In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Qualitätsmerkmale verwalteter Systeme erläutert. Diese Eigenschaften sind Systemstabilität, Genauigkeit und Störfestigkeit.
Das Konzept der Stabilität bezieht sich auf die Situation, in der die Eingangssignale des Systems Null sind, d. h. Es gibt keine äußeren Einflüsse. In diesem Fall sollte sich ein ordnungsgemäß aufgebautes System in einem Gleichgewichtszustand (Ruhezustand) befinden oder sich diesem Zustand allmählich nähern. In instabilen Systemen kommt es auch bei null Eingangssignalen zu Eigenschwingungen und in der Folge zu unzulässig großen Fehlern.
Der Begriff der Genauigkeit ist mit der Betriebsqualität geregelter Systeme bei sich ändernden Eingangssignalen verbunden. In richtig ausgelegten Steuersystemen sollte die Größe der Abweichung zwischen dem spezifizierten Steuergesetz g(t) und dem Ausgangssignal x(t) gering sein.
Um schließlich die Auswirkung von Störungen auf Steuerungssysteme zu charakterisieren, wird die Varianz oder Standardabweichung der Fehlerkomponente aufgrund der Auswirkung von Störungen verwendet.
Konzept der Nachhaltigkeit
Eine der ersten Fragen, die sich bei der Erforschung und Gestaltung linearer Regelungssysteme stellt, ist die Frage nach deren Stabilität. Das lineare System heißt nachhaltig, wenn es, wenn es durch äußere Einflüsse aus einem Gleichgewichtszustand (Ruhe) gebracht wird, nach dem Wegfall äußerer Einflüsse wieder in diesen Zustand zurückkehrt. Wenn das System nach dem Wegfall äußerer Einflüsse nicht in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt, dann ist es so instabil. Für die normale Funktion des Steuerungssystems ist es notwendig, dass es stabil ist, da sonst große Fehler darin auftreten.
Die Stabilitätsbestimmung erfolgt in der Regel am Anfangsstadium Aufbau eines Managementsystems. Dies hat zwei Gründe. Erstens ist die Stabilitätsanalyse recht einfach. Zweitens können instabile Systeme korrigiert werden, d.h. durch Hinzufügen spezieller Korrekturlinks in stabile umgewandelt.
Stabilitätsanalyse nach algebraischen Kriterien
Die Stabilität eines Systems hängt von der Art seiner eigenen Schwingungen ab. Um dies zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass das System durch die Differentialgleichung beschrieben wird
oder, nach der Laplace-Transformation,
wobei g(p) die Eingabeaktion ist.
Ein stabiles System kehrt in den Ruhezustand zurück, wenn die Eingabeaktion g(p) 0 ist. Für ein stabiles System muss die Lösung einer homogenen Differentialgleichung daher gegen Null tendieren, da t gegen Unendlich tendiert.
Wenn die Wurzeln p1, p2, ..., pn der charakteristischen Gleichung gefunden werden, wird die Lösung der homogenen Gleichung in der Form geschrieben.
In welchen Fällen ist das System stabil?
Nehmen wir an, dass pk = ak eine reelle Wurzel ist.
Der Begriff ck entspricht ihm. Wenn ja< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, dann x(t), wenn t gegen Unendlich geht; . Schließlich ändert sich im Fall von ak = 0 der betrachtete Term nicht, selbst wenn t gegen Unendlich tendiert.
Nehmen wir nun an, dass dies die komplexe Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Beachten Sie, dass es in diesem Fall auch die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Zwei komplexe konjugierte Wurzeln entsprechen Termen der Form , .
Außerdem, wenn ja< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – Schwingungen mit zunehmender Amplitude und bei ak = 0 – Schwingungen mit konstanter Amplitude сk.
Das System ist also stabil, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen Gleichung negativ sind. Wenn mindestens eine Wurzel einen Realteil ak ³ 0 hat, dann ist das System instabil. Ein System liegt an der Stabilitätsgrenze, wenn mindestens eine Wurzel der charakteristischen Gleichung einen Realteil von Null hat und die Realteile aller anderen Wurzeln negativ sind.
Diese Definition lässt sich geometrisch gut veranschaulichen. Stellen wir die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als Punkte auf der komplexen Ebene dar (Abb. 15).
Liegen alle Wurzeln in der linken Halbebene der komplexen Variablen, dann ist das System stabil. Liegt mindestens eine Wurzel in der rechten Halbebene einer komplexen Variablen, ist das System instabil. Liegen die Wurzeln auf der imaginären Achse und in der linken Halbebene, dann liegt das System an der Stabilitätsgrenze.
Betrachten wir als Beispiel ein Regelsystem mit einem integrierenden Glied. In diesem Fall ist H(p) = , , und die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreissystems
.
Systemausgabe x(p) = W(p)g(p) oder 
. Beachten Sie, dass die charakteristische Gleichung p+k=0 geschrieben wird, indem der Nenner der Übertragungsfunktion des Regelsystems auf Null gesetzt wird. In diesem Fall gibt es eine Wurzel p1= -k<
0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда 
. Die charakteristische Gleichung lautet p2 + + k = 0. Daher ist p1,2=. Das System befindet sich an der Grenze der Stabilität. Darin liegen ungedämpfte Schwingungen vor.
Stabilitätsanalyse anhand von Häufigkeitskriterien
Der Hauptnachteil des betrachteten algebraischen Ansatzes zur Stabilitätsanalyse besteht darin, dass es in komplexen Kontrollsystemen schwierig ist, einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln des Nenners pk, k=1, 2, ..., n und den Parametern des Elementars herzustellen Verbindungen, aus denen das Steuerungssystem besteht. Dies führt zu Schwierigkeiten bei der Korrektur instabiler Systeme. Um die Stabilitätsanalyse zu vereinfachen, ist es wünschenswert, diese Analyse unter Verwendung der Übertragungsfunktion H(p) des Steuerungssystems durchzuführen.
1932 entwickelte der amerikanische Wissenschaftler Nyquist eine effektive Methode zur Analyse der Stabilität von Rückkopplungsverstärkern. Im Jahr 1938 wurde der sowjetische Wissenschaftler A.V. Mikhailov verallgemeinerte die Nyquist-Methode auf automatische Regelsysteme mit geschlossenem Regelkreis.
Das Nyquist-Kriterium basiert auf der Konstruktion eines Hodographen der Übertragungsfunktion H(jw) eines Steuersystems mit offenem Regelkreis. Hodograph der Übertragungsfunktion H(jw) ist die Kurve, die vom Ende des Vektors H(jw) =|H(jw)|ejj(w) auf der komplexen Ebene gezeichnet wird, wenn die Frequenz w von 0 bis unendlich gemessen wird.
Das Nyquist-Stabilitätskriterium lässt sich am einfachsten formulieren: Ein Regelsystem mit geschlossenem Regelkreis ist stabil, wenn der Hodograph der Übertragungsfunktion H(jw) des Regelsystems keinen Punkt mit den Koordinaten (-1, j0) auf dem Komplex abdeckt Flugzeug. Die Abbildungen zeigen Beispiele für Hodographen stabiler (Abb. 16, a) und instabiler (Abb. 16, b) Kontrollsysteme.
Wenn der Hodograph den Punkt -1 durchläuft, befindet sich das System an der Grenze der Stabilität. In diesem Fall können bei einer bestimmten Frequenz H(jw0)= -1 ungedämpfte Schwingungen der Frequenz w0 im System existieren. In instabilen Systemen wird der Signalpegel x(t) mit der Zeit ansteigen. Bei stabilen - abnehmen.
Stabilitätsspielraum
Ein weiterer Vorteil des betrachteten Kriteriums ist die Möglichkeit, den Stabilitätsspielraum des Steuerungssystems zu bestimmen. Die Stabilitätsmarge wird durch zwei Indikatoren charakterisiert: Stabilitätsspielraum zur Verstärkung Und Phasenstabilitätsmarge.
Stabilitätsspielraum der Bewehrung wird durch den Wert g =1/|H(jw0)| bestimmt, wobei w0 die Frequenz ist, bei der 
(Abb. 17, a). Der Stabilitätsspielraum g gibt an, wie oft sich der Modul der Übertragungsfunktion eines Steuerungssystems mit offenem Regelkreis ändern (erhöhen) muss, damit sich das Regelsystem mit geschlossenem Regelkreis an der Stabilitätsgrenze befindet. Der erforderliche Stabilitätsspielraum hängt davon ab, um wie viel der Übertragungskoeffizient des Systems während des Betriebs im Vergleich zum berechneten Wert ansteigen kann.
Phasenstabilitätsmarge wird durch den Winkel geschätzt, wobei die Frequenz wсp genannt wird Grenzfrequenz, wird durch die Bedingung |H(jwcp)|=1 bestimmt (Abb. 17, b).
Der Wert von Dj gibt an, um wie viel sich die Phasencharakteristik des Steuersystems ändern muss, damit sich das Regelsystem an der Stabilitätsgrenze befindet. Der Phasenstabilitätsspielraum wird normalerweise als ausreichend angesehen, wenn
|Dj| ³ 30o.
Stabilitätsanalyse mit logarithmischen Amplituden-Frequenz-Kennlinien
In vielen Fällen kann ein Steuerungssystem mit offenem Regelkreis dargestellt werden als: serielle Verbindung n Standardverbindungen mit Übertragungsfunktionen 
. In diesem Fall wird die Übertragungsfunktion des Open-Loop-Systems durch das Produkt bestimmt 
. Logarithmischer Amplituden-Frequenzgang 
entspricht der Summe der LAX der einzelnen Links:
.
Da der LAC vieler Elementarverbindungen durch gerade Liniensegmente angenähert werden kann, wird der LAC eines Steuersystems mit offenem Regelkreis auch in Form von geraden Liniensegmenten dargestellt, deren Steigungen zur Frequenzachse ein Vielfaches von 20 Dezibel pro Dekade betragen.
Beispiel. Die Übertragungsfunktion des Open-Loop-Systems habe die folgende Form
.
Ein solches System enthält zwei Integratoren, eine Zwangsverbindung mit einer Übertragungsfunktion 
und eine aperiodische Verbindung mit einer Übertragungsfunktion 
. Stellen wir den LAC einzelner Verbindungen eines solchen Systems in Form von Diagrammen in Abb. dar. 18, a. Wenn wir die dargestellten Diagramme zusammenfassen, erhalten wir den LAC des Open-Loop-Systems (Abb. 18, b).
Wie aus den obigen Abbildungen hervorgeht, ist der Aufbau des gesamten LAC recht einfach. Es ist lediglich erforderlich, die Änderung der Steigung des LAC an den Punkten und entsprechend den konjugierten Frequenzen der erzwingenden und aperiodischen Verbindungen zu berücksichtigen.
Überprüfung der Stabilitätsbedingungen eines geschlossenen Systems automatische Steuerung Es ist notwendig, eine Phasen-Frequenz-Kennlinie im gleichen logarithmischen Maßstab entlang der Frequenzachse zu erstellen 
. Die Erfahrung aus technischen Berechnungen zeigt jedoch, dass ein Regelsystem mit geschlossenem Regelkreis in der Regel stabil ist und einen Stabilitätsspielraum aufweist, wenn der LAC des Regelsystems in der Nähe der Frequenz liegt
Der Cutoff hat eine Steigung von –20 dB/Dez. In diesem Fall gilt: Je länger dieser Abschnitt des LAR ist, desto größer ist der Stabilitätsspielraum. Es wird allgemein angenommen, dass die Länge eines Abschnitts mit einer Steigung von 20 dB/Dez mindestens 1 Dekade betragen sollte. Es gibt stabile Selbstfahrlafetten mit einer LAC-Steigung von mehr als -20 dB/Dez, aber bei solchen Systemen ist der Stabilitätsspielraum in der Regel sehr gering.
Nehmen wir an, dass das untersuchte ACS eine Steigung um die Grenzfrequenz von mehr als -20 dB/Dez aufweist (Abb. 19).
Wenn man bedenkt, dass, wenn die Verbindungen eines ACS in Reihe geschaltet werden, ihre LACs summiert werden, ist es notwendig, in das ACS eine Verbindung aufzunehmen, die die Stabilität des Systems gewährleistet. Im betrachteten Fall kann eine solche Verbindung die in Abb. dargestellte Verbindung mit dem LAC sein. 20.
Tatsächlich erhalten wir nach Summierung des LAC des Steuersystems (Abb. 19) und der zusätzlichen Verbindung einen LAC mit einer konstanten Steigung von 20 dB/Dez bei allen Frequenzen, einschließlich
Grenzfrequenz. Im betrachteten Beispiel beträgt die Übertragungsfunktion des zusätzlichen Korrekturglieds Hф(jw) =1+jwTф und w1 = 1/Tф. Die Einführung zusätzlicher Verbindungen zur Gewährleistung der Stabilität von Steuerungssystemen wird genannt Korrektur Selbstfahrende Waffen und die Einheiten selbst - korrigierend.
In diesem Abschnitt wurden Methoden zur Untersuchung eines der wichtigsten Indikatoren für die Qualität von Kontrollsystemen untersucht – der Stabilität linearer Systeme. Die Anwendung dieser Methoden auf die Analyse spezifischer Systeme erfolgt üblicherweise wie folgt. Zunächst wird der LAC des Open-Loop-Steuerungssystems aufgebaut. Wenn das System instabil ist, werden Korrekturelemente so ausgewählt und in das System eingebracht, dass die Steigung des LAC bei der Grenzfrequenz 20 dB/Dez beträgt und der notwendige Stabilitätsspielraum gewährleistet ist. Danach ist es notwendig, die Stabilität des angepassten Systems anhand des Nyquist-Mikhailov-Kriteriums zu untersuchen und die genauen Werte der Stabilitätsmargen in Bezug auf Verstärkung und Phase zu bestimmen. Bei Bedarf werden dann die Parameter des Steuerungssystems geändert, um den vorgegebenen Stabilitätsspielraum sicherzustellen.
7.1. Das Konzept der Stabilität selbstfahrender Waffen
Der Stabilitätsbegriff ist die wichtigste qualitative Beurteilung der dynamischen Eigenschaften eines automatischen Steuerungssystems. Die Stabilität des ACS hängt mit der Art seines Verhaltens nach Beendigung des äußeren Einflusses zusammen, der durch Lösen der Differentialgleichung, die den Betrieb des Systems beschreibt, beurteilt werden kann. Allgemeine Theorie Nachhaltigkeit entwickelt von A.M. Ljapunow. Ein lineares System heißt stabil, wenn seine Ausgangskoordinate unter allen betragsmäßig begrenzten Eingangseinflüssen begrenzt bleibt. Nachhaltigkeit lineares System wird durch seine Eigenschaften bestimmt und ist nicht von vorhandenen Einflüssen abhängig.
Im allgemeinen Fall hat die Lösung der Gleichung die Form: y(t)= y B (t) + y n (t)
wobei y B (t) die Lösung ist homogene Gleichung(transiente oder freie Komponente); y n (t) – stabiler Wert der Regelgröße (erzwungene Komponente) – Lösung der Gleichung mit der rechten Seite. Die Stabilität des Systems wird durch die transiente Komponente bestimmt. Wenn die Übergangskomponente des Steuerungsprozesses nach dem Wegfall des äußeren Einflusses gegen Null tendiert, dann ist ein solches System stabil. Mit anderen Worten: Die Stabilität eines Systems ist die Abschwächung seiner transienten Prozesse.
Wenn die freie Komponente einen endlichen Wert annimmt oder die Form harmonischer Schwingungen mit konstanter Amplitude hat, gilt das System als neutral. Wenn der freie Anteil unbegrenzt zunimmt oder mit zunehmender Amplitude die Form harmonischer Schwingungen aufweist, gilt das System als instabil.
Die Stabilitätsbewertung erfolgt auf der Grundlage der Ergebnisse der Untersuchung der freien Komponente, die eine Lösung einer homogenen Differentialgleichung (charakteristische Gleichung) darstellt: D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Übergangskomponente der Lösung zur Gleichung in allgemeiner Form y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i), wobei α i ± jβ i die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind; A i ,Φ i sind Konstanten.
In diesem Fall geht die Übergangskomponente mit zunehmender Zeit gegen Null, wenn die Realteile der Wurzeln α i negativ sind, andernfalls nimmt die Schwingungsamplitude der Übergangskomponente zu (Abb. 4.1).
Abb.4.1. Diagramme von Übergangskomponenten
Ein Paar imaginärer Wurzeln (α i =0) der charakteristischen Gleichung ermöglicht es uns, eine Übergangskomponente in Form von Selbstschwingungen mit konstanter Amplitude zu erhalten:
Die resultierenden Wurzeln der charakteristischen Gleichung können als Punkte auf der komplexen Ebene dargestellt werden (Abb. 4.2.).
Abb.4.2. Lage der ACS-Wurzeln auf der komplexen Wurzelebene
Für stabile Systeme ist es notwendig und ausreichend, dass alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung links von der imaginären Achse der komplexen Ebene der Wurzeln liegen. Wenn sich rechts von der imaginären Achse mindestens eine reelle Wurzel oder ein Paar komplex konjugierter Wurzeln befindet, ist das System instabil. Wenn es eine Nullwurzel oder ein Paar rein imaginärer Wurzeln gibt, gilt das System als neutral (an der Grenze von Stabilität und Instabilität gelegen). Somit ist die imaginäre Achse der komplexen Ebene die Stabilitätsgrenze.
Um die Analyse der Systemstabilität zu vereinfachen, wurden eine Reihe spezieller Methoden entwickelt, die als Stabilitätskriterien bezeichnet werden. Stabilitätskriterien werden in zwei Typen unterteilt: algebraische (Kriterium). Gurvitsa) und Häufigkeit (Kriterien Michailowa Und Nyquist). Algebraische Kriterien sind analytisch und Häufigkeitskriterien sind grafisch-analytisch. Stabilitätskriterien ermöglichen auch die Beurteilung des Einflusses von Systemparametern auf die Stabilität.
Das algebraische Hurwitz-Kriterium wird häufig bei der Analyse von ATS verwendet. Zunächst wird die Matrix der Hauptdeterminante aus den Koeffizienten der Gleichung (4.1) zusammengestellt:
Entlang der Diagonale der Matrix werden von der oberen linken Ecke aus alle Koeffizienten der Gleichung (4.1.) der Reihe nach geschrieben, beginnend mit a1. Anschließend wird jede Spalte der Matrix so ergänzt, dass die Koeffizientenindizes von der Diagonale nach oben zunehmen und nach unten abnehmen.
Für die Stabilität des Systems ist es notwendig und ausreichend, dass für a0>0 auch alle Winkeldeterminanten (Minor) positiv sind, d. h.
usw.
Die letzte Hurwitz-Determinante ist, wie aus der obigen Matrix ersichtlich ist, gleich Δ n =a n *Δ n-1. Daher reduziert sich seine Positivität für Δ n-1 >0 auf die Bedingung a n >0. Für Systeme erster und zweiter Ordnung reduziert sich das Hurwitz-Kriterium einfach auf die Positivität der Koeffizienten ai. Ist die Determinante Δ n =0, dann befindet sich das System an der Stabilitätsgrenze. Aus der Bedingung Δ n-1 =0 lassen sich die Parameter bestimmen, bei denen sich das System an der Stabilitätsgrenze befindet, beispielsweise die kritische Verstärkung eines automatischen Steuersystems mit offenem Regelkreis K cr.
Das Mikhailov-Kriterium beinhaltet die Konstruktion eines Hodographen auf einer komplexen Ebene. Um einen Hodographen aus der charakteristischen Gleichung eines Systems mit geschlossenem Regelkreis (4.1) zu konstruieren, erhält man durch Einsetzen von p=jω einen analytischen Ausdruck für den Vektor M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Gleichung (4.2) ist komplex und kann wie folgt dargestellt werden:
Der Hodograph wird unter Verwendung der Vektorgleichung M(jω) erstellt, wenn sich die Frequenz von 0 auf + ändert. Die Stabilität des Systems wird anhand des Drehwinkels des Hodographen bei Frequenzänderung 0 beurteilt<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)
, (4.3)
wobei m die Anzahl der rechten Wurzeln des charakteristischen Polynoms ist; n ist die Ordnung der charakteristischen Gleichung des Systems.
Dann ist es für die Stabilität eines linearen Systems n-ter Ordnung notwendig und ausreichend, dass die Änderung des Hodographenarguments M(jω) beim Wechsel von 0 nach + gleich n ist, da m=0, um die Stabilität des zu gewährleisten System.
Das Mikhailov-Kriterium ist wie folgt formuliert: Das System ist stabil, wenn der Mikhailov-Hodograph M(jω) beim Wechsel von 0 nach +, beginnend am positiven Teil der reellen Achse, nacheinander in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) n Quadranten durchläuft und im n-ten Quadranten ging an .
Beginnt der Hodograph am Nullpunkt der komplexen Ebene oder durchläuft diesen Punkt mit einer bestimmten Frequenz, dann gilt das System als neutral. In diesem Fall ist P(ω) = 0 und Q(ω) = 0.
Aus diesen Gleichungen lässt sich ermitteln, bei welchen Parameterwerten sich das System an der Stabilitätsgrenze befindet (kritische Werte). Abbildung 4.3 zeigt Mikhailovs Hodographen für stabile und instabile Selbstfahrlafetten.
Abb.4.3. Mikhailovs Hodographen
Es gibt eine zweite Formulierung des Mikhailov-Kriteriums: Für die Stabilität des Systems ist es notwendig und ausreichend, dass sich die Wurzeln der Gleichungen P(ω) = 0 und Q(ω) = 0 abwechseln (alternieren), d.h. Der Hodograph schnitt konsequent die Achsen der komplexen Ebene. Diese Formulierung eignet sich zur Untersuchung der Stabilität von Systemen bis einschließlich fünfter Ordnung. Mit Gleichung (4.3) können wir die Anzahl der richtigen Wurzeln in instabilen Systemen bestimmen.
| 7.4. Frequenz-Nyquist-Stabilitätskriterium |
Das Nyquist-Kriterium ist ein Frequenzkriterium, das die Beurteilung der Stabilität eines Systems mit geschlossenem Regelkreis anhand der Art des Amplituden-Phasen-Frequenzgangs eines Systems mit offenem Regelkreis ermöglicht. Der AFC kann experimentell oder analytisch ermittelt werden. Die analytische Konstruktion des AFC erfolgt mit herkömmlichen Methoden. Das Nyquist-Kriterium wird unterschiedlich formuliert, je nachdem, ob das Open-Loop-System stabil ist oder nicht.
Wenn das Open-Loop-System stabil ist, ist es für die Stabilität des Closed-Loop-Systems notwendig und ausreichend, dass die AFC-Antwort des Open-Loop-Systems bei einer Frequenzänderung von 0 auf den Punkt nicht mit Koordinaten überdeckt -I, j0. Wenn die AFC-Antwort eines Open-Loop-Systems durch den Punkt mit den Koordinaten -I, j0 verläuft, ist das System neutral. Abbildung 4.4 zeigt die AFC-Eigenschaften statischer Systeme mit offenem Regelkreis. Mit dem Nyquist-Kriterium können Sie die Auswirkung einer Änderung der Parameter der Übertragungsfunktion auf die Stabilität des Systems eindeutig verfolgen.
Abb.4.4. AFC von Selbstfahrlafetten mit offenem Regelkreis
Die AFC eines astatischen Systems, beginnend auf der reellen positiven Halbachse, bei ω->0, bewegt sich mit einem Bogen von unendlich großem Radius zu einem Winkel gleich -ν, wobei ν die Ordnung des Astatismus ist. Abbildung 4.5 zeigt den Phasenfrequenzgang eines astatischen Systems erster Ordnung, das im geschlossenen Zustand stabil ist.
Abb.4.5. AFFC von astatischen Selbstfahrlafetten erster Ordnung
Wenn ein System mit offenem Regelkreis instabil ist, ist es für die Stabilität eines Systems mit geschlossenem Regelkreis notwendig und ausreichend, dass die AFC-Antwort des Systems mit offenem Regelkreis einen Punkt mit den Koordinaten (-1, j0) abdeckt und wenn die Frequenz wechselt von 0 auf, dreht sich m-mal gegen den Uhrzeigersinn, wobei m die Anzahl der rechten Pole des offenen Regelkreissystems ist.
Es gibt zwei Klassen von Selbstfahrlafetten: absolut stabil und bedingt stabil. In der ersten Klasse von Systemen kann nur eine Erhöhung der Verstärkung eines Open-Loop-Systems zu einem Stabilitätsverlust führen, und ein bedingt stabiles System kann sowohl bei einer Erhöhung als auch bei einer Verringerung der Verstärkung instabil werden.
Für absolut stabile Systeme wird das Konzept der Stabilitätsmarge in der Amplitude (Modul) und der Stabilitätsmarge in der Phase eingeführt. Stabilitätsmargen werden bei der Grenzfrequenz ω cf bestimmt, bei der A(ω cf)=1 ist.
Der Amplitudenstabilitätsspielraum wird durch einen bestimmten Wert 1/a festgelegt (Abb. 4.6), der zeigt, wie oft die Verstärkung eines Open-Loop-Systems erhöht werden kann, sodass sich das ACS an der Stabilitätsgrenze befindet.
Abb.4.6. AFC eines absolut stabilen Systems
Der Phasenstabilitätsspielraum wird durch einen bestimmten Winkel φ festgelegt (Abb. 4.6). In gut gedämpften Systemen beträgt der Amplitudenspielraum etwa 6–20 dB, was auf einer linearen Skala 2 ÷ 10 entspricht, und der Phasenspielraum beträgt 30 bis 60°.
Am bequemsten lässt sich die Stabilität mithilfe des konstruierten L.A.H. untersuchen. und l.f.h., indem man sie so untereinander platziert, dass die Ordinatenachsen ausgerichtet sind und den gleichen Maßstab für die Abszissenachse wählt (Abb. 4.7).
Abb.4.7. LFC eines absolut stabilen Systems
Aus dem LFC eines Open-Loop-Systems ist es möglich, die Stabilitätsreserven zu bestimmen: Die Phasenreserve φ zap wird entsprechend der l.f.h. gezählt. bei der Grenzfrequenz ω avg und ist gleich φ zap =π - φ(ω avg), und die Amplitudenreserve L zap entspricht dem Wert von l.a.h. bei der Frequenz, bei der die L.F.H. gleich -π (Abb. 4.7). Wenn φ(ω av)=-&pi, dann befindet sich das System an der Stabilitätsgrenze. Die kritische Verstärkung des Open-Loop-Systems K cr wird aus dem Ausdruck 20*lg(K cr)=20*lg(K mal) + L app bestimmt.
Das Nyquist-Kriterium eignet sich gut zur Untersuchung der Stabilität von Systemen mit Verzögerung. In diesem Fall wird der LFC des Open-Loop-ACS mit der Verzögerung W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ konstruiert. Der logarithmische Frequenzgang ändert sich nicht, aber die L.F.H. verschiebt sich um den Betrag -ω i τ nach unten, wobei ω i der Frequenzwert an einem bestimmten Punkt ist. Der kritische Wert der reinen Verzögerungszeit τ cr, bei dem sich das ACS an der Stabilitätsgrenze befindet, wird durch die Formel ermittelt: .
Um ein System mit gegebenen Qualitätsindikatoren zu entwerfen, wird um einen Punkt mit den Koordinaten (-1, j0) ein verbotener Bereich erstellt, in den der AFC des Open-Loop-Systems nicht eindringen sollte, wie in Abb. 4.8 dargestellt.
7.5. Logarithmischer Frequenztest.
Das logarithmische Kriterium ist ein Frequenzkriterium, das es ermöglicht, die Stabilität eines ACS mit geschlossenem Regelkreis anhand der Art der logarithmischen Charakteristik eines Systems mit offenem Regelkreis zu beurteilen. Dieses Kriterium basiert auf einem eindeutigen Zusammenhang zwischen LFFC und AFFC automatischer Steuerungssysteme. Gleichzeitig werden automatische Steuerungssysteme betrachtet, die auf dem Einsatz stabiler Open-Loop-Systeme basieren. Darüber hinaus werden Systeme mit einem Astatismus nicht höher als zweiter Ordnung berücksichtigt.
Wie aus dem Nyquist-Stabilitätskriterium in stabilen automatischen Steuerungssystemen hervorgeht, kann die Phasenverschiebung nur dann einen Wert erreichen, wenn die Module der komplexen Übertragungsfunktion kleiner als eins sind. Dies erleichtert die Bestimmung der Stabilität anhand der Art von LFC und LFFC.
Formulierung des Kriteriums: Für die Stabilität des Systems im geschlossenen Zustand ist es notwendig und ausreichend, dass in dem Frequenzbereich, in dem der LFC des Open-Loop-Systems größer als Null ist, die Anzahl der Übergänge der Phasencharakteristik der Geraden von unten beträgt nach oben übersteigt die Anzahl der Übergänge von oben nach unten, wobei a die Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems mit offenem Regelkreis ist, die in der rechten Halbebene liegen.
Im besonderen Fall eines stabilen Systems mit offenem Regelkreis (a=0) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ein System mit geschlossenem Regelkreis die Notwendigkeit, die folgende Bedingung zu erfüllen. In dem Frequenzbereich, in dem der Phasenfrequenzgang die gerade Linie nicht schneidet, oder sie von unten nach oben und von oben nach unten gleich oft kreuzen sollte.
Reis. 6. LFCH von stabilen und instabilen selbstfahrenden Waffen
Der kritische Wert des Konvertierungskoeffizienten ist der Wert, bei dem die AFC den Punkt (-1, j0) durchläuft und sich das System an der Stabilitätsgrenze befindet.
Der Modulspielraum ist der Wert in Dezibel, um den der Umwandlungskoeffizient des ACS geändert werden muss, um ihn an die Stabilitätsgrenze zu bringen.
,
wobei die Frequenz ist, bei der die Phasencharakteristik gleich ist.
Der Phasenstabilitätsspielraum ist der Winkel, um den die Amplituden-Phasen-Kennlinie eines Systems mit offenem Regelkreis gedreht werden muss, damit sich das Regelsystem mit geschlossenem Regelkreis an der Stabilitätsgrenze befindet.
,
Dabei ist der Wert des Phasengangs bei der Grenzfrequenz des Systems, für das die Bedingung erfüllt ist.
Eine notwendige Bedingung Die Leistung eines automatischen Kontrollsystems (ACS) ist seine Stabilität. Unter Stabilität versteht man üblicherweise die Eigenschaft eines Systems, den Gleichgewichtszustand, aus dem es unter dem Einfluss von Störfaktoren entfernt wurde, nach Wegfall ihres Einflusses wiederherzustellen.Darstellung des Problems
Erhalten eines einfachen, visuellen und öffentlich zugänglichen Werkzeugs zur Lösung von Problemen bei der Berechnung der Stabilität automatischer Steuerungssysteme, die eine Voraussetzung für die Leistung jedes Industrieroboters und Manipulators sind.Die Theorie ist einfach und prägnant
Bei der Analyse der Systemstabilität mit der Mikhailov-Methode geht es darum, ein charakteristisches Polynom eines Regelkreissystems (Nenner der Übertragungsfunktion) und eine komplexe Frequenzfunktion (charakteristischer Vektor) zu konstruieren:Wo und sind jeweils der Real- und Imaginärteil des Nenners der Übertragungsfunktion, anhand derer man die Stabilität des Systems beurteilen kann.
Ein geschlossenes ACS ist stabil, wenn die komplexe Frequenzfunktion beginnt bei
Pfeile sind der Koordinatenursprung und passieren nacheinander n Quadranten, wobei n die Ordnung der charakteristischen Gleichung des Systems ist, d. h.
(2)
Abbildung 1. Amplituden-Phasen-Kennlinien (Hodogramme) des Mikhailov-Kriteriums: a) – stabiles System; b) – instabiles System (1, 2) und System an der Grenze der Stabilität (3)
ACS mit elektrischem Antrieb für einen Industrieroboter-Manipulator (IRM)
Abbildung 2 – Blockdiagramm von ACS mit MPR-Elektroantrieb
Die Übertragungsfunktion dieses ACS hat den folgenden Ausdruck:
(3)
wobei kу die Verstärkung des Verstärkers ist, km der Proportionalitätskoeffizient der Motordrehzahl zum Wert der Ankerspannung ist, Tу die elektromagnetische Zeitkonstante des Verstärkers ist, Tm die elektromechanische Zeitkonstante des Motors unter Berücksichtigung der Trägheit der Last (gemäß seinen dynamischen Eigenschaften ist der Motor eine Übertragungsfunktion von in Reihe geschalteten Trägheits- und Integrationsgliedern), kds – Proportionalitätskoeffizient zwischen den Eingangs- und Ausgangswerten des Geschwindigkeitssensors, K – Verstärkung des Hauptstroms Schaltung: .
Numerische Werte Der Ausdruck der Übertragungsfunktion lautet wie folgt:
K = 100 Grad / (V∙s); kds = 0,01 V / (Grad∙s); Tу = 0,01 s; Tm = 0,1s.
Ersetzen von s durch:
(4)
Python-Lösung
Das ist hier zu beachten ähnliche Aufgaben Bisher hat es noch niemand in Python gelöst, zumindest habe ich es nicht gefunden. Dies lag daran Behinderungen mit arbeiten komplexe Zahlen. Mit der Einführung von SymPy können Sie Folgendes tun:Aus Sympy-Import * T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True) z=factor ((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+ 1 ) print ("Charakteristisches Polynom eines Systems mit geschlossenem Regelkreis -\n%s"%z)
Wobei I eine imaginäre Einheit ist, w die Kreisfrequenz ist, T1= Tу = 0,01, T2= Tm = 0,1
Wir erhalten einen erweiterten Ausdruck für das Polynom:
Charakteristisches Polynom eines geschlossenen Systems –
Wir sehen sofort, dass es sich um ein Polynom dritten Grades handelt. Jetzt erhalten wir den Imaginär- und Realteil in einer symbolischen Darstellung:
Zr=re(z) zm=im(z) print("Realteil Re= %s"%zr) print("Imaginärteil Im= %s"%zm)
Wir bekommen:
Echter Teil Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Imaginärer Teil Im= -T1*T2*w**3 + w
Wir sehen sofort den zweiten Grad des Realteils und den dritten Grad des Imaginärteils. Bereiten wir Daten für die Konstruktion von Mikhailovs Hodographen vor. Geben wir numerische Werte für T1 und T2 ein, ändern die Frequenz in Schritten von 0,1 von 0 auf 100 und zeichnen das Diagramm:
Von numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt x= y= plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show() 
Aus der Grafik geht nicht klar hervor, dass der Hodograph auf der realen positiven Achse beginnt. Sie müssen den Maßstab der Achsen ändern. Hier ist die vollständige Auflistung des Programms:
From sympy import * from numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True) z=factor((T1*w*I+1)*(T2*w *I+1)*w*I+1) print("Charakteristisches Polynom eines Systems mit geschlossenem Regelkreis -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Realteil Re = %s" %zr) print("Imaginärteil Im= %s"%zm) x= y= plt.axis([-150.0, 10.0, -15.0, 15.0]) plt.plot(x, y) plt. Grid(True) plt.show()
Wir bekommen:
-I*T1*T2*w**3 - T1*w**2 - T2*w**2 + I*w + 1
Echter Teil Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Imaginärer Teil Im= -T1*T2*w**3 + w
Jetzt ist klar, dass der Hodograph auf der wirklich positiven Achse beginnt. Das ACS ist stabil, n=3, der Hodograph stimmt mit dem in der ersten Abbildung gezeigten überein.
Darüber hinaus können Sie sicherstellen, dass der Hodograph auf der realen Achse beginnt, indem Sie dem Programm für w=0 den folgenden Code hinzufügen:
Print("Startpunkt M(%s,%s)"%(zr.subs((T1:0.01,T2:0.1,w:0)),zm.subs((T1:0.01,T2:0.1,w: 0))))
Wir bekommen:
Ausgangspunkt M(1,0)
ACS-Schweißroboter
Die Spitze der Schweißeinheit (WSU) wird an verschiedene Stellen der Karosserie gebracht und führt schnell und präzise die erforderlichen Aktionen aus. Es ist erforderlich, die Stabilität des ACS nach dem Mikhailov-Kriterium durch Positionierung des GCS zu bestimmen.
Abbildung 3. Blockdiagramm von ACS mit Positionierung von NCS
Die charakteristische Gleichung dieses ACS hat die Form:
Dabei ist K die variable Verstärkung des Systems und a eine bestimmte positive Konstante. Zahlenwerte: K = 40; a = 0,525.
Python-Lösung
rom sympy import * from numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt w =symbols(" w",real=True) z=w**4-I*6*w**3-11*w**2+I *46*w+21 print("Charakteristisches Polynom eines Systems mit geschlossenem Regelkreis -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Startpunkt M(%s,%s )"%( zr.subs((w:0)),zm.subs((w:0)))) print("Realteil Re= %s"%zr) print("Imaginärteil Im= %s" %zm) x = y= plt.axis([-10.0, 10.0, -50.0, 50.0]) plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show()Wir bekommen:
Das charakteristische Polynom eines Systems mit geschlossenem Regelkreis ist w**4 - 6*I*w**3 - 11*w**2 + 46*I*w + 21
Ausgangspunkt M(21,0)
Echter Teil Re= w**4 - 11*w**2 + 21
Imaginärer Teil Im= -6*w**3 + 46*w
Der konstruierte Mikhailov-Hodograph krümmt sich ausgehend von der reellen positiven Achse (M (21,0)) um den Koordinatenursprung in positiver Richtung und durchläuft nacheinander vier Quadranten, was der Reihenfolge der charakteristischen Gleichung entspricht. Dies bedeutet, dass diese selbstfahrende Waffe aufgrund der Positionierung des Hauptsteuerungssystems stabil ist.
Schlussfolgerungen
Mit dem SymPy-Python-Modul wurde ein einfaches und visuelles Tool zur Lösung von Problemen bei der Berechnung der Stabilität automatischer Steuerungssysteme erstellt, die eine Voraussetzung für die Leistung jedes Industrieroboters und Manipulators ist.Links
- Dorf R. Moderne Systeme Management / R. Dorf, R. Bishop. – M.: Labor für Grundwissen, 2002. – 832 S.
- Yurevich E.I. Grundlagen der Robotik 2. Auflage / E.I. Jurewitsch. – St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. – 416 S.
Die Stabilität des automatischen Steuerungssystems ist eine der wichtigsten Eigenschaften des Systems, denn Die Leistung des Systems hängt davon ab. Ein System, dem es an Stabilität mangelt, kann das Steuerungsproblem nicht effizient lösen. Mangelnde Stabilität kann auch zur Zerstörung des Systems selbst während des Kontrollvorgangs oder zur Zerstörung des Kontrollobjekts führen, sodass der Einsatz instabiler Systeme ungeeignet ist.
Stabilität des automatischen Kontrollsystems - Dies ist eine Eigenschaft des Luftsystems
drehen sich in den anfänglichen Gleichgewichtszustand, nachdem der Einfluss aufgehört hat, der das System in den anfänglichen Gleichgewichtszustand gebracht hat.
Ein Beispiel für stabile und instabile Systeme ist das System einer Kugel auf einer konkaven und konvexen Oberfläche, dargestellt in Abbildung 60.
Abb.60. Beispiele für Systeme: a) stabil; b) instabil
In Abbildung 60a kehrt eine Kugel, die sich auf einer konkaven Oberfläche befindet und durch eine bestimmte Kraft zur Seite verschoben wird, nach dem Ende des äußeren Einflusses in ihre ursprüngliche Gleichgewichtsposition zurück. Liegt keine Reibung an der Oberfläche vor oder ist deren Minimalwert erreicht, vollführt die Kugel kurze Schwingungen um die Gleichgewichtslage, bis sie wieder in die ursprüngliche Gleichgewichtslage zurückkehrt (Kurve 1 – gedämpfter Schwingungsvorgang). Bei hoher Reibung kehrt die Kugel ohne Schwingungen in die ursprüngliche Gleichgewichtslage zurück (Kurve 2 – aperiodischer Prozess). Wenn der Reibungswert sehr groß ist, kehrt die Kugel möglicherweise nicht in die anfängliche Gleichgewichtsposition (Kurve 3) zurück, sondern in einen Bereich nahe der Gleichgewichtsposition. Im betrachteten Fall liegt ein stabiles System vor. In stabilen automatischen Steuerungssystemen treten ähnliche transiente Prozesse auf (gedämpft oszillierend und aperiodisch).
In Abbildung 60b kehrt eine Kugel, die sich auf einer konvexen Oberfläche befindet und durch eine bestimmte Kraft zur Seite verschoben wird, nicht in die ursprüngliche Gleichgewichtsposition zurück (Kurve 4), sodass das System instabil ist. In instabilen Systemen treten transiente Prozesse in Form divergenter Schwingungen (Kurve 5) oder aperiodischer Schwingungen (Kurve 4) auf.
Die Instabilität des ACS entsteht in der Regel durch einen sehr starken Rückkopplungseffekt. Die Ursachen dynamischer Instabilität sind in der Regel erheblich Trägheitseigenschaften Verbindungen eines geschlossenen Systems, wodurch das Rückkopplungssignal im Oszillationsmodus so weit hinter dem Eingangssignal zurückbleibt, dass es mit diesem in Phase ist. Es stellt sich heraus, dass die Natur des negativen Feedbacks den Charakter annimmt
positiv.
Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung von Stabilität und Instabilität erstellen. Da die Stabilität eines Systems nur von der Art seiner freien Bewegung abhängt, kann diese freie Bewegung des Systems durch eine homogene Differentialgleichung beschrieben werden:
charakteristische Gleichung, die durch den folgenden Ausdruck dargestellt wird:
Stellen wir die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (2.19.) in folgender Form dar:
Wo C k – Konstanten abhängig von den Anfangsbedingungen, p k sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können komplex sein ( p k = α k ± jβ k ), gültig ( p k = α k ) oder imaginär ( p k = jβ k ). Komplexe Wurzeln sind immer paarweise konjugiert, d.h. Wenn es eine Wurzel einer Gleichung mit einem positiven Imaginärteil gibt, dann wird es sicherlich auch eine Wurzel mit demselben Absolutwert, aber einem negativen Imaginärteil geben. y(t) bei T → ∞ aus (2.21.) wird nur dann gegen Null tendieren, wenn jeder Term S k e p k t → 0. Die Art dieser Funktion hängt vom Typ der Wurzel ab. Mögliche Fälle von Root-Standort p k auf der komplexen Ebene und ihre entsprechenden Funktionen y(t) = C k e p k t sind in Abbildung 61 dargestellt. Das Aussehen der Funktionen ist innerhalb der Ellipsen dargestellt.
Abb.61. Der Einfluss der Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung auf
Komponenten der freien Bewegung des Systems
Abbildung 61 zeigt das, wenn jede echte Wurzel p k= α k für Ausdruck (2.21.) entspricht der Begriff:
y k (t) = C k eα k t(2.22.)
dann um α zu< 0 (Wurzel P 1) Funktion bei T→ ∞ tendiert gegen Null, wenn α k > 0 (Wurzel S. 3 ) Die Funktion wird unbegrenzt erhöht und wann α k = 0 (Wurzel P 2) Die Funktion bleibt konstant.
Wenn die charakteristische Gleichung hat komplexe Wurzeln, dann jedes Paar konjugierter komplexer Wurzeln p k, k+1 = α k ± jβ k , es gibt zwei entsprechende Begriffe, die kombiniert und als folgender Ausdruck dargestellt werden können:
Diese Funktion ist eine Sinuskurve mit exponentiell variierender Amplitude und Frequenz β k . Für den negativen Realteil zweier komplexer Wurzeln α k, k+1< 0 , (Wurzeln S. 4 Und S. 5 ) wird die oszillierende Komponente der Funktion abklingen, und zwar mit einem positiven Realteil α k, k+1 > 0 , (Wurzeln S. 8 Und S. 9 ) Die Amplitude der Schwingungen nimmt unbegrenzt zu. In Ermangelung eines Realteils komplexer Wurzeln α k, k+1 = 0 (Wurzeln S. 6 Und S. 7 ), d.h. Wenn nur imaginäre Wurzeln vorhanden sind, ist die Funktion eine kontinuierliche Sinuskurve mit einer Frequenz β k .
Basierend auf der Stabilitätsdefinition sollte, wenn die anfängliche Gleichgewichtsposition als Null angenommen wird, der Wert des Ausgabeparameters für stabile Systeme im Laufe der Zeit gegen Null tendieren, d. h. Das System kehrt von selbst in seine Gleichgewichtsposition zurück. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass alle Terme der Lösung der Differentialgleichung (2.21.) mit der Zeit gegen Null tendieren, was mit negativen Realwurzeln der Gleichung erreicht werden kann und komplexe Wurzeln einen negativen Realteil haben müssen. Das Vorhandensein mindestens einer positiven reellen Wurzel oder eines Paares komplexer Wurzeln mit positivem Realteil führt dazu, dass der Wert des Ausgangsparameters des Systems nicht auf seinen ursprünglichen Wert zurückkehrt, d.h. Das System wird instabil sein.
Wenn man die Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung auf der komplexen Ebene analysiert, dargestellt in Abbildung 62, kann man feststellen, dass das ACS stabil ist, wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Halbebene liegen und alle negativ reell oder negativ sind komplex mit negativem Realteil. Das Vorhandensein mindestens einer Wurzel in der rechten Halbebene kennzeichnet die Instabilität des Systems.
Die Stabilität eines Systems ist eine interne Eigenschaft des Systems, die nur von der Art der Wurzeln der charakteristischen Gleichung abhängt, die die Eigenschaften des Systems beschreibt, und nicht von äußeren Einflüssen abhängt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems ist die Lage aller Wurzeln der Gleichung in der linken (negativen) Halbebene.
Die positiven und negativen Halbebenen, in denen die positiven oder negativen Wurzeln der charakteristischen Gleichung liegen und die Stabilität oder Instabilität des Systems gewährleisten, werden durch die imaginäre Achse ± getrennt jβ . Diese Achse ist die Stabilitätsgrenze, wenn die charakteristische Gleichung also ein Paar rein imaginärer Wurzeln hat p k, k+1 =± jβ k , und die anderen Wurzeln in der negativen Halbebene liegen, dann ist das System durch das Vorhandensein ungedämpfter Schwingungen mit einer Frequenz gekennzeichnet ω = β k. Es wird allgemein angenommen, dass in diesem Fall das System in Ordnung ist Schwingungsstabilitätsgrenze .
Punkt β = 0 auf der imaginären Achse entspricht der Nullwurzel. Eine Gleichung mit einer Nullwurzel wird als at betrachtet aperiodische Stabilitätsgrenze und bei Vorhandensein von zwei Nullwurzeln ist das System instabil.
Abb.62. Die Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung eines stabilen Systems auf
komplexe Ebene
Vergessen Sie nicht, dass die Gleichungen fast aller echten selbstfahrenden Waffen nicht linear sind, sondern auf reduziert werden lineare Gleichungen unter Verwendung der Linearisierung, sodass Annahmen, die während der Linearisierung getroffen werden, die korrekte Bestimmung der Systemstabilität beeinflussen können.
A. M. Lyapunov im Jahr 1892 in seinem Werk „ Allgemeine Aufgabeüber die Stabilität der Bewegung“ lieferte einen Beweis des Theorems, in dem für linearisierte Gleichungen folgende Schlussfolgerungen gezogen wurden:
1. Wenn alle reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung eines Systems negativ sind, gilt das System als stabil.
2. Wenn mindestens eine reelle Wurzel der charakteristischen Gleichung des Systems positiv ist, gilt das System als instabil.
3. Wenn die charakteristische Gleichung eines linearisierten Systems mindestens eine Nullwurzel oder ein Paar imaginärer Wurzeln aufweist, kann die Stabilität des realen Systems nicht anhand der linearisierten Gleichung beurteilt werden.
Folglich muss eine Schlussfolgerung über die Stabilität realer Systeme auf der Grundlage einer Analyse der ursprünglichen nichtlinearen Gleichung gezogen werden, und um die Instabilität oder Stabilität des Systems zu bestimmen, reicht es aus, die Positivität (Negativität) des Realen zu identifizieren Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Nachhaltigkeitskriterien Nennen Sie bestimmte Regeln, nach denen in der Theorie der automatischen Steuerung die Vorzeichen der Wurzeln der charakteristischen Gleichung bestimmt werden, ohne diese zu lösen. Es gibt algebraische und Häufigkeitskriterien für die Stabilität.
Algebraische Kriterien Stabilität eines Systems ist eine notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass die Wurzeln für bestimmte Werte der Koeffizienten in der charakteristischen Gleichung negativ sind.
Häufigkeitskriterien Stabilität des Systems wurde die Abhängigkeit der Stabilität des Systems von der Form der Frequenzeigenschaften des Systems festgestellt.
10.1. Das Konzept der strukturellen Stabilität. AFFC von astatischen Selbstfahrlafetten
Ein ACS kann aus zwei Gründen instabil sein: ungeeignete Zusammensetzung dynamischer Links und ungeeignete Werte der Link-Parameter.
Als Selbstfahrlafetten bezeichnet man, die aus dem ersten Grund instabil sind strukturell instabil.
Das bedeutet, dass es durch eine Änderung der Parameter des ACS unmöglich ist, seine Stabilität zu erreichen; es ist notwendig, seine Struktur zu ändern. Besteht ein ACS beispielsweise aus einer beliebigen Anzahl von Trägheits- und Schwingungsgliedern, hat es die in Abb. 72 dargestellte Form. Wenn die Verstärkung des ACS K zunimmt, bewegt sich jeder Punkt seines AFC vom Koordinatenursprung weg, bis er einen bestimmten Wert erreicht K-Krit Der AFC wird den Punkt nicht überschreiten (-1, j0 ). Mit weiterer Steigerung K ). Mit weiterer Steigerung Grundsätzlich kann ein solches ACS stabil gemacht werden, weshalb es auch genannt wird strukturell stabil.
Wenn das ACS astatisch ist, kann die charakteristische Gleichung beim Öffnen wie folgt dargestellt werden: pD 1 p(p) = 0, Wo N - Ordnung des Astatismus, gleich der Anzahl der in Reihe geschalteten Integratoren. Diese Gleichung hat null Wurzeln, also wann 0 , AFC neigt dazu (Abb. 71c und 71d). Lassen Sie zum Beispiel W p (p) =, Hier = 1 , dann der AFC des Open-Loop-ACS:
W(j) = 
= P() + jQ().
Da die Ordnung des Nenners größer ist als die Ordnung des Zählers, dann wann
0
wir haben P() -,
Q()
-J. Eine ähnliche AFC ist in Abb. 73 dargestellt. 
Da die AFC diskontinuierlich ist, ist es schwierig zu sagen, ob sie den Punkt abdeckt (-1,j0). 0 In diesem Fall verwenden Sie die folgende Technik: Wenn die AFC einen Bruch erleidet, gehen Sie auf Unendlich um
, wird es gedanklich durch einen Halbkreis mit unendlichem Radius ergänzt, der auf der positiven realen Halbachse beginnt und sich in negativer Richtung zum AFC fortsetzt. Anschließend kann das Nyquist-Kriterium angewendet werden. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, ist ein automatisches Steuerungssystem mit einem integrierenden Glied strukturell stabil. = 2 Wenn die selbstfahrende Waffe zwei integrierende Glieder hat (Astatismusordnung ), geht sein AFC im zweiten Quadranten gegen Unendlich (Abb. 74). Lassen Sie zum Beispiel W p (p) =
, dann AFCH-Selbstfahrwaffen:
W(j) = = P() + jQ(). 0 Bei wir haben P() -, Q() + j.
Ein solches automatisches Steuersystem ist für keinen Parameterwert stabil, das heißt, es ist strukturell instabil. Ein strukturell instabiles ACS kann stabil gemacht werden, indem man darin korrigierende Verknüpfungen einbaut (z. B. differenzieren oder erzwingen) oder indem man die Struktur des ACS z. B. durch lokale Verwendung ändert.
Rückmeldung
10.2. Das Konzept der Stabilitätsmarge Unter Betriebsbedingungen können sich Systemparameter aus dem einen oder anderen Grund innerhalb bestimmter Grenzen ändern (Alterung, Temperaturschwankungen usw.). Diese Parameterschwankungen können zu einem Verlust der Systemstabilität führen, wenn das System nahe der Stabilitätsgrenze arbeitet. Daher streben sie danach, das automatische Steuerungssystem so zu gestalten, dass es weit entfernt von der Stabilitätsgrenze arbeitet. Der Grad dieser Entfernung wird aufgerufen.
Stabilitätsspielraum Stabilitätsmarge Modulo charakterisiert den Abstand des AFFC-Hodographen eines offenen ACS von kritischer Punkt in Richtung der realen Achse und wird durch den Abstand bestimmt H
vom kritischen Punkt bis zu dem Punkt, an dem der Hodograph die Abszissenachse schneidet (Abb. 75). charakterisiert den Abstand des Hodographen vom kritischen Punkt entlang eines Kreisbogens mit Einheitsradius und wird durch den Winkel zwischen der negativen Richtung der realen Halbachse und dem Strahl bestimmt, der vom Koordinatenursprung zum Schnittpunkt des Hodographen gezogen wird mit dem Einheitskreis.
Wie bereits erwähnt, erhöht sich mit einer Erhöhung des Übertragungskoeffizienten eines automatischen Steuerungssystems mit offenem Regelkreis der Modul jedes Punktes des Phasenfrequenzgangs und erreicht einen bestimmten Wert K = K cr Der AFC durchläuft den kritischen Punkt (Abb. 76) und erreicht die Stabilitätsgrenze und wann K > K cr Eine geschlossene Selbstfahrlafette wird instabil. Bei „schnabelförmigen“ AFCs (erhalten durch das Vorhandensein interner Rückkopplungen) ist jedoch nicht nur ein Anstieg, sondern auch ein Rückgang zu verzeichnen ). Mit weiterer Steigerung kann zum Stabilitätsverlust geschlossener Selbstfahrlafetten führen (Abb. 77). In diesem Fall wird der Stabilitätsspielraum durch zwei Segmente bestimmt h 1 Und h 2, abgeschlossen zwischen dem kritischen Punkt und dem AFC.
Normalerweise werden bei der Herstellung von selbstfahrenden Waffen die erforderlichen Stabilitätsmargen angegeben H und darüber hinaus sollte es nicht gehen. Diese Grenzen werden in Form eines um den kritischen Punkt gezogenen Sektors festgelegt, in den die AFC eines offenen ACS nicht eindringen sollte (Abb. 78).
10.3. Stabilitätsanalyse durch LFC
Es ist bequemer, die Stabilität anhand des Nyquist-Kriteriums anhand des LFC eines automatischen Steuersystems mit offenem Regelkreis zu beurteilen. Offensichtlich entspricht jeder Punkt des AFC bestimmten Punkten des LFC und LPFC.
Es seien die Frequenzeigenschaften zweier automatischer Steuersysteme mit offenem Regelkreis (1 und 2) bekannt, die sich nur im Übertragungskoeffizienten unterschieden K 1 2. Das erste ACS sei im geschlossenen Zustand stabil, das zweite nicht (Abb. 79).
Wenn W 1(p) ist die Übertragungsfunktion des ersten ACS, dann die Übertragungsfunktion des zweiten ACS W 2 (p) = KW 1 (p), Wo K = K 2 / K 1. W 1(p) Das zweite ACS kann als sequentielle Kette aus zwei Gliedern mit den Übertragungsfunktionen K (trägheitsfreies Glied) und dargestellt werden
Daher werden die resultierenden LFCs als Summe der LFCs jeder der Verbindungen konstruiert. Daher der LAC der zweiten selbstfahrenden Waffe:,
L 2 () = 20lgK + L 1 () 2 () = 1 () .
und LFCHH: = - Die Schnittpunkte der Phasengangkennlinien der realen Achse entsprechen dem Phasenwert = - . Dies entspricht dem Schnittpunkt des LFCH Gitterlinien. In diesem Fall sind, wie im AFC zu sehen ist, die Amplituden A 1 () 2 () > 1 , was den SAFC-Werten entspricht.
L 1 () = 20lgA 1 () 2 () > 0 = - Durch den Vergleich von AFC und LFFC können wir den Schluss ziehen, dass das System im geschlossenen Zustand stabil ist, wenn der Wert von LFFC beträgt h 1 Und h 2 negative LFC-Werte entsprechen und umgekehrt. Stabilitätsmargen Modulo = - , bestimmt durch die AFC, entsprechen den Abständen von der Abszissenachse zur AFC an den Punkten, an denen
Singularpunkte sind die Schnittpunkte der AFC mit dem Einheitskreis. Frequenzen c1 Und c2, bei dem dies geschieht, heißt Grenzfrequenzen.
An den Kreuzungspunkten A() = 1 = > L() = 0- LAC kreuzt die horizontale Achse. Bei der Grenzfrequenz handelt es sich um die Phase des Phasengangs c1> - (Abb. 79a Kurve 1), dann ist das geschlossene ACS stabil. In Abb. 79b sieht es so aus, als ob der Schnittpunkt des LFC der horizontalen Achse dem über der Linie liegenden LFC-Punkt entspricht = - . Und umgekehrt für ein instabiles automatisches Regelsystem (Abb. 79a, Kurve 2) c2-, also wann = c2 LFCH überschreitet die Linie = - . Ecke 1 = c1 -(-) ist die Phasenstabilitätsspanne. Dieser Winkel entspricht dem Abstand von der Linie = - zu LFCHH.