Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Školarci se na samom početku učenja algebre susreću sa zadatkom da konstruišu graf funkcije i nastavljaju da ga grade iz godine u godinu. Počevši od grafa linearne funkcije, za koju trebate znati samo dvije tačke, do parabole za koju je već potrebno 6 tačaka, hiperbole i sinusnog vala. Svake godine funkcije postaju sve složenije i više nije moguće konstruirati njihove grafove pomoću šablona, potrebno je provoditi složenije studije koristeći derivate i granice.
Hajde da shvatimo kako pronaći graf funkcije? Da bismo to učinili, počnimo s najviše jednostavne funkcije, čiji se grafikoni grade tačku po tačku, a zatim ćemo razmotriti plan za izgradnju više složene funkcije.
Grafički prikaz linearne funkcije
Za konstruiranje najjednostavnijih grafova koristite tablicu vrijednosti funkcija. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Pokušajmo pronaći tačke na grafu funkcije y=4x+5.
- Da bismo to učinili, uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti varijable x, zamijenimo ih jednu po jednu u funkciju, pronađemo vrijednost varijable y i unesemo sve u tablicu.
- Uzmite vrijednost x=0 i zamijenite je u funkciju umjesto x - 0. Dobijamo: y=4*0+5, odnosno y=5, upišite ovu vrijednost u tabelu pod 0. Slično, uzmite x= 0, dobijamo y=4*1+5 , y=9.
- Sada, da biste napravili graf funkcije, morate ga nacrtati koordinatna ravan ove tačke. Zatim morate nacrtati pravu liniju.
Grafiranje kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija je funkcija oblika y=ax 2 +bx +c, gdje je x varijabla, a,b,c su brojevi (a nije jednako 0). Na primjer: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Za konstruiranje najjednostavnije kvadratne funkcije y=x 2 obično se uzima 5-7 tačaka. Uzmimo vrijednosti za varijablu x: -2, -1, 0, 1, 2 i pronađimo vrijednosti y na isti način kao i prilikom konstruiranja prvog grafikona.
Graf kvadratne funkcije naziva se parabola. Nakon konstruisanja grafova funkcija, učenici imaju nove zadatke vezane za graf.
Primjer 1: pronađite apscisu tačke grafa funkcije y=x 2 ako je ordinata 9. Da biste riješili problem, trebate zamijeniti njenu vrijednost 9 u funkciju umjesto y Dobijamo 9=x 2 i riješimo ovu jednačinu. x=3 i x=-3. To se može vidjeti i na grafu funkcije.
Proučavanje funkcije i crtanje njenog grafa
Za iscrtavanje grafova složenijih funkcija potrebno je izvršiti nekoliko koraka usmjerenih na njihovo proučavanje. Da biste to uradili potrebno vam je:
- Pronađite domen definicije funkcije. Domen definicije su sve vrijednosti koje varijabla x može uzeti. One tačke u kojima nazivnik postaje 0 ili radikalni izraz postaje negativan treba isključiti iz domena definicije.
- Podesite da li je funkcija parna ili neparna. Podsjetimo da je parna funkcija ona koja ispunjava uvjet f(-x)=f(x). Njegov graf je simetričan u odnosu na Oy. Funkcija će biti neparna ako ispunjava uslov f(-x)=-f(x). U ovom slučaju, graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Pronađite tačke preseka sa koordinatnim osa. Da bi se našla apscisa tačke preseka sa Ox osom, potrebno je rešiti jednačinu f(x) = 0 (ordinata je jednaka 0). Da bi se pronašla ordinata točke presjeka sa osom Oy, potrebno je umjesto varijable x u funkciju zamijeniti 0 (apscisa je 0).
- Pronađite asimptote funkcije. Asiptota je prava linija kojoj se graf približava beskonačno, ali nikada ne prelazi. Hajde da shvatimo kako pronaći asimptote grafa funkcije.
- Vertikalna asimptota prave x=a
- Horizontalna asimptota - prava linija y=a
- Kosa asimptota - prava linija oblika y=kx+b
- Odrediti tačke ekstrema funkcije, intervale povećanja i smanjenja funkcije. Nađimo tačke ekstrema funkcije. Da biste to učinili, morate pronaći prvi izvod i izjednačiti ga sa 0. Upravo u tim točkama funkcija se može promijeniti iz rastuće u opadajuću. Odredimo predznak derivacije na svakom intervalu. Ako je derivacija pozitivna, onda graf funkcije raste, ako je negativan, smanjuje se.
- Pronađite točke pregiba grafa funkcije, intervale konveksnosti prema gore i prema dolje.
Pronalaženje prelomnih tačaka sada je lakše nego ikad. Vi samo trebate pronaći drugi izvod, a zatim ga izjednačiti sa nulom. Zatim nalazimo predznak drugog izvoda na svakom intervalu. Ako je pozitivan, onda je graf funkcije konveksan prema dolje, ako je negativan, konveksan je prema gore.
Znanje main elementarne funkcije, njihova svojstva i grafikone ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, sve se zasniva na njima, sve se gradi od njih i sve se svodi na njih.
U ovom članku ćemo navesti sve glavne elementarne funkcije, dati njihove grafikone i dati ih bez zaključka ili dokaza svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema šemi:
- ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (ako je potrebno, pogledajte članak klasifikacija tačaka diskontinuiteta funkcije);
- parni i neparni;
- intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dole), tačke pregiba (ako je potrebno, pogledajte članak konveksnost funkcije, pravac konveksnosti, tačke pregiba, uslovi konveksnosti i fleksije);
- kose i horizontalne asimptote;
- singularne tačke funkcija;
- posebna svojstva nekih funkcija (na primjer, najmanji pozitivni period trigonometrijskih funkcija).
Ako vas zanima ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.
Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), n-ti korijen, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.
Navigacija po stranici.
Trajna funkcija.
Konstantna funkcija je definirana na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realan broj. Konstantna funkcija povezuje svaku realnu vrijednost nezavisne varijable x sa istom vrijednošću zavisne varijable y - vrijednošću C. Konstantna funkcija se također naziva konstanta.
Grafikon konstantne funkcije je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0,C). Kao primjer, prikazaćemo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i, koji na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji, respektivno.
Svojstva konstantne funkcije.
- Domen: cijeli skup realnih brojeva.
- Konstantna funkcija je parna.
- Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od singularnog broja C.
- Konstantna funkcija nije rastuća i neopadajuća (zato je konstantna).
- Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.
- Nema asimptota.
- Funkcija prolazi kroz tačku (0,C) koordinatne ravni.
Koren n-tog stepena.
Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju koja je data formulom , gdje je n – prirodni broj, veće od jedan.
Koren n-tog stepena, n je paran broj.
Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.
Kao primjer, evo slike sa slikama grafova funkcija 
i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.
Grafovi korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.
Svojstva n-te korijenske funkcije za parno n.
N-ti korijen, n je neparan broj.
Funkcija n-tog korijena s neparnim korijenskim eksponentom n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, evo grafova funkcija 
i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.
Za druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta, grafovi funkcija će imati sličan izgled.
Svojstva n-te korijenske funkcije za neparno n.
Funkcija napajanja.
Funkcija napajanja je dato formulom oblika .
Razmotrimo oblik grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena u zavisnosti od vrednosti eksponenta.
Počnimo s funkcijom stepena s cjelobrojnim eksponentom a. U ovom slučaju, izgled grafova funkcija stepena i svojstva funkcija zavise od parnosti ili neparnosti eksponenta, kao i od njegovog predznaka. Stoga ćemo prvo razmotriti funkcije stepena za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne eksponente, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju za parne negativne eksponente a.
Svojstva funkcija stepena sa frakcijskim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih funkcija stepena) zavise od vrednosti eksponenta a. Razmotrićemo ih, prvo, za a od nula do jedan, drugo, za veće od jedan, treće, za a od minus jedan do nula, četvrto, za manje od minus jedan.
Na kraju ovog odjeljka, radi potpunosti, opisati ćemo funkciju stepena s nultim eksponentom.
Funkcija stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.
Razmotrimo funkciju stepena sa neparnim pozitivnim eksponentom, odnosno sa a = 1,3,5,....
Na slici ispod prikazani su grafikoni funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija, – zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.
Svojstva funkcije stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.
Funkcija snage s parnim pozitivnim eksponentom.
Razmotrimo funkciju stepena s parnim pozitivnim eksponentom, odnosno za a = 2,4,6,....
Kao primjer dajemo grafove funkcija stepena – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.
Svojstva funkcije stepena s parnim pozitivnim eksponentom.
Funkcija snage s neparnim negativnim eksponentom.
Pogledajte grafove funkcije stepena za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za a = -1, -3, -5,....
Na slici su prikazani grafovi funkcija snage kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo inverzna proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.
Svojstva funkcije stepena s neparnim negativnim eksponentom.
Funkcija snage s parnim negativnim eksponentom.
Pređimo na funkciju snage za a=-2,-4,-6,….
Na slici su prikazani grafikoni funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija.
Svojstva funkcije stepena s parnim negativnim eksponentom.
Funkcija stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.
Obratite pažnju! Ako je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval. Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno skup ćemo smatrati domenima definicije funkcija stepena s razlomačnim pozitivnim eksponentima. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.
Razmotrimo funkciju stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .
Predstavimo grafove funkcija stepena za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).
Funkcija stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.
Razmotrimo funkciju stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .
Predstavimo grafove funkcija stepena datih formulama 
(crne, crvene, plave i zelene linije).
Za ostale vrijednosti eksponenta a, grafovi funkcije će imati sličan izgled.
Svojstva funkcije snage na .
Funkcija stepena sa realnim eksponentom koji je veći od minus jedan i manji od nule.
Obratite pažnju! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval 
. Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno smatrat ćemo domene definicije funkcija stepena s razlomkom negativnim eksponentima skupom, respektivno. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.
Pređimo na funkciju snage, kgod.
Da bismo imali dobru ideju o obliku grafova funkcija moći za , dajemo primjere grafova funkcija 
(crna, crvena, plava i zelena krivulja, redom).
Svojstva funkcije stepena s eksponentom a, .
Funkcija stepena s realnim eksponentom koji nije cijeli broj koji je manji od minus jedan.
Navedimo primjere grafova funkcija stepena za 
, prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.
Svojstva funkcije stepena s negativnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.
Kada je a = 0, imamo funkciju - ovo je prava linija iz koje je isključena tačka (0;1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 ne pridaje nikakav značaj).
Eksponencijalna funkcija.
Jedna od glavnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.
Graf eksponencijalne funkcije, gdje i poprima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a. Hajde da shvatimo ovo.
Prvo, razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije uzima vrijednost od nule do jedan, to jest, .
Kao primjer predstavljamo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafovi eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za druge vrijednosti baze iz intervala.
Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.
Prijeđimo na slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, odnosno, .
Kao ilustraciju dajemo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za druge vrijednosti baze veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.
Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.
Logaritamska funkcija.
Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija, gdje je , . Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .
Raspored logaritamska funkcija poprima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a.
Koordinatu apsolutno bilo koje tačke na ravni određuju njene dvije veličine: duž ose apscise i osi ordinata. Zbirka mnogih takvih tačaka predstavlja graf funkcije. Iz njega možete vidjeti kako se vrijednost Y mijenja ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) se funkcija povećava, a u kojem se smanjuje.
Uputstva
- Šta možete reći o funkciji ako je njen graf prava linija? Pogledajte da li ova linija prolazi kroz početnu točku koordinata (to jest, onu u kojoj su vrijednosti X i Y jednake 0). Ako prođe, onda je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je razumjeti da što je veća vrijednost k, to će se ova prava linija nalaziti bliže osi ordinate. A sama Y osa zapravo odgovara beskonačno velikoj vrijednosti k.
- Pogledajte smjer funkcije. Ako ide “od dole lijevo do gore desno”, odnosno kroz 3. i 1. koordinatnu četvrtinu, ona se povećava, a ako ide “od gore lijevo prema dolje desno” (kroz 2. i 4. četvrtinu), onda se opadajući.
- Kada pravac ne prolazi kroz ishodište, opisuje se jednačinom y = kx + b. Prava linija siječe y-osu u tački gdje je y = b, a vrijednost y može biti pozitivna ili negativna.
- Funkcija se naziva parabola ako je opisana jednadžbom y = x^n, a njen oblik zavisi od vrijednosti n. Ako je n bilo koji paran broj (najjednostavniji slučaj je kvadratna funkcija y = x^2), grafik funkcije je kriva koja prolazi kroz početnu tačku, kao i kroz tačke sa koordinatama (1;1), (-1;1), budući da će jedinica na bilo koju potenciju ostati jedinica. Sve y vrijednosti koje odgovaraju bilo kojoj vrijednosti X različitoj od nule mogu biti samo pozitivne. Funkcija je simetrična u odnosu na Y os, a njen graf se nalazi u 1. i 2. koordinatnoj četvrtini. Lako je shvatiti da što je veća vrijednost n, to će graf biti bliži Y osi.
- Ako je n neparan broj, graf ove funkcije je kubna parabola. Kriva se nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrti, simetrična je oko Y ose i prolazi kroz ishodište koordinata, kao i kroz tačke (-1;-1), (1;1). Kada je kvadratna funkcija jednačina y = ax^2 + bx + c, oblik parabole je isti kao u najjednostavnijem slučaju (y = x^2), ali njen vrh nije u početku.
- Funkcija se naziva hiperbola ako je opisana jednadžbom y = k/x. Lako možete vidjeti da kako vrijednost x teži 0, vrijednost y raste do beskonačnosti. Graf funkcije je kriva koja se sastoji od dvije grane i nalazi se u različitim koordinatnim četvrtima.