Kontinuitet funkcije dvije varijable u jednoj tački. Granica i kontinuitet funkcije dvije varijable

76. Uslovni ekstrem. Lagrangeova metoda množenja . Funkcija z=f(x,y) ima uslovni minimum (maksimum) u unutrašnjoj tački M 0 (x 0 ,y 0) ako za bilo koju tačku M(x,y) iz neke okoline O(M 0), zadovoljava jednačina veze ϕ(x,y)=0, uslov ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y) 0)≤ 0). U opštem slučaju, ovaj problem dovodi do pronalaženja uobičajenog Lagrangeovog ekstrema L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) sa nepoznatim Lagrangeovim množiteljem λ. Neophodan uslov za ekstremum Lagrangeove funkcije L(x,y,λ) je sistem od tri jednadžbe sa tri nepoznate x,y,λ: . Dovoljan uslov za ekstremum Lagrangeove funkcije je sljedeća izjava ∆>0, tada funkcija z=f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0) ima uslovni minimum, ∆<0- то условный максимум.

77. Brojne serije. Osnovni koncepti. Konvergencija serije . Brojne serije naziva se izrazom oblika, gdje su u 1 ,u 2 ,….,u n ,… nazivani realni ili kompleksni brojevi članovi jednog broja, u n - zajednički član red. Niz se smatra datim ako je poznat zajednički član niza u n, izražen kao funkcija njegovog broja n: u n =f(n). djelomični iznos serije i označava se sa S n, tj. S n =u 1 +u 2 +…+u n. Ako postoji konačna granica niza parcijalnih suma niza , tada se ova granica zove zbir serije i kažu da je serija konvergira.

78. Neophodan znak konvergencije. Harmonične serije. Teorema: Neka niz brojeva u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) konvergira, a S je njegov zbir. Tada, sa neograničenim povećanjem broja n članova niza, njegov zajednički član u n teži 0. Ovaj znak je neophodan, ali ne i dovoljan znak konvergencije niza, jer možete odrediti niz za koji vrijedi jednakost

U stvari, ako bi konvergirao, bio bi jednak 0. Dakle, teorema koju smo dokazali ponekad nam omogućava, bez izračunavanja sume S n , da izvedemo zaključak o divergenciji određenog niza. Na primjer, serija se razilazi jer . Harmonične serije- zbir sastavljen od beskonačnog broja članova, inverza uzastopnih brojeva prirodnog niza: Serija se naziva harmonskom jer se sastoji od "harmonika": (\displaystyle k)-ti harmonik izvučen iz žice za violinu je osnovni ton koji proizvodi žica dužine (\displaystyle (\frac (1)(k))) od dužina originalnog niza.

Definicija 1

Ako je za svaki par $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y) $ u ovoj domeni.

Notacija: $z=f(x,y)$.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ data od dvije nezavisne varijable $(x,y)$.

Napomena 1

Budući da su varijable $(x,y)$ nezavisne, jedna od njih se može mijenjati, dok druga ostaje konstantna.

Hajde da damo promenljivoj $x$ inkrement od $\Delta x$, a da vrednost varijable $y$ ostane nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $x$. Oznaka:

Definicija 2

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu $x$ date funkcije $z=f(x,y)$ je granica omjera parcijalnog inkrementa $\Delta _(x) z$ date funkcije prema povećaj $\Delta x$ na $\Delta x\ na 0$.

Zapis: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

Napomena 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

Hajde da damo promenljivoj $y$ inkrement od $\Delta y$, a da vrednost varijable $x$ ostane nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $y$. Oznaka:

Definicija 3

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu $y$ date funkcije $z=f(x,y)$ je granica omjera parcijalnog inkrementa $\Delta _(y) z$ date funkcije prema povećati $\Delta y$ na $\Delta y\ na 0$.

Zapis: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

Napomena 3

Po definiciji parcijalnog izvoda imamo:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Imajte na umu da se pravila za izračunavanje parcijalnog izvoda date funkcije poklapaju sa pravilima za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable. Međutim, prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda, potrebno je zapamtiti za koju varijablu se parcijalni izvod traži.

Primjer 1

Rješenje:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y$).

Primjer 2

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

u tački (1;2).

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (po promjenljivoj $y$).

\[\lijevo. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \lijevo. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Definicija 4

Ako je za svaku trostruku $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.

Notacija: $w=f(x,y,z)$.

Definicija 5

Ako je za svaki skup $(x,y,z,...,t)$ vrijednosti nezavisnih varijabli iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija varijable $(x,y, z,...,t)$ u ovoj oblasti.

Zapis: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Za funkciju od tri ili više varijabli, parcijalni derivati ​​u odnosu na svaku od varijabli određuju se na isti način kao i za funkciju dvije varijable:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Delta t) $.

Primjer 3

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (po promjenljivoj $z$).

Primjer 4

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

u tački (1;2;1).

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (po promjenljivoj $z$) .

Vrijednosti parcijalnih izvoda u datoj tački:

\[\lijevo. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \lijevo. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \lijevo. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Primjer 5

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (po promjenljivoj $z $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (po promjenljivoj $t $).

Odsjek: Viša matematika

Abstract

u disciplini "Viša matematika"

Tema: “Granica i kontinuitet funkcija više varijabli”

Toljati, 2008

Uvod

Koncept funkcije jedne varijable ne pokriva sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Čak iu najjednostavnijim problemima postoje veličine čije su vrijednosti određene kombinacijom vrijednosti nekoliko veličina.

Za proučavanje takvih zavisnosti uvodi se koncept funkcije nekoliko varijabli.

Pojam funkcije više varijabli

Definicija. Magnituda u naziva se funkcija nekoliko nezavisnih varijabli ( x, y, z, …, t), ako je svaki skup vrijednosti ovih varijabli povezan s određenom vrijednošću količine u.

Ako je varijabla funkcija dvije varijable X I at, tada se označava funkcionalna zavisnost

z = f (x, y).

Simbol f ovdje definira skup radnji ili pravilo za izračunavanje vrijednosti z za dati par vrijednosti X I at.

Dakle, za funkciju z = x 2 + 3xy

at X= 1 i at= 1 imamo z = 4,

at X= 2 i at= 3 imamo z = 22,

at X= 4 i at= 0 imamo z= 16, itd.

Količina se naziva slično u funkcija tri varijable x, y, z, ako je dato pravilo, kao za datu trojku vrijednosti x, y I z izračunati odgovarajuću vrijednost u:

u = F (x, y, z).

Evo simbola F definira skup radnji ili pravilo za izračunavanje vrijednosti u, što odgovara ovim vrijednostima x, y I z.

Dakle, za funkciju u = xy + 2xz – 3yz

at X = 1, at= 1 i z= 1 imamo u = 0,

at X = 1, at= -2 i z= 3 imamo u = 22,

at X = 2, at= -1 i z= -2 imamo u = -16 itd.

Dakle, ako na osnovu nekog zakona svake populacije n brojevi ( x, y, z, …, t) iz nekog skupa E dodeljuje određenu vrijednost varijabli u, onda u naziva se funkcija od n varijable x, y, z, …, t, definisano na setu E, i označava se

u = f(x, y, z, …, t).

Varijable x, y, z, …, t nazivaju se argumenti funkcije, set E– domen definicije funkcije.

Djelomična vrijednost funkcije je vrijednost funkcije u nekom trenutku M 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) i označena je f (M 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Domen funkcije je skup svih vrijednosti argumenata koji odgovaraju bilo kojoj realnoj vrijednosti funkcije.

Funkcija dvije varijable z = f (x, y) u prostoru je predstavljen nekom površinom. Odnosno, kada je tačka sa koordinatama X, at prolazi kroz čitav domen definicije funkcije koja se nalazi u ravni xOy, odgovarajuća prostorna tačka, uopšteno govoreći, opisuje površinu.

Funkcija tri varijable u = F (x, y, z) smatra se funkcijom tačke određenog skupa tačaka u trodimenzionalnom prostoru. Slično, funkcija n varijable u = f(x, y, z, …, t) se smatra funkcijom neke tačke n-dimenzionalni prostor.

Granica funkcije od nekoliko varijabli

Da bismo dali koncept granice funkcije nekoliko varijabli, ograničili smo se na slučaj dvije varijable X I at. Po definiciji, funkcija f (x, y) ima ograničenje u tački ( X 0 , at 0), jednako broju A, označen na sljedeći način:

(takođe pišu f (x, y) →A at (x, y) → (X 0 , at 0)), ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim možda u ovom trenutku i ako postoji granica

bez obzira na sklonost ( X 0 , at 0) niz tačaka ( x k, y k).

Baš kao iu slučaju funkcije jedne varijable, može se uvesti još jedna ekvivalentna definicija granice funkcije dvije varijable: funkcija f ima u tački ( X 0 , at 0) granica jednaka A, ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0) osim, možda, za samu ovu tačku i za bilo koje ε > 0 postoji δ > 0 takav da

| f (x, y) – A| < ε(3)

za svakoga (x, y) , zadovoljavajući nejednakosti

Ova je definicija, zauzvrat, ekvivalentna sljedećem: za bilo koje ε > 0 postoji δ-susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) takav da za sve ( x, y) iz ovog susjedstva, različito od ( X 0 , at 0), nejednakost (3) je zadovoljena.

Budući da koordinate proizvoljne tačke ( x, y) susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) može se napisati kao x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ at, tada je jednakost (1) ekvivalentna sljedećoj jednakosti:

Razmotrimo neku funkciju definiranu u susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim, možda, same ove tačke.

Neka je ω = (ω X, ω at) – proizvoljan vektor dužine jedan (|ω| 2 = ω X 2 + ω at 2 = 1) i t> 0 – skalar. Tačke pogleda

(X 0 + tω X, y 0 + tω at) (0 < t)

formirati zrak koji izlazi iz ( X 0 , at 0) u pravcu vektora ω. Za svaki ω možemo razmotriti funkciju

f(X 0 + tω X, y 0 + tω at) (0 < t< δ)

iz skalarne varijable t, gdje je δ prilično mali broj.

Granica ove funkcije (jedna varijabla) t)

ako postoji, prirodno je nazvati ga granicom f u tački ( X 0 , at 0) u pravcu ω.

Primjer 1. Funkcije

definisano na ravni ( x, y) osim tačke X 0 = 0, at 0 = 0. Imamo (uzmite u obzir da

(za ε > 0 postavljamo δ = ε/2 i onda | f (x, y) | < ε, если

iz čega je jasno da je granica φ u tački (0, 0) u različitim smjerovima općenito različita (vektor jedinične zrake y = kx, X> 0, ima oblik

Primjer 2. Hajde da razmotrimo R 2 funkcija

Ova funkcija u tački (0, 0) na bilo kojoj liniji y = kx prolaz kroz ishodište ima granicu jednaku nuli:

Međutim, ova funkcija nema ograničenje u tačkama (0, 0), jer kada y = x 2

Pisaćemo

|f (x, y) | > N,

čim 0<

Možemo razgovarati i o limitu f, Kada X, at → ∞:

Na primjer, u slučaju konačnog broja A Jednakost (5) se mora shvatiti u smislu da za svako ε > 0 postoji takva N> 0, što je za svakoga X, at, za koje | x| > N, |y| > N, funkcija f definisano i važi nejednakost

Mnogi fenomeni koji se javljaju u prirodi, ekonomiji i društvenom životu ne mogu se opisati pomoću funkcije jedne varijable. Na primjer, profitabilnost preduzeća zavisi od profita, fiksnog i obrtnog kapitala. Za proučavanje ove vrste zavisnosti uvodi se koncept funkcije nekoliko varijabli.

Ovo predavanje govori o funkcijama dviju varijabli, jer se svi osnovni pojmovi i teoreme formulisani za funkcije dvije varijable mogu lako generalizirati na slučaj većeg broja varijabli.

Neka B– skup uređenih parova realnih brojeva.

Definicija 1 Ako je svaki uređeni par brojeva, prema nekom zakonu, povezan s jednim realnim brojem, onda kažu da je dani funkcija dvije varijable ili . Zovu se brojevi nezavisne varijable ili argumenti funkcije, a broj je zavisna varijabla.

Na primjer, formula koja izražava zapreminu cilindra je funkcija dvije varijable: – polumjera osnove i – visine.

Par brojeva se ponekad naziva tačka, a funkcija dve varijable ponekad se naziva funkcija tačke.

Vrijednost funkcije u tački označavaju ili i nazovi privatna vrijednost funkcije dvije varijable.

Skup svih tačaka u kojima je funkcija definirana , zvao domenu definicije ovu funkciju. Za funkciju dvije varijable, domen definicije je cijela koordinatna ravan ili njen dio, ograničen jednom ili više linija.

Na primjer, domen definicije funkcije je cijela ravan i funkcije – jedinični krug sa centrom u početku ( ili .

Koncepti ograničenja i kontinuiteta funkcije dvije varijable slični su slučaju jedne varijable.

Neka biti proizvoljna tačka na ravni. – susjedstvo tačke je skup svih tačaka čije koordinate zadovoljavaju nejednakost. Drugim riječima, susjedstvo tačke su sve unutrašnje tačke kruga sa centrom u tački i poluprečnikom .

Definicija 2 Broj je pozvan granica funkcije at (ili u tački ), ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj postoji (u zavisnosti od) takav da za sve , zadovoljavajući nejednakost, nejednakost je zadovoljena .

Granica je naznačena na sljedeći način: ili .

Primjer 1 Pronađite granicu .

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju , gdje . At imamo to. Onda

.

Definicija 3 Funkcija se poziva kontinuirano u jednoj tački, ako je: 1) definisan u tački i njenoj okolini; 2) ima konačnu granicu; 3) ova granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački, tj. .

Funkcija pozvao kontinuirano u nekom području, ako je kontinuirano u svakoj tački ovog područja.

Pozivaju se tačke u kojima uslov kontinuiteta nije zadovoljen tačke prekida ovu funkciju. U nekim funkcijama tačke prekida formiraju čitave linije prekida. Na primjer, funkcija ima dvije linije prekida: axis() i axis().

Primjer 2 Pronađite tačke prekida funkcije .

Rješenje. Ova funkcija nije definirana u onim tačkama u kojima nazivnik nestaje, odnosno u tačkama u kojima ili . To je kružnica sa centrom u početku i poluprečnikom. To znači da će linija diskontinuiteta originalne funkcije biti kružnica.

2 Parcijalni derivati ​​prvog reda. Puni diferencijal.
Parcijalni derivati ​​višeg reda

Neka je data funkcija dvije varijable . Dajmo argumentu povećanje i ostavimo argument nepromijenjen. Tada će funkcija dobiti inkrement, koji se poziva privatno povećanje promjenljivom i označava se sa:

Slično, fiksiranjem argumenta i povećanjem argumenta, dobijamo djelomično povećanje funkcije promjenljivom:

Količina se zove puno povećanje funkcije u tački .

Definicija 4 Parcijalni izvod funkcije dvije varijable prema jednoj od ovih varijabli, granica omjera odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije i priraštaja date varijable se poziva kada potonja teži nuli (ako ova granica postoji).

Parcijalni izvod se označava na sljedeći način: ili , ili .

Dakle, po definiciji 4 imamo:

Parcijalne derivacijske funkcije izračunavaju se prema istim pravilima i formulama kao funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir da prilikom diferenciranja u odnosu na varijablu, smatra se konstantnim, a kada se diferencira u odnosu na varijablu smatra se konstantnim.

Primjer 3 Pronađite parcijalne izvode funkcija:

Rješenje:

1 Da bismo pronašli, računamo konstantnu vrijednost i razlikovanje kao funkcija jedne varijable:

Slično, uzimajući u obzir konstantnu vrijednost, nalazimo:

.

.

Definicija 5 Puna diferencijalna funkcija je zbir proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije prirasta odgovarajućih nezavisnih varijabli, tj.

.

Za nepopravljene: , a formula za ukupni diferencijal se može napisati kao

ili .

Primjer 4 Naći potpuni diferencijal funkcije .

Rješenje. Jer , a zatim pomoću ukupne diferencijalne formule nalazimo

.

Parcijalni derivati ​​se nazivaju parcijalni derivati ​​prvog reda.

Definicija 6 Parcijalni derivati ​​drugog reda funkcije se nazivaju parcijalni derivati ​​parcijalnih izvoda prvog reda.

Postoje četiri parcijalne derivacije drugog reda. Oni su označeni kako slijedi:

Or ; ili ;

Or ; ili .

Slično su definisani parcijalni derivati ​​3., 4. i višeg reda. Na primjer, za funkciju imamo:

; itd.

Parcijalni derivati ​​drugog ili višeg reda, uzeti u odnosu na različite varijable, nazivaju se mješoviti parcijalni derivati. Za funkciju ovo su derivati. Imajte na umu da u slučaju kada su mješoviti derivati ​​kontinuirani, jednakost vrijedi.

Primjer 5 Pronađite parcijalne izvode funkcije drugog reda.

Rješenje. Parcijalne derivacije prvog reda za ovu funkciju nalaze se u primjeru 3:

Diferenciranje po varijablama X I y, dobijamo:

3 Ekstremum funkcije nekoliko varijabli.
Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma

Definicija 7 Tačka se zove minimalna (maksimalna) tačka funkcija ako postoji susjedstvo tačke takvo da je za sve tačke iz ovog susjedstva nejednakost , ().

Minimalne i maksimalne tačke funkcije su pozvani ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su ekstremi funkcije(minimum i maksimum).

Imajte na umu da minimalne i maksimalne funkcije imaju lokalni karaktera, budući da se vrijednost funkcije u tački uspoređuje s njenim vrijednostima u tačkama koje su dovoljno blizu .

Teorema 1(neophodni uslovi za ekstrem). Ako je tačka ekstrema diferencijabilne funkcije, tada su njeni parcijalni derivati ​​u ovoj tački jednaki nuli: .

Pozivaju se tačke u kojima su parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki nuli kritičan ili stacionarni. U kritičnim tačkama funkcija može ili ne mora imati ekstrem.

Teorema 2(dovoljan uslov za ekstremum neka je funkcija: a) definisana u nekoj okolini kritične tačke, u kojoj I ; b) ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda . Onda ako , tada funkcija u tački ima ekstrem: maksimum ako je A<0; минимум, если А>0; Ako , tada funkcija nema ekstrem. U slučaju pitanje prisustva ekstremuma ostaje otvoreno.

Prilikom proučavanja funkcije dvije varijable za ekstrem, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1 Pronađite parcijalne izvode prvog reda: I .

2 Riješite sistem jednačina i pronađite kritične tačke funkcije.

3 Pronađite parcijalne izvode drugog reda: , , .

4 Izračunajte vrijednosti parcijalnih izvoda drugog reda u svakoj

dostići kritičnu tačku i, koristeći dovoljne uslove, izvući zaključak o prisustvu ekstremuma.

5 Pronađite ekstreme funkcije.

Primjer 6 Pronađite ekstreme funkcije .

Rješenje:

1 Pronalaženje parcijalnih izvoda I :

; .

2 Da bismo odredili kritične tačke, rešavamo sistem jednačina:

ili

Iz prve jednadžbe sistema nalazimo: . Zamjena pronađene vrijednosti y u drugu jednačinu dobijamo:

, , ,

.

Pronalaženje vrijednosti y, što odgovara vrijednostima . Zamjenjivanje vrijednosti u jednačinu, dobijamo: ; Tabela osnovnih neodređenih integrala jednakost je zadovoljena.

Rješenje. Hajde da razlikujemo rezultat integracije:

.

Dobili smo integrand, stoga je integracija ispravna.

Definicija 1. Broj A naziva se granica funkcije u tački (ili u i ), ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj postoji pozitivan broj takav da za sve točke koje se nalaze na udaljenosti manjoj od točke, vrijedi nejednakost

Ograničenje je naznačeno.

Definicija 2. Funkcija
naziva se kontinuiranim u tački ako granica funkcije u ovoj tački postoji i .

Tačke u kojima funkcija nema svojstvo kontinuiteta nazivaju se tačke diskontinuiteta.

Sva svojstva i metode teorije granica funkcije jedne varijable prenose se na funkcije više varijabli.

2) Slučajna varijabla je jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće. Slučajna varijabla je mjerljiva funkcija definirana na nekom prostoru vjerovatnoće

Diskretna vrijednost je slučajna varijabla koja, kada se testira, može poprimiti jednu od izolovanih vrijednosti, čiji je broj konačan. To uključuje količine iz prve grupe.
Slučajna varijabla naziva se kontinuirana, koja, u granicama svoje varijacije, može poprimiti bilo koju vrijednost, koja može biti konačna ili beskonačna. To uključuje količine iz druge grupe.

Ulaznica br. 6

1) Eksponencijacija- binarna operacija, izvorno izvedena iz ponovljenog množenja prirodnog broja sam po sebi. Oznaka: zv stepen With osnovu I indikator .

Moivreova formula za kompleksne brojeve kaže da

za bilo koga

Formula je dobila ime po matematičaru I. Moivreu, prijatelju velikog I. Newtona, koji ju je uspostavio 1707. godine; L. Euler je formuli dao moderan izgled.

Dokaz [uredi]

Moivreova formula odmah slijedi iz Eulerove formule i identiteta za eksponencijale, gdje b- cijeli broj.

Aplikacija [uredi]

Slična formula je također primjenjiva pri izračunavanju korijena n-ti stepen kompleksnog broja različitog od nule:

Gdje k = 0, 1, …, n-1.

Vjerovatnoća hipoteza

Vjerovatnoća hipoteza.

Neka se događaj A dogodi pod uslovom da se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja B1, B2, Bn, formirajući kompletnu grupu. Pošto se unaprijed ne zna koji će se od ovih događaja dogoditi, oni se nazivaju hipotezama. Vjerovatnoća pojave događaja A određena je formulom ukupne vjerovatnoće:

R(A) = R(V1)?RV1(A) + R(V2) ?RV2(A)+ ? +R(Vn) ?RVn(A)

Bayesova formula:

,

Prethodna vjerovatnoća hipoteze A(vidi dolje za značenje takve terminologije);

Vjerovatnoća hipoteze A po nastanku događaja B(posteriorna vjerovatnoća);

Vjerovatnoća da će se događaj dogoditi B ako je hipoteza tačna A;

Ukupna vjerovatnoća da će se događaj dogoditi B.

primjer:

Primjer izračuna

Neka je vjerovatnoća braka za prvog radnika , za drugog radnika - , a za trećeg - . Prvi je napravio dijelove, drugi je napravio dijelove, a treći je napravio dijelove. Menadžer radnje uzima nasumični dio i ispostavi se da je neispravan. Pitanje je koliko je vjerovatno da je treći radnik napravio ovaj dio?

Događaj - neispravan dio, događaj - dio koji je proizveo radnik. Onda , gdje , i . Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Koristeći Bayesovu formulu dobijamo:

Ulaznica br. 12

1. Trigonometrijski Fourierov niz- prikaz proizvoljne funkcije sa tačkom u obliku niza

kvote ao,an i bn se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu naći, tada se niz (1) naziva Fourierov red koji odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a1cosx+b1sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Fourierovi nizovi periodičnih funkcija s periodom 2π.

Fourierova serija

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

gdje su ao, a1,a2,...,b1,b2,.. realne konstante, tj.

2.Suprotni događaji.
Nasuprot navedite dva jedinstveno moguća događaja koji čine kompletnu grupu. Ako je jedan od dva suprotna događaja označen sa A, onda se drugi obično označava

Teorema. Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

Primjer 1. Pogađanje i promašaj prilikom gađanja mete su suprotni događaji. Ako je A pogodak, onda je suprotan događaj promašaj.

Primjer 2. Deo se nasumično uzima iz kutije. Događaji “pojavio se standardni dio” i “pojavio se nestandardni dio” su suprotni

, očigledno jednako 10/21, kao što je gore navedeno. [ 1 ]

Hajde da izračunamo verovatnoća suprotnog događaja O. Događaj je da odabrani broj ne sadrži nijednu od tri date cifre. [ 2 ]

Sum vjerovatnoće suprotnih događaja jednako jedan. [ 3 ]

U isto vreme verovatnoća suprotnog događaja A će biti veće od 1-a, odnosno biće onoliko blizu jedan koliko je vjerovatnoća događaja A blizu nuli

Ulaznica br. 9

1. Frekvencijski poligon naziva se izlomljena linija čiji segmenti spajaju tačke ( x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Da bi se konstruisao poligon frekvencija, opcije su iscrtane na osi apscise. x i , a na ordinati - odgovarajuće frekvencije n i . Poeni ( x i ; n i ) su povezani ravnim segmentima i dobija se frekvencijski poligon

Histogram frekvencije naziva se stepenasta figura koja se sastoji od pravokutnika, čije su osnove djelomične dužine h , a visine su jednake omjeru n i/h (gustina frekvencije).

2. Događaji A I IN nazivaju se nezavisnim ako P(AB) = P(A) P(B). Nekoliko događaja A, IN, WITH,... nazivaju se nezavisnim ako je vjerovatnoća njihove zajedničke implementacije jednaka umnošku vjerovatnoća svakog od njih posebno: R(ABC…) = R(A)R(IN)R(WITH)…

Ponekad omjer R(AB) = R(A) R(IN|A) = P(B)P(A|B), važi za P(A)P(B) > 0, također se naziva teorema množenja vjerovatnoće

Ulaznica br. 11

1) Slučajna varijabla X naziva se kontinuirana (kontinuirano raspoređena) varijabla ako postoji nenegativna funkcija p(t), definirana na cijeloj numeričkoj osi, takva da je za sve x funkcija distribucije slučajne varijable F(x ) je jednako:

.

U ovom slučaju, funkcija p(t) se naziva gustinom raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

Ako takva funkcija p(t) ne postoji, onda X nije kontinuirano distribuirana slučajna varijabla.

Dakle, znajući gustinu distribucije, koristeći formulu (6.7) lako se može naći funkcija raspodjele F(x). I obrnuto, koristeći poznatu funkciju distribucije, gustina distribucije se može vratiti:

Svojstva gustoće vjerovatnoće

kontinuirana slučajna varijabla:

1. Gustoća distribucije je nenegativna funkcija:

Geometrijski, to znači da se graf gustine distribucije nalazi ili iznad ose Ox ili na ovoj osi.

Uzimajući u obzir da je F(+¥)=1, dobijamo: =1. One. površina između grafika gustine vjerovatnoće i x-ose je jednaka jedan.

Ova dva svojstva su karakteristična za distribuciju gustine vjerovatnoće. Dokazana je i obrnuta izjava:

Zbir događaja A i B je treći događaj A + B, koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja A ili B.

Proizvod događaja A i B je treći događaj AB, koji se događa ako i samo ako oba događaja A i B.

Koncepti zbira i proizvoda dva događaja očito se prenose na slučaj bilo kojeg skupa događaja.

Događaj suprotan događaju A je događaj koji se događa ako i samo ako se događaj A ne dogodi.