PREDAVANJE br. 4

OSNOVNI ZAKONI KINETIKE I DINAMIJE

ROTACIJSKO POKRETANJE. MEHANIČKI

SVOJSTVA BIO-TKIVA. BIOMEHANIČKI

PROCESI U MIŠIĆNOM SISTEMU

OSOBA.

1. Osnovni zakoni kinematike rotacionog kretanja.

Rotacijski pokreti tijela oko fiksne ose su najjednostavniji tip kretanja. Karakteriše ga činjenica da sve tačke tela opisuju kružnice, čiji se centri nalaze na istoj pravoj liniji 0 ﺍ 0 ﺍﺍ, koja se naziva osa rotacije (slika 1).

U ovom slučaju, položaj tijela u bilo kojem trenutku određen je kutom rotacije φ polumjera vektora R bilo koje tačke A u odnosu na njen početni položaj. Njegova zavisnost od vremena:

(1)

je jednadžba rotacijskog kretanja. Brzinu rotacije tijela karakterizira ugaona brzina ω. Ugaona brzina svih tačaka rotirajućeg tela je ista. To je vektorska veličina. Ovaj vektor je usmjeren duž osi rotacije i povezan je sa smjerom rotacije po pravilu desnog vijka:

. (2)

Kada se tačka kreće jednoliko po kružnici

, (3)

gdje je Δφ=2π ugao koji odgovara jednom punom okretu tijela, Δt=T je vrijeme jednog punog okreta, odnosno period rotacije. Jedinica mjerenja ugaone brzine je [ω]=c -1.

U ravnomjernom kretanju, ubrzanje tijela karakterizira ugaono ubrzanje ε (njegov vektor se nalazi slično vektoru ugaone brzine i usmjeren je u skladu s njim tijekom ubrzanog kretanja i u suprotnom smjeru za vrijeme usporenog kretanja):

. (4)

Jedinica mjere za ugaono ubrzanje je [ε]=c -2.

Rotaciono kretanje se takođe može okarakterisati linearnom brzinom i ubrzanjem njegovih pojedinačnih tačaka. Dužina luka dS opisanog bilo kojom tačkom A (Sl. 1) kada se rotira za ugao dφ određena je formulom: dS=Rdφ.

(5) :

. (6)

Zatim linearna brzina tačke Linearno ubrzanje:

. (7)

A

2. Osnovni zakoni dinamike rotacionog kretanja.

Rotaciju tijela oko ose uzrokuje sila F primijenjena na bilo koju tačku tijela, koja djeluje u ravni koja je okomita na os rotacije i usmjerena (ili ima komponentu u ovom smjeru) okomito na radijus vektor točke primjene (slika 1). Trenutak moći u odnosu na centar rotacije je vektorska veličina brojčano jednaka proizvodu sile

. (8)

dužinom okomice d, spuštene od centra rotacije do smjera sile, koja se naziva krak sile. Dakle, na slici 1 d=R Trenutak rotaciona sila je vektorska veličina. Vector u skladu sa smjerom sile prema pravilu desnog zavrtnja. Elementarni rad dA i, pri skretanju kroz mali ugao dφ, kada tijelo prođe malu putanju dS, jednak je:

Mjera inercije tijela tokom translatornog kretanja je masa. Kada se tijelo rotira, mjera njegove inercije karakterizira moment inercije tijela u odnosu na os rotacije.

Moment inercije I i materijalne tačke u odnosu na osu rotacije je vrednost jednaka umnošku mase tačke na kvadrat njene udaljenosti od ose (slika 2):

. (10)

Moment inercije tijela u odnosu na osu je zbir momenata inercije materijalnih tačaka koje čine tijelo:

. (11)

Ili u granici (n→∞):
, (12)

G deintegracija se vrši na cijelom volumenu V. Na sličan način izračunavaju se momenti inercije homogenih tijela pravilnog geometrijskog oblika. Moment inercije izražava se u kg m 2.

Moment inercije osobe u odnosu na vertikalnu os rotacije koja prolazi kroz centar mase (centar mase osobe nalazi se u sagitalnoj ravni malo ispred drugog ukrštenog pršljena), u zavisnosti od položaja osoba, ima sljedeće vrijednosti: 1,2 kg m 2 na pažnji; 17 kg m 2 – u horizontalnom položaju.

Kada se tijelo rotira, njegova kinetička energija se sastoji od kinetičkih energija pojedinih tačaka tijela:

Diferenciranjem (14) dobijamo elementarnu promjenu kinetičke energije:

. (15)

Izjednačavanje osnovnog rada (formula 9) spoljne sile do osnovne promene kinetička energija(formula 15), dobijamo:
, gdje:
ili, s obzirom na to
dobijamo:
. (16)

Ova jednačina se naziva osnovna jednačina dinamike rotacijskog kretanja. Ova zavisnost je slična Newtonovom II zakonu za translatorno kretanje.

Ugaoni moment L i materijalne tačke u odnosu na osu je veličina jednaka umnošku momenta tačke i njene udaljenosti od ose rotacije:

. (17)

Moment impulsa L tijela koje rotira oko fiksne ose:

Kutni moment je vektorska veličina orijentirana u smjeru vektora ugaone brzine.

Vratimo se sada na glavnu jednačinu (16):

,
.

Dovedemo konstantnu vrijednost I pod predznak diferencijala i dobijemo:
, (19)

gdje se Mdt naziva moment impulsa. Ako na tijelo ne djeluju vanjske sile (M=0), tada je i promjena ugaonog momenta (dL=0) nula. To znači da ugaoni moment ostaje konstantan:
. (20)

Ovaj zaključak se naziva zakon održanja ugaonog momenta u odnosu na os rotacije. Koristi se, na primjer, tijekom rotacijskih pokreta u odnosu na slobodnu os u sportu, na primjer u akrobatici, itd. Dakle, umjetnički klizač na ledu, promjenom položaja tijela tokom rotacije i, shodno tome, momenta inercije u odnosu na os rotacije, može regulirati svoju brzinu rotacije.

Laboratorijski rad br.15

PROUČAVANJE KRETANJA ŽIROSKOPA

Svrha rada: proučavanje zakona rotacionog kretanja, proučavanje kretanja (precesije) žiroskopa pod uticajem obrtnog momenta.

Teorija rada

Osnovni koncepti. Osnovni zakon rotacionog kretanja

Zamah materijalne tačkeL u odnosu na tačku O je vektorski proizvod radijus vektora ove tačke i vektora njenog momenta str:

Gdje r– radijus vektor povučen od tačke O do tačke A, lokacija materijalne tačke, str=m v– impuls materijalne tačke. Modul vektora ugaonog momenta:

gdje je a ugao između vektora r I str, l – krak vektora p u odnosu na tačku O. Vektor L, prema definiciji vektorskog proizvoda, on je okomit na ravan u kojoj leže vektori r I str(ili v), njegov smjer se poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog propelera dok se rotira od r do p duž najkraće udaljenosti, kao što je prikazano na slici.

Moment u odnosu na osu je skalarna veličina jednaka projekciji na ovu osu vektora ugaonog momenta definisanog u odnosu na proizvoljnu tačku na ovoj osi.

Trenutak moćiM materijalna tačka u odnosu na tačku O pozvao vektorska količina, određen vektorskim proizvodom radijus vektora r povučen iz tačke O do tačke primene sile, i sile F:

. Modul momenta vektora sile:

gdje je a ugao između vektora r I F, d = r*sina – krak sile – najkraća udaljenost između linije djelovanja sile i tačke O. Vektor M(kao i L) - pseudovektor , ona je okomita na ravan u kojoj leže vektori r I F, njegov smjer se poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog vijka kada se okreće od r To F duž najkraće udaljenosti, kao što je prikazano na slici. Vektorska vrijednost i smjer M također se može izračunati matematički koristeći definiciju unakrsnog proizvoda.

Moment sile oko ose naziva se skalarna veličina jednaka projekciji na ovu osu vektora momenta sile M definisano u odnosu na proizvoljnu tačku na ovoj osi.

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja

Da biste razjasnili svrhu gornjih koncepata, razmotrite sistem od dvije materijalne tačke (čestice), a zatim generalizirajte rezultat na sistem proizvoljnog broja čestica (tj. na čvrsto tijelo).

Neka na čestice masa m 1, m 2 djeluje interno f 12, f 21 i spoljne sile F 1 I F 2.

Zapišimo drugi Newtonov zakon za svaku od čestica, kao i vezu između unutrašnjih sila koje proizlaze iz trećeg Newtonovog zakona:

Vektor pomnožite jednadžbu (1) sa r 1, a jednačinu (2) sa r 2 i dodajte rezultirajuće izraze:

Transformirajmo lijevi dio jednačine (4), uzimajući to u obzir

A vektori i su paralelni i njihov vektorski proizvod je jednak nuli

(5 )

Prva dva člana desno u (4) jednaka su nuli, jer su unutrašnje sile f 12, f 21 jednake veličine i suprotno usmjerene (vektor r 1-r 2 usmjerena duž iste prave linije kao i vektor f 12).

U ovom poglavlju, kruto tijelo se razmatra kao skup materijalnih tačaka koje se ne pomiču jedna u odnosu na drugu. Takvo tijelo koje se ne može deformirati naziva se apsolutno čvrstim.

Neka čvrsto tijelo proizvoljnog oblika rotira pod djelovanjem sile oko fiksne ose 00 (slika 30). Tada sve njegove tačke opisuju kružnice sa centrima na ovoj osi. Jasno je da sve tačke tela imaju istu ugaonu brzinu i isto ugaono ubrzanje (u datom trenutku).

Razložimo djelujuću silu na tri međusobno okomite komponente: (paralelno s osi), (okomito na osu i koja leži na pravoj koja prolazi kroz osu) i (okomito. Očigledno, rotaciju tijela uzrokuje samo Komponenta koja je tangenta na kružnicu opisanu točkom primjene sile Komponente rotacije nisu uzrok. školski kurs fizike, dejstvo sile ne zavisi samo od njene veličine, već i od udaljenosti tačke njene primene A do ose rotacije, odnosno zavisi od momenta sile. Moment rotacijske sile (moment) je proizvod rotacijske sile i polumjera kružnice opisane točkom primjene sile:

Hajde da mentalno razbijemo cijelo tijelo na vrlo male čestice - elementarne mase. Iako je sila primijenjena na jednu tačku A tijela, njen rotirajući efekat se prenosi na sve čestice: elementarna rotirajuća sila će biti primijenjena na svaku elementarnu masu (vidi sliku 30). Prema drugom Newtonovom zakonu,

gdje je linearno ubrzanje dodijeljeno elementarnoj masi. Množenjem obe strane ove jednakosti poluprečnikom kružnice koju opisuje elementarna masa i uvođenjem ugaonog ubrzanja umesto linearnog (vidi § 7), dobijamo

S obzirom na to da je moment primijenjen na elementarnu masu, i označava

gdje je moment inercije elementarne mase (materijalne tačke). Prema tome, moment inercije materijalne tačke u odnosu na određenu os rotacije je proizvod mase materijalne tačke sa kvadratom njene udaljenosti do ove ose.

Zbrajanje obrtnih momenta primenjenih na sve elementarne mase, čineći telo, dobijamo

gdje je moment primijenjen na tijelo, tj. moment sile rotacije je moment inercije tijela. Prema tome, moment inercije tijela je zbir momenata inercije svih materijalnih tačaka koje čine tijelo.

Sada možemo prepisati formulu (3) u formu

Formula (4) izražava osnovni zakon dinamike rotacije (drugi Newtonov zakon za rotacijsko kretanje):

moment sile rotacije primijenjen na tijelo jednak je proizvodu momenta inercije tijela i kutnog ubrzanja.

Iz formule (4) je jasno da ugaona akceleracija koju daje telu obrtni moment zavisi od momenta inercije tela; Što je veći moment inercije, manje je ugaono ubrzanje. Posljedično, moment inercije karakterizira inercijska svojstva tijela za vrijeme rotacijskog kretanja, kao što masa karakterizira inercijska svojstva tijela za vrijeme translacijskog kretanja. Međutim, za razliku od mase, moment inercije datog tijela može imati mnogo vrijednosti u skladu sa mnogim mogućim osovinama rotacije. Stoga, kada se govori o momentu inercije krutog tijela, potrebno je naznačiti u odnosu na koju osu se on računa. U praksi se obično moramo suočiti s momentima inercije u odnosu na osi simetrije tijela.

Iz formule (2) proizilazi da je mjerna jedinica momenta inercije kilogram kvadratni metar

Ako su moment i moment inercije tijela, onda se formula (4) može predstaviti kao

Izvođenje osnovnog zakona dinamike rotacionog kretanja. Do izvođenja osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja. Dinamika rotacionog kretanja materijalne tačke. U projekciji na tangencijalni pravac, jednadžba kretanja će imati oblik: Ft = mt.

15. Izvođenje osnovnog zakona dinamike rotacionog kretanja.

Rice. 8.5. Do izvođenja osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja.

Dinamika rotacionog kretanja materijalne tačke.Zamislite česticu mase m koja rotira oko struje O duž kruga polumjera R , pod dejstvom rezultantne sile F (vidi sliku 8.5). U inercijskom referentnom okviru vrijedi 2 Jao Newtonov zakon. Zapišimo to u odnosu na proizvoljan trenutak u vremenu:

F = m·a.

Normalna komponenta sile nije sposobna da izazove rotaciju tela, pa ćemo razmatrati samo delovanje njene tangencijalne komponente. U projekciji na tangencijalni pravac, jednadžba kretanja će imati oblik:

F t = m·a t .

Pošto je a t = e·R, onda

F t = m e R (8.6)

Množenjem lijeve i desne strane jednadžbe skalarno sa R, dobivamo:

F t R= m e R 2 (8.7)
M = tj. (8.8)

Jednačina (8.8) predstavlja 2 Jao Njutnov zakon (jednačina dinamike) za rotaciono kretanje materijalne tačke. Može mu se dati vektorski karakter, uzimajući u obzir da prisustvo momenta uzrokuje pojavu paralelnog vektora ugaonog ubrzanja usmjerenog duž ose rotacije (vidi sliku 8.5):

M = I·e. (8.9)

Osnovni zakon dinamike materijalne tačke tokom rotacionog kretanja može se formulisati na sledeći način:

proizvod momenta inercije i kutnog ubrzanja jednak je rezultirajućem momentu sila koje djeluju na materijalna tačka.

Kao i ostali radovi koji bi vas mogli zanimati
66899.		Jezik i mišljenje, Logičke i jezičke slike svijeta	132,5 KB
	Neverbalno mišljenje se provodi kroz vizualne i senzorne slike koje nastaju kao rezultat percepcije utisaka stvarnosti, koji se pohranjuju u pamćenje, a zatim rekreiraju u mašti. Neverbalno mišljenje je u ovoj ili onoj mjeri karakteristično za neke životinje.
66900.		PLASTIČNA DEFORMACIJA I MEHANIČKA SVOJSTVA	51,5 KB
	Mehanička svojstva uključuju čvrstoću, otpornost legiranog metala na deformaciju i lom, te duktilnost, sposobnost metala da podliježe nepovratnoj deformaciji bez razaranja, koja ostaje nakon uklanjanja sila deformacije. Osim toga, naprezanja nastaju tokom kristalizacije sa neravnomjernim...
66902.		Karakteristike istrage ubistava počinjenih na domaćem osnovu	228 KB
	Forenzičke karakteristike ubistava. Karakteristike početne faze istrage. Tipične situacije početnoj fazi istrage. Osobine organizacije i izrade početnih istraživanja. Karakteristike upotrebe specijalnih znanja...
66904.		KULTURA ANTIČKOG SVIJETA	62,5 KB
	Književna kritika je nauka o fikcija, njegov nastanak, suštinu i razvoj. Moderna književna kritika sastoji se od tri nezavisne, ali usko povezane discipline (odsjeka): teorija književnosti, književna istorija i književna kritika
66905.		Logički elementi	441 KB
	Razmatraju se principi rada, karakteristike i tipična kola za povezivanje najjednostavnijih logičkih elemenata - pretvarača, bafera, I i ILI elemenata, te su data rješenja kola koja na njihovoj osnovi omogućavaju implementaciju često susretanih funkcija.
66906.		Modeli i procesi upravljanja softverskim projektima	257,5 KB
	Svrha CMM/CMMI metodologije - sistema i modela za procenu zrelosti - je da pruži neophodne opšte preporuke i uputstva preduzećima koja proizvode PS o izboru strategije za unapređenje kvaliteta procesa i proizvoda, analizom stepena njihove proizvodnje. faktori zrelosti i procjene...

Ovaj članak opisuje važan dio fizike - "Kinematika i dinamika rotacijskog kretanja".

Osnovni pojmovi kinematike rotacionog kretanja

Rotacijsko kretanje materijalne točke oko fiksne ose je takvo kretanje, čija je putanja kružnica koja se nalazi u ravni okomitoj na os, a centar joj leži na osi rotacije.

Rotaciono kretanje krutog tela je kretanje u kome se sve tačke tela kreću po koncentričnim (čiji centri leže na istoj osi) kružnicama u skladu sa pravilom rotacionog kretanja materijalne tačke.

Neka proizvoljno kruto tijelo T rotira oko ose O, koja je okomita na ravan crteža. Odaberimo tačku M na ovom tijelu. Kada se okrene, ova tačka će opisati kružnicu s polumjerom oko ose r.

Nakon nekog vremena, radijus će se rotirati u odnosu na svoju prvobitnu poziciju za ugao Δφ.

Smjer desnog zavrtnja (kazaljke na satu) uzima se kao pozitivan smjer rotacije. Promjena ugla rotacije tokom vremena naziva se jednačina rotacionog kretanja krutog tijela:

φ = φ(t).

Ako se φ mjeri u radijanima (1 rad je ugao koji odgovara luku dužine jednak njegovom poluprečniku), tada je dužina kružnog luka ΔS, kojim će materijalna tačka M proći u vremenu Δt, jednaka:

ΔS = Δφr.

Osnovni elementi kinematike ravnomernog rotacionog kretanja

Mjera kretanja materijalne tačke u kratkom vremenskom periodu dt služi kao elementarni vektor rotacije dφ.

Ugaona brzina materijalne tačke ili tijela je fizička veličina koja je određena omjerom vektora elementarne rotacije i trajanja ove rotacije. Smjer vektora može se odrediti pravilom desnog zavrtnja duž ose O u skalarnom obliku:

ω = dφ/dt.

Ako ω = dφ/dt = const, onda se takvo kretanje naziva jednoliko rotaciono kretanje. Uz to, kutna brzina je određena formulom

ω = φ/t.

Prema preliminarnoj formuli, dimenzija ugaone brzine

[ω] = 1 rad/s.

Ujednačeno rotacijsko kretanje tijela može se opisati periodom rotacije. Period rotacije T je fizička veličina koja određuje vrijeme tokom kojeg tijelo napravi jedan puni okret oko ose rotacije ([T] = 1 s). Ako u formuli za ugaonu brzinu uzmemo t = T, φ = 2 π (jedan puni okret polumjera r), tada

ω = 2π/T,

Stoga definiramo period rotacije na sljedeći način:

T = 2π/ω.

Broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena naziva se frekvencija rotacije ν, koja je jednaka:

ν = 1/T.

Jedinice frekvencije: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Upoređujući formule za ugaonu brzinu i frekvenciju rotacije, dobijamo izraz koji povezuje ove veličine:

ω = 2πν.

Osnovni elementi kinematike neravnomjernog rotacionog kretanja

Neravnomjerno rotacijsko kretanje krutog tijela ili materijalne točke oko fiksne ose karakterizira njegova kutna brzina koja se mijenja s vremenom.

Vector ε , koji karakterizira brzinu promjene ugaone brzine, naziva se vektor ugaonog ubrzanja:

ε = dω/dt.

Ako se tijelo rotira, ubrzavajući, tj dω/dt > 0, vektor ima smjer duž ose u istom smjeru kao i ω.

Ako je rotacijski pokret spor - dω/dt< 0 , tada su vektori ε i ω suprotno usmjereni.

Komentar. Kada dođe do neravnomjernog rotacijskog kretanja, vektor ω se može promijeniti ne samo po veličini, već iu smjeru (kada se os rotacije rotira).

Odnos između veličina koje karakteriziraju translacijsko i rotacijsko kretanje

Poznato je da su dužina luka sa uglom rotacije poluprečnika i njegova vrednost povezani relacijom

ΔS = Δφ r.

Zatim linearna brzina materijalne tačke koja vrši rotaciono kretanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalno ubrzanje materijalne tačke koja vrši rotacijsko translacijsko kretanje određuje se na sljedeći način:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Dakle, u skalarnom obliku

a = ω 2 r.

Tangencijalna ubrzana materijalna tačka koja vrši rotaciono kretanje

a = ε r.

Zamah materijalne tačke

Vektorski proizvod radijus vektora putanje materijalne tačke mase m i i njenog momenta se naziva ugaoni moment ove tačke oko ose rotacije. Smjer vektora se može odrediti pomoću pravila desnog zavrtnja.

Zamah materijalne tačke ( L i) je usmjeren okomito na ravan povučenu kroz r i i υ i, i sa njima tvori desnu trojku vektora (tj. kada se kreće od kraja vektora r i To υ i desni vijak će pokazati smjer vektora L i).

U skalarnom obliku

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Uzimajući u obzir da se pri kretanju u krugu radijus vektor i vektor linearne brzine za i-ti materijal međusobno okomite tačke,

sin(υ i , r i) = 1.

Tako će ugaoni moment materijalne tačke za rotaciono kretanje poprimiti oblik

L = m i υ i r i .

Moment sile koji djeluje na i-tu materijalnu tačku

Vektorski proizvod radijus vektora, koji je povučen u tačku primjene sile, a ta sila se naziva momentom sile koja djeluje na i-ti materijal tačku u odnosu na os rotacije.

U skalarnom obliku

M i = r i F i sin(r i , F i).

S obzirom na to r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Magnituda l i, jednaka dužini okomice spuštene od točke rotacije do smjera djelovanja sile, naziva se krak sile F i.

Dinamika rotacionog kretanja

Jednačina za dinamiku rotacijskog kretanja je zapisana na sljedeći način:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je sljedeća: brzina promjene ugaonog momenta tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je rezultirajućem momentu u odnosu na ovu osu svih vanjskih sila koje se primjenjuju na tijelo.

Moment impulsa i moment inercije

Poznato je da je za i-tu materijalnu tačku ugaoni moment u skalarnom obliku dan formulom

L i = m i υ i r i .

Ako umjesto linearne brzine zamijenimo njen izraz kutnom brzinom:

υ i = ωr i ,

tada će izraz za ugaoni moment poprimiti oblik

L i = m i r i 2 ω.

Magnituda I i = m i r i 2 nazvan momentom inercije oko osa i materijalna tačka apsolutno krutog tijela koja prolazi kroz njegovo središte mase. Zatim zapisujemo ugaoni moment materijalne tačke:

L i = I i ω.

Zapisujemo ugaoni moment apsolutno krutog tijela kao zbir ugaonog momenta materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

L = Iω.

Moment sile i moment inercije

Zakon rotacionog kretanja glasi:

M = dL/dt.

Poznato je da se ugaoni moment tijela može predstaviti kroz moment inercije:

L = Iω.

M = Idω/dt.

S obzirom da je kutno ubrzanje određeno izrazom

ε = dω/dt,

dobijamo formulu za moment sile, predstavljen kroz moment inercije:

M = Iε.

Komentar. Moment sile smatra se pozitivnim ako je kutno ubrzanje koje ga uzrokuje veće od nule, i obrnuto.

Steinerova teorema. Zakon sabiranja momenata inercije

Ako os rotacije tijela ne prolazi kroz njegovo središte mase, tada se u odnosu na ovu osu može pronaći njegov moment inercije koristeći Steinerov teorem:
I = I 0 + ma 2,

Gdje I 0- početni moment inercije tijela; m- tjelesna težina; a- rastojanje između osovina.

Ako se sistem koji rotira oko fiksne ose sastoji od n tijela, tada će ukupan moment inercije ovog tipa sistema biti jednak zbiru momenata njegovih komponenti (zakon sabiranja momenata inercije).