Methode zur Variation beliebiger Konstanten
Methode zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion einer Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = F(T)
besteht darin, beliebige Konstanten zu ändern C k in der allgemeinen Entscheidung
z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)
entsprechende homogene Gleichung
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = 0
zu Hilfsfunktionen C k (T) , deren Ableitungen das lineare algebraische System erfüllen
Die Determinante des Systems (1) ist die Wronskische Funktion z 1 ,z 2 ,...,z N , was seine einzigartige Lösbarkeit in Bezug auf gewährleistet.
Wenn die Stammfunktionen für bei festen Werten der Integrationskonstanten genommen werden, dann ist die Funktion
ist eine Lösung der ursprünglichen linearen inhomogenen Differentialgleichung. Die Integration einer inhomogenen Gleichung bei Vorliegen einer allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung wird somit auf Quadraturen reduziert.
Methode zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion von Lösungen für ein System linearer Differentialgleichungen in Vektornormalform
besteht darin, eine bestimmte Lösung (1) in der Form zu konstruieren
Wo Z(T) ist die Basis von Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung, geschrieben als Matrix, und die Vektorfunktion, die den Vektor beliebiger Konstanten ersetzt, wird durch die Beziehung definiert. Die gewünschte Einzellösung (mit Null-Anfangswerten bei T = T 0 hat die Form
Für ein System mit konstanten Koeffizienten wird der letzte Ausdruck vereinfacht:
Matrix Z(T)Z− 1 (τ) genannt Cauchy-Matrix Operator L = A(T) .
Betrachten Sie nun die lineare inhomogene Gleichung
. (2)
Sei y 1 ,y 2 ,.., y n das fundamentale Lösungssystem und die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0 . Ähnlich wie bei Gleichungen erster Ordnung werden wir eine Lösung für Gleichung (2) in der Form suchen
. (3)
Lassen Sie uns überprüfen, ob eine Lösung in dieser Form existiert. Dazu setzen wir die Funktion in die Gleichung ein. Um diese Funktion in die Gleichung einzusetzen, ermitteln wir ihre Ableitungen. Die erste Ableitung ist 
. (4)
Bei der Berechnung der zweiten Ableitung erscheinen auf der rechten Seite von (4) vier Terme, bei der Berechnung der dritten Ableitung erscheinen acht Terme und so weiter. Zur Vereinfachung weiterer Berechnungen wird daher angenommen, dass der erste Term in (4) gleich Null ist. Vor diesem Hintergrund ist die zweite Ableitung gleich 
. (5)
Aus den gleichen Gründen wie zuvor setzen wir auch in (5) den ersten Term gleich Null. Schließlich ist die n-te Ableitung 
. (6)
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir 
. (7)
Der zweite Term in (7) ist gleich Null, da die Funktionen y j , j=1,2,..,n, Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0 sind. In Kombination mit dem vorherigen erhalten wir ein System algebraischer Gleichungen zum Finden der Funktionen C" j (x) 
(8)
Die Determinante dieses Systems ist die Wronsky-Determinante des fundamentalen Lösungssystems y 1 ,y 2 ,..,y n der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0 und ist daher ungleich Null. Daher gibt es eine einzigartige Lösung für System (8). Nachdem wir es gefunden haben, erhalten wir die Funktionen C "j (x), j=1,2,…,n, und folglich C j (x), j=1,2,…,n Durch Einsetzen dieser Werte in (3) erhalten wir die Lösung der linearen inhomogenen Gleichung.
Die beschriebene Methode wird als Variationsmethode einer beliebigen Konstante oder als Lagrange-Methode bezeichnet.
Beispiel 1. Finden wir die allgemeine Lösung der Gleichung y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Betrachten wir die entsprechende homogene Gleichung y "" + 4y" + 3y = 0. Die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung r 2 + 4r + 3 \u003d 0 sind gleich -1 und - 3. Daher besteht das grundlegende Lösungssystem einer homogenen Gleichung aus den Funktionen y 1 = e - x und y 2 = e -3 x. Wir suchen nach einer Lösung für eine inhomogene Gleichung in der Form y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Um die Ableitungen C " 1 , C" 2 zu finden, erstellen wir ein Gleichungssystem (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
Wenn wir das lösen, finden wir , Integrieren der erhaltenen Funktionen, wir haben 
Endlich bekommen wir
Beispiel #2. Lösen Sie lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit der Methode der Variation beliebiger Konstanten: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Lösung:
Diese Differentialgleichung gehört zu den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Wir werden die Lösung der Gleichung in der Form y = e rx suchen. Dazu stellen wir die charakteristische Gleichung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung: r 1 = 4, r 2 = 2
Das grundlegende Lösungssystem sind daher die Funktionen: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Suchen Sie nach einer bestimmten Lösung mit der Methode der Variation einer beliebigen Konstante.
Um die Ableitungen von C "i zu finden, stellen wir ein Gleichungssystem auf:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Drücken Sie C" 1 aus der ersten Gleichung aus:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
und im zweiten ersetzen. Als Ergebnis erhalten wir:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Wir integrieren die erhaltenen Funktionen C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Da y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x ist, schreiben wir die resultierenden Ausdrücke in der Form:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Somit hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
oder
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Wir finden eine bestimmte Lösung unter der Bedingung:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Wenn wir x = 0 in die gefundene Gleichung einsetzen, erhalten wir:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Wir finden die erste Ableitung der erhaltenen allgemeinen Lösung:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Wenn wir x = 0 einsetzen, erhalten wir:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Wir erhalten ein System aus zwei Gleichungen:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
oder
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
oder
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Aus: C 1 = 0, C * 2 = 2
Eine bestimmte Lösung wird wie folgt geschrieben:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder die Lagrange-Methode ist eine weitere Möglichkeit, lineare Differentialgleichungen erster Ordnung und die Bernoulli-Gleichung zu lösen.
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind Gleichungen der Form y’+p(x)y=q(x). Wenn die rechte Seite Null ist: y’+p(x)y=0, dann ist dies eine Lineare homogen Gleichung 1. Ordnung. Dementsprechend ist die Gleichung mit einer rechten Seite ungleich Null, y’+p(x)y=q(x), – heterogen lineare Gleichung 1. Ordnung.
Methode der willkürlichen konstanten Variation (Lagrange-Methode) besteht aus Folgendem:
1) Wir suchen nach einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y’+p(x)y=0: y=y*.
2) In der allgemeinen Lösung wird C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x betrachtet: C=C(x). Wir finden die Ableitung der allgemeinen Lösung (y*)' und setzen den resultierenden Ausdruck für y* und (y*)' in die Anfangsbedingung ein. Aus der resultierenden Gleichung finden wir die Funktion С(x).
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ersetzen wir anstelle von C den gefundenen Ausdruck C (x).
Betrachten Sie Beispiele zur Variationsmethode einer beliebigen Konstante. Nehmen wir die gleichen Aufgaben wie in , vergleichen wir den Lösungsverlauf und stellen wir sicher, dass die erhaltenen Antworten gleich sind.
1) y'=3x-y/x
Schreiben wir die Gleichung in Standardform um (im Gegensatz zur Bernoulli-Methode, bei der wir die Notation nur brauchten, um zu sehen, dass die Gleichung linear ist).
y'+y/x=3x (I). Jetzt geht es nach Plan.
1) Wir lösen die homogene Gleichung y’+y/x=0. Dies ist eine separierbare Variablengleichung. Stellen Sie y’=dy/dx dar, ersetzen Sie: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Teile der Gleichung mit dx und dividieren durch xy≠0: dy/y=-dx/x. Wir integrieren:
2) In der erhaltenen allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung betrachten wir С nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: С=С(x). Von hier
Die resultierenden Ausdrücke werden in Bedingung (I) eingesetzt:
Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:
hier ist C bereits eine neue Konstante.
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y \u003d C / x, in der wir C \u003d C (x) betrachtet haben, d. h. y \u003d C (x) / x, ersetzen wir anstelle von C (x) das gefundener Ausdruck x³ + C: y = (x³ +C)/x oder y=x²+C/x. Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.
Antwort: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Hier ist die Gleichung bereits in Standardform geschrieben, eine Konvertierung ist nicht erforderlich.
1) Wir lösen eine homogene lineare Gleichung y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Wir integrieren:
Um eine bequemere Schreibweise zu erhalten, nehmen wir den Exponenten hoch C als neues C:
Diese Transformation wurde durchgeführt, um das Finden der Ableitung einfacher zu machen.
2) In der erhaltenen allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung betrachten wir С nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: С=С(x). Unter dieser Bedingung
Die resultierenden Ausdrücke y und y' werden in die Bedingung eingesetzt:
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit
Wir integrieren beide Teile der Gleichung mithilfe der partiellen Integrationsformel und erhalten:
Hier ist C keine Funktion mehr, sondern eine gewöhnliche Konstante.
3) In die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
wir ersetzen die gefundene Funktion С(x):
Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.
Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante ist auch auf das Lösen anwendbar.
y’x+y=-xy².
Wir bringen die Gleichung in die Standardform: y’+y/x=-y² (II).
1) Wir lösen die homogene Gleichung y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dx und dividieren Sie durch y: dy/y=-dx/x. Jetzt integrieren wir:
Wir setzen die erhaltenen Ausdrücke in Bedingung (II) ein:
Vereinfachen:
Wir haben eine Gleichung mit trennbaren Variablen für C und x erhalten:
Hier ist C bereits eine gewöhnliche Konstante. Im Integrationsprozess haben wir statt C(x) einfach C geschrieben, um die Notation nicht zu überladen. Und am Ende sind wir zu C(x) zurückgekehrt, um C(x) nicht mit dem neuen C zu verwechseln.
3) Wir setzen die gefundene Funktion С(x) in die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y=C(x)/x ein:
Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.
Beispiele für Selbsttest:
1. Schreiben wir die Gleichung in der Standardform um: y'-2y=x.
1) Wir lösen die homogene Gleichung y'-2y=0. y’=dy/dx, also dy/dx=2y, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dx, dividiere durch y und integriere:
Von hier aus finden wir y:
Wir ersetzen die Ausdrücke für y und y’ in der Bedingung (der Kürze halber geben wir C statt C (x) und C’ statt C "(x) ein):
Um das Integral auf der rechten Seite zu finden, verwenden wir die Formel für die partielle Integration:
Jetzt setzen wir u, du und v in die Formel ein:
Hier ist C = const.
3) Nun ersetzen wir in die Lösung das Homogene
Theoretisches MinimumIn der Theorie der Differentialgleichungen gibt es eine Methode, die einen ausreichend hohen Grad an Universalität für diese Theorie beansprucht.
Wir sprechen über die Methode der Variation einer beliebigen Konstante, die auf die Lösung verschiedener Klassen von Differentialgleichungen und deren Anwendung anwendbar ist
Systeme. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Theorie – wenn man den Beweis der Aussagen aus Klammern herausnimmt – minimal ist, sich aber umsetzen lässt
aussagekräftige Ergebnisse, daher wird der Schwerpunkt auf Beispielen liegen.Die allgemeine Idee der Methode ist recht einfach zu formulieren. Lassen Sie die gegebene Gleichung (Gleichungssystem) schwer zu lösen oder sogar unverständlich sein,
Wie man es löst. Es ist jedoch ersichtlich, dass die Gleichung gelöst wird, wenn einige Terme aus der Gleichung ausgeschlossen werden. Dann lösen sie einfach so vereinfacht
Gleichung (System) erhalten Sie eine Lösung, die eine bestimmte Anzahl beliebiger Konstanten enthält – abhängig von der Reihenfolge der Gleichung (der Zahl).
Gleichungen im System). Dann wird angenommen, dass die Konstanten in der gefundenen Lösung nicht wirklich Konstanten, die gefundene Lösung, sind
in die ursprüngliche Gleichung (das ursprüngliche Gleichungssystem) eingesetzt wird, wird eine Differentialgleichung (oder ein Gleichungssystem) erhalten, um die „Konstanten“ zu bestimmen.
Es gibt eine gewisse Spezifität bei der Anwendung der Methode der Variation einer beliebigen Konstante auf verschiedene Probleme, aber das sind bereits Details, die es geben wird
mit Beispielen gezeigt.Betrachten wir separat die Lösung linearer inhomogener Gleichungen höherer Ordnung, d.h. Gleichungen der Form
.
Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung und der besonderen Lösung
gegebene Gleichung. Nehmen wir an, dass die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung bereits gefunden wurde, nämlich das fundamentale Lösungssystem (FSR) konstruiert wurde
. Dann ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
Es ist notwendig, eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden. Dabei werden Konstanten als von der Variablen abhängig betrachtet.
Als nächstes müssen Sie das Gleichungssystem lösen.
Die Theorie garantiert, dass dieses System algebraischer Gleichungen in Bezug auf Ableitungen von Funktionen eine eindeutige Lösung hat.
Beim Finden der Funktionen selbst tauchen die Integrationskonstanten nicht auf: Schließlich wird nach einer beliebigen Lösung gesucht.Bei der Lösung von Systemen linearer inhomogener Gleichungen erster Ordnung der Form
Der Algorithmus bleibt nahezu unverändert. Zuerst müssen Sie den FSR des entsprechenden homogenen Gleichungssystems ermitteln und die Fundamentalmatrix erstellen
System, dessen Spalten die Elemente des FSR sind. Als nächstes die Gleichung.
Beim Lösen des Systems bestimmen wir die Funktionen und finden so eine bestimmte Lösung für das ursprüngliche System
(Die Grundmatrix wird mit der gefundenen Merkmalsspalte multipliziert).
Wir fügen es der allgemeinen Lösung des entsprechenden Systems homogener Gleichungen hinzu, das auf der Grundlage des bereits gefundenen FSR aufgebaut ist.
Man erhält die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems.Beispiele.
Beispiel 1 Lineare inhomogene Gleichungen erster Ordnung.
Betrachten wir die entsprechende homogene Gleichung (wir bezeichnen die benötigte Funktion mit):
.
Diese Gleichung lässt sich leicht durch Trennung der Variablen lösen:
.
Nun stellen wir die Lösung der ursprünglichen Gleichung in der Form dar, wo die Funktion noch nicht gefunden wurde.
Wir setzen diese Art von Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein:
.
Wie Sie sehen, heben sich der zweite und dritte Term auf der linken Seite gegenseitig auf – dies ist ein charakteristisches Merkmal der Variationsmethode einer beliebigen Konstante.
Hier schon – tatsächlich eine willkürliche Konstante. Auf diese Weise,
.Beispiel 2 Bernoulli-Gleichung.
Wir verhalten uns ähnlich wie im ersten Beispiel – wir lösen die Gleichung
Methode der Variablentrennung. Es wird sich herausstellen, also suchen wir nach der Lösung der ursprünglichen Gleichung in der Form
.
Wir setzen diese Funktion in die ursprüngliche Gleichung ein:
.
Und wieder gibt es Kürzungen:
.
Hierbei ist darauf zu achten, dass beim Dividieren durch die Lösung nicht verloren geht. Und der Fall entspricht der Lösung des Originals
Gleichungen. Erinnern wir uns an ihn. So,.
Lass uns schreiben .
Das ist die Lösung. Beim Schreiben der Antwort sollten Sie auch die zuvor gefundene Lösung angeben, da diese keinem Endwert entspricht
Konstanten.Beispiel 3 Lineare inhomogene Gleichungen höherer Ordnung.
Wir stellen sofort fest, dass diese Gleichung einfacher gelöst werden kann, es ist jedoch zweckmäßig, die Methode darauf zu zeigen. Obwohl einige Vorteile
Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante hat es auch in diesem Beispiel.
Sie müssen also mit dem FSR der entsprechenden homogenen Gleichung beginnen. Denken Sie daran, dass zum Ermitteln des FSR das Merkmal erforderlich ist
Die gleichung
.
Somit ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
.
Die hier enthaltenen Konstanten sind zu variieren. Kompilieren eines Systems
