Art
- Prilikom rješavanja geometrijskih problema korisno je slijediti takav algoritam. Prilikom čitanja uslova problema, neophodno je
- Napravite crtež. Crtež treba što je više moguće odgovarati uvjetima problema, tako da je njegov glavni zadatak pomoći u pronalaženju rješenja
- Stavite sve podatke iz iskaza problema na crtež Napiši sve geometrijski koncepti
- , koji se pojavljuju u problemu
- Zapamtite sve teoreme koje se odnose na ove koncepte Nacrtajte na crtežu sve odnose između elemenata geometrijska figura
, koji slijede iz ovih teorema
Na primjer, ako problem sadrži riječi simetrala ugla trougla, morate zapamtiti definiciju i svojstva simetrale i označiti jednake ili proporcionalne segmente i uglove na crtežu.
U ovom članku ćete pronaći osnovna svojstva trokuta koja trebate znati da biste uspješno rješavali probleme.
TROUGAO.
1. ,
Površina trougla.
2.
,
ovdje - proizvoljna strana trougla, - visina spuštena na ovu stranu.
3. ovdje i su proizvoljne strane trokuta, a ugao između ovih stranica:
Heronova formula:
4. ,
Ovdje su dužine stranica trokuta, je poluperimetar trokuta,
ovdje je poluperimetar trougla, a radijus upisane kružnice.
Neka su dužine tangentnih segmenata.
5.
6. ,
Tada se Heronova formula može napisati na sljedeći način:
ovdje - dužine stranica trougla, - polumjer opisane kružnice.
Ako se na strani trokuta uzme tačka koja dijeli ovu stranu u omjeru m: n, tada segment koji povezuje ovu tačku sa vrhom suprotnog ugla dijeli trokut na dva trokuta čije su površine u omjeru m: n:
Omjer površina sličnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.
Medijan trougla
Ovo je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane. Medijane trougla
sijeku se u jednoj tački i dijele se sa presječnom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha.
Tačka presjeka medijana pravilnog trougla dijeli medijanu na dva segmenta, od kojih je manji jednak polumjeru upisane kružnice, a veći je jednak polumjeru opisane kružnice.
Poluprečnik opisane kružnice je dvostruko veći od poluprečnika upisane kružnice: R=2r Srednja dužina
,
proizvoljan trougao
ovdje - medijana povučena u stranu - dužine stranica trokuta.
Simetrala trougla
ovdje - medijana povučena u stranu - dužine stranica trokuta. dijeli stranu na segmente proporcionalne susjednim stranicama:
Simetrale trougla seku u jednoj tački, koja je centar upisane kružnice.
Sve tačke simetrale ugla jednako su udaljene od stranica ugla.
Visina trougla
Ovo je okomit segment ispušten iz vrha trougla na suprotnu stranu, ili njegov nastavak. U tupouglu, visina povučena iz vrha oštrog ugla leži izvan trougla.
Visine trougla seku se u jednoj tački, koja se zove ortocentar trougla.
Da pronađemo visinu trougla povučeno u stranu, morate pronaći njegovu površinu na bilo koji raspoloživi način, a zatim koristiti formulu:
Centar opisane kružnice trougla, leži u tački presjeka simetrala okomitih povučenih na stranice trokuta.
Polumjer obima trougla može se pronaći pomoću sljedećih formula:
Ovdje su dužine stranica trokuta i površina trokuta.
,
gdje je dužina stranice trougla, a suprotni ugao. (Ova formula slijedi iz teoreme sinusa.)
Nejednakost trokuta
Svaka strana trougla je manja od zbira i veća od razlike druge dvije.
Zbir dužina bilo koje dvije strane je uvijek veći od dužine treće strane:
Nasuprot veće strane leži veći ugao; Nasuprot većeg ugla leži veća strana:
Ako , onda obrnuto.
Teorema sinusa:
Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
Kosinus teorema:
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostrukog umnoška ovih stranica kosinusom ugla između njih:
Pravokutni trokut
- Ovo je trougao čiji je jedan od uglova 90°.
Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90°.
Hipotenuza je strana koja leži nasuprot ugla od 90°. Hipotenuza je najduža stranica.
Pitagorina teorema:
kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta: 
Polumjer kružnice upisane u pravokutni trokut jednak je
,
evo polumjera upisane kružnice, - kateta, - hipotenuze:
Centar opisane kružnice pravokutnog trougla leži u sredini hipotenuze:
Medijan pravokutnog trokuta povučen hipotenuzom, jednak je polovini hipotenuze.
Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa pravokutnog trokuta pogledajte
Omjer elemenata u pravokutnom trokutu:
Kvadrat visine pravouglog trougla povučen iz vrha pravi ugao, jednak proizvodu projekcije kateta na hipotenuzu:
Kvadrat kateta jednak je umnošku hipotenuze i projekcije kateta na hipotenuzu:
Noga leži nasuprot uglu jednaka polovini hipotenuze:
Jednakokraki trougao.
Simetrala jednakokračnog trougla povučena do osnove je medijana i visina.
U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki.
Apex angle.
I - strane,
I - uglovi u osnovi.
Visina, simetrala i medijana.
Pažnja! Visina, simetrala i medijan povučeni u stranu ne poklapaju se.
Pravilan trougao
(ili jednakostranični trougao ) je trokut čije su sve stranice i uglovi međusobno jednaki.
Površina pravilnog trougla jednako
gdje je dužina stranice trougla.
Centar kruga upisanog u pravilan trokut, poklapa se sa središtem kružnice opisane oko pravilnog trougla i leži u tački presjeka medijana.
Točka preseka medijana pravilnog trougla dijeli medijanu na dva segmenta, od kojih je manji jednak polumjeru upisane kružnice, a veći je jednak polumjeru opisane kružnice.
Ako je jedan od uglova jednakokračnog trougla 60°, onda je trokut pravilan.
Srednja linija trougla
Ovo je segment koji povezuje sredine dviju strana.
Na slici DE - srednja linija trougao ABC.
Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njegovoj polovini: DE||AC, AC=2DE
Vanjski ugao trougla
Ovo je ugao koji graniči sa bilo kojim uglom trougla.
Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova koji nisu susjedni njemu.
Trigonometrijske funkcije vanjskog ugla:
Znakovi jednakosti trokuta:
1 . Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trougla, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti podudarni.
2 . Ako su stranica i dva susjedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susjedna ugla drugog trougla, tada su takvi trouglovi podudarni.
3 Ako su tri strane jednog trougla respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.
Važno: jer u pravougaonog trougla poznato je da su dva ugla jednaka, tada za jednakost dva pravougla trougla zahtijeva se jednakost samo dva elementa: dvije stranice, odnosno stranice i oštrog ugla.
Znakovi sličnosti trokuta:
1 . Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta, a uglovi između ovih stranica jednaki, onda su ti trokuti slični.
2 . Ako su tri strane jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog trokuta, onda su trokuti slični.
3 . Ako su dva ugla jednog trougla jednaka dvama ugla drugog trokuta, onda su trokuti slični.
Važno: U sličnim trokutovima slične stranice leže nasuprot jednakih uglova.
Menelajeva teorema
Neka linija siječe trokut, i to je točka njegovog presjeka sa stranicom , je točka njegovog presjeka sa stranicom , i točka njegovog presjeka sa nastavkom strane . Onda
Pravokutni trokut- ovo je trougao u kojem je jedan od uglova ravan, odnosno jednak 90 stepeni.
- Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza (na slici označena kao c ili AB)
- Strana koja se nalazi uz pravi ugao naziva se noga. Svaki pravokutni trokut ima dvije krake (na slici su označene kao a i b ili AC i BC)
Formule i svojstva pravokutnog trougla
Oznake formula:(vidi sliku iznad)
a, b- katete pravouglog trougla
c- hipotenuza
α, β - oštri uglovi trougla
S- kvadrat
h- visina spuštena od vrha pravog ugla do hipotenuze
m a a iz suprotnog ugla ( α )
m b- medijana povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )
m c- medijana povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )
IN pravougaonog trougla bilo koji katet je manji od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posledica Pitagorine teoreme.
Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodnog. Pošto je bilo koji katet manji od hipotenuze, omjer kateta i hipotenuze je uvijek manji od jedan.
Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta (Pitagorina teorema). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi prilikom rješavanja problema.
Površina pravouglog trougla jednako polovini umnoška nogu (Formula 6)
Zbir medijana na kvadrat na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno sa četiri (Formula 7). Pored navedenog, postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da pročitate i lekciju “Medijan pravokutnog trougla” koja detaljnije opisuje svojstva medijane.
Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih hipotenuzom (formula 8)
Kvadrati kateta su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je također jedna od posljedica Pitagorine teoreme.
Dužina hipotenuze jednak prečniku (dva poluprečnika) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Ovo svojstvo se često koristi u rješavanju problema.
Upisani radijus V pravougaonog trougla krug može se naći kao polovina izraza uključujući zbir kateta ovog trokuta minus dužinu hipotenuze. Ili kao proizvod kateta podijeljen zbirom svih strana (perimetra) datog trokuta. (Formula 11)
Sinus ugla odnos prema suprotnom ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi prilikom rješavanja problema. Znajući veličine stranica, možete pronaći ugao koji oni formiraju.
Kosinus ugla A (α, alpha) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 13)
Nekretnina: 1. U bilo kojem pravokutnom trokutu, visina uzeta iz pravog ugla (hipotenuzom) dijeli pravokutni trokut na tri slična trokuta.
Nekretnina: 2. Visina pravokutnog trokuta, spuštenog na hipotenuzu, jednaka je geometrijskoj sredini projekcija kateta na hipotenuzu (ili geometrijskoj sredini onih segmenata na koje visina dijeli hipotenuzu).
Nekretnina: 3. Katet je jednak geometrijskoj sredini hipotenuze i projekciji te katete na hipotenuzu.
Nekretnina: 4. Kat nasuprot ugla od 30 stepeni jednak je polovini hipotenuze.
Formula 1.
Formula 2., gdje je hipotenuza; , noge.
Nekretnina: 5. U pravokutnom trokutu, medijana povučena do hipotenuze jednaka je njegovoj polovini i jednaka polumjeru opisane kružnice.
Svojstvo: 6. Odnos između stranica i uglova pravouglog trougla:
44. Teorema kosinusa. Posljedice: odnos između dijagonala i stranica paralelograma; određivanje vrste trougla; formula za izračunavanje dužine medijane trokuta; Izračunavanje kosinusa ugla trokuta.
Kraj rada -
Ova tema pripada sekciji:
Klasa. Program kolokvijuma iz osnovne planimetrije
Svojstvo susednih uglova.. definicija da su dva ugla susedna ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dve čine pravu liniju..
Ako ti treba dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga sačuvati na svojoj stranici na društvenim mrežama:
Trouglovi.
Osnovni koncepti.
Trougao je figura koja se sastoji od tri segmenta i tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.
Segmenti se zovu stranke, a tačke su vrhovi.
Zbir uglova trougao je 180º.
Visina trougla.
Visina trougla- ovo je okomito povučeno iz vrha na suprotnu stranu.
U oštrom trouglu visina se nalazi unutar trougla (slika 1).
U pravokutnom trokutu, katete su visine trougla (slika 2).
U tupouglom trouglu visina se proteže izvan trougla (slika 3).
Svojstva nadmorske visine trougla:
Simetrala trougla.
ovdje - medijana povučena u stranu - dužine stranica trokuta.- ovo je segment koji dijeli ugao temena na pola i povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani (slika 5).
Svojstva simetrale:
Medijan trougla.
Omjer površina sličnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).
| Dužina medijane može se izračunati pomoću formule: 2b 2 + 2c 2 - a 2 Gdje m a- medijana povučena u stranu A. U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze: c Gdje m c- medijana povučena prema hipotenuzi c(Sl.9c) Medijani trokuta se sijeku u jednoj tački (u centru mase trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do centra je dvostruko veći od segmenta od centra do stranice trougla (slika 9c). Tri medijane trougla dijele ga na šest jednakih trouglova. |
Srednja linija trougla.
Srednja linija trougla- ovo je segment koji povezuje sredine njegove dvije strane (slika 10).
Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini
Vanjski ugao trougla.
Vanjski kut trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla (slika 11).
Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg nesusjednog ugla.
Pravokutni trokut.
Pravokutni trokut je trougao koji ima pravi ugao (slika 12).
Strana pravokutnog trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.
Druge dvije strane se zovu noge.
Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu.
1) U pravouglom trouglu, visina povučena iz pravog ugla formira tri slična trougla: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, uglovi formirani visinom jednaki su uglovima A i B.
Fig.14a
Jednakokraki trougao.
Jednakokraki trougao je trougao čije su dvije stranice jednake (slika 13).
Ove jednake strane se nazivaju strane, a treći - osnovu trougao.
U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki. (U našem trouglu, ugao A je jednak uglu C).
U jednakokračnom trokutu, medijana povučena do osnove je i simetrala i visina trougla.
Jednakostranični trougao.
Jednakostranični trougao je trougao u kome su sve strane jednake (slika 14).
Svojstva jednakostraničnog trougla:
Izuzetna svojstva trouglova.
Trokuti imaju jedinstvena svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme koji uključuju ove oblike. Neka od ovih svojstava su navedena iznad. Ali mi ih ponavljamo, dodajući im još nekoliko divnih karakteristika:
| 1) U pravokutnom trokutu sa uglovima od 90º, 30º i 60º b, koji leži nasuprot ugla od 30º, jednako je polovina hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (sl. 15 A). Na primjer, ako je krak b 5, onda je hipotenuza c nužno jednako 10, a krak A jednako 5√3. 2) U pravokutnom jednakokrakom trouglu sa uglovima 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta veća od kraka (Sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, onda je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trougla jednaka je polovini paralelne stranice (slika 15.). With). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5. 4) U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze (slika 9c): m c= s/2. 5) Medijane trougla, koji se sijeku u jednoj tački, podijeljene su ovom tačkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do tačke preseka medijana je dvostruko veći od segmenta od presečne tačke medijana do stranice trougla (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu sredina hipotenuze je centar opisane kružnice (Sl. 15 d). |
Znakovi jednakosti trouglova.
Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, onda su takvi trokuti podudarni.
Drugi znak jednakosti: ako su stranica i susjedni uglovi jednog trougla jednaki stranici i susjednim uglovima drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.
Treći znak jednakosti: Ako su tri strane jednog trougla jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.
Nejednakost trokuta.
U bilo kojem trouglu svaka strana je manja od zbira druge dvije stranice.
Pitagorina teorema.
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:
c 2 = a 2 + b 2 .
TROUGAO.
1) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranicu:
ah
S = ——
2
2) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa ugla između njih:
1
S = —
AB ·
A.C. ·
grijeh A
2
Trougao opisan oko kružnice.
Krug se naziva upisanim u trokut ako dodiruje sve njegove strane (slika 16.). A).
Trougao upisan u krug.
Za trokut se kaže da je upisan u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (Sl. 17 a).
Sinus, kosinus, tangent, kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta (slika 18).
Sinus akutni ugao x suprotno krak do hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: sinx.
Kosinus akutni ugao x pravouglog trougla je omjer susjedni krak do hipotenuze.
Označava se kako slijedi: cos x.
Tangenta akutni ugao x- ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Označava se kako slijedi: tgx.
Kotangens akutni ugao x- ovo je omjer susjedne i suprotne strane.
Označava se kako slijedi: ctgx.
pravila:
Noga nasuprot uglu x, jednak je proizvodu hipotenuze i grijeha x:
b = c grijeh x
Noga uz ugao x, jednak je proizvodu hipotenuze i cos x:
a = c cos x
Noga nasuprot uglu x, jednak je umnošku druge noge za tg x:
b = a tg x
Noga uz ugao x, jednako je umnošku druge noge po ctg x:
a = b· ctg x.
Za bilo koji oštar ugao x:
greh (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = grijeh x
