In der Differentialrechnung wird das Problem gelöst: Finden Sie unter dieser Funktion ƒ(x) ihre Ableitung(oder Differential). Die Integralrechnung löst das inverse Problem: Finden Sie die Funktion F(x), wobei Sie ihre Ableitung F "(x)=ƒ(x) (oder Differential) kennen. Die gesuchte Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktionƒ(x) .
Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion Funktion ƒ(x) auf dem Intervall (a; b), wenn für irgendein x є (a; b) die Gleichheit
F " (x)=ƒ(x) (oder dF(x)=ƒ(x)dx).
Zum Beispiel, die Stammfunktion der Funktion y = x 2, x є R, ist die Funktion, da
Natürlich sind alle Funktionen auch Stammfunktionen
wobei C eine Konstante ist, da
Satz 29. 1. Wenn die Funktion F(x) eine Stammfunktion der Funktion ƒ(x) auf (a;b) ist, dann ist die Menge aller Stammfunktionen für ƒ(x) durch die Formel F(x)+ gegeben C, wobei C eine konstante Zahl ist.
▲ Die Funktion F(x)+C ist eine Stammfunktion von ƒ(x).
Tatsächlich ist (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).
Sei Ф(х) eine andere Stammfunktion der Funktion ƒ(x), die sich von F(x) unterscheidet, d. h. Ф "(x)=ƒ(х). Dann gilt für jedes x є (à; b).
Und das bedeutet (siehe Folgerung 25.1).
wobei C eine konstante Zahl ist. Daher ist Ф(x)=F(x)+С.▼
Die Menge aller Stammfunktionen F(x)+С für ƒ(x) heißt unbestimmtes Integral der Funktion ƒ(x) und wird mit dem Symbol ∫ ƒ(x) dx bezeichnet.
Also per Definition 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Hier heißt ƒ(x). Integrandenfunktion, ƒ(x)dx — Integrand, X - Integrationsvariable, ∫ -Vorzeichen des unbestimmten Integrals.
Die Operation, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.
Geometrisch gesehen ist das unbestimmte Integral eine Familie „paralleler“ Kurven y=F(x)+C (jeder Zahlenwert von C entspricht einer bestimmten Kurve der Familie) (siehe Abb. 166). Der Graph jeder Stammfunktion (Kurve) heißt Integralkurve.
Hat jede Funktion ein unbestimmtes Integral?
Es gibt einen Satz, der besagt, dass „jede auf (a;b) stetige Funktion eine Stammfunktion auf diesem Intervall hat“ und folglich ein unbestimmtes Integral.
Beachten wir eine Reihe von Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die sich aus seiner Definition ergeben.
1. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, und die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:
D(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).
Tatsächlich ist d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx
(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).
Dank dieser Eigenschaft wird die Richtigkeit der Integration durch Differenzierung überprüft. Zum Beispiel Gleichberechtigung
∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С
wahr, da (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.
2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:
∫dF(x)= F(x)+C.
Wirklich,
3. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:
α ≠ 0 ist eine Konstante.
Wirklich,
(setzen Sie C 1 / a = C.)
4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Anzahl stetiger Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale der Summanden der Funktionen:
Sei F"(x)=ƒ(x) und G"(x)=g(x). Dann
wobei C 1 ±C 2 =C.
5. (Invarianz der Integrationsformel).
Wenn 
, wobei u=φ(x) eine beliebige Funktion mit stetiger Ableitung ist.
▲ Sei x eine unabhängige Variable, ƒ(x) eine stetige Funktion und F(x) ihre Stammfunktion. Dann
Setzen wir nun u=φ(x), wobei φ(x) eine stetig differenzierbare Funktion ist. Betrachten Sie die komplexe Funktion F(u)=F(φ(x)). Aufgrund der Invarianz der Form des ersten Differentials der Funktion (siehe S. 160) gilt
Von hier▼
Somit bleibt die Formel für das unbestimmte Integral gültig, unabhängig davon, ob die Integrationsvariable die unabhängige Variable oder eine Funktion davon ist, die eine stetige Ableitung hat.
Also, aus der Formel 
durch Ersetzen von x durch u (u=φ(x)) erhalten wir 
Insbesondere,
Beispiel 29.1. Finden Sie das Integral 
wobei C=C1+C 2 +C 3 +C 4.
Beispiel 29.2. Finden Sie die integrale Lösung:
- 29.3. Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale
Unter Ausnutzung der Tatsache, dass die Integration die umgekehrte Wirkung der Differenzierung ist, kann man eine Tabelle der Grundintegrale erhalten, indem man die entsprechenden Formeln der Differentialrechnung (Differentialtabelle) umkehrt und die Eigenschaften des unbestimmten Integrals verwendet.
Zum Beispiel, Weil
d(sin u)=cos u . du
Die Ableitung einer Reihe von Formeln in der Tabelle wird bei der Betrachtung der grundlegenden Integrationsmethoden angegeben.
Die Integrale in der folgenden Tabelle werden als tabellarisch bezeichnet. Sie sollten auswendig bekannt sein. In der Integralrechnung gibt es keine einfachen und universellen Regeln für die Bestimmung von Stammfunktionen von Elementarfunktionen, wie in der Differentialrechnung. Methoden zum Finden von Stammfunktionen (d. h. zum Integrieren einer Funktion) werden auf die Angabe von Techniken reduziert, die ein gegebenes (gesuchtes) Integral in ein tabellarisches Integral bringen. Daher ist es notwendig, Tabellenintegrale zu kennen und erkennen zu können.
Beachten Sie, dass in der Tabelle der Basisintegrale die Integrationsvariable sowohl eine unabhängige Variable als auch eine Funktion der unabhängigen Variablen bezeichnen kann (gemäß der Invarianzeigenschaft der Integrationsformel).
Die Gültigkeit der folgenden Formeln kann überprüft werden, indem das Differential auf der rechten Seite genommen wird, das gleich dem Integranden auf der linken Seite der Formel ist.
Beweisen wir zum Beispiel die Gültigkeit der Formel 2. Die Funktion 1/u ist definiert und stetig für alle Werte von und ungleich Null.
Wenn u > 0, dann ln|u|=lnu, dann 
Deshalb
Wenn du<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Bedeutet
Formel 2 ist also richtig. Schauen wir uns in ähnlicher Weise die Formel 15 an:
Tabelle der Hauptintegrale
Freunde! Wir laden Sie zur Diskussion ein. Wenn Sie eine eigene Meinung haben, schreiben Sie uns in den Kommentaren.
In diesem Artikel werden wir die Haupteigenschaften des bestimmten Integrals auflisten. Die meisten dieser Eigenschaften werden auf der Grundlage der Konzepte des bestimmten Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen.
Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt sehr oft anhand der ersten fünf Eigenschaften, daher werden wir bei Bedarf auf diese zurückgreifen. Die übrigen Eigenschaften des bestimmten Integrals werden hauptsächlich zur Auswertung verschiedener Ausdrücke verwendet.
Bevor es weitergeht Grundeigenschaften des bestimmten Integrals, stimmen wir zu, dass a nicht größer als b ist.
Für die Funktion y = f(x), definiert bei x = a, ist die Gleichheit wahr.
Das heißt, der Wert eines bestimmten Integrals mit den gleichen Integrationsgrenzen ist gleich Null. Diese Eigenschaft ist eine Folge der Definition des Riemannschen Integrals, da in diesem Fall jede Integralsumme für jede Teilung des Intervalls und jede Punktwahl gleich Null ist, da daher der Grenzwert der Integralsummen Null ist.
Für eine in einem Intervall integrierbare Funktion gilt: 
.
Mit anderen Worten: Wenn die Ober- und Untergrenzen der Integration ihre Position ändern, ändert sich der Wert des bestimmten Integrals ins Gegenteil. Diese Eigenschaft eines bestimmten Integrals folgt auch aus dem Konzept des Riemannschen Integrals, lediglich die Nummerierung der Teilung des Segments sollte am Punkt x = b beginnen.
für Funktionen, die in einem Intervall y = f(x) und y = g(x) integrierbar sind.
Nachweisen.
Schreiben wir die Integralsumme der Funktion auf 
für eine gegebene Teilung eines Segments und eine gegebene Auswahl an Punkten: 
Dabei sind und die Integralsummen der Funktionen y = f(x) bzw. y = g(x) für eine gegebene Partition des Segments.
An die Grenze gehen bei 
Wir erhalten, dass dies nach der Definition des Riemann-Integrals äquivalent zur Aussage der zu beweisenden Eigenschaft ist.
Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen des bestimmten Integrals entnommen werden. Das heißt, für eine Funktion y = f(x), die in einem Intervall und einer beliebigen Zahl k integrierbar ist, gilt die folgende Gleichheit: 
.
Der Beweis dieser Eigenschaft des bestimmten Integrals ist dem vorherigen absolut ähnlich: 
Die Funktion y = f(x) sei im Intervall X integrierbar und 
und dann 
.
Diese Eigenschaft gilt sowohl für , als auch oder .
Der Beweis kann anhand der bisherigen Eigenschaften des bestimmten Integrals erfolgen.
Wenn eine Funktion in einem Intervall integrierbar ist, dann ist sie in jedem internen Intervall integrierbar.
Der Beweis basiert auf der Eigenschaft von Darboux-Summen: Wenn neue Punkte zu einer bestehenden Partition eines Segments hinzugefügt werden, verringert sich die untere Darboux-Summe nicht und die obere erhöht sich nicht.
Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar ist, dann 
.
Diese Eigenschaft wird durch die Definition des Riemannschen Integrals bewiesen: Jede Integralsumme für beliebige beliebige Teilungspunkte des Segments und Punkte bei Will ist nicht negativ (nicht positiv).
Folge.
Für auf einem Intervall integrierbare Funktionen y = f(x) und y = g(x) gelten folgende Ungleichungen: 
Diese Aussage bedeutet, dass die Integration von Ungleichungen zulässig ist. Wir werden dieses Korollar verwenden, um die folgenden Eigenschaften zu beweisen.
Sei die Funktion y = f(x) im Intervall integrierbar, dann gilt die Ungleichung 
.
Nachweisen.
Das ist offensichtlich 
. In der vorherigen Eigenschaft haben wir herausgefunden, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann, daher ist sie wahr 
. Diese doppelte Ungleichung kann geschrieben werden als .
Dann seien die Funktionen y = f(x) und y = g(x) auf dem Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar 
, Wo 
Und .
Der Beweis erfolgt analog. Da m und M die kleinsten und größten Werte der Funktion y = f(x) auf dem Segment sind, dann 
. Die Multiplikation der doppelten Ungleichung mit einer nicht negativen Funktion y = g(x) führt uns zur folgenden doppelten Ungleichung. Wenn wir es über das Intervall integrieren, gelangen wir zu der zu beweisenden Aussage.
Folge.
Wenn wir g(x) = 1 annehmen, dann nimmt die Ungleichung die Form an 
.
Erste Durchschnittsformel.
Die Funktion y = f(x) sei auf dem Intervall integrierbar, und , dann gibt es eine solche Zahl 
.
Folge.
Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall stetig ist, dann gibt es eine solche Zahl 
.
Die erste Durchschnittswertformel in verallgemeinerter Form.
Die Funktionen y = f(x) und y = g(x) seien auf dem Intervall integrierbar, und und g(x) > 0 für jeden Wert des Arguments. Dann gibt es eine solche Zahl 
.
Zweite Durchschnittsformel.
Wenn auf einem Intervall die Funktion y = f(x) integrierbar und y = g(x) monoton ist, dann existiert eine Zahl mit der Gleichheit 
.
Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Fakt 1. Integration ist die umgekehrte Aktion der Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion ist somit wiederhergestellt F(X) heißt Stammfunktion für Funktion F(X).
Definition 1. Funktion F(X F(X) in einem bestimmten Intervall X, wenn für alle Werte X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit F "(X)=F(X), also diese Funktion F(X) ist die Ableitung der Stammfunktion F(X). .
Zum Beispiel die Funktion F(X) = Sünde X ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = cos X auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde X)" = (cos X) .
Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion F(X) ist die Menge aller seiner Stammfunktionen. In diesem Fall wird die Notation verwendet
∫
F(X)dx
,Wo ist das Schild? ∫ nennt man das Integralzeichen, die Funktion F(X) – Integrandenfunktion und F(X)dx – Integrandenausdruck.
Also, wenn F(X) – eine Stammfunktion für F(X) , Das
∫
F(X)dx = F(X) +C
Wo C - beliebige Konstante (Konstante).
Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angemessen. Es soll eine Tür geben (traditionelle Holztür). Seine Funktion besteht darin, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Aus Holz. Das bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden der Funktion „eine Tür sein“, also ihr unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, was in diesem Zusammenhang möglich ist bezeichnen beispielsweise die Baumart. So wie eine Tür mit einigen Werkzeugen aus Holz hergestellt wird, wird mit Hilfe einer Stammfunktion eine Ableitung einer Funktion „erstellt“. Formeln, die wir beim Studium der Ableitung gelernt haben .
Dann ähnelt die Funktionstabelle allgemeiner Objekte und ihrer entsprechenden Stammfunktionen („eine Tür sein“ – „ein Baum sein“, „ein Löffel sein“ – „metall sein“ usw.) der Tabelle der Grundfunktionen unbestimmte Integrale, die weiter unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet allgemeine Funktionen auf und gibt die Stammfunktionen an, aus denen diese Funktionen „erstellt“ sind. In einem Teil der Probleme zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden Integranden angegeben, die ohne großen Aufwand direkt, also über die Tabelle der unbestimmten Integrale, integriert werden können. Bei komplexeren Problemen muss zunächst der Integrand transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.
Fakt 2. Bei der Wiederherstellung einer Funktion als Stammfunktion müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen. C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Menge von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante schreiben C, zum Beispiel so: 5 X³+C. Im Ausdruck der Stammfunktion ist also eine beliebige Konstante (Konstante) enthalten, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, zum Beispiel 5 X³+4 oder 5 X³+3 und bei der Differenzierung gehen 4 oder 3 oder jede andere Konstante auf Null.
Stellen wir das Integrationsproblem: für diese Funktion F(X) Finde eine solche Funktion F(X), deren Ableitung gleich F(X).
Beispiel 1. Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion
Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion
Funktion F(X) heißt Stammfunktion der Funktion F(X), wenn die Ableitung F(X) ist gleich F(X) oder, was dasselbe ist, Differential F(X) ist gleich F(X) dx, d.h.
(2)
Daher ist die Funktion eine Stammfunktion der Funktion. Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie dienen auch als Funktionen
Wo MIT– beliebige Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.
Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie unendlich viele Stammfunktionen, die sich um einen konstanten Term unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in der obigen Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.
Satz (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn F(X) – Stammfunktion für die Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für F(X) im gleichen Intervall können in der Form dargestellt werden F(X) + C, Wo MIT– beliebige Konstante.
Im nächsten Beispiel wenden wir uns der Tabelle der Integrale zu, die in Absatz 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir die gesamte Tabelle lesen, damit das Wesentliche des oben Gesagten klar wird. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.
Beispiel 2. Finden Sie Mengen von Stammfunktionen:
Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen „gemacht“ werden. Wenn wir Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren wir vorerst einfach, dass es dort solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale selbst etwas genauer studieren.
1) Anwendung der Formel (7) aus der Integraltabelle für N= 3, wir erhalten
2) Verwendung der Formel (10) aus der Integraltabelle für N= 1/3, wir haben
3) Seitdem
dann nach Formel (7) mit N= -1/4 finden wir
Unter dem Integralzeichen wird nicht die Funktion selbst geschrieben F und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht in erster Linie, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,
,
;
hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale in den betrachteten Fällen erweisen sich als unterschiedlich. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion der Variablen betrachtet X und im zweiten - als Funktion von z .
Der Prozess, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.
Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals
Angenommen, wir müssen eine Kurve finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass der Tangens des Tangentenwinkels an jedem seiner Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.
Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Tangens der Neigungswinkel der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert der Ableitung F"(x). Wir müssen also eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). In der Aufgabe erforderliche Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Die Bedingungen des Problems werden nicht von einer Kurve, sondern von einer Kurvenschar erfüllt. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus durch Parallelverschiebung entlang der Achse erhalten werden Oy.
Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) Integralkurve. Wenn F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) Es gibt eine Integralkurve.
Fakt 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt , wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Koordinatenursprung wird durch eine beliebige Integrationskonstante bestimmt C.
Eigenschaften des unbestimmten Integrals
Fakt 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden und sein Differential ist gleich dem Integranden.
Fakt 5. Satz 2. Unbestimmtes Integral des Differentials einer Funktion F(X) ist gleich der Funktion F(X) bis zu einem konstanten Begriff , d.h.
(3)
Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differenzierung und Integration zueinander inverse Operationen sind.
Fakt 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden , d.h.
Das Lösen von Integralen ist eine einfache Aufgabe, aber nur für einige wenige. Dieser Artikel richtet sich an diejenigen, die Integrale verstehen lernen möchten, aber nichts oder fast nichts über sie wissen. Integral... Warum wird es benötigt? Wie berechnet man es? Was sind bestimmte und unbestimmte Integrale?
Wenn die einzige Verwendung, die Sie für ein Integral kennen, darin besteht, mit einer Häkelnadel in Form eines Integralsymbols etwas Nützliches aus schwer zugänglichen Stellen zu holen, dann sind Sie herzlich willkommen! Erfahren Sie, wie Sie einfachste und andere Integrale lösen und warum Sie in der Mathematik nicht darauf verzichten können.
Wir studieren das Konzept « Integral »
Integration war schon damals bekannt Altes Ägypten. Natürlich nicht drin moderne Form, aber trotzdem. Seitdem haben Mathematiker viele Bücher zu diesem Thema geschrieben. Besonders hervorgehoben haben sie sich Newton Und Leibniz , aber das Wesen der Dinge hat sich nicht geändert.
Wie kann man Integrale von Grund auf verstehen? Auf keinen Fall! Um dieses Thema zu verstehen, benötigen Sie noch Grundkenntnisse der Grundlagen der mathematischen Analyse. Wir haben bereits Informationen zu , die zum Verständnis von Integralen notwendig sind, auf unserem Blog.
Unbestimmtes Integral
Lassen Sie uns eine Funktion haben f(x) .
Unbestimmte Integralfunktion f(x) Diese Funktion wird aufgerufen F(x) , deren Ableitung gleich der Funktion ist f(x) .
Mit anderen Worten, ein Integral ist eine umgekehrte Ableitung oder eine Stammfunktion. Wie das geht, lesen Sie übrigens in unserem Artikel.
Für alle stetigen Funktionen existiert eine Stammfunktion. Außerdem wird der Stammfunktion oft ein konstantes Vorzeichen hinzugefügt, da die Ableitungen von Funktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, zusammenfallen. Der Vorgang, das Integral zu finden, wird Integration genannt.
Einfaches Beispiel:
Um nicht ständig Stammfunktionen elementarer Funktionen berechnen zu müssen, ist es sinnvoll, diese in eine Tabelle einzutragen und vorgefertigte Werte zu verwenden.
Vollständige Integraltabelle für Studierende
Bestimmtes Integral
Wenn wir uns mit dem Konzept eines Integrals befassen, haben wir es mit unendlich kleinen Größen zu tun. Das Integral hilft bei der Berechnung der Fläche einer Figur, der Masse eines ungleichmäßigen Körpers, der bei ungleichmäßiger Bewegung zurückgelegten Strecke und vielem mehr. Man sollte bedenken, dass ein Integral die Summe einer unendlich großen Anzahl unendlich kleiner Terme ist.
Stellen Sie sich als Beispiel einen Graphen einer Funktion vor.
Wie finde ich die Fläche einer Figur, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird? Verwenden eines Integrals! Teilen wir das krummlinige Trapez, begrenzt durch die Koordinatenachsen und den Funktionsgraphen, in unendlich kleine Segmente. Auf diese Weise wird die Figur in dünne Spalten unterteilt. Die Summe der Flächen der Säulen ergibt die Fläche des Trapezes. Denken Sie jedoch daran, dass eine solche Berechnung ein ungefähres Ergebnis liefert. Je kleiner und schmaler die Segmente sind, desto genauer ist die Berechnung. Wenn wir sie so weit reduzieren, dass die Länge gegen Null tendiert, dann tendiert die Summe der Flächen der Segmente zur Fläche der Figur. Dies ist ein bestimmtes Integral, das wie folgt geschrieben wird:
Die Punkte a und b heißen Integrationsgrenzen.
« Integral »
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Eigenschaften des unbestimmten Integrals
Wie löst man ein unbestimmtes Integral? Hier betrachten wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die bei der Lösung von Beispielen nützlich sein werden.
- Die Ableitung des Integrals ist gleich dem Integranden:
- Die Konstante kann unter dem Integralzeichen entnommen werden:
- Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Dies gilt auch für den Unterschied:
Eigenschaften eines bestimmten Integrals
- Linearität:
- Das Vorzeichen des Integrals ändert sich, wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden:
- Bei beliebig Punkte A, B Und Mit:
Wir haben bereits herausgefunden, dass ein bestimmtes Integral der Grenzwert einer Summe ist. Aber wie erhält man beim Lösen eines Beispiels einen bestimmten Wert? Dafür gibt es die Newton-Leibniz-Formel:
Beispiele für die Lösung von Integralen
Im Folgenden betrachten wir das unbestimmte Integral und Beispiele mit Lösungen. Wir empfehlen Ihnen, die Feinheiten der Lösung selbst herauszufinden und bei Unklarheiten in den Kommentaren Fragen zu stellen.
Um den Stoff zu vertiefen, sehen Sie sich ein Video darüber an, wie Integrale in der Praxis gelöst werden. Verzweifeln Sie nicht, wenn das Integral nicht sofort angegeben wird. Wenden Sie sich an einen professionellen Service für Studenten, und jedes Dreifach- oder Kurvenintegral über einer geschlossenen Fläche liegt in Ihrer Macht.
Lassen Sie die Funktion j = F(X) ist auf dem Intervall [ definiert A, B ], A < B. Lassen Sie uns die folgenden Operationen durchführen:
1) lasst uns teilen [ A, B] Punkte A = X 0 < X 1 < ... < X ich- 1 < X ich < ... < X N = B An N Teilsegmente [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X ich- 1 , X ich ], ..., [X N- 1 , X N ];
2) in jedem der Teilsegmente [ X ich- 1 , X ich ], ich = 1, 2, ... N, wähle einen beliebigen Punkt und berechne den Wert der Funktion an diesem Punkt: F(z i ) ;
3) Finden Sie die Werke F(z i ) · Δ X ich , wobei die Länge des Teilsegments [ X ich- 1 , X ich ], ich = 1, 2, ... N;
4) Lass uns versöhnen Integralsumme Funktionen j = F(X) auf dem Segment [ A, B ]:
Aus geometrischer Sicht ist diese Summe σ die Summe der Flächen von Rechtecken, deren Grundflächen Teilsegmente sind [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X ich- 1 , X ich ], ..., [X N- 1 , X N ], und die Höhen sind gleich F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) entsprechend (Abb. 1). Bezeichnen wir mit λ Länge des längsten Teilsegments:
5) Finden Sie den Grenzwert der Integralsumme, wenn λ → 0.
Definition. Wenn es einen endlichen Grenzwert der Integralsumme (1) gibt und dieser nicht von der Methode der Segmentaufteilung abhängt [ A, B] auf Teilsegmente, noch aus der Auswahl von Punkten z i in ihnen heißt dann diese Grenze bestimmtes Integral aus der Funktion j = F(X) auf dem Segment [ A, B] und wird bezeichnet
Daher,
In diesem Fall die Funktion F(X) heißt integrierbar An [ A, B]. Zahlen A Und B werden als untere bzw. obere Integrationsgrenze bezeichnet, F(X) – Integrandenfunktion, F(X ) dx– Integrandenausdruck, X– Integrationsvariable; Segment [ A, B] wird als Integrationsintervall bezeichnet.
Satz 1. Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B], dann ist es auf diesem Intervall integrierbar.
Das bestimmte Integral mit den gleichen Integrationsgrenzen ist gleich Null:
Wenn A > B, dann nehmen wir per Definition an
2. Geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals
Lassen Sie das Segment weiter [ A, B] wird eine stetige nichtnegative Funktion angegeben j = F(X ) . Krummliniges Trapez ist eine nach oben durch den Graphen einer Funktion begrenzte Figur j = F(X), von unten - entlang der Ox-Achse, nach links und rechts - gerade Linien x = ein Und x = b(Abb. 2).
Bestimmtes Integral von nichtnegative Funktion j = F(X) ist aus geometrischer Sicht gleich der Fläche gebogenes Trapez, oben begrenzt durch den Graphen der Funktion j = F(X), links und rechts – Liniensegmente x = ein Und x = b, von unten - ein Segment der Ox-Achse.
3. Grundlegende Eigenschaften des bestimmten Integrals
1. Der Wert des bestimmten Integrals hängt nicht von der Bezeichnung der Integrationsvariablen ab:
2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem Vorzeichen des bestimmten Integrals entnehmen:
3. Das bestimmte Integral der algebraischen Summe zweier Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der bestimmten Integrale dieser Funktionen:
4.If-Funktion j = F(X) ist integrierbar auf [ A, B] Und A < B < C, Das
5. (Mittelwertsatz). Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B], dann gibt es auf diesem Segment einen solchen Punkt
4. Newton-Leibniz-Formel
Satz 2. Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] Und F(X) eine seiner Stammfunktionen auf diesem Segment ist, dann ist die folgende Formel gültig:
was heißt Newton-Leibniz-Formel. Unterschied F(B) - F(A) wird normalerweise wie folgt geschrieben:
wobei das Symbol als doppelter Platzhalter bezeichnet wird.
Somit kann Formel (2) geschrieben werden als:
Beispiel 1. Integral berechnen
Lösung. Für den Integranden F(X ) = X 2 Eine beliebige Stammfunktion hat die Form
Da in der Newton-Leibniz-Formel jede Stammfunktion verwendet werden kann, nehmen wir zur Berechnung des Integrals die Stammfunktion mit der einfachsten Form:
5. Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral
Satz 3. Lassen Sie die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B]. Wenn:
1) Funktion X = φ ( T) und seine Ableitung φ "( T) sind stetig für ;
2) eine Reihe von Funktionswerten X = φ ( T) für ist das Segment [ A, B ];
3) φ ( A) = A, φ ( B) = B, dann ist die Formel gültig
was heißt Variablenersetzungsformel in bestimmtes Integral.
Im Gegensatz zum unbestimmten Integral in diesem Fall keine Notwendigkeit Um zur ursprünglichen Integrationsvariablen zurückzukehren, reicht es aus, nur neue Integrationsgrenzen α und β zu finden (dazu müssen Sie nach der Variablen auflösen). T Gleichungen φ ( T) = A und φ ( T) = B).
Statt Ersatz X = φ ( T) können Sie die Substitution verwenden T = G(X). In diesem Fall geht es darum, neue Integrationsgrenzen für eine Variable zu finden T vereinfacht: α = G(A) , β = G(B) .
Beispiel 2. Integral berechnen
Lösung. Lassen Sie uns mithilfe der Formel eine neue Variable einführen. Indem wir beide Seiten der Gleichheit quadrieren, erhalten wir 1 + x = T 2 , Wo x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt. Wir finden neue Grenzen der Integration. Dazu ersetzen wir die alten Grenzwerte in der Formel x = 3 und x = 8. Wir bekommen: , von wo T= 2 und α = 2; , Wo T= 3 und β = 3. Also,
Beispiel 3. Berechnen
Lösung. Lassen u= Protokoll X, Dann , v = X. Nach Formel (4)