Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Da, dosta je”, pošto su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnosti! testovi i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. U razredu Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, moraćete vrlo često da pravite razliku, a nije uvek zgodno (i nije uvek neophodno) detaljno opisivati ​​primere. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složena funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matana u budućnosti, ovako detaljno snimanje najčešće nije potrebno, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih razumijete (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije će se koristiti u obrnutim redosledom, od najudaljenije funkcije do najunutarnje. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i izvaditi nešto iz zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje u uzorku je riješeno pomoću prve metode.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate bilježnicu, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Napomena : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvod od desne strane je prilično jednostavan, jer ako čitate ovaj tekst, trebalo bi da budete u stanju da se nosite sa njim.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “Y” ispod logaritma?”

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom magični štapić imamo derivat. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije, a možda upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od “x”. Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu da bismo to uradili, stavljamo oba dela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

IN praktični zadaci Eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od primjera o kojem se govori u predavanju.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritam logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Derivacija formule derivacije funkcija snage(x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​iz korijena x. Formula za izvod funkcije stepena višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.

Sadržaj

Vidi također: Funkcija stepena i korijeni, formule i graf
Grafikoni funkcija snage

Osnovne formule

Derivat x na stepen a jednak je a puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije stepena i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo derivat koristeći:
;
.
Evo.

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen od m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3) vidimo da
.
Onda
.

Koristeći formulu (1) nalazimo izvod:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo transformisati korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0 . 0 Nađimo derivaciju funkcije (3) na x =
.

. 0 :
.
Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:

Zamenimo x =
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .
Tako smo pronašli:
Tako smo pronašli:
Iz ovoga je jasno da za , .
(1) .
U , . 0 .

Ovaj rezultat se također dobija iz formule (1):< 0

Dakle, formula (1) vrijedi i za x =
(3) .
Slučaj x
,
Razmotrimo ponovo funkciju (3):

Za određene vrijednosti konstante a definira se i za negativne vrijednosti varijable x. 3 Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak: 1 gdje su m i n cijeli brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.
.
Ako je n neparno, tada je funkcija stepena također definirana za negativne vrijednosti varijable x.

Na primjer, kada je n =
.
i m =
.
imamo kubni korijen od x:

.
Također je definiran za negativne vrijednosti varijable x.
.
Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da biste to učinili, zamislite x u sljedećem obliku:
.
Onda
.
onda ,
(1) .

Izvod pronalazimo postavljanjem konstante izvan predznaka izvoda i primjenom pravila za diferenciranje kompleksne funkcije:

Evo. Ali
(3) .
Od tada
.

To jest, formula (1) vrijedi i za:
.
Derivati ​​višeg reda
;

.

Sada hajde da pronađemo izvode višeg reda funkcije stepena Već smo pronašli derivat prvog reda: Uzimajući konstantu a izvan predznaka derivacije, nalazimo izvod drugog reda:
.

Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda: Iz ovoga je jasno da derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.
Imajte na umu da
,
ako a jeste

prirodni broj

, tada je n-ti izvod konstantan:

Tada su svi naredni derivati ​​jednaki nuli:
.

u .
;
.
Primjeri izračunavanja derivata
.

Primjer
;
.
Pronađite derivaciju funkcije:
.

Pretvorimo korijene u stepene: Tada originalna funkcija poprima oblik:(Pronalaženje derivata moći: Derivat konstante je nula: Ako(g x Pronalaženje derivata moći:) I g= Tada originalna funkcija poprima oblik:(Pronalaženje derivata moći:), f Pronalaženje derivata moći: u

) – diferencibilne funkcije njihovih argumenata, respektivno, u tačkama I za složene funkcije. Naučimo izbjeći ovu grešku.

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje: izračunajte prirodni logaritam svakog člana u zagradama i potražite zbir izvoda:

Ispravno rješenje: ponovo određujemo gde je "jabuka", a gde "mleveno meso". Ovdje je prirodni logaritam izraza u zagradama "jabuka", odnosno funkcija nad međuargumentom g, a izraz u zagradi je “mljeveno meso”, odnosno srednji argument g nezavisnom varijablom Pronalaženje derivata moći:.

Zatim (koristeći formulu 14 iz tabele derivata)

U mnogim problemima iz stvarnog života, izraz s logaritmom može biti nešto složeniji, zbog čega postoji pouka

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje:

Prava odluka. Još jednom utvrđujemo gdje je "jabuka", a gdje "mleveno meso". Ovdje je kosinus izraza u zagradama (formula 7 u tabeli izvoda) „jabuka“, priprema se u načinu 1, koji utiče samo na nju, a izraz u zagradama (izvod stepena je broj 3 u tabeli derivata) je „mleveno meso“, priprema se u režimu 2, koji utiče samo na njega. I kao i uvijek, povezujemo dvije izvedenice sa znakom proizvoda. rezultat:

Derivat kompleksa logaritamska funkcija- čest zadatak na testovima, pa vam toplo preporučujemo da prisustvujete lekciji “Izvod logaritamske funkcije”.

Prvi primjeri bili su na složenim funkcijama, u kojima je međuargument o nezavisnoj varijabli bila jednostavna funkcija. Ali u praktičnim zadacima često je potrebno pronaći derivaciju složene funkcije, gdje je međuargument ili sam kompleksna funkcija ili sadrži takvu funkciju. Šta učiniti u takvim slučajevima? Pronađite derivate takvih funkcija koristeći tablice i pravila diferencijacije. Kada se pronađe derivat srednjeg argumenta, on se jednostavno zamjenjuje na pravo mjesto u formuli. U nastavku su dva primjera kako se to radi.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može predstaviti kao lanac od tri funkcije

tada njen izvod treba naći kao proizvod izvoda svake od ovih funkcija:

Mnogi od vaših domaćih zadataka mogu zahtijevati da otvorite svoje vodiče u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima) I Operacije sa razlomcima .

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije, ne zaboravljajući da u rezultirajućem proizvodu derivacija postoji srednji argument u odnosu na nezavisnu varijablu Pronalaženje derivata moći: ne mijenja se:

Pripremamo drugi faktor proizvoda i primjenjujemo pravilo za razlikovanje sume:

Drugi član je korijen, dakle

Tako smo otkrili da srednji argument, koji je zbir, sadrži složenu funkciju kao jedan od pojmova: podizanje na stepen je složena funkcija, a ono što se podiže na stepen je međuargument u odnosu na nezavisnu funkciju. varijabla Pronalaženje derivata moći:.

Stoga ponovo primjenjujemo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Stepen prvog faktora pretvaramo u korijen, a kada razlikujemo drugi faktor, ne zaboravite da je izvod konstante jednak nuli:

Sada možemo pronaći derivaciju srednjeg argumenta potrebnog za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije potrebne u iskazu problema y:

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Prvo koristimo pravilo za razlikovanje sume:

Dobili smo zbir izvoda dvije kompleksne funkcije. Nađimo prvu:

Ovdje je podizanje sinusa na stepen složena funkcija, a sam sinus je srednji argument za nezavisnu varijablu Pronalaženje derivata moći:. Stoga ćemo usput koristiti pravilo diferencijacije složene funkcije uzimanje faktora iz zagrada :

Sada nalazimo drugi član izvoda funkcije y:

Ovdje je podizanje kosinusa na stepen složena funkcija Ako, a sam kosinus je srednji argument u nezavisnoj varijabli Pronalaženje derivata moći:. Ponovo koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Rezultat je traženi izvod:

Tablica izvoda nekih složenih funkcija

Za složene funkcije, na osnovu pravila diferencijacije složene funkcije, formula za derivaciju jednostavne funkcije poprima drugačiji oblik.

1. Derivat kompleksne funkcije stepena, gdje g Pronalaženje derivata moći:
2. Derivat korijena izraza
3. Derivat eksponencijalne funkcije
4. Poseban slučaj eksponencijalne funkcije
5. Derivat logaritamske funkcije sa proizvoljnom pozitivnom bazom A
6. Derivat kompleksne logaritamske funkcije, gdje g– diferencijabilna funkcija argumenta Pronalaženje derivata moći:
7. Derivat sinusa
8. Derivat kosinusa
9. Derivat tangente
10. Derivat kotangensa
11. Derivat arcsinusa
12. Derivat arkosinusa
13. Derivat arktangensa
14. Derivat arc kotangensa

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih razumijete (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Čini se bez grešaka:

1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

2) Uzmite derivaciju razlike koristeći pravilo

3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

6) I konačno, uzimamo derivat najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto van zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje u uzorku je riješeno pomoću prve metode.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti?

Smanjimo izraz brojioca na zajednički nazivnik i riješimo se trokatne strukture razlomka:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

I teorema o derivaciji kompleksne funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima u nekom trenutku $x_0$ izvod $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkciju $y=f(u)$ imati u odgovarajućoj tački $u_0=\varphi (x_0)$ izvod $y_(u)"=f"(u)$. Tada će kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ u spomenutoj tački također imati izvod, jednak proizvodu derivati ​​funkcija $f(u)$ i $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, kraće rečeno: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima u ovom dijelu, sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Shodno tome, u svim primjerima izvod $y"$ se uzima u odnosu na varijablu $x$. Da bi se naglasilo da se izvod uzima u odnosu na varijablu $x$, $y"_x$ se često piše umjesto $y "$.

Prikaz primjera br. 1, br. 2 i br detaljan proces nalaženje izvoda složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tabele izvedenica i ima smisla upoznati se s njom.

Preporučljivo je, nakon proučavanja materijala u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje tako da čitatelj može provjeriti ispravnost svog rezultata.

Primjer br. 1

Pronađite izvod funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći izvod kompleksne funkcije $y"$. Pošto je $y=e^(\cos x)$, onda je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. nađemo izvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristimo formulu br. 6 iz tabele izvoda. Da bismo koristili formulu br. 6, moramo uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Dalje rješenje se sastoji u jednostavnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sada treba da nađemo vrednost izraza $(\cos x)"$. Ponovo se okrećemo tabeli derivacija, birajući iz nje formulu br. 10. Zamenivši $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Sada nastavimo jednakost (1.1), dopunivši je pronađenim rezultatom:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Pošto je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti se obično preskaču, zapisujući nalaz izvoda u jednom redu, kao u jednakosti ( 1.3, derivacija kompleksne funkcije je pronađena, preostaje samo da se zapiše odgovor).

Odgovori: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer br. 2

Pronađite izvod funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Moramo izračunati izvod $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak, napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvaditi iz predznaka derivacije:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \tag (2.1) $$

Sada se okrenemo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Da bismo lakše odabrali željenu formulu iz tabele izvoda, predstaviću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu br. 2, tj. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjujući jednakost (2.1) dobijenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

U ovoj situaciji često se pravi greška kada rešavač u prvom koraku odabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umesto formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Poenta je da derivat eksterne funkcije mora biti prvi. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da izračunavate vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^) x)$ po nekoj vrijednosti $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, a zatim pomnožiti rezultat sa 4 i dobiti $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangens iz ovog rezultata, dobijajući $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim podižemo rezultirajući broj na dvanaesti stepen, dobijajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, tj. povećanje na stepen 12 će biti eksterna funkcija. I od toga treba krenuti u pronalaženje derivacije, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada treba da pronađemo $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tabele derivata, zamenjujući u nju $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Hajde da malo pojednostavimo rezultirajući izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Ostaje da pronađemo $(4\cdot \ln x)"$. Uzmimo konstantu (tj. 4) iz predznaka derivacije: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Za Da bismo pronašli $(\ln x)"$ koristimo formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. Pošto je $x"=1$, onda je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Zamjenom dobijenog rezultata u formulu (2.3) dobijamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Da vas podsjetim da se izvod kompleksne funkcije najčešće nalazi u jednom redu, kao što je napisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, prilikom izrade standardnih proračuna ili kontrolnih radova, uopće nije potrebno tako detaljno opisivati ​​rješenje.

Odgovori: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer br. 3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, hajde da malo transformišemo funkciju $y$, izražavajući radikal (koren) kao stepen: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada krenimo sa pronalaženjem derivata. Pošto je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, onda:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Upotrijebimo formulu br. 2 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo jednakost (3.1) koristeći dobijeni rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sada moramo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za ovo koristimo formulu br. 9 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunivši jednakost (3.2) dobijenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Ostaje da pronađemo $(5\cdot 9^x)"$. Prvo, uzmimo konstantu (broj $5$) izvan znaka derivacije, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Da biste pronašli izvod $(9^x)"$, primijenite formulu br. 5 tabele derivata, zamjenjujući u nju $a=9$ i $u=x$: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Pošto je $x"=1$, onda je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možemo se ponovo vratiti sa stepena na radikale (tj. korijene), pišući $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tada će izvod biti napisan u ovom obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Odgovori: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Primjer br. 4

Pokazati da su formule br. 3 i br. 4 tabele derivacija poseban slučaj formule br. 2 ove tabele.

Formula br. 2 tabele izvoda sadrži izvod funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2, dobijamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Pošto je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, onda se jednakost (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tabele derivata.

Vratimo se ponovo formuli br. 2 tabele derivata. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Pošto je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tabele derivata. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 tabele derivata se dobijaju iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće vrijednosti $\alpha$.