›

Teorema o svojstvu srednje linije trapeza. Srednja linija

Trapez je četverougao koji ima dvije paralelne stranice, koje su baze, i dvije neparalelne stranice, koje su stranice.

Postoje i imena kao npr jednakokraki ili equilateral.

je trapez čiji su bočni uglovi pravi.

Trapezni elementi

a, b - trapezoidne osnove(a paralela sa b),

m, n - strane trapezi,

d 1 , d 2 — dijagonale trapezi,

h - visina trapez (segment koji povezuje baze i istovremeno okomit na njih),

MN - srednja linija(segment koji povezuje sredine stranica).

Područje trapeza

  1. Kroz poluzbir baza a, b i visine h: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
  2. Kroz središnju liniju MN i visinu h: S = MN\cdot h
  3. Kroz dijagonale d 1, d 2 i ugao (\sin \varphi) između njih: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Svojstva trapeza

Srednja linija trapeza

Srednja linija paralelno s bazama, jednako njihovom poluzbiru i dijeli svaki segment s krajevima smještenim na ravnim linijama koje sadrže osnove (na primjer, visinu figure) na pola:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Zbir trapeznih uglova

Zbir trapeznih uglova, uz svaku stranu, jednako je 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Trapezni trouglovi jednake površine

Jednake veličine, odnosno jednakih površina, su dijagonalni segmenti i trouglovi AOB i DOC formirani od bočnih stranica.

Sličnost formiranih trapeznih trokuta

Slični trouglovi su AOD i COB, koje formiraju njihove baze i dijagonalni segmenti.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Koeficijent sličnosti k se nalazi po formuli:

k = \frac(AD)(BC)

Štaviše, omjer površina ovih trouglova je jednak k^(2) .

Odnos dužina segmenata i baza

Svaki segment koji povezuje baze i prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza podijeljen je ovom točkom u omjeru:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

To će važiti i za visinu sa samim dijagonalama.

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo razgovarati o opšti znakovi i svojstva trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o kružnici upisanoj u trapez. Dotakćemo se i osobina jednakokrakog i pravougaonog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću opisanih svojstava pomoći će vam da ga sredite u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). I to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti - okomito na baze. Središnja linija i dijagonale su nacrtane. Također je moguće nacrtati simetralu iz bilo kojeg ugla trapeza.

Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama.

Svojstva dijagonala trapeza

Da vam bude jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

  1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: HT = (a – b)/2.
  2. Pred nama je isti trapez ACME. Dijagonale se seku u tački O. Pogledajmo trouglove AOE i MOK, formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se kroz omjer baza trapeza: k = AE/KM.
    Odnos površina trouglova AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
  3. Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su segmenti dijagonala formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake po veličini - njihove su površine iste.
  4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavite stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti u određenoj tački. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
    Ako sada produžimo pravu XT, tada će ona spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T.
  5. Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtaćemo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
  6. Sada ćemo kroz tačku presjeka dijagonala nacrtati segment paralelan osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Dužinu segmenta možete pronaći pomoću formule 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno sa njegovim osnovama.

  1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i podjelom na pola: m = (a + b)/2.
  2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da li simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.

Svojstva trapeznih uglova

  1. Koji god od dva para uglova uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
  2. Spojimo sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužina segmenta TX može se lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
  3. Ako se kroz stranice ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostranog) trapeza

  1. U jednakokračnom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovi su jednaki.
  2. Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokračnog trapeza su jednake.
  3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
  4. Krug se može opisati samo oko jednakokračnog trapeza, jer je zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0 - preduslov za to.
  5. Svojstvo jednakokrakog trapeza slijedi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, onda je jednakokraki.
  6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
  7. Ponovo povucite segment TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na osnovice. A u isto vrijeme TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
  8. Ovaj put spustite visinu iz suprotnog vrha trapeza na veću osnovu (nazovimo je a). Dobićete dva segmenta. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Na taj način ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

  1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može pružati od vrha trapeza pod pravim uglom u stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
  2. Dijagonala i strana se također mogu sastati pod oštrim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
  3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove veće osnove, ako između dijagonale trapeza i stranice postoji tup ugao.
  4. Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
  5. Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći omjerom stranice trokuta i sinusom suprotnog ugla pomnoženog sa dva. na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
  6. Drugi metod: pronađite polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

  1. Ako je krug upisan u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
  2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
  3. Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru njegovih stranica.
  4. Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
  5. I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i ovaj primjer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u tački O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
    Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. bočne strane trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza se poklapa sa prečnikom upisane kružnice.

Svojstva pravougaonog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi. A njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

  1. Pravougaoni trapez ima jednu stranu okomitu na osnovu.
  2. Visina i bočna strana trapeza uz pravi ugao, su jednaki. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza ( opšta formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
  3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokaz o nekim svojstvima trapeza

Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:

  • Vjerovatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu liniju MT iz temena M, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na osnovu svojstva jednakokrakog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:

  • Prvo, nacrtajmo pravu liniju MX – MX || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Ispostavilo se da su trouglovi AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajednička stranica dva trougla. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, a iz ovoga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak pregleda

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, sa manjom osnovom čini ugao od 150 0. Morate pronaći površinu trapeza.

Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.

Uglovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Dakle, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva trapeznih uglova).

Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANC (vjerujem da je ovo očito čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je noga koja leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KH = ½AB = 4 cm.

Površinu trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva data svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svega opšta svojstva trapezi. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Video kurs “Stekni A” uključuje sve teme koje su vam potrebne uspješan završetak Jedinstveni državni ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila u matematici. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Problemi sa riječima i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složeni koncepti. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.