема същите стойности на определени интервали.
Примери за задачи със синус
1. Решете уравнението sin(x)= x-π
Решение: Нека построим 2 графики на функцията: y=sin(x) и y=x-π (виж фигурата).
Нашите графики се пресичат в една точка A(π;0), това е отговорът: x = π
_7.png)
2. Начертайте графика на функцията y=sin(π/6+x)-1
Решение: Желаната графика ще бъде получена чрез преместване на графиката на функцията y=sin(x) π/6 единици наляво и 1 единица надолу.
_8.png)
Решение: Нека изградим графика на функцията и да разгледаме нашия сегмент [π/2; 5π/4].
Графиката на функцията показва, че най-големите и най-малките стойности се постигат в краищата на сегмента, съответно в точки π/2 и 5π/4.
Отговор: sin(π/2) = 1 – най-голямата стойност, sin(5π/4) = най-малка стойност.
_9.png)
Синусови задачи за самостоятелно решение
- Решете уравнението: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Начертайте графика на функцията y=sin(π/3+x)-2
- Начертайте графика на функцията y=sin(-2π/3+x)+1
- Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=sin(x) върху отсечката
- Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=sin(x) на интервала [- π/3; 5π/6]
В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y = sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.
Тема: Тригонометрични функции
Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика
Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.
Нека дефинираме закона за съответствие за .
Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).
Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.
Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.
Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.
Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.
Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)
Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).
Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.
Разгледайте свойствата на функцията:
1) Обхват на определението:
2) Диапазон от стойности:
3) Странна функция:
4) Най-малък положителен период:
5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос:
6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:
7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:
8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:
9) Увеличаване на интервалите:
10) Намаляващи интервали:
11) Минимални точки:
12) Минимални функции:
13) Максимален брой точки:
14) Максимални функции:
Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.
Референции
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).
8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.
А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Допълнителни уеб ресурси
3. Образователен портал за подготовка за изпити ().
В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y = sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.
Тема: Тригонометрични функции
Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика
Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.
Нека дефинираме закона за съответствие за .
Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).
Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.
Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.
Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.
Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.
Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)
Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).
Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.
Разгледайте свойствата на функцията:
1) Обхват на определението:
2) Диапазон от стойности:
3) Странна функция:
4) Най-малък положителен период:
5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос:
6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:
7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:
8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:
9) Увеличаване на интервалите:
10) Намаляващи интервали:
11) Минимални точки:
12) Минимални функции:
13) Максимален брой точки:
14) Максимални функции:
Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.
Референции
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).
8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.
А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Допълнителни уеб ресурси
3. Образователен портал за подготовка за изпити ().