›

Predavanje o skraćenim formulama za množenje. Online kalkulator Pojednostavljivanje polinoma

Prilikom izračunavanja algebarskih polinoma, da biste pojednostavili proračune, koristite skraćene formule za množenje . Ukupno je sedam takvih formula. Morate ih sve znati napamet.

Također treba imati na umu da umjesto a i b u formulama mogu biti ili brojevi ili bilo koji drugi algebarski polinomi.

Razlika kvadrata

Razlika između kvadrata dva broja jednaka je umnošku razlike ovih brojeva i njihovog zbira.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Kvadrat sume

Kvadrat zbira dva broja jednak je kvadratu prvog broja plus dvostruki proizvod prvog broja i drugog plus kvadrat drugog broja.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Imajte na umu da je s ovom skraćenom formulom množenja lako pronaći kvadrate velikih brojeva bez upotrebe kalkulatora ili dugog množenja. Objasnimo na primjeru:

Pronađite 112 2.

Razložimo 112 na zbir brojeva čije kvadrate dobro pamtimo.2
112 = 100 + 1

Upišite zbir brojeva u zagrade i stavite kvadrat iznad zagrada.
112 2 = (100 + 12) 2

Koristimo formulu za kvadrat sume:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Zapamtite da formula kvadratnog zbira vrijedi i za sve algebarske polinome.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Upozorenje!!!

(a + b) 2 nije jednako a 2 + b 2

Razlika na kvadrat

Kvadrat razlike dva broja jednak je kvadratu prvog broja minus dvostruki proizvod prvog i drugog plus kvadrat drugog broja.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Također je vrijedno zapamtiti vrlo korisnu transformaciju:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Formula iznad može se dokazati jednostavnim otvaranjem zagrada:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Kocka zbira

Kocka zbira dva broja jednaka je kocki prvog broja plus trostruki umnožak kvadrata prvog broja i drugog plus trostruki umnožak prvog sa kvadratom drugog plus kocka drugog .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Prilično je lako zapamtiti ovu formulu "zastrašujućeg" izgleda.

Naučite da 3 dolazi na početku.

Dva polinoma u sredini imaju koeficijente 3.

INzapamtite da je bilo koji broj na nulti stepen 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Lako je uočiti da u formuli postoji smanjenje stepena a i povećanje stepena b. Ovo možete provjeriti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Upozorenje!!!

(a + b) 3 nije jednako a 3 + b 3

Kocka razlike

Kocka razlike dva broja jednaka je kocki prvog broja minus tri puta umnošku kvadrata prvog broja i drugog plus tri puta umnošku prvog broja i kvadrata drugog minus kocke drugog.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ova formula se pamti kao i prethodna, ali samo uzimajući u obzir izmjenu znakova "+" i "-". Prvom članu a 3 prethodi “+” (prema pravilima matematike, mi ga ne pišemo). To znači da će sljedećem terminu prethoditi “-”, zatim opet “+” itd.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Zbir kocki ( Ne treba se brkati sa kockom zbira!)

Zbir kocki jednak je proizvodu zbira dva broja i djelomičnog kvadrata razlike.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Zbir kocki je proizvod dvije zagrade.

Prva zagrada je zbir dva broja.

Druga zagrada je nepotpuni kvadrat razlike između brojeva. Nepotpun kvadrat razlike je izraz:

A 2 - ab + b 2
Ovaj kvadrat je nepotpun, jer se u sredini, umjesto dvostrukog proizvoda, nalazi uobičajeni proizvod brojeva.

Razlika kocki (Ne brkati sa kockom razlike!!!)

Razlika kocki jednaka je proizvodu razlike dva broja i djelomičnog kvadrata zbira.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Budite oprezni kada zapisujete znakove.Treba imati na umu da se sve gore navedene formule također koriste s desna na lijevo.

Jednostavan način da zapamtite skraćene formule za množenje, ili... Pascalov trokut.

Imate problema sa pamćenjem skraćenih formula za množenje? Uzrok je lako pomoći. Samo trebate zapamtiti kako je prikazana tako jednostavna stvar kao što je Pascalov trokut. Tada ćete ove formule pamtiti uvijek i svugdje, ili bolje reći, ne pamtiti, već obnoviti.

Šta je Pascalov trougao? Ovaj trokut se sastoji od koeficijenata koji ulaze u proširenje bilo kojeg stepena binoma oblika u polinom.

Proširimo, na primjer:

U ovom unosu lako je zapamtiti da je kocka prvog broja na početku, a kocka drugog broja na kraju. Ali ono što je u sredini teško je zapamtiti. Pa čak i činjenica da se u svakom sljedećem terminu stepen jednog faktora stalno smanjuje, a drugi povećava - nije teško primijetiti i zapamtiti situacija s pamćenjem koeficijenata i znakova (je li plus ili minus; ?).

Dakle, prvo, šanse. Nema potrebe da ih pamtite! Brzo nacrtamo Pascalov trougao na marginama sveske i evo ih - koeficijenata, već ispred nas. Počinjemo crtati sa tri jedinice, jedna na vrhu, dvije ispod, desno i lijevo - da, to je već trokut:

Prvi red, sa jedan 1, je nula. Zatim dolazi prvi, drugi, treći i tako dalje. Da biste dobili drugi red, morate ponovo dodijeliti jedinice rubovima, a u sredinu upisati broj koji se dobije dodavanjem dva broja iznad njega:

Treći red pišemo: opet duž rubova jedinice, i opet, da bismo dobili sljedeći broj u novom redu, dodamo brojeve iznad njega u prethodni:


Kao što ste možda pretpostavili, u svakoj liniji dobijamo koeficijente iz proširenja binoma u polinom:


Pa, još je lakše zapamtiti znakove: prvi je isti kao u proširenom binomu (proširujemo zbir - to znači plus, razliku - to znači minus), a zatim se znakovi izmjenjuju!

Ovo je tako korisna stvar - Pascalov trougao. Iskoristi ga!

Matematički izrazi (formule) skraćeno množenje(kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbir i razlika kocki) su izuzetno nezamjenjivi u mnogim oblastima egzaktnih nauka. Ovih 7 simboličkih zapisa je neprocjenjivo za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala i još mnogo toga. To znači da će biti vrlo korisno razumjeti kako se dobijaju, zašto su potrebni, i što je najvažnije, kako ih zapamtiti i zatim primijeniti. Zatim prijava skraćene formule za množenje u praksi će najteže biti vidjeti šta jeste X a šta imaš. Očigledno, nema ograničenja za a I b ne, što znači da može biti bilo koji numerički ili alfabetski izraz.

I evo ih:

Prvo x 2 - u 2 = (x - y) (x+y).Da izračunam razlika kvadrata dva izraza, trebate pomnožiti razlike ovih izraza njihovim zbirom.

Drugo (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Da nađem kvadrat zbira dva izraza, morate kvadratu prvog izraza dodati dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

Treće (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Da izračunam razlika na kvadrat dva izraza, morate od kvadrata prvog izraza oduzeti dva puta umnožak prvog izraza sa drugim plus kvadrat drugog izraza.

Četvrto (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + u 3. Da izračunam kocka zbira dva izraza, morate kocki prvog izraza dodati trostruki proizvod kvadrata prvog izraza sa drugim plus trostruki proizvod prvog izraza sa kvadratom drugog plus kocku drugog izraza.

Peto (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - u 3. Da izračunam kocka razlike dva izraza, potrebno je od kocke prvog izraza oduzeti trostruki proizvod kvadrata prvog izraza za drugi plus trostruki proizvod prvog izraza za kvadrat drugog minus kocka drugog izraza.

Šesto x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Da izračunam zbir kocki dva izraza, trebate pomnožiti zbroje prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom razlike ovih izraza.

Sedmo x 3 - u 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Za izvođenje proračuna razlike kocki dva izraza, trebate pomnožiti razliku prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza.

Nije teško zapamtiti da se sve formule koriste za izvođenje proračuna u suprotnom smjeru (s desna na lijevo).

Postojanje ovih obrazaca bilo je poznato prije oko 4 hiljade godina. Naširoko su ih koristili stanovnici starog Babilona i Egipta. Ali u tim epohama oni su se izražavali verbalno ili geometrijski i nisu koristili slova u proračunima.

Hajde da to sredimo dokaz kvadratne sume(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

Prvo ovo matematički obrazac dokazao je starogrčki naučnik Euklid, koji je radio u Aleksandriji u 3. veku pre nove ere, koristio je geometrijsku metodu da dokaže formulu, pošto naučnici stare Helade nisu koristili slova za označavanje brojeva. Oni su posvuda koristili ne “a 2”, već “kvadrat na segmentu a”, ne “ab”, već “pravougaonik zatvoren između segmenata a i b”.

Algebra

Formule za skraćeno množenje koriste se za transformaciju izraza. Identiteti se koriste za predstavljanje cijelog izraza kao polinom i za faktoriranje polinoma.

  • 1 Kvadrat sume(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • 2 Razlika na kvadrat(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
  • 3 Razlika kvadrata a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
  • 4 Kocka zbira(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
  • 5 Kocka razlike(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
  • 6 Zbir kocki a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
  • 7 Razlika kocke a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Formule za kvadrate

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Formule za kocke

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formule za četvrti stepen

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
slijedi iz \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Skraćene formule za množenje

1. Kvadrat zbira

2. Razlika na kvadrat

3. Zbir i razlika kvadrata

4. Zbroj na treći stepen (kocka zbira)

5. Razlika na treći stepen (kocka razlike)

6. Zbir i razlika kocki

7. Skraćene formule za množenje za četvrti stepen

8. Skraćene formule za množenje za peti stepen

9. Skraćene formule za množenje za šesti stepen

10. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- bilo koji prirodni broj

11. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- paran pozitivan broj

12. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- neparan pozitivan broj

Izraz ( a + b) 2 je kvadrat zbira brojevi a I b. Po definiciji stepena, izraz ( a + ba + b)(a + b). Dakle, iz kvadrata zbira možemo zaključiti da

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

odnosno kvadrat zbira dva broja jednak je kvadratu prvog broja, plus dvostruki proizvod prvog broja i drugog, plus kvadrat drugog broja.

formula kvadratnog zbira

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Polinom a 2 + 2ab + b 2 se naziva proširenje sume na kvadrat.

Jer a I b označavaju bilo koje brojeve ili izraze, onda nam pravilo daje priliku, u prečici, da kvadriramo svaki izraz koji se može smatrati zbirom dva člana.

Primjer. Kvadratni izraz 3 x 2 + 2xy.

Rješenje: Da ne bismo vršili dodatne transformacije, koristićemo formulu za kvadrat sume. Trebali bismo dobiti zbir kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja i drugog i kvadrata drugog broja:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Sada, koristeći pravila množenja i eksponencijacije monoma, pojednostavljujemo rezultirajući izraz:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Razlika na kvadrat

Izraz ( a - b) 2 je razlika na kvadrat brojevi a I b. Izraz ( a - b) 2 je proizvod dva polinoma ( a - b)(a - b). Dakle, iz kvadrata razlike možemo zaključiti da

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

odnosno kvadrat razlike dva broja jednak je kvadratu prvog broja, minus dvostruki proizvod prvog broja i drugog, plus kvadrat drugog broja.

Iz pravila proizlazi da zbroj formula kvadratne razlike, bez međutransformacija, izgledat će ovako:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Polinom a 2 - 2ab + b 2 se naziva proširenje razlike na kvadrat.

Ovo pravilo se odnosi na skraćeni kvadrat izraza koji se može izraziti kao razlika dva broja.

Primjer. Predstavite kvadrat razlike kao trinom:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Rješenje: Koristeći formulu kvadratne razlike nalazimo:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Sada transformirajmo izraz u standardni polinom:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Razlika kvadrata

Izraz a 2 - b 2 je razlika kvadrata brojevi a I b. Izraz a 2 - b 2 je skraćeni način da se zbir dva broja pomnoži njihovom razlikom:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

odnosno proizvod zbira dva broja i njihove razlike jednak je razlici kvadrata ovih brojeva.

Iz pravila proizlazi da zbroj formula kvadratne razlike izgleda ovako:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Ovo pravilo se odnosi na skraćeno množenje izraza koji se mogu predstaviti: jedan kao zbir dva broja, a drugi kao razlika istih brojeva.

Primjer. Pretvorite proizvod u binom:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Rješenje:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

U primjeru smo primijenili formulu za razliku kvadrata s desna na lijevo, odnosno dobili smo desnu stranu formule, a mi smo je pretvorili u lijevu:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

U praksi se sve tri formule koje se razmatraju primjenjuju s lijeva na desno i s desna na lijevo, ovisno o situaciji.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa formulama za kvadrat zbira i kvadrat razlike i izvesti ih. Dokažimo formulu za kvadrat sume geometrijski. Osim toga, riješit ćemo mnogo toga razni primjeri koristeći ove formule.

Razmotrimo formulu za kvadrat sume:

Dakle, izveli smo formulu za kvadrat sume:

Verbalno, ova formula se izražava na sljedeći način: kvadrat sume je jednak kvadratu prvog broja plus dvostruki proizvod prvog broja na drugi plus kvadrat drugog broja.

Ovu formulu je lako predstaviti geometrijski.

Zamislite kvadrat sa stranicom:

Površina kvadrata.

S druge strane, isti kvadrat se može drugačije predstaviti dijeljenjem stranice na a i b (slika 1).

Rice. 1. Kvadrat

Tada se površina kvadrata može predstaviti kao zbir površina:

Pošto su kvadrati bili isti, njihove površine su jednake, što znači:

Dakle, geometrijski smo dokazali formulu za kvadrat sume.

Pogledajmo primjere:

komentar: Primjer je riješen korištenjem formule kvadratnog zbira.

Izvedemo formulu za kvadratnu razliku:

Dakle, izveli smo formulu za kvadratnu razliku:

Verbalno, ova formula se izražava na sljedeći način: kvadrat razlike jednak je kvadratu prvog broja minus dvostruki proizvod prvog broja i drugog plus kvadrat drugog broja.

Pogledajmo primjere:

Formule kvadratne sume i kvadratne razlike mogu raditi i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Kada se koriste s lijeva na desno, to će biti skraćene formule za množenje i koriste se prilikom izračunavanja i pretvaranja primjera. A kada se koristi s desna na lijevo - formule faktorizacije.

Pogledajmo primjere u kojima trebate faktorizirati dati polinom koristeći formule kvadratne sume i kvadratne razlike. Da biste to učinili, morate vrlo pažljivo pogledati polinom i točno odrediti kako ga pravilno proširiti.

komentar: Da biste faktorizovali polinom, morate odrediti šta je predstavljeno u datom izrazu. Dakle, vidimo kvadrat i kvadrat od jedan. Sada morate pronaći dvostruki proizvod - ovo je . Dakle, svi potrebni elementi su tu, samo treba da odredite da li je to kvadrat zbira ili razlika. Ispred dvostrukog proizvoda stoji znak plus, što znači da imamo kvadrat zbira.