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Positive und negative Winkel in der Trigonometrie. Zeichen trigonometrischer Funktionen Sinus Cosinus Kreis Kreis

Trigonometrischer Kreis. Einheitskreis. Zahlenkreis. Was ist das?

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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Sehr oft Begriffe trigonometrischer Kreis, Einheitskreis, Zahlenkreis wird von den Studierenden kaum verstanden. Und völlig vergeblich. Diese Konzepte sind ein leistungsstarker und universeller Helfer in allen Bereichen der Trigonometrie. Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen legalen Spickzettel! Ich habe einen trigonometrischen Kreis gezeichnet und sofort die Antworten gesehen! Verlockend? Lernen wir also, es wäre eine Sünde, so etwas nicht zu benutzen. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwierig.

Um erfolgreich mit dem trigonometrischen Kreis arbeiten zu können, müssen Sie nur drei Dinge wissen.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.


Dieser Artikel enthält Tabellen mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Zunächst stellen wir eine Tabelle mit Grundwerten bereit trigonometrische Funktionen, das heißt, eine Tabelle mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π Bogenmaß). Danach geben wir eine Tabelle mit Sinus- und Cosinuswerten sowie eine Tabelle mit Tangenten und Kotangenten von V. M. Bradis und zeigen, wie diese Tabellen zum Ermitteln der Werte trigonometrischer Funktionen verwendet werden.

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Tabelle der Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte für Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad

Referenzen.

  • Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Durchschn. Schule/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Bildung, 1990. - 272 Seiten: Abb
  • Baschmakow M. I. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Bildung, 2004. – 384 Seiten: Abb.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.
  • Bradis V. M. Vierstellige Mathematiktabellen: Für die Allgemeinbildung. Lehrbuch Betriebe. - 2. Aufl. - M.: Bustard, 1999.- 96 S.: Abb. ISBN 5-7107-2667-2

Winkel auf einem trigonometrischen Kreis zählen.

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Es ist fast das Gleiche wie in der vorherigen Lektion. Es gibt Achsen, einen Kreis, einen Winkel, alles ist in Ordnung. Viertelzahlen hinzugefügt (in den Ecken des großen Quadrats) – vom ersten bis zum vierten. Was ist, wenn jemand es nicht weiß? Wie Sie sehen können, sind die Viertel (man nennt sie auch das schöne Wort „Quadranten“) gegen den Uhrzeigersinn nummeriert. Winkelwerte auf Achsen hinzugefügt. Alles ist klar, keine Probleme.

Und ein grüner Pfeil wird hinzugefügt. Mit einem Plus. Was bedeutet es? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die feste Seite des Winkels ist Stets an die positive Halbachse OX genagelt. Wenn wir also die bewegliche Seite des Winkels drehen entlang des Pfeils mit einem Plus, d.h. in aufsteigender Reihenfolge der Viertelzahlen, Der Winkel wird als positiv betrachtet. Das Bild zeigt zum Beispiel positiver Winkel+60°.

Wenn wir die Ecken beiseite legen in die entgegengesetzte Richtung, im Uhrzeigersinn, Der Winkel wird als negativ betrachtet. Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet). Sie sehen einen blauen Pfeil mit einem Minuszeichen. Dies ist die Richtung der negativen Winkelablesung. Beispielsweise wird ein negativer Winkel (- 60°) angezeigt. Und Sie werden auch sehen, wie sich die Zahlen auf den Achsen verändert haben ... Ich habe sie auch in negative Winkel umgewandelt. Die Nummerierung der Quadranten ändert sich nicht.

Hier beginnen meist die ersten Missverständnisse. Wie so!? Was wäre, wenn ein negativer Winkel auf einem Kreis mit einem positiven zusammenfällt!? Und im Allgemeinen stellt sich heraus, dass die gleiche Position der beweglichen Seite (oder des Punktes auf Zahlenkreis) kann sowohl ein negativer als auch ein positiver Winkel genannt werden!?

Ja. Das ist richtig. Nehmen wir an, ein positiver Winkel von 90 Grad ergibt einen Kreis genau das gleiche Position als negativer Winkel von minus 270 Grad. Ein positiver Winkel beträgt beispielsweise +110° Grad genau das gleiche Position als negativer Winkel -250°.

Keine Frage. Alles ist richtig.) Die Wahl der positiven oder negativen Winkelberechnung hängt von den Bedingungen der Aufgabe ab. Wenn die Bedingung nichts sagt im Klartext über das Vorzeichen des Winkels (wie „Bestimmen Sie den kleinsten“) positiv Winkel" usw.), dann arbeiten wir mit für uns passenden Werten.

Eine Ausnahme (und wie könnten wir ohne sie leben?!) sind trigonometrische Ungleichungen, aber da werden wir diesen Trick meistern.

Und jetzt eine Frage an Sie. Woher wusste ich, dass die Position des 110°-Winkels mit der Position des -250°-Winkels übereinstimmt?
Ich möchte darauf hinweisen, dass dies mit einer vollständigen Revolution verbunden ist. In 360°... Nicht klar? Dann zeichnen wir einen Kreis. Wir zeichnen es selbst auf Papier. Ecke markieren etwa 110°. UND wir denken Wie lange dauert es noch bis zur vollständigen Revolution? Es bleiben nur noch 250° übrig...

Habe es? Und jetzt – Achtung! Wenn die Winkel 110° und -250° einen Kreis einnehmen das Gleiche Situation, was dann? Ja, die Winkel betragen 110° und -250° genau das gleiche Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens!
Diese. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) und so weiter. Das ist jetzt wirklich wichtig! Und an sich gibt es viele Aufgaben, bei denen Sie Ausdrücke vereinfachen müssen, und zwar als Grundlage für die anschließende Beherrschung von Reduktionsformeln und anderen Feinheiten der Trigonometrie.

Rein beispielhaft habe ich natürlich wahllos 110° und -250° genommen. Alle diese Gleichungen gelten für alle Winkel, die dieselbe Position auf dem Kreis einnehmen. 60° und -300°, -75° und 285° und so weiter. Lassen Sie mich gleich darauf hinweisen, dass die Winkel in diesen Paaren gleich sind anders. Aber sie haben trigonometrische Funktionen - identisch.

Ich denke, Sie verstehen, was negative Aspekte sind. Es ist ganz einfach. Gegen den Uhrzeigersinn – positive Zählung. Unterwegs - negativ. Betrachten Sie den Winkel als positiv oder negativ hängt von uns ab. Aus unserem Wunsch. Nun ja, und natürlich auch von der Aufgabe ... Ich hoffe, Sie verstehen, wie man in trigonometrischen Funktionen von negativen Winkeln zu positiven Winkeln und zurück wechselt. Zeichnen Sie einen Kreis und einen ungefähren Winkel und sehen Sie, wie viel für eine vollständige Umdrehung fehlt, d. h. bis zu 360°.

Winkel größer als 360°.

Betrachten wir Winkel, die größer als 360° sind. Gibt es solche Dinge? Gibt es natürlich. Wie zeichnet man sie auf einem Kreis? Kein Problem! Nehmen wir an, wir müssen verstehen, in welches Viertel ein Winkel von 1000° fällt? Leicht! Wir machen eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (der Winkel, den wir erhalten haben, ist positiv!). Wir haben 360° zurückgespult. Nun, lasst uns weitermachen! Noch eine Drehung – schon sind es 720°. Wie viele sind noch übrig? 280°. Für eine volle Drehung reicht es nicht... Aber der Winkel beträgt mehr als 270° – und das ist die Grenze zwischen dem dritten und vierten Viertel. Daher fällt unser Winkel von 1000° in das vierte Viertel. Alle.

Wie Sie sehen, ist es ganz einfach. Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass der Winkel von 1000° und der Winkel von 280°, die wir durch Weglassen der „zusätzlichen“ Vollumdrehungen erhalten haben, streng genommen anders Ecken. Aber die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel genau das gleiche! Diese. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° usw. Wenn ich ein Sinus wäre, würde ich den Unterschied zwischen diesen beiden Winkeln nicht bemerken ...

Warum ist das alles nötig? Warum müssen wir Winkel von einem zum anderen umrechnen? Ja, alle für das Gleiche.) Um Ausdrücke zu vereinfachen. Die Vereinfachung von Ausdrücken ist tatsächlich die Hauptaufgabe der Schulmathematik. Na ja, und ganz nebenbei wird auch der Kopf trainiert.)

Na, lasst uns üben?)

Wir beantworten Fragen. Zuerst die einfachen.

1. In welches Viertel fällt der Winkel von -325°?

2. In welches Viertel fällt der 3000°-Winkel?

3. In welches Viertel fällt der Winkel -3000°?

Irgendwelche Probleme? Oder Unsicherheit? Gehen wir zu Abschnitt 555, Praktische Arbeit mit dem trigonometrischen Kreis. Dort, in der ersten Lektion dieses sehr „ Praktische Arbeit... "alles im Detail... In solch Fragen der Unsicherheit zu sein sollte nicht!

4. Welches Vorzeichen hat sin555°?

5. Welches Vorzeichen hat tg555°?

Haben Sie sich entschieden? Großartig! Haben Sie Zweifel? Sie müssen zu Abschnitt 555 gehen... Dort lernen Sie übrigens, Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zu zeichnen. Eine sehr nützliche Sache.

Und jetzt sind die Fragen anspruchsvoller.

6. Reduzieren Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des kleinsten positiven Winkels.

7. Reduzieren Sie den Ausdruck cos777° auf den Kosinus des größten negativen Winkels.

8. Reduzieren Sie den Ausdruck cos(-777°) auf den Kosinus des kleinsten positiven Winkels.

9. Reduzieren Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des größten negativen Winkels.

Was, die Fragen 6-9 haben Sie verwirrt? Gewöhnen Sie sich daran, im Einheitlichen Staatsexamen finden Sie solche Formulierungen nicht... Sei es so, ich übersetze es. Nur für dich!

Die Worte „einen Ausdruck zu … bringen“ bedeuten, den Ausdruck so umzuwandeln, dass er seinen Wert erhält hat sich nicht geändert A Aussehen je nach Aufgabenstellung geändert. In den Aufgaben 6 und 9 müssen wir also einen Sinus erhalten, in dem sich befindet kleinster positiver Winkel. Alles andere ist egal.

Ich werde die Antworten der Reihe nach herausgeben (was gegen unsere Regeln verstößt). Aber was tun? Es gibt nur zwei Schilder und nur vier Viertel ... Sie werden nicht die Qual der Wahl haben.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Ich gehe davon aus, dass die Antworten auf die Fragen 6-9 einige Leute verwirrt haben. Besonders -sin(-57°), wirklich?) Tatsächlich gibt es in den Grundregeln zur Winkelberechnung Raum für Fehler... Deshalb musste ich eine Lektion machen: „Wie bestimmt man die Vorzeichen von Funktionen und gibt Winkel auf einem trigonometrischen Kreis an?“ In Abschnitt 555. Dort werden die Aufgaben 4 – 9 behandelt. Gut sortiert, mit allen Tücken. Und sie sind hier.)

In der nächsten Lektion beschäftigen wir uns mit dem geheimnisvollen Bogenmaß und der Zahl „Pi“. Lassen Sie uns lernen, wie Sie Grad einfach und korrekt in Bogenmaß umrechnen und umgekehrt. Und wir werden überrascht sein, diese grundlegenden Informationen auf der Website zu entdecken schon genug um einige benutzerdefinierte Trigonometrieprobleme zu lösen!

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Koordinaten X Auf dem Kreis liegende Punkte sind gleich cos(θ) und die Koordinaten j entsprechen sin(θ), wobei θ die Größe des Winkels ist.

  • Wenn es Ihnen schwerfällt, sich diese Regel zu merken, denken Sie einfach daran, dass im Paar (cos; sin) „der Sinus an letzter Stelle steht“.
  • Diese Regel lässt sich aus der Betrachtung rechtwinkliger Dreiecke und der Definition dieser trigonometrischen Funktionen ableiten (der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite und des Kosinus der benachbarten Seite zur Hypotenuse).

Notieren Sie die Koordinaten von vier Punkten auf dem Kreis. Ein „Einheitskreis“ ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Benutzen Sie dies, um die Koordinaten zu bestimmen X Und j an vier Schnittpunkten der Koordinatenachsen mit dem Kreis. Der Klarheit halber haben wir diese Punkte oben als „Osten“, „Norden“, „Westen“ und „Süden“ bezeichnet, obwohl sie keine etablierten Namen haben.

  • „Osten“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (1; 0) .
  • „Norden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; 1) .
  • „Westen“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (-1; 0) .
  • „Süden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; -1) .
  • Dies ähnelt einem normalen Diagramm, sodass Sie sich diese Werte nicht merken müssen. Denken Sie nur an das Grundprinzip.

  • Merken Sie sich die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten. Der erste Quadrant befindet sich im oberen rechten Teil des Kreises, dort sind die Koordinaten X Und j positive Werte annehmen. Dies sind die einzigen Koordinaten, die Sie sich merken müssen:

    Zeichnen Sie gerade Linien und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit dem Kreis. Wenn Sie von den Punkten eines Quadranten gerade horizontale und vertikale Linien zeichnen, haben die zweiten Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis die Koordinaten X Und j mit gleichen absoluten Werten, aber unterschiedlichen Vorzeichen. Mit anderen Worten: Sie können von den Punkten des ersten Quadranten horizontale und vertikale Linien zeichnen und die Schnittpunkte mit dem Kreis mit den gleichen Koordinaten beschriften, gleichzeitig aber links Platz für das richtige Vorzeichen („+“ lassen) oder "-").

  • Um das Vorzeichen der Koordinaten zu bestimmen, verwenden Sie die Symmetrieregeln. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Position des „-“-Zeichens festzulegen:

    • Denken Sie an die Grundregeln für reguläre Diagramme. Achse X Links negativ und rechts positiv. Achse j negativ von unten und positiv von oben;
    • Beginnen Sie mit dem ersten Quadranten und zeichnen Sie Linien zu anderen Punkten. Wenn die Linie die Achse kreuzt j, koordinieren X wird sein Vorzeichen ändern. Wenn die Linie die Achse kreuzt X, das Vorzeichen der Koordinate ändert sich j;
    • Denken Sie daran, dass im ersten Quadranten alle Funktionen positiv sind, im zweiten Quadranten nur der Sinus positiv, im dritten Quadranten nur der Tangens positiv und im vierten Quadranten nur der Kosinus positiv ist;
    • Welche Methode Sie auch verwenden, Sie sollten (+,+) im ersten Quadranten, (-,+) im zweiten, (-,-) im dritten und (+,-) im vierten erhalten.

  • Überprüfen Sie, ob Sie einen Fehler gemacht haben. Unten ist vollständige Liste Koordinaten von „speziellen“ Punkten (mit Ausnahme von vier Punkten auf den Koordinatenachsen), wenn Sie sich entlang des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn bewegen. Denken Sie daran, dass es zur Bestimmung all dieser Werte ausreicht, sich nur die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten zu merken:

    • erster Quadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
    • zweiter Quadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
    • dritter Quadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
    • vierter Quadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

    • Vielfältig. Bei einigen davon geht es darum, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und negativ ist, in welchen Vierteln der Sinus positiv und negativ ist. Alles wird einfach, wenn Sie wissen, wie man den Wert dieser Funktionen in verschiedenen Winkeln berechnet und mit dem Prinzip der Darstellung von Funktionen in einem Diagramm vertraut ist.

    Was sind die Kosinuswerte?

    Wenn wir es betrachten, haben wir das folgende Seitenverhältnis, das es bestimmt: den Kosinus des Winkels A ist das Verhältnis des Nachbarschenkels BC zur Hypotenuse AB (Abb. 1): cos A= BC/AB.

    Mit demselben Dreieck können Sie den Sinus eines Winkels, den Tangens und den Kotangens ermitteln. Der Sinus ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite des Winkels AC zur Hypotenuse AB. Der Tangens eines Winkels wird ermittelt, wenn der Sinus des gewünschten Winkels durch den Kosinus desselben Winkels geteilt wird; Wenn wir die entsprechenden Formeln zur Ermittlung von Sinus und Cosinus einsetzen, erhalten wir diesen tg A= AC/BC. Der Kotangens als Umkehrfunktion zum Tangens wird wie folgt ermittelt: ctg A= BC/AC.

    Das heißt, bei gleichen Winkelwerten wurde festgestellt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Seitenverhältnis immer gleich ist. Es scheint klar geworden zu sein, woher diese Werte kommen, aber warum erhalten wir negative Zahlen?

    Dazu müssen Sie das Dreieck in einem kartesischen Koordinatensystem betrachten, in dem es sowohl positive als auch negative Werte gibt.

    Klar über die Quartiere, wo ist welches

    Was sind kartesische Koordinaten? Wenn wir über den zweidimensionalen Raum sprechen, haben wir zwei gerichtete Linien, die sich im Punkt O schneiden – das sind die Abszissenachse (Ox) und die Ordinatenachse (Oy). Vom Punkt O in Richtung der Geraden gibt es positive Zahlen und in der entgegengesetzten Richtung negative Zahlen. Letztlich bestimmt dies direkt, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und in welchen dementsprechend negativ ist.

    Erstes Viertel

    Wenn Sie platzieren rechtwinkliges Dreieck im ersten Viertel (von 0 o bis 90 o), wo die x- und y-Achse positive Werte haben (die Segmente AO und BO liegen auf den Achsen, wo die Werte ein „+“-Zeichen haben), dann sowohl Sinus als auch Kosinus hat auch positive Werte und ihnen wird ein Wert mit einem Pluszeichen zugewiesen. Aber was passiert, wenn man das Dreieck in das zweite Viertel verschiebt (von 90° auf 180°)?

    Zweites Viertel

    Wir sehen, dass entlang der y-Achse die Beine AO ​​einen negativen Wert erhalten haben. Kosinus des Winkels A hat nun diese Seite im Verhältnis zu einem Minus, und daher wird sein Endwert negativ. Es stellt sich heraus, dass in welchem ​​Viertel der Kosinus positiv ist, von der Platzierung des Dreiecks im kartesischen Koordinatensystem abhängt. Und in diesem Fall erhält der Kosinus des Winkels einen negativen Wert. Für den Sinus hat sich jedoch nichts geändert, denn zur Bestimmung seines Vorzeichens benötigt man die OB-Seite, die in diesem Fall beim Pluszeichen blieb. Fassen wir die ersten beiden Quartale zusammen.

    Um herauszufinden, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und in welchen negativ ist (sowie Sinus und andere trigonometrische Funktionen), müssen Sie sich ansehen, welches Vorzeichen welcher Seite zugeordnet ist. Für den Kosinus des Winkels A Wichtig ist der Seiten-AO, für den Sinus der OB.

    Das erste Quartal ist bisher das einzige, das die Frage beantwortet: „In welchen Quartalen sind Sinus und Cosinus gleichzeitig positiv?“ Schauen wir weiter, ob es noch weitere Übereinstimmungen im Vorzeichen dieser beiden Funktionen geben wird.

    Im zweiten Viertel begann der Seiten-AO einen negativen Wert zu haben, was bedeutet, dass auch der Kosinus negativ wurde. Der Sinus bleibt positiv.

    Drittes Viertel

    Jetzt sind beide Seiten AO und OB negativ geworden. Erinnern wir uns an die Beziehungen für Kosinus und Sinus:

    Cos a = AO/AB;

    Sin a = VO/AV.

    AB hat in einem gegebenen Koordinatensystem immer ein positives Vorzeichen, da es in keine der beiden durch die Achsen definierten Richtungen gerichtet ist. Aber die Beine sind negativ geworden, was bedeutet, dass das Ergebnis für beide Funktionen ebenfalls negativ ist, denn wenn Sie Multiplikationen oder Divisionen mit Zahlen durchführen, von denen eine und nur eine ein Minuszeichen hat, dann wird das Ergebnis auch mit diesem Vorzeichen sein.

    Das Ergebnis zu diesem Zeitpunkt:

    1) In welchem ​​Viertel ist der Kosinus positiv? Im ersten von drei.

    2) In welchem ​​Viertel ist der Sinus positiv? Im ersten und zweiten von drei.

    Viertes Viertel (von 270 ° bis 360 °)

    Hier bekommt die Seite AO wieder ein Pluszeichen und damit auch der Kosinus.

    Für den Sinus ist es immer noch „negativ“, da der Abschnitt OB unter dem Startpunkt O bleibt.

    Schlussfolgerungen

    Um zu verstehen, in welchen Vierteln der Kosinus positiv, negativ usw. ist, müssen Sie sich die Beziehung zur Berechnung des Kosinus merken: der an den Winkel angrenzende Schenkel geteilt durch die Hypotenuse. Einige Lehrer schlagen vor, sich Folgendes zu merken: k(Osinus) = (k) Winkel. Wenn Sie sich an diesen „Cheat“ erinnern, verstehen Sie automatisch, dass der Sinus das Verhältnis des gegenüberliegenden Winkelschenkels zur Hypotenuse ist.

    Es ist ziemlich schwierig, sich zu merken, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und in welchen negativ ist. Es gibt viele trigonometrische Funktionen und alle haben ihre eigene Bedeutung. Aber dennoch als Ergebnis: Positive Werte für den Sinus betragen 1,2 Viertel (von 0 o bis 180 o); für Kosinus 1,4 Viertel (von 0 o bis 90 o und von 270 o bis 360 o). In den restlichen Vierteln haben die Funktionen Minuswerte.

    Vielleicht fällt es jemandem durch die Darstellung der Funktion leichter, sich daran zu erinnern, welches Zeichen welches ist.

    Für den Sinus ist klar, dass der Grat von Null bis 180 ° über der Linie der sin(x)-Werte liegt, was bedeutet, dass die Funktion hier positiv ist. Für den Kosinus ist es dasselbe: In welchem ​​Viertel der Kosinus positiv ist (Foto 7) und in welchem ​​er negativ ist, können Sie sehen, indem Sie die Linie über und unter der cos(x)-Achse verschieben. Daher können wir uns zwei Möglichkeiten merken, das Vorzeichen der Sinus- und Kosinusfunktionen zu bestimmen:

    1. Auf einem imaginären Kreis mit Radius gleich eins(Obwohl es eigentlich keine Rolle spielt, wie groß der Radius des Kreises ist, ist dies das in Lehrbüchern am häufigsten verwendete Beispiel; dies erleichtert das Verständnis, aber gleichzeitig, wenn Sie dies nicht reservieren ist nicht wichtig, Kinder könnten verwirrt werden).

    2. Indem wir die Abhängigkeit der Funktion entlang (x) vom Argument x selbst darstellen, wie in der letzten Abbildung.

    Mit der ersten Methode können Sie VERSTEHEN, wovon genau das Zeichen abhängt, und wir haben dies oben ausführlich erklärt. Abbildung 7, erstellt aus diesen Daten, visualisiert die resultierende Funktion und ihr Vorzeichen bestmöglich.