Wir wissen, dass die Kosinuswerte im Bereich [-1; 1], d.h. -1 ≤ cos α ≤ 1. Wenn also |a| > 1, dann hat die Gleichung cos x = a keine Wurzeln. Beispielsweise hat die Gleichung cos x = -1,5 keine Wurzeln.
Betrachten wir mehrere Probleme.
Lösen Sie die Gleichung cos x = 1/2.
Lösung.
Denken Sie daran, dass cos x die Abszisse eines Punktes auf einem Kreis mit einem Radius gleich 1 ist, der durch Drehen des Punktes P (1; 0) um einen Winkel x um den Ursprung erhalten wird.
Die Abszisse 1/2 liegt an zwei Punkten des Kreises M 1 und M 2. Da 1/2 = cos π/3, können wir Punkt M 1 aus Punkt P (1; 0) erhalten, indem wir um den Winkel x 1 = π/3 sowie um Winkel x = π/3 + 2πk drehen, wobei k = +/-1, +/-2, …
Punkt M 2 wird aus Punkt P (1; 0) durch Drehung um einen Winkel x 2 = -π/3 sowie um Winkel -π/3 + 2πk erhalten, wobei k = +/-1, +/-2 , ...
Mit den Formeln lassen sich also alle Wurzeln der Gleichung cos x = 1/2 finden
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Die beiden vorgestellten Formeln können zu einer kombiniert werden:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Lösen Sie die Gleichung cos x = -1/2.
Lösung.
Zwei Punkte auf dem Kreis M 1 und M 2 haben eine Abszisse gleich – 1/2. Da -1/2 = cos 2π/3, dann ist Winkel x 1 = 2π/3 und daher Winkel x 2 = -2π/3.
Folglich können alle Wurzeln der Gleichung cos x = -1/2 mit der Formel gefunden werden: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Somit hat jede der Gleichungen cos x = 1/2 und cos x = -1/2 unendlich viele Wurzeln. Im Intervall 0 ≤ x ≤ π hat jede dieser Gleichungen nur eine Wurzel: x 1 = π/3 ist die Wurzel der Gleichung cos, x = 1/2 und x 1 = 2π/3 ist die Wurzel der Gleichung cos x = -1/2.
Die Zahl π/3 heißt der Arkuskosinus der Zahl 1/2 und wird geschrieben: arccos 1/2 = π/3, und die Zahl 2π/3 ist der Arkuskosinus der Zahl (-1/2) und wird geschrieben: arccos (-1/2) = 2π/3 .
Im Allgemeinen hat die Gleichung cos x = a, wobei -1 ≤ a ≤ 1, nur eine Wurzel im Intervall 0 ≤ x ≤ π. Wenn a ≥ 0, dann ist die Wurzel im Intervall enthalten; wenn a< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Somit ist der Arkuskosinus der Zahl a € [-1; 1 ] ist eine Zahl a €, deren Kosinus gleich a ist:
arccos à = α, wenn cos α = à und 0 ≤ à ≤ π (1).
Zum Beispiel ist arccos √3/2 = π/6, da cos π/6 = √3/2 und 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, da cos 5π/6 = -√3/2 und 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Auf die gleiche Weise wie bei der Lösung der Probleme 1 und 2 kann gezeigt werden, dass alle Wurzeln der Gleichung cos x = a sind, wobei |a| ≤ 1, ausgedrückt durch die Formel
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Lösen Sie die Gleichung cos x = -0,75.
Lösung.
Mit Formel (2) finden wir x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Der Arcos-Wert (-0,75) kann in der Abbildung durch Messung des Winkels mit einem Winkelmesser näherungsweise ermittelt werden. Näherungswerte des Arkuskosinus können auch mit speziellen Tabellen (Bradis-Tabellen) oder einem Mikrorechner ermittelt werden. Beispielsweise kann der Wert von arccos (-0,75) mit einem Mikrorechner berechnet werden, um einen ungefähren Wert von 2,4188583 zu erhalten. Arccos (-0,75) ≈ 2,42. Daher ist arccos (-0,75) ≈ 139°.
Antwort: Arccos (-0,75) ≈ 139°.
Lösen Sie die Gleichung (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Lösung.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Antwort. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Es lässt sich beweisen, dass für jeden a € [-1; 1] gilt die Formel arccos (-à) = π – arccos à (3).
Mit dieser Formel können Sie die Arkuskosinuswerte negativer Zahlen durch die Arkuskosinuswerte positiver Zahlen ausdrücken. Zum Beispiel:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
Arccos (-√2/2) = π – Arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
Aus Formel (2) folgt, dass die Wurzeln der Gleichung, cos x = a für a = 0, a = 1 und a = -1, mit einfacheren Formeln gefunden werden können:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
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Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind die Gleichungen
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Gleichung cos(x) = a
Erklärung und Begründung
- Die Wurzeln der Gleichung cosx = a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Lass | ein |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Auf dem Intervall nimmt die Funktion y = cos x von 1 auf -1 ab. Aber eine abnehmende Funktion nimmt jeden ihrer Werte nur an einem Punkt ihres Definitionsbereichs an, daher hat die Gleichung cos x = a nur eine Wurzel in diesem Intervall, die per Definition des Arkuskosinus gleich ist: x 1 = arccos a (und für diesen Wurzelcos x = A).
Kosinus - sogar Funktion, also auf dem Intervall [-n; 0] die Gleichung cos x = und hat auch nur eine Wurzel – die Zahl gegenüber x 1, also
x 2 = -arccos a.
Somit ist im Intervall [-n; p] (Länge 2p) Gleichung cos x = a mit | ein |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Die Funktion y = cos x ist periodisch mit einer Periode von 2n, daher unterscheiden sich alle anderen Wurzeln von denen, die um 2n (n € Z) gefunden werden. Wir erhalten die folgende Formel für die Wurzeln der Gleichung cos x = a wenn
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Sonderfälle der Lösung der Gleichung cosx = a.
Es ist nützlich, sich spezielle Notationen für die Wurzeln der Gleichung cos x = a zu merken, wenn
a = 0, a = -1, a = 1, was leicht unter Verwendung des Einheitskreises als Referenz ermittelt werden kann.
Da der Kosinus gleich der Abszisse des entsprechenden Punktes des Einheitskreises ist, erhalten wir genau dann cos x = 0, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt A oder Punkt B ist.
Ebenso gilt cos x = 1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt C ist, also
x = 2πп, k € Z.
Auch cos x = -1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt D ist, also x = n + 2nn,
Gleichung sin(x) = a
Erklärung und Begründung
- Die Wurzeln der Gleichung sinx = a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
An einem Punkt zentriert A.
α
- Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.
Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Bein rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite |BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Akzeptierte Notationen
;
;
.
;
;
.
Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x
Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x
Eigenschaften von Sinus und Cosinus
Periodizität
Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.
Parität
Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.
Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme
Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).
| y = Sünde x | y = weil x | |
| Umfang und Kontinuität | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Wertebereich | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zunehmend | ||
| Absteigend | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Nullen, y = 0 | ||
| Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Grundformeln
Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus
Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz
;
;
Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus
Summen- und Differenzformeln
Sinus durch Kosinus ausdrücken
;
;
;
.
Kosinus durch Sinus ausdrücken
;
;
;
.
Ausdruck durch Tangente
; .
Wann haben wir:
;
.
Bei :
;
.
Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens
Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments. 
Ausdrücke durch komplexe Variablen
;
Eulers Formel
Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
;
.
{ -∞ <
x < +∞ }
Formeln ableiten > > >
Ableitungen n-ter Ordnung:
Sekante, Kosekans zu Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.
Arkussinus, Arkussinus
Arccosinus, arccos
Verwendete Literatur:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
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Gleichheit, die das Unbekannte unter dem Zeichen enthält trigonometrische Funktion(„sin x, cos x, tan x“ oder „ctg x“) wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und ihre Formeln werden wir weiter betrachten.
Die einfachsten Gleichungen heißen „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, wobei „x“ der zu findende Winkel und „a“ eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.
1. Gleichung „sin x=a“.
Für `|a|>1` gibt es keine Lösungen.
Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Gleichung „cos x=a“.
Für „|a|>1“ – wie im Fall des Sinus – gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.
Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Diagrammen. 
3. Gleichung „tg x=a“.
Hat unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.
Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Gleichung „ctg x=a“.
Es gibt auch unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.
Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle
Für Sinus: 
Für Kosinus: 
Für Tangens und Kotangens: 
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:
Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen
Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:
- mit Hilfe der Umwandlung in das Einfachste;
- Lösen Sie die einfachste Gleichung, die Sie mit den oben beschriebenen Wurzelformeln und Tabellen erhalten haben.
Schauen wir uns die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen an.
Algebraische Methode.
Bei dieser Methode wird eine Variable ersetzt und durch eine Gleichheit ersetzt.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0“.
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
Ersetzen Sie: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,
Wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorisierung.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „sin x+cos x=1“.
Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichheit nach links: „sin x+cos x-1=0“. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:
„sin x — 2sin^2 x/2=0“,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Antwort: „x_1=2\pi n“, „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.
Reduktion auf eine homogene Gleichung
Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf eine von zwei Formen reduzieren:
`a sin x+b cos x=0` ( homogene Gleichung ersten Grades) oder „a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0“ (homogene Gleichung zweiten Grades).
Teilen Sie dann beide Teile durch „cos x \ne 0“ – für den ersten Fall, und durch „cos^2 x \ne 0“ – für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für „tg x“: „a tg x+b=0“ und „a tg^2 x + b tg x +c =0“, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1“.
Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als „1=sin^2 x+cos^2 x“:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Seite durch „cos^2 x \ne 0“, wir erhalten:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lassen Sie uns den Ersatz „tg x=t“ einführen, was zu „t^2 + t - 2=0“ führt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind „t_1=-2“ und „t_2=1“. Dann:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Antwort. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Gehen Sie zur halben Ecke
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „11 sin x – 2 cos x = 10“.
Lösung. Wenden wir die Doppelwinkelformeln an, was zu Folgendem führt: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Unter Anwendung der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Antwort. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Einführung des Hilfswinkels
In der trigonometrischen Gleichung „a sin x + b cos x =c“, wobei a,b,c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, dividieren Sie beide Seiten durch „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist und ihre Module nicht größer als 1 sind. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dann:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „3 sin x+4 cos x=2“.
Lösung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch „sqrt (3^2+4^2)“, wir erhalten:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Bezeichnen wir „3/5 = cos \varphi“, „4/5=sin \varphi“. Da „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, dann nehmen wir „\varphi=arcsin 4/5“ als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Wenn wir die Formel für die Winkelsumme für den Sinus anwenden, schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Antwort. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Bruchrationale trigonometrische Gleichungen
Dabei handelt es sich um Gleichungen mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen enthalten.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Lösung. Multiplizieren und dividieren Sie die rechte Seite der Gleichheit durch „(1+cos x)“. Als Ergebnis erhalten wir:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir „1+cos x \ne 0“, „cos x \ne -1“, „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“.
Setzen wir den Zähler des Bruchs mit Null gleich: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Dann ist „sin x=0“ oder „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Vorausgesetzt, dass „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“ ist, sind die Lösungen „x=2\pi n, n \in Z“ und „x=\pi /2+2\pi n“. , `n \in Z`.
Antwort. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, also versuchen Sie, sich alle Formeln zu merken trigonometrische Gleichungen- Sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!
Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, das Wesentliche zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.
Unterrichtsart: eine Lernaufgabe stellen.
Unterrichtsziele:
Pädagogisch: Systematisierung des Wissens der Schüler über Methoden zur Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen, Festigung der Fähigkeiten im Umgang mit einem Kreis und einer Tabelle.
Entwicklung: Fortsetzung der Arbeit an der Ausbildung der kreativen intellektuellen Fähigkeiten der Schüler durch den Einsatz verschiedener Techniken zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
Pädagogisch: Fähigkeiten zur kollektiven geistigen Aktivität, zur gegenseitigen Unterstützung und zur Akzeptanz eines anderen Standpunkts als dem eigenen entwickeln.
Unterrichtsfortschritt
1. Erfolgssituation.
Lösen Sie die Gleichung: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.
2. Situation, Lücke“ zwischen Wissen und Unwissenheit.
Lösen Sie die Gleichung: cosx=½; cosx=a.
Diskussion.
3. Darstellung der Bildungsaufgabe.
Wie löst man eine solche Gleichung?
1) Was ist die Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis, den man erhält, wenn man den Punkt (1;0) um den Ursprung um einen Winkel dreht, der gleich ist: ?
2). Was ist gleich: 
?
Antwort:
3).Was ist gleich: .
Antwort:
;
;
(1)
.
Worte des Lehrers: Mathematiker nannten die Wörter umgekehrtes cos „ das Wort Arkuskosinus (arccos). Der Arkuskosinus einer Zahl ist eine Zahl, deren Kosinus gleich a ist:
arccosa=α, wenn cosα=a und 0≤α≤π.
4). Schreiben Sie Gleichheit (1) mit dem Arccos-Symbol.
5). Lösen Sie die Gleichungen: cosx=½, cosx=α.
Antwort: x=arccos½, x=arccosa.
6). Nennen Sie die Drehwinkel des Punktes (1;0) des Einheitskreises mit einer Abszisse gleich ½.
Antwort: Die Abszisse ist gleich ½, wenn der Punkt um einen Winkel von π/3 und -π/3 gedreht wird.
d.h. cosx=½ bei x=±arccos½
cosx=a bei x=±arccosa.
7). Was sind die Abszissen der Punkte, die man durch Drehen des Punktes (1;0) um Winkel erhält: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.
Antwort: Die Abszisse ist ½ und cosx=½ bei x=±arccos½+2πn,.
cosx=a bei x=±arccosa+2πn,.
8). Fazit: Gleichung cosx=a
1) hat Wurzeln, wenn ≤1,
2) hat keine Wurzeln, wenn >1.
9). Zusammenfassung der Lektion:
a) Für welche Werte von a und α ist die Gleichheit arccosa = α sinnvoll?
b) Wie heißt der Arkuskosinus von a?
c) Bei welchen Werten von a hat die Gleichung cosx=a Wurzeln?
d) Formel zum Finden der Wurzeln der Gleichung cosx=a.