Jedna od najčešće korištenih od svih Bradis trigonometrijskih tablica je tablica sinusa. U ovom članku ćemo razumjeti pojam sinusa (sinus), naučiti kako pronaći vrijednosti sinusa za različite uglove (0, 30, 45, 60, 90) i razumjeti zašto je potrebna tablica sinusa.
Tabela sinusa i njena primjena
Prvo, moramo vas podsjetiti šta znači pojam sinusa ugla.
sinus - ovo je omjer kateta naspram ovog ugla i hipotenuze.
Ovo je tačno ako je trougao pravougao.
Standardni pravokutni trokut: stranice a (BC) i b (AC) su katete, stranica c (AB) je hipotenuza
Primjer: pronađite sinus ugla ⍺ i ugla β
sin ⍺ = klimatizacija ili omjer strane BC prema strani AB. Ako uzmemo ugao β, onda će se strana b ili AC smatrati suprotnom. Hipotenuza u ovom slučaju je ista - AB. onda:
sin β = b/s ili AC relacija AB.
U pravouglu uvek 2 noge i samo jedna hipotenuza
Kao što znate, postoji 360 cjelobrojnih uglova, ali često morate izračunati vrijednosti za najpopularnije uglove, kao što su: sinus 0°, sinus 30°, sinus 45°, sinus 60°, sinus 90. °. Ove vrijednosti se mogu naći u Bradisovim tabelama.
Uprkos činjenici da 2021. godine slavi stogodišnjicu, Bradis tabela nije izgubila na važnosti. Konkretno, koriste ga arhitekti, dizajneri i konstruktori za izvođenje brzih srednjih proračuna. Bradis stolovi su odobreni za upotrebu u školama sa polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za razliku od kalkulatora.
Online kalkulator za izračunavanje sinusa ugla
Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Napomena. Ova tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije koristi znak √ za označavanje kvadratni korijen. Da biste označili razlomak, koristite simbol "/".
Vidi također korisni materijali:
Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na presjeku linije koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus 30 stepeni - tražimo stupac sa naslovom sin (sinus) i nalazimo presjek ove kolone tabele sa redom "30 stepeni", na njihovom presjeku čitamo rezultat - jednu polovinu. Slično nalazimo kosinus 60 stepeni, sinus 60 stepeni (još jednom, na preseku stuba greha i linije od 60 stepeni nalazimo vrednost sin 60 = √3/2), itd. Vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta drugih "popularnih" uglova nalaze se na isti način.
Sinus pi, kosinus pi, tangenta pi i drugi uglovi u radijanima
Donja tabela kosinusa, sinusa i tangenta je također pogodna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dato u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugu kolonu vrijednosti uglova. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih uglova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo ugao od 60 stepeni u prvom redu i ispod njega pročitajmo njegovu vrijednost u radijanima. 60 stepeni je jednako π/3 radijana.
Broj pi nedvosmisleno izražava zavisnost obima od stepena mere ugla. Dakle, pi radijani su jednaki 180 stepeni.
Bilo koji broj izražen u pi (radijanima) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom pi (π) sa 180.
Primjeri:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stepeni i jednak je nuli.
2. Cosine pi.
cos π = cos 180 = -1
dakle, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stepeni i jednak je minus jedan.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
dakle, tangenta pi je ista kao tangenta od 180 stepeni i jednaka je nuli.
Tabela vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta za uglove 0 - 360 stepeni (uobičajene vrijednosti)
|
vrijednost ugla α (stepeni) |
vrijednost ugla α (preko pi) |
grijeh (sinus) |
cos (kosinus) |
tg (tangenta) |
ctg (kotangens) |
sec (sekant) |
cosec (kosekans) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije označena crtica (tangenta (tg) 90 stepeni, kotangens (ctg) 180 stepeni), tada je za datu vrijednost stepena mjere ugla funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, što znači da još nismo unijeli traženu vrijednost. Zanima nas po kojim upitima nam se korisnici javljaju i dopunjavamo tablicu novim vrijednostima, uprkos činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangenta najčešćih vrijednosti uglova sasvim dovoljni za rješavanje većine probleme.
Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije uglove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stepeni
(numeričke vrijednosti “prema Bradisovim tabelama”)
| vrijednost ugla α (stepeni) | vrijednost ugla α u radijanima | grijeh (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangenta) | ctg (kotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Pronađite ugao po sinusu
Dakle, imamo priliku da izračunamo sinus bilo kojeg ugla od 0 do 90° e na dvije decimale. Nema potrebe za gotovim stolom; za približne proračune uvijek možemo sami sastaviti ako želimo.
Ali da biste riješili trigonometrijske probleme, morate biti u stanju učiniti suprotno - izračunati uglove iz zadanog sinusa. Ovo je takođe lako. Pretpostavimo da trebate pronaći ugao čiji je sinus jednak 0,38. Pošto je ovaj sinus manji od 0,5, željeni ugao je manji od 30°. Ali je veći od 15°, pošto je sin 15°, znamo, jednak 0,26. Da bismo pronašli ovaj ugao, koji se nalazi između 15 i 30°, nastavljamo kako je ranije objašnjeno:
Dakle, željeni ugao je približno 22,5°. Drugi primjer: pronađite ugao čiji je sinus 0,62.
Željeni ugao je približno 38,6°.
Konačno, treći primjer: pronađite ugao čiji je sinus 0,91.
Pošto ovaj sinus leži između 0,71 i 1, željeni ugao leži između 45° i 90°. Na: sl. 91 Ned je sinus ugla L ako VA= 1. Znati sunce, lako pronaći sinus ugla U:
Sada pronađimo ugao IN,čiji je sinus 0,42; nakon toga će biti lako pronaći ugao A jednak 90° - IN.
Pošto 0,42 leži između 0,26 i 0,5, onda je ugao IN leži između 15° i 30°, definira se na sljedeći način:
I, prema tome, ugao A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
Sada smo potpuno opremljeni za približno rješavanje trigonometrijskih problema, budući da možemo pronaći sinuse iz uglova i uglove iz sinusa sa tačnošću dovoljnom za terenske svrhe.
Ali da li je sam sinus dovoljan za ovo? Zar nam ne trebaju ostale trigonometrijske funkcije - kosinus, tangent, itd.? Sada ćemo na nekoliko primjera pokazati da za našu pojednostavljenu trigonometriju možemo u potpunosti proći samo sa sinusom.
Jedna od oblasti matematike sa kojom se učenici najviše bore je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, morate biti u mogućnosti koristiti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Poreklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom naukom trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate razumjeti šta trigonometrija uopće radi.
Istorijski gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke nauke bili su pravokutni trouglovi. Prisutnost ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje različitih operacija koje omogućavaju određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure koristeći dvije strane i jedan kut ili dva ugla i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i u umjetnosti.
Inicijalna faza
U početku su ljudi govorili o odnosu između uglova i stranica isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevni život ovu granu matematike.
Izučavanje trigonometrije u školi danas počinje pravouglim trouglim, nakon čega učenici koriste stečena znanja iz fizike i rješavanja apstraktnih trigonometrijskih jednačina, koja počinju u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je nauka dostigla sledeći nivo razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom i kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe različita pravila, a zbir uglova u trouglu je uvek veći od 180 stepeni. Ova sekcija se ne izučava u školi, ali je potrebno znati za njeno postojanje barem zato zemljine površine, a površina bilo koje druge planete je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti unutra trodimenzionalni prostor"u obliku luka".
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Imajte na umu - poprimio je oblik luka. Takvim oblicima se bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim oblastima.
Pravokutni trokut
Pošto smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravougaonog trougla. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. To je najduže. Sjećamo se da je prema Pitagorinoj teoremi njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbira kvadrata druge dvije stranice.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.
Dvije preostale stranice, koje čine pravi ugao, nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trokutu u pravougaonom koordinatnom sistemu jednak 180 stepeni.
Definicija
Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.
Sinus ugla je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjedne stranice i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Zato što je hipotenuza po defaultu najduža Bez obzira koliko je krak kraći, on će biti kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1, potražite grešku u proračunima ili obrazloženju. Ovaj odgovor je očigledno netačan.
Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Podjela sinusa kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, dužinu stranice podijelimo hipotenuzom, zatim podijelimo s dužinom druge stranice i množimo hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti odnos kao u definiciji tangente.
Kotangens je, prema tome, omjer strane susjedne ugla i suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedan sa tangentom.
Dakle, pogledali smo definicije šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo prijeći na formule.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.
Prva formula koju trebate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu ugla, a ne stranu.
Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte bliže: ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija radi trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti traženo više složene formule na parčetu papira.
Formule za dvostruke uglove i sabiranje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku uglova. Oni su predstavljeni na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje upareni proizvod sinusa i kosinusa.
Postoje i formule povezane sa argumentima dvostrukog ugla. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa ugao jednak beta kutu.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog ugla mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
Teoreme
Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, lako možete razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Teorem sinusa kaže da dijeljenje dužine svake strane trougla sa suprotnim uglom rezultira istim brojem. Štaviše, ovaj broj će biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kruga koji sadrži sve točke datog trougla.
Kosinusna teorema generalizira Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koji trokut. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen dvostrukim kosinusom susjednog ugla - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.
Nepažljive greške
Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve greške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao običan razlomak, osim ako je drugačije navedeno u uslovima. Takva se transformacija ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubite vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen od tri ili korijen od dva, jer se nalaze u problemima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje „ružnih“ brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da dvaput oduzmete umnožak stranica pomnožen kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.
Treće, nemojte miješati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus 30 stepeni jednako kosinsu 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Aplikacija
Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju jer ne razumiju njeno praktično značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? To su koncepti koji omogućavaju izračunavanje udaljenosti do udaljenih zvijezda, predviđanje pada meteorita ili slanje istraživačke sonde na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.
U zaključku
Dakle, ti si sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.
Cijeli smisao trigonometrije svodi se na činjenicu da koristeći poznate parametre trougla morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: dužina tri strane i veličina tri ugla. Jedina razlika u zadacima je što su dati različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj Trigonometrijski problem postaje pronalaženje korijena obične jednačine ili sistema jednačina. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.