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Druckzentrum atmosphärische Druckkräfte p0S befindet sich im Schwerpunkt des Standorts, da der atmosphärische Druck gleichmäßig auf alle Punkte der Flüssigkeit übertragen wird. Der Druckschwerpunkt der Flüssigkeit selbst auf der Plattform kann aus dem Satz über das Moment der resultierenden Kraft bestimmt werden. Resultierender Moment

Kräfte um die Achse OH ist gleich der Summe der Momente der Komponentenkräfte relativ zu derselben Achse.

Wo wobei: - Lage des Überdruckzentrums auf der vertikalen Achse, - Trägheitsmoment der Plattform S relativ zur Achse OH.

Der Druckschwerpunkt (der Angriffspunkt der resultierenden Überdruckkraft) liegt immer unterhalb des Schwerpunkts der Baustelle. In Fällen, in denen die äußere Kraft auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit die Kraft des atmosphärischen Drucks ist, wirken zwei Kräfte gleicher Größe und entgegengesetzter Richtung aufgrund des atmosphärischen Drucks gleichzeitig auf die Wand des Gefäßes (auf der Innen- und Außenseite). von der Wand). Aus diesem Grund bleibt die eigentliche Ungleichgewichtskraft die Kraft des Überdrucks.

Bisherige Materialien:

H c = H d, (4.7)

Wo H C– Abstand von der freien Oberfläche der Flüssigkeit zum Schwerpunkt, M;

h d– Abstand von der freien Oberfläche der Flüssigkeit zum Druckmittelpunkt, M.

Auch auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit wirkt ein gewisser Druck R , dann ist die Kraft des gesamten Überdrucks auf eine flache Wand gleich:

R = (R + ρ · G· H) F, (4.8)

Wo R – Druck, der auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit wirkt, Pa.

Bei der Berechnung der Festigkeit verschiedener Tanks, Rohre und anderer Wasserbauwerke stellt sich häufig die Frage der Bestimmung der Flüssigkeitsdruckkraft auf flache Wände.

Flüssigkeitsdruck auf einer zylindrischen Oberfläche.

Horizontal Druckkraftkomponente auf einer zylindrischen Oberfläche siehe Abb. 4.5 ist gleich der Kraft des Flüssigkeitsdrucks auf die vertikale Projektion dieser Oberfläche und wird durch die Formel bestimmt:

R x = ρ · G· H C F y, (4.9)

Wo R X– horizontale Komponente der Druckkraft auf einer zylindrischen Oberfläche, N;

Fy– vertikale Projektion der Oberfläche, m 2.

Vertikal Druckkraftkomponente ist gleich der Schwerkraft der Flüssigkeit im Volumen des Druckkörpers und wird durch die Formel bestimmt:

R y = ρ · G· V, (4.10)

Wo R bei– vertikale Komponente der Druckkraft auf einer zylindrischen Oberfläche, N;

V– Gesamtvolumen, das sich aus der Summierung der Elementarvolumina ergibt ΔV , m 3.

Volumen V angerufen Körperdruck und stellt das Flüssigkeitsvolumen dar, das von oben durch das Niveau der freien Oberfläche der Flüssigkeit, von unten durch die betrachtete gekrümmte, von der Flüssigkeit benetzte Oberfläche der Wand und von den Seiten durch durch die Grenzen der Wand gezogene vertikale Flächen begrenzt wird.

Gesamtdruckkraft der Flüssigkeit ist als resultierende Kraft definiert R x Und RU nach der Formel:

R = √P x 2 + P y 2 , (4.11)

Wo R – Gesamtkraft des Flüssigkeitsdrucks auf einer zylindrischen Oberfläche, N.

Ecke β , zusammengesetzt aus der Resultierenden mit dem Horizont, wird aus der Bedingung nach folgender Formel ermittelt:

tg β = R j/ R x, (4.12)

Wo β – der Winkel, den die Resultierende mit dem Horizont bildet, Hagel.

Flüssigkeitsdruck auf Rohrwände.

Lassen Sie uns die Druckkraft bestimmen R Flüssigkeit auf die Wand eines langen runden Rohrs l mit Innendurchmesser D .

Unter Vernachlässigung der Masse der Flüssigkeit im Rohr erstellen wir eine Gleichgewichtsgleichung:

P· l· D = P x = P y = P , (4.13)

Wo l· D – diametrale Querschnittsfläche des Rohres, m 2;

P– die erforderliche Flüssigkeitsdruckkraft auf die Rohrwand, N.

Notwendig Rohrwandstärke bestimmt durch die Formel:

δ = P· D / (2σ ), (4.14)

Wo σ – zulässige Zugfestigkeit des Wandmaterials, Pa.

Erhalten durch die Formel ( 4.14 ) wird das Ergebnis normalerweise um erhöht α

δ = P· D / (2σ ) + α , (4.15)

Wo α – Sicherheitsfaktor unter Berücksichtigung möglicher Korrosion, Ungenauigkeit bei Ebbe usw.

α = 3…7.

Arbeitsablauf

5.2. Machen Sie sich mit Instrumenten zur Druckmessung vertraut.

5.3. Konvertieren Sie die Druckdimensionen verschiedener technischer Systeme in die Druckdimensionen des internationalen SI-Systems - Pa:

740 mmHg Kunst.;

2300 mm Wasser. Kunst.;

1,3 bei;

2,4 bar;

0,6 kg/cm²;

2500 N/cm2.

5.4. Probleme lösen:

5.4.1. Ein rechteckiger offener Tank dient zur Speicherung von Wasser. Bestimmen Sie die Druckkräfte auf die Wände und den Boden des Tanks bei entsprechender Breite A , Länge B , Lautstärke V . Nehmen Sie Daten von Tisch 5.1 (seltsame Optionen ).

Tabelle 5.1

Daten für ungerade Optionen (Abschnitt 5.4.1.)

Optionen	Möglichkeit
V, m 3
Bin
b, m
Optionen	Möglichkeit
V, m 3
Bin
b, m

5.4.2. Bestimmen Sie die Kräfte des Flüssigkeitsdrucks auf den Boden und Seitenfläche ein vertikal angeordneter Zylinder, in dem Wasser gespeichert wird, wenn der Durchmesser des Zylinders der Anzahl der Buchstaben im Namen (Reisepass) in entspricht M, und die Höhe des Zylinders ist die Anzahl der Buchstaben im Nachnamen M (sogar Optionen ).

5.5. Schlussfolgerungen ziehen.

6.1. Zeichnen Sie Diagramme von Geräten zur Druckmessung: Abb. 4.1 Flüssigkeitsbarometer ( Var. 1…6; 19…24), Reis. 4.2 Manometer und Vakuummeter ( Var. 7…12; 25…30) und Abb. 4.3 Differenzdruckmessgeräte ( Var. 13...18; 31…36). Listen Sie die Positionen auf und geben Sie Spezifikationen an. Führen Kurzbeschreibung planen.

6.2. Schreiben Sie die Transformation der Druckdimensionen verschiedener technischer Systeme in die Druckdimensionen des internationalen SI-Systems auf - Pa (Abschnitt 5.3.).

6.3. Lösen Sie ein vorgegebenes Problem p.p. 5.4.1 Und 5.4.2 , entsprechend der ausgewählten Option, numerisch entsprechend der Seriennummer des Studenten im Tagebuch auf der PAPP-Seite.

6.4. Schreiben Sie ein Fazit über die geleistete praktische Arbeit.

7 Sicherheitsfragen

7.1. In welchen Einheiten wird der Druck gemessen?

7.2. Was ist Absolut- und Relativdruck?

7.3. Was ist ein Vakuum, wie bestimmt man den absoluten Druck im Vakuum?

7.4. Welche Instrumente messen Überdruck und Vakuum?

7.5. Wie ist das Gesetz von Pascal formuliert? Wie wird die Presskraft einer hydraulischen Presse ermittelt?

7.6. Wie wird die Kraft des Flüssigkeitsdrucks auf vertikale, horizontale und geneigte flache Wände bestimmt? Wie ist diese Kraft gerichtet? Wo ist der Anwendungspunkt?

Praktische Lektion Nr. 5

Untersuchung des Designs des Absetzbeckens und seiner Berechnung

Produktivität und Absetzfläche

Ziel der Arbeit

1.1. Untersuchung des Designs verschiedener Absetzbecken.

1.2. Vermittlung von Fähigkeiten zur Bestimmung der Produktivität und der Absetzfläche eines Absetzbeckens.

Der Angriffspunkt der gesamten Druckkraft wird als Druckmittelpunkt bezeichnet. Bestimmen wir die Koordinaten des Druckzentrums Und (Abb. 3.20). Wie aus bekannt ist Theoretische Mechanik, im Gleichgewicht das Moment der Resultierenden F relativ zu einer Achse ist gleich der Summe der Momente der Komponentenkräfte dF ungefähr auf der gleichen Achse.

Erstellen wir eine Gleichung für Kraftmomente F Und dF relativ zur 0y-Achse.

Befugnisse F Und dF durch Formeln bestimmen

Reduzieren des Ausdrucks auf g und Sünde a, wir bekommen

wo ist das Trägheitsmoment der Fläche der Figur relativ zur Achse 0 j.

Ersetzen durch die aus der theoretischen Mechanik bekannte Formel, wo J c ist das Trägheitsmoment der Fläche der Figur relativ zur Achse parallel zu 0 j und wenn wir durch den Schwerpunkt gehen, erhalten wir

Aus dieser Formel folgt, dass der Druckschwerpunkt immer mit Abstand unterhalb des Schwerpunkts der Figur liegt. Dieser Abstand wird Exzentrizität genannt und mit dem Buchstaben bezeichnet e.

Koordinate j d ergibt sich aus ähnlichen Überlegungen

Wo - Zentrifugalmoment Trägheit der gleichen Fläche relativ zu den Achsen j Und l. Wenn die Figur symmetrisch um eine Achse parallel zur Achse 0 ist l(Abb. 3.20), dann natürlich wo j c ist die Koordinate des Schwerpunkts der Figur.

§ 3.16. Einfache hydraulische Maschinen.
Hydraulikpresse

Mit einer hydraulischen Presse werden hohe Kräfte erzielt, die beispielsweise zum Pressen oder Stanzen von Metallprodukten erforderlich sind.

Das schematische Diagramm einer hydraulischen Presse ist in Abb. dargestellt. 3.21. Es besteht aus 2 Zylindern – einem großen und einem kleinen, die durch ein Rohr miteinander verbunden sind. Der kleine Zylinder enthält einen Kolben mit einem Durchmesser D die durch einen Hebel mit Schultern betätigt wird A Und B. Wenn sich der kleine Kolben nach unten bewegt, übt er Druck auf die Flüssigkeit aus P, die nach dem Pascalschen Gesetz auf einen Kolben mit einem Durchmesser übertragen wird D befindet sich in einem großen Zylinder.

Bei der Aufwärtsbewegung drückt der Kolben des großen Zylinders mit Kraft auf das Teil F 2 Definieren Sie die Kraft F 2 wenn die Kraft bekannt ist F 1 und Pressgrößen D, D sowie Hebelarme A Und B. Bestimmen wir zunächst die Kraft F, wirkt auf einen kleinen Kolben mit einem Durchmesser D. Betrachten wir die Balance des Presshebels. Erstellen wir eine Momentengleichung relativ zum Drehzentrum des Hebels 0

Wo ist die Reaktion des Kolbens auf den Hebel?

wo ist die Querschnittsfläche des kleinen Kolbens.

Nach dem Gesetz von Pascal wird der Druck in einer Flüssigkeit unverändert in alle Richtungen übertragen. Daher ist auch der Flüssigkeitsdruck unter dem großen Kolben gleich P Und. Daher ist die Kraft, die von der Seite der Flüssigkeit auf den großen Kolben wirkt, groß

wo ist die Querschnittsfläche des großen Kolbens.

Einsetzen in die letzte Formel P und unter Berücksichtigung dessen erhalten wir

Um die Reibung in den Pressmanschetten, die die Spalte abdichten, zu berücksichtigen, wird der Presswirkungsgrad h eingeführt<1. В итоге расчетная формула примет вид

Hydrospeicher

Der Hydrospeicher dient der Energiespeicherung. Es wird dort eingesetzt, wo kurzfristig große Arbeiten erledigt werden müssen, beispielsweise beim Öffnen und Schließen von Schleusentoren, beim Betrieb einer hydraulischen Presse, eines hydraulischen Aufzugs usw.

Das schematische Diagramm des Hydrospeichers ist in Abb. 3.22 dargestellt. Es besteht aus einem Zylinder A, in dem der Kolben platziert ist B mit dem belasteten Rahmen verbunden C, an dem die Lasten aufgehängt sind D.

Mithilfe einer Pumpe wird Flüssigkeit in den Zylinder gepumpt, bis dieser vollständig gefüllt ist, dabei werden Lasten angehoben und dadurch Energie gespeichert. Um den Kolben auf eine Höhe anzuheben H, ist es notwendig, ein Flüssigkeitsvolumen in den Zylinder zu pumpen

Wo S- Querschnittsfläche des Kolbens.

Wenn die Größe der Lasten beträgt G, dann wird der Kolbendruck auf die Flüssigkeit durch das Verhältnis der Gewichtskraft bestimmt G auf der Querschnittsfläche des Kolbens, d.h.

Von hier aus ausgedrückt G, wir bekommen

Arbeit L, die zum Heben der Last aufgewendet wird, entspricht dem Kraftprodukt G durch die Länge des Weges H

Das Gesetz des Archimedes

Das Gesetz von Archimedes wird wie folgt formuliert: Auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt eine nach oben gerichtete Auftriebskraft, die dem Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit entspricht. Diese Kraft wird Stützkraft genannt. Sie ist die Resultierende der Druckkräfte, mit denen eine ruhende Flüssigkeit auf einen darin ruhenden Körper einwirkt.

Um das Gesetz zu beweisen, isolieren wir im Körper ein elementares vertikales Prisma mit Basen D w n1 und D w n2 (Abb. 3.23). Die vertikale Projektion der auf die obere Basis des Prismas wirkenden Elementarkraft beträgt

Wo P 1 - Druck an der Basis des Prismas D w n1 ; N 1 – normal zur Oberfläche D wn1.

Wo D w z - Fläche des Prismas im Abschnitt senkrecht zur Achse z, Das

Von hier aus erhalten wir unter Berücksichtigung dessen, dass wir gemäß der hydrostatischen Druckformel erhalten

Ebenso wird die vertikale Projektion der auf die untere Basis des Prismas wirkenden Elementarkraft durch die Formel ermittelt

Die gesamte auf das Prisma wirkende vertikale Elementarkraft beträgt

Wenn wir diesen Ausdruck für integrieren, erhalten wir

Wo ist das Volumen eines Körpers, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist? H T ist die Höhe des eingetauchten Körperteils in einer gegebenen Vertikalen.

Daher für die Auftriebskraft F z erhalten wir die Formel

Indem wir elementare horizontale Prismen im Körper identifizieren und ähnliche Berechnungen durchführen, erhalten wir , .

Wo G- das Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeit. Somit ist die Auftriebskraft, die auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt, gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeit, was nachgewiesen werden musste.

Aus dem Gesetz des Archimedes folgt, dass auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper letztlich zwei Kräfte einwirken (Abb. 3.24).

1. Schwerkraft – Körpergewicht.

2. Stützkraft (Auftriebskraft), wobei g 1 das spezifische Gewicht des Körpers ist; g 2 ist das spezifische Gewicht der Flüssigkeit.

In diesem Fall können folgende Hauptfälle auftreten:

1. Das spezifische Gewicht von Körper und Flüssigkeit ist gleich. In diesem Fall ist die Resultierende , und der Körper befindet sich in einem Zustand indifferenten Gleichgewichts, d. h. Wenn es bis zu einer beliebigen Tiefe eingetaucht wird, wird es weder schwimmen noch sinken.

2. Für g 1 > g 2 , . Die Resultierende wird nach unten gerichtet und der Körper sinkt.

3. Bei g 1< g 2 . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.

§ 3.19. Auftriebs- und Stabilitätsbedingungen von Körpern,
teilweise in Flüssigkeit eingetaucht

Das Vorliegen der Bedingung ist für das Gleichgewicht eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers notwendig, aber noch nicht ausreichend. Für das Gleichgewicht des Körpers ist es neben der Gleichheit auch notwendig, dass die Linien dieser Kräfte in einer geraden Linie gerichtet sind, d.h. zusammenfielen (Abb. 3.25 a).

Ist der Körper homogen, dann fallen die Angriffspunkte dieser Kräfte immer zusammen und sind in einer Geraden gerichtet. Wenn der Körper inhomogen ist, fallen die Angriffspunkte dieser Kräfte nicht zusammen und die Kräfte fallen nicht zusammen G Und F z bilden ein Kräftepaar (siehe Abb. 3.25 b, c). Unter dem Einfluss dieses Kräftepaares dreht sich der Körper in der Flüssigkeit bis zu den Angriffspunkten der Kräfte G Und F z wird nicht auf derselben Vertikalen landen, d. h. das Moment des Kräftepaares wird gleich Null sein (Abb. 3.26).

Von größtem praktischem Interesse ist die Untersuchung der Gleichgewichtsbedingungen von Körpern, die teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht sind, d.h. beim Schwimmen Tel.

Die Fähigkeit eines schwebenden Körpers, der aus einem Gleichgewichtszustand entfernt ist, wieder in diesen Zustand zurückzukehren, wird als Stabilität bezeichnet.

Betrachten wir die Bedingungen, unter denen ein auf der Oberfläche einer Flüssigkeit schwimmender Körper stabil ist.

In Abb. 3.27 (a, b) C- Schwerpunkt (Angriffspunkt der resultierenden Gewichtskräfte). G);
D- Angriffspunkt der resultierenden Auftriebskräfte F z ; M- Metazentrum (der Schnittpunkt der Resultierenden der Auftriebskräfte mit der Navigationsachse 00).

Lassen Sie uns einige Definitionen geben.

Das Gewicht einer Flüssigkeit, die von einem darin eingetauchten Körper verdrängt wird, wird als Verdrängung bezeichnet.

Der Angriffspunkt der resultierenden Auftriebskräfte wird als Verschiebungszentrum (Punkt) bezeichnet D).

Distanz M.C. zwischen dem Metazentrum und dem Verschiebungszentrum wird metazentrischer Radius genannt.

Somit weist ein Schwimmkörper drei charakteristische Punkte auf:

1. Schwerpunkt C, das während eines Wurfs seine Position nicht ändert.

2. Verschiebungszentrum D, bewegt sich, wenn der Körper rollt, da sich die Umrisse des in der Flüssigkeit verdrängten Volumens ändern.

3. Metazentrum M, wobei es während einer Rolle auch seine Position ändert.

Wenn ein Körper schwimmt, können je nach der relativen Lage des Schwerpunkts die folgenden drei Hauptfälle auftreten C und Metazentrum M.

1. Der Fall eines stabilen Gleichgewichts. In diesem Fall liegt das Metazentrum über dem Schwerpunkt (Abb. 3.27, a) und während einer Rolle wirken ein paar Kräfte G Und F z tendiert dazu, den Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückzubringen (der Körper dreht sich gegen den Uhrzeigersinn).

2. Der Fall des indifferenten Gleichgewichts. In diesem Fall fallen Metazentrum und Schwerpunkt zusammen und der aus dem Gleichgewichtszustand entfernte Körper bleibt bewegungslos.

3. Der Fall eines instabilen Gleichgewichts. Hier liegt das Metazentrum unterhalb des Schwerpunkts (Abb. 3.27, b) und das beim Rollen entstehende Kräftepaar führt zu einer Drehung des Körpers im Uhrzeigersinn, was zum Kentern des schwimmenden Fahrzeugs führen kann.

Aufgabe 1. Direkt wirkende Dampfpumpe liefert Flüssigkeit UND zur Höhe N(Abb. 3.28). Ermitteln Sie den Arbeitsdampfdruck mit folgenden Ausgangsdaten: ; ; . Flüssiges Wasser (). Finden Sie auch die Kraft, die auf den kleinen und großen Kolben wirkt.

Lösung. Lassen Sie uns den Druck auf den kleinen Kolben ermitteln

Die auf den kleinen Kolben wirkende Kraft beträgt

Auf den großen Kolben wirkt die gleiche Kraft, d.h.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Presskraft, die von einer hydraulischen Presse entwickelt wird, bei der der Durchmesser des großen Kolbens , und der Durchmesser des kleinen Kolbens beträgt, mit den folgenden Ausgangsdaten (Abb. 3.29):

Lösung. Finden wir die Kraft, die auf den kleinen Kolben wirkt. Dazu schaffen wir eine Bedingung für das Gleichgewicht des Presshebels

Der Flüssigkeitsdruck unter dem kleinen Kolben beträgt

Flüssigkeitsdruck unter dem großen Kolben

Nach dem Gesetz von Pascal wird der Druck in einer Flüssigkeit unverändert in alle Richtungen übertragen. Von hier bzw

Hydrodynamik

Der Zweig der Hydraulik, der die Gesetze der Flüssigkeitsbewegung untersucht, wird Hydrodynamik genannt. Bei der Untersuchung der Bewegung von Flüssigkeiten werden zwei Hauptprobleme berücksichtigt.

1. Die hydrodynamischen Eigenschaften der Strömung (Geschwindigkeit und Druck) werden angegeben; Es ist erforderlich, die auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte zu bestimmen.

2. Die auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte werden angegeben; Es ist erforderlich, die hydrodynamischen Eigenschaften der Strömung zu bestimmen.

Auf eine ideale Flüssigkeit angewendet, hat der hydrodynamische Druck die gleichen Eigenschaften und die gleiche Bedeutung wie der hydrostatische Druck. Bei der Analyse der Bewegung einer viskosen Flüssigkeit stellt sich Folgendes heraus

Wo sind die tatsächlichen Normalspannungen am betrachteten Punkt, bezogen auf drei an diesem Punkt willkürlich bezeichnete, zueinander orthogonale Bereiche? Als hydrodynamischer Druck an einem Punkt wird angenommen

In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass der Wert P hängt nicht von der Ausrichtung zueinander orthogonaler Bereiche ab.

Zukünftig wird das Problem der Bestimmung von Geschwindigkeit und Druck bei bekannten auf die Flüssigkeit wirkenden Kräften betrachtet. Es ist zu beachten, dass Geschwindigkeit und Druck für verschiedene Punkte der Flüssigkeit unterschiedliche Werte haben und sich außerdem für einen bestimmten Punkt im Raum mit der Zeit ändern können.

Bestimmung der Komponenten der Geschwindigkeit entlang der Koordinatenachsen , und des Drucks P In der Hydraulik werden die folgenden Gleichungen berücksichtigt.

1. Gleichung der Inkompressibilität und Kontinuität einer bewegten Flüssigkeit (Flüssigkeitsgleichgewichtsgleichung).

2. Differentialgleichung Bewegung (Eulesche Gleichungen).

3. Bilanzgleichung für spezifische Strömungsenergie (Bernoulli-Gleichung).

Im Folgenden stellen wir alle diese Gleichungen vor, die die theoretische Grundlage der Hydrodynamik bilden, mit vorläufigen Erläuterungen einiger erster Bestimmungen aus dem Bereich der Fluidkinematik.

§ 4.1. GRUNDLEGENDE KINEMATISCHE KONZEPTE UND DEFINITIONEN.
ZWEI METHODEN ZUR UNTERSUCHUNG DER FLÜSSIGKEITSBEWEGUNG

Bei der Untersuchung der Flüssigkeitsbewegung können zwei Forschungsmethoden verwendet werden. Die erste von Lagrange entwickelte und als substantiv bezeichnete Methode besteht darin, die Bewegung der gesamten Flüssigkeit durch Untersuchung der Bewegung ihrer einzelnen Einzelpartikel zu untersuchen.

Die zweite von Euler entwickelte und als lokal bezeichnete Methode besteht darin, die Bewegung der gesamten Flüssigkeit zu untersuchen, indem die Bewegung an einzelnen festen Punkten untersucht wird, durch die die Flüssigkeit fließt.

Beide Methoden werden in der Hydrodynamik eingesetzt. Aufgrund ihrer Einfachheit ist jedoch die Euler-Methode häufiger anzutreffen. Nach der Lagrange-Methode im Anfangszeitpunkt T 0 Markieren Sie bestimmte Partikel in der Flüssigkeit und überwachen Sie dann im Laufe der Zeit die Bewegung jedes markierten Partikels und seine kinematischen Eigenschaften. Die Position jedes Flüssigkeitspartikels zu einem bestimmten Zeitpunkt T 0 wird durch drei Koordinaten in einem festen Koordinatensystem bestimmt, d.h. drei Gleichungen

Wo X, bei, z- Partikelkoordinaten; T- Zeit.

Um Gleichungen zu erstellen, die die Bewegung verschiedener Partikel in einer Strömung charakterisieren, muss die Position der Partikel zum Anfangszeitpunkt berücksichtigt werden, d. h. Anfangskoordinaten von Partikeln.

Zum Beispiel Punkt M(Abb. 4.1) im Moment der Zeit T= 0 hat Koordinaten A, B, Mit. Beziehungen (4.1) unter Berücksichtigung A, B, Mit wird das Formular annehmen

In den Beziehungen (4.2) die Anfangskoordinaten A, B, Mit können als unabhängige Variablen (Parameter) betrachtet werden. Daher die aktuellen Koordinaten X, j, z eines sich bewegenden Teilchens sind Funktionen der Variablen A, B, s, t, die Lagrange-Variablen genannt werden.

Mit bekannten Beziehungen (4.2) ist die Bewegung der Flüssigkeit vollständig definiert. Tatsächlich werden die Projektionen der Geschwindigkeit auf die Koordinatenachsen durch die Beziehungen (als erste Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit) bestimmt.

Beschleunigungsprojektionen werden als zweite Ableitungen von Koordinaten (erste Ableitungen der Geschwindigkeit) nach der Zeit gefunden (Beziehungen 4.5).

Die Flugbahn eines beliebigen Teilchens wird direkt aus den Gleichungen (4.1) durch Ermitteln der Koordinaten bestimmt X, j, z ausgewählten Flüssigkeitspartikel mehrmals.

Nach Eulers Methode besteht die Untersuchung der Flüssigkeitsbewegung aus: a) der Untersuchung zeitlicher Änderungen von Vektor- und Skalargrößen an einem bestimmten festen Punkt im Raum; b) bei der Untersuchung von Änderungen dieser Größen bei der Bewegung von einem Punkt im Raum zu einem anderen.

Gegenstand der Untersuchung sind in der Euler-Methode also die Felder bestimmter Vektor- oder Skalargrößen. Ein Feld beliebiger Größe ist bekanntlich ein Teil des Raumes, an dessen jedem Punkt ein bestimmter Wert dieser Größe vorliegt.

Mathematisch wird das Feld, beispielsweise das Geschwindigkeitsfeld, durch die folgenden Gleichungen beschrieben

diese. Geschwindigkeit

ist eine Funktion von Koordinaten und Zeit.

Variablen X, j, z, T werden Euler-Variablen genannt.

Somit wird in der Euler-Methode die Bewegung einer Flüssigkeit durch den Aufbau eines Geschwindigkeitsfeldes charakterisiert, d. h. Bewegungsmuster an verschiedenen Punkten im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt. In diesem Fall werden die Geschwindigkeiten an allen Punkten in Form von Funktionen (4.4) bestimmt.

Die Euler-Methode und die Lagrange-Methode sind mathematisch verwandt. Beispielsweise ist es mit der Euler-Methode, teilweise unter Verwendung der Lagrange-Methode, möglich, die Bewegung eines Teilchens nicht über die Zeit zu überwachen T(wie aus Lagrange hervorgeht) und während einer elementaren Zeitspanne dt, bei dem ein bestimmtes Flüssigkeitsteilchen den betrachteten Punkt im Raum passiert. In diesem Fall können zur Bestimmung der Geschwindigkeitsprojektionen auf die Koordinatenachsen die Beziehungen (4.3) verwendet werden.

Aus (4.2) folgt, dass die Koordinaten X, j, z sind Funktionen der Zeit. Dann wird es komplexe Funktionen der Zeit geben. Nach der Differenzierungsregel komplexer Funktionen gilt:

wo sind die Projektionen der Beschleunigung eines sich bewegenden Teilchens auf die entsprechenden Koordinatenachsen.

Da für ein sich bewegendes Teilchen

Partielle Ableitungen

werden Projektionen der lokalen (lokalen) Beschleunigung genannt.

Summen der Form

sogenannte Projektionen der konvektiven Beschleunigung.

Vollständige Derivate

werden auch als wesentliche oder einzelne Derivate bezeichnet.

Die lokale Beschleunigung bestimmt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt im Raum. Die konvektive Beschleunigung bestimmt die Geschwindigkeitsänderung entlang der Koordinaten, d.h. wenn man sich von einem Punkt im Raum zu einem anderen bewegt.

§ 4.2. Teilchenbahnen und Stromlinien

Die Flugbahn eines sich bewegenden Flüssigkeitsteilchens ist der über die Zeit verfolgte Weg desselben Teilchens. Die Untersuchung von Teilchenbahnen ist das Herzstück der Lagrange-Methode. Bei der Untersuchung der Bewegung einer Flüssigkeit mit der Euler-Methode kann durch die Konstruktion von Stromlinien eine allgemeine Vorstellung von der Bewegung einer Flüssigkeit gewonnen werden (Abb. 4.2, 4.3). Eine Stromlinie ist eine Linie, an der jeder Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt verläuft T Die Geschwindigkeitsvektoren sind Tangente an diese Linie.

Abb.4.2.

Abb.4.3.

Bei stetiger Bewegung (siehe §4.3), wenn sich der Flüssigkeitsspiegel im Behälter nicht ändert (siehe Abb. 4.2), fallen die Flugbahnen von Partikeln und Stromlinien zusammen. Bei instationärer Bewegung (siehe Abb. 4.3) stimmen die Flugbahnen von Teilchen und Stromlinien nicht überein.

Der Unterschied zwischen einer Teilchenbahn und einer Stromlinie sollte hervorgehoben werden. Eine Flugbahn bezieht sich auf nur ein bestimmtes Teilchen, das über einen bestimmten Zeitraum untersucht wurde. Eine Stromlinie bezieht sich auf eine bestimmte Ansammlung verschiedener Partikel, die zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtet werden
(zu diesem Zeitpunkt).

STÄNDIGE BEWEGUNG

Das Konzept der stetigen Bewegung wird nur eingeführt, wenn die Flüssigkeitsbewegung in Euler-Variablen untersucht wird.

Von einer stetigen Flüssigkeitsbewegung spricht man, wenn sich alle Elemente, die die Flüssigkeitsbewegung an einem beliebigen Punkt im Raum charakterisieren, zeitlich nicht ändern (siehe Abb. 4.2). Zum Beispiel für die Geschwindigkeitskomponenten, die wir haben werden

Da sich Größe und Richtung der Bewegungsgeschwindigkeit an jedem Punkt im Raum während einer stetigen Bewegung nicht ändern, ändern sich die Stromlinien mit der Zeit nicht. Daraus folgt (wie bereits erwähnt in § 4.2), dass bei stetiger Bewegung die Flugbahnen von Teilchen und Stromlinien zusammenfallen.

Eine Bewegung, bei der sich alle Elemente, die die Bewegung einer Flüssigkeit an einem beliebigen Punkt im Raum charakterisieren, zeitlich ändern, wird als instationär bezeichnet (Abb. 4.3).

§ 4.4. STREAM-MODELL DER FLÜSSIGKEITSBEWEGUNG.
STROMROHR. FLÜSSIGKEITSVERBRAUCH

Betrachten Sie Stromlinie 1-2 (Abb. 4.4). Zeichnen wir im Punkt 1 eine Ebene senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor u 1 . Nehmen wir in dieser Ebene eine elementare geschlossene Kontur l, die die Website abdeckt D w. Wir zeichnen Stromlinien durch alle Punkte dieser Kontur. Eine Reihe von Stromlinien, die durch einen beliebigen Kreislauf in einer Flüssigkeit gezogen werden, bilden eine Oberfläche, die als Stromröhre bezeichnet wird.

Reis. 4.4

Reis. 4.5

Eine Reihe von Stromlinien, die durch alle Punkte einer elementaren Site gezogen werden D w, stellt ein elementares Rinnsal dar. In der Hydraulik wird das sogenannte Strömungsmodell der Flüssigkeitsbewegung verwendet. Der Flüssigkeitsstrom wird als aus einzelnen Elementarströmen bestehend betrachtet.

Betrachten Sie den in Abb. 4.5 dargestellten Flüssigkeitsstrom. Der Volumenstrom einer Flüssigkeit durch eine Oberfläche ist das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch diese Oberfläche fließt.

Offensichtlich werden die elementaren Kosten anfallen

Wo N- Richtung der Normalen zur Oberfläche.

Voller Verbrauch

Wenn wir die Fläche A durch einen beliebigen Punkt der Strömung orthogonal zu den Stromlinien zeichnen, dann gilt . Die Oberfläche, die den geometrischen Ort von Flüssigkeitspartikeln darstellt, deren Geschwindigkeiten senkrecht zu den entsprechenden Elementen dieser Oberfläche sind, wird als lebendiger Strömungsquerschnitt bezeichnet und mit w bezeichnet. Für einen Elementarstrom gilt dann:

und für den Fluss

Dieser Ausdruck wird als Volumenstrom der Flüssigkeit durch den stromführenden Strömungsquerschnitt bezeichnet.

Beispiele.

Die mittlere Geschwindigkeit in einem Strömungsquerschnitt ist die gleiche Geschwindigkeit für alle Punkte des Querschnitts, an denen die gleiche Strömungsgeschwindigkeit auftritt, wie sie tatsächlich bei tatsächlichen Geschwindigkeiten auftritt, die für verschiedene Punkte des Querschnitts unterschiedlich sind. In einem runden Rohr ist beispielsweise die Geschwindigkeitsverteilung für eine laminare Flüssigkeitsströmung in Abb. dargestellt. 4.9. Hier ist das tatsächliche Geschwindigkeitsprofil für laminare Strömung.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt die Hälfte der Höchstgeschwindigkeit (siehe § 6.5)

§ 4.6. Kontinuitätsgleichung in EULER-Variablen
IM KARTESINISCHEN KOORDINATENSYSTEM

Die Kontinuitätsgleichung (Kontinuität) drückt das Gesetz der Massenerhaltung und der Strömungskontinuität aus. Um die Gleichung abzuleiten, wählen wir ein elementares Parallelepiped mit Kanten in der Flüssigkeitsmasse dx, dz, dz(Abb. 4.10).

Lassen Sie den Punkt M mit Koordinaten X, j, z befindet sich in der Mitte dieses Parallelepipeds. Dichte einer Flüssigkeit an einem Punkt M Wille .

Berechnen wir die Flüssigkeitsmasse, die zeitlich in das Parallelepiped hineinfließt und durch gegenüberliegende Flächen aus ihm herausfließt dt. Flüssigkeitsmasse, die im Laufe der Zeit durch die linke Seite fließt dt in Richtung der Achse X, ist gleich

wo r 1 und (u x) 1 - Dichte und Projektion der Geschwindigkeit auf die Achse X bei Punkt 1.

Die Funktion ist eine stetige Funktion der Koordinate X. Erweitern dieser Funktion in einer Umgebung des Punktes M In die auf Infinitesimalzahlen erster Ordnung genaue Taylor-Reihe erhalten wir für die Punkte 1 und 2 auf den Flächen des Parallelepipeds die folgenden Werte

diese. Die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten sind umgekehrt proportional zu den Flächen lebender Strömungsquerschnitte (Abb. 4.11). Volumenstrom Q Die inkompressible Flüssigkeit bleibt entlang des Kanals konstant.

§ 4.7. DIFFERENTIALE BEWEGUNGSGLEICHUNGEN EINES IDEALS
(UNVISKOSE) FLÜSSIGKEIT (EULER-GLEICHUNGEN)

Eine dünnflüssige oder ideale Flüssigkeit ist eine Flüssigkeit, deren Teilchen absolute Beweglichkeit besitzen. Eine solche Flüssigkeit ist nicht in der Lage, Scherkräften standzuhalten und daher treten in ihr keine tangentialen Spannungen auf. Von den Oberflächenkräften wirken darin nur Normalkräfte.

in einer bewegten Flüssigkeit wird hydrodynamischer Druck genannt. Der hydrodynamische Druck hat die folgenden Eigenschaften.

1. Sie wirkt immer entlang der inneren Normalen (Druckkraft).

2. Die Größe des hydrodynamischen Drucks hängt nicht von der Ausrichtung des Standorts ab (was ähnlich wie die zweite Eigenschaft des hydrostatischen Drucks bewiesen wird).

Aufgrund dieser Eigenschaften können wir davon ausgehen, dass . Somit sind die Eigenschaften des hydrodynamischen Drucks in einer dünnflüssigen Flüssigkeit identisch mit den Eigenschaften des hydrostatischen Drucks. Die Größe des hydrodynamischen Drucks wird jedoch durch andere Gleichungen als die hydrostatischen Gleichungen bestimmt.

Um die Gleichungen der Flüssigkeitsbewegung abzuleiten, wählen wir ein elementares Parallelepiped in einer Flüssigkeitsmasse mit Rippen aus dx, dy, dz(Abb. 4.12). Lassen Sie den Punkt M mit Koordinaten x,y,z befindet sich in der Mitte dieses Parallelepipeds. Punktdruck M Wille . Die Komponenten der Massenkräfte pro Masseneinheit seien X,Y,Z.

Schreiben wir die Bedingung für das Kräftegleichgewicht auf, das auf ein Elementarquader in Projektion auf die Achse wirkt X

, (4.9)

Wo F 1 Und F 2– hydrostatische Druckkräfte; F m– Resultierende der Massenkräfte; F und – Resultierende aus Trägheitskräften.

Es gebe eine Figur beliebiger Form mit der Fläche co in der Ebene Ol , in einem Winkel α zum Horizont geneigt (Abb. 3.17).

Um die Formel für die Kraft des Flüssigkeitsdrucks auf die betrachtete Figur leichter abzuleiten, drehen wir die Wandebene um 90° um die Achse 01 und kombinieren Sie es mit der Zeichenebene. Lassen Sie uns die betrachtete flache Figur genauer beleuchten H von der freien Oberfläche der Flüssigkeit bis zu einer Elementarfläche d ω . Dann wirkt die Elementarkraft auf die Fläche d ω , Wille

Reis. 3.17.

Durch Integration der letzten Beziehung erhalten wir die Gesamtkraft des Flüssigkeitsdrucks auf eine flache Figur

Wenn man das bedenkt, bekommen wir

Das letzte Integral ist gleich dem statischen Moment der Plattform c relativ zur Achse OU, diese.

Wo l MIT – Abstand von der Achse OU zum Schwerpunkt der Figur. Dann

Seit damals

diese. Die Gesamtdruckkraft auf eine flache Figur ist gleich dem Produkt aus der Fläche der Figur und dem hydrostatischen Druck an ihrem Schwerpunkt.

Der Angriffspunkt der gesamten Druckkraft (Punkt D , siehe Abb. 3.17) heißt Druckzentrum. Der Druckschwerpunkt liegt um einen Betrag unterhalb des Schwerpunkts einer flachen Figur e. Die Reihenfolge zur Bestimmung der Koordinaten des Druckmittelpunkts und des Exzentrizitätswerts ist in Abschnitt 3.13 festgelegt.

Im Spezialfall einer vertikalen rechteckigen Wand erhalten wir (Abb. 3.18)

Reis. 3.18.

Im Falle einer horizontalen rechteckigen Wand haben wir

Hydrostatisches Paradoxon

Die Formel für die Druckkraft auf eine horizontale Wand (3.31) zeigt, dass der Gesamtdruck auf eine flache Figur nur von der Eintauchtiefe des Schwerpunkts und der Fläche der Figur selbst bestimmt wird, aber nicht davon abhängt von der Form des Gefäßes, in dem sich die Flüssigkeit befindet. Nehmen Sie also mehrere Gefäße mit unterschiedlicher Form, aber gleicher Bodenfläche ω g und gleiche Flüssigkeitsstände H , dann ist in allen diesen Gefäßen der Gesamtdruck am Boden gleich (Abb. 3.19). Der hydrostatische Druck wird in diesem Fall durch die Schwerkraft verursacht, das Gewicht der Flüssigkeit in den Gefäßen ist jedoch unterschiedlich.

Reis. 3.19.

Es stellt sich die Frage: Wie können unterschiedliche Gewichte den gleichen Druck auf den Boden erzeugen? Dieser scheinbare Widerspruch heißt hydrostatisches Paradoxon. Die Offenbarung des Paradoxons liegt darin, dass die Gewichtskraft der Flüssigkeit tatsächlich nicht nur auf den Boden, sondern auch auf andere Wände des Gefäßes wirkt.

Wenn sich ein Gefäß nach oben ausdehnt, ist offensichtlich, dass das Gewicht der Flüssigkeit größer ist als die auf den Boden wirkende Kraft. Allerdings wirkt in diesem Fall ein Teil der Gewichtskraft auf die geneigten Wände. Dieser Teil ist das Gewicht des Druckkörpers.

Bei einem Gefäß, das sich nach oben hin verjüngt, genügt es, sich an das Gewicht des Druckkörpers zu erinnern G in diesem Fall ist es negativ und wirkt nach oben auf das Gefäß.

Druckzentrum und Bestimmung seiner Koordinaten

Der Angriffspunkt der gesamten Druckkraft wird als Druckmittelpunkt bezeichnet. Bestimmen wir die Koordinaten des Druckzentrums l d und j d (Abb. 3.20). Wie aus der theoretischen Mechanik bekannt ist, ist im Gleichgewicht das Moment der resultierenden Kraft F relativ zu einer bestimmten Achse gleich der Summe der Momente der Komponentenkräfte dF ungefähr auf der gleichen Achse.

Reis. 3.20.

Erstellen wir eine Gleichung für Kraftmomente F und dF relativ zur Achse OU:

Befugnisse F Und dF durch Formeln bestimmen

1. Methoden zur Anwendung der Gesetze der Hydraulik

1. Analytisch. Der Zweck dieser Methode besteht darin, die Beziehung zwischen den kinematischen und dynamischen Eigenschaften der Flüssigkeit herzustellen. Zu diesem Zweck werden die Gleichungen der Mechanik verwendet; Als Ergebnis erhält man die Bewegungs- und Gleichgewichtsgleichungen der Flüssigkeit.

Um die Anwendung von Gleichungen zu vereinfachen, verwendet die Mechanik Modellflüssigkeiten: beispielsweise eine kontinuierliche Flüssigkeit.

Per Definition kann kein einziger Parameter dieses Kontinuums (feste Flüssigkeit) an jedem Punkt diskontinuierlich sein, einschließlich seiner Ableitung, es sei denn, es liegen besondere Bedingungen vor.

Diese Hypothese ermöglicht es uns, ein Bild der mechanischen Bewegung und des Gleichgewichts der Flüssigkeit an jedem Punkt des Raumkontinuums zu erstellen. Eine weitere Technik zur Erleichterung der Lösung theoretischer Probleme besteht darin, das Problem für den eindimensionalen Fall mit der folgenden Verallgemeinerung für den dreidimensionalen Fall zu lösen. Tatsache ist, dass es in solchen Fällen nicht so schwierig ist, den Durchschnittswert des untersuchten Parameters zu ermitteln. Danach können Sie weitere hydraulische Gleichungen erhalten, die am häufigsten verwendet werden.

Allerdings führt diese Methode, ebenso wie die theoretische Strömungsmechanik, deren Kern ein streng mathematischer Ansatz ist, nicht immer zum notwendigen theoretischen Mechanismus zur Lösung des Problems, obwohl sie ihn gut aufzeigt allgemeine Natur Probleme.

2. Experimental. Die Haupttechnik dieser Methode ist die Verwendung von Modellen gemäß der Ähnlichkeitstheorie: In diesem Fall werden die erhaltenen Daten unter praktischen Bedingungen angewendet und es wird möglich, die Analyseergebnisse zu verfeinern.

Die beste Option ist eine Kombination der beiden oben genannten Methoden.

Der Einsatz von ist aus der modernen Hydraulik nicht mehr wegzudenken moderne Mittel Design: Dies sind schnelle lokale Netzwerke, automatisierte Designer-Arbeitsplätze usw.

Daher wird die moderne Hydraulik oft als Computerhydraulik bezeichnet.

Flüssige Eigenschaften

Da Gas der nächste Aggregatzustand der Materie ist, haben diese Materieformen eine Eigenschaft, die beiden Aggregatzuständen gemeinsam ist. Diese Liegenschaft Umsatz.

Basierend auf den Eigenschaften der Fluidität sehen wir, nachdem wir den flüssigen und gasförmigen Aggregatzustand eines Stoffes betrachtet haben, dass Flüssigkeit der Zustand eines Stoffes ist, in dem er nicht mehr (oder unendlich wenig) komprimiert werden kann. Gas ist ein Zustand derselben Substanz, in dem es komprimiert werden kann, d. h. ein Gas kann als komprimierbare Flüssigkeit bezeichnet werden, genauso wie eine Flüssigkeit als inkompressibles Gas bezeichnet werden kann.

Mit anderen Worten: Es gibt außer der Kompressibilität keine wesentlichen grundlegenden Unterschiede zwischen Gas und Flüssigkeit.

Man nennt auch eine inkompressible Flüssigkeit, deren Gleichgewicht und Bewegung durch die Hydraulik untersucht wird Flüssigkeit abtropfen lassen.

2. Grundlegende Eigenschaften einer Flüssigkeit

Flüssigkeitsdichte.

Betrachten wir ein beliebiges Flüssigkeitsvolumen W, dann hat es Masse M.

Wenn die Flüssigkeit homogen ist, das heißt, wenn ihre Eigenschaften in alle Richtungen gleich sind, dann Dichte wird gleich sein

Wo M– Flüssigkeitsmasse.

Wenn Sie es wissen müssen R an jedem Punkt A Volumen W, Das

Wo D– elementarer Charakter der betrachteten Merkmale an der Stelle A.

Kompressibilität.

Gekennzeichnet durch das volumetrische Kompressionsverhältnis.

Aus der Formel geht klar hervor, dass es sich um die Fähigkeit von Flüssigkeiten handelt, das Volumen bei einer einzigen Druckänderung zu reduzieren: Aufgrund der Abnahme gibt es ein Minuszeichen.

Temperaturausdehnung.

Der Kern des Phänomens besteht darin, dass die Schicht mit einer geringeren Geschwindigkeit die benachbarte Schicht „verlangsamt“. Dadurch entsteht ein besonderer Zustand der Flüssigkeit aufgrund intermolekularer Bindungen in benachbarten Schichten. Dieser Zustand wird als Viskosität bezeichnet.

Das Verhältnis der dynamischen Viskosität zur Flüssigkeitsdichte wird kinematische Viskosität genannt.

Oberflächenspannung: Aufgrund dieser Eigenschaft neigt die Flüssigkeit dazu, das kleinste Volumen einzunehmen, beispielsweise Tropfen in Kugelform.

Abschließend finden Sie hier eine kurze Liste der oben diskutierten Eigenschaften von Flüssigkeiten.

1. Fließfähigkeit.

2. Kompressibilität.

3. Dichte.

4. Volumetrische Kompression.

5. Viskosität.

6. Temperaturausdehnung.

7. Zugfestigkeit.

8. Eigenschaft, Gase aufzulösen.

9. Oberflächenspannung.

3. Kräfte, die in einer Flüssigkeit wirken

Flüssigkeiten werden unterteilt in ausruhen Und ziehen um.

Hier betrachten wir die Kräfte, die im allgemeinen Fall auf und außerhalb der Flüssigkeit wirken.

Diese Kräfte selbst lassen sich in zwei Gruppen einteilen.

1. Massive Kräfte. Anders ausgedrückt nennt man diese Kräfte über die Masse verteilte Kräfte: Für jedes Teilchen mit Masse? M= ?W Gibt es eine Kraft? F, abhängig von seiner Masse.

Lassen Sie die Lautstärke? W enthält einen Punkt A. Dann an der Stelle A:

Wo FA– Kraftdichte in einem Elementarvolumen.

Ist die Massenkraftdichte eine Vektorgröße, die sich auf ein Einheitsvolumen bezieht? W; es kann entlang der Koordinatenachsen projiziert werden und erhält: Fx, Fy, Fz. Das heißt, die Massenkraftdichte verhält sich wie eine Massenkraft.

Beispiele für diese Kräfte sind Schwerkraft, Trägheit (Coriolis- und Transferträgheitskräfte) und elektromagnetische Kräfte.

In der Hydraulik werden elektromagnetische Kräfte jedoch außer in Sonderfällen nicht berücksichtigt.

2. Oberflächenkräfte. Das sind die Kräfte, die auf eine Elementarfläche wirken? w, die sich sowohl an der Oberfläche als auch im Inneren der Flüssigkeit befinden kann; auf einer willkürlich in die Flüssigkeit hineingezogenen Oberfläche.

Als Kräfte gelten: Druckkräfte, die die Normale zur Oberfläche bilden; Reibungskräfte, die tangential zur Oberfläche wirken.

Bestimmen wir in Analogie zu (1) die Dichte dieser Kräfte, dann gilt:

Normalspannung an einem Punkt A:

Scherspannung an einem Punkt A:

Sowohl Massen- als auch Oberflächenkräfte können auftreten extern, die von außen wirken und auf ein Teilchen oder jedes Element der Flüssigkeit angewendet werden; intern, die gepaart sind und deren Summe Null ist.

4. Hydrostatischer Druck und seine Eigenschaften

Allgemeine Differentialgleichungen für das Flüssigkeitsgleichgewicht – L. Eulers Gleichungen für die Hydrostatik.

Wenn wir einen Zylinder mit einer Flüssigkeit (im Ruhezustand) nehmen und eine Trennlinie durch ihn ziehen, erhalten wir eine Flüssigkeit in einem Zylinder aus zwei Teilen. Wenn wir nun auf einen Teil eine Kraft ausüben, wird diese über die Teilungsebene des Zylinderabschnitts auf den anderen übertragen: Bezeichnen wir diese Ebene S= w.

Wenn die Kraft selbst als die Wechselwirkung definiert ist, die von einem Teil auf ein anderes durch einen Abschnitt übertragen wird? w, und es herrscht hydrostatischer Druck.

Wenn wir den Durchschnittswert dieser Kraft schätzen,

Nachdem ich über den Punkt nachgedacht habe A als Grenzfall w, wir definieren:

Wenn wir dann ans Limit gehen? w geht auf den Punkt A.

Deshalb?p x -> ?p n . Das Endergebnis px= pn, auf genau die gleiche Art und Weise, wie Sie es bekommen können p y= pn, pz= p n.

Somit,

p y= pn, pz= p n.

Wir haben bewiesen, dass in allen drei Richtungen (wir haben sie willkürlich gewählt) der Skalarwert der Kräfte gleich ist, also nicht von der Ausrichtung des Abschnitts abhängt? w.

Dieser Skalarwert der einwirkenden Kräfte ist der hydrostatische Druck, der oben besprochen wurde: Ist es dieser Wert, die Summe aller Komponenten, der durch übertragen wird? w.

Eine andere Sache ist, dass insgesamt ( p x+ p y+ p z) wird eine Komponente gleich Null sein.

Wie wir später sehen werden, kann der hydrostatische Druck unter bestimmten Bedingungen an verschiedenen Stellen derselben ruhenden Flüssigkeit, d. h.

P= F(x, y, z).

Eigenschaften des hydrostatischen Drucks.

1. Der hydrostatische Druck ist immer senkrecht zur Oberfläche gerichtet und sein Wert hängt nicht von der Ausrichtung der Oberfläche ab.

2. In einer ruhenden Flüssigkeit an einem beliebigen Punkt wird der hydrostatische Druck entlang der inneren Normalen auf den Bereich gerichtet, der durch diesen Punkt verläuft.

Darüber hinaus p x= p y= p z= p n.

3. Für zwei beliebige Punkte des gleichen Volumens einer homogenen inkompressiblen Flüssigkeit (? = const)

1 + ?P 1 = ? 2 + ?P 1

Wo? – Flüssigkeitsdichte;

P 1 , P 2 – Wert des Feldes der Massenkräfte an diesen Punkten.

Eine Fläche, auf der zwei beliebige Punkte den gleichen Druck haben, heißt Oberfläche mit gleichem Druck.

5. Gleichgewicht einer homogenen inkompressiblen Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft

Dieses Gleichgewicht wird durch eine Gleichung beschrieben, die Grundgleichung der Hydrostatik genannt wird.

Für eine Einheitsmasse ruhender Flüssigkeit

Für zwei beliebige Punkte mit demselben Volumen gilt also

Die resultierenden Gleichungen beschreiben die Druckverteilung in einer Flüssigkeit, die sich im Gleichgewichtszustand befindet. Davon ist Gleichung (2) die Grundgleichung der Hydrostatik.

Bei Reservoirs mit großem Volumen oder großer Oberfläche ist eine Klärung erforderlich: Ist es an einem bestimmten Punkt auf den Radius der Erde ausgerichtet? wie horizontal die betreffende Fläche ist.

Aus (2) folgt

P= P 0 + ?g(z – z 0 ) , (4)

Wo z 1 = z; P 1 = P; z 2 = z 0 ; P 2 = P 0 .

P= P 0 + ?gh, (5)

Wo? gh– Gewichtsdruck, der einer Höheneinheit und einer Flächeneinheit entspricht.

Druck R angerufen absoluter DruckP Abs.

Wenn R> P Bauchmuskeln also p – p atm= P 0 + ?gh – p atm- er heißt Überdruck:

p isch= P< P 0 , (6)

Wenn P< p atm, dann reden wir über den Unterschied in der Flüssigkeit

p vac= p atm – p, (7)

angerufen Vakuumdruck.

6. Pascals Gesetze. Druckmessgeräte

Was passiert an anderen Stellen in der Flüssigkeit, wenn wir etwas Kraft anwenden?p? Wenn Sie zwei Punkte auswählen und auf einen von ihnen eine Kraft?p1 anwenden, ändert sich gemäß der Grundgleichung der Hydrostatik am zweiten Punkt der Druck um?p2.

Daraus lässt sich leicht schließen, dass dies der Fall sein sollte, wenn andere Begriffe gleich sind

P 1 = ?p 2 . (2)

Wir haben den Ausdruck des Pascalschen Gesetzes erhalten, der besagt: Eine Druckänderung an jedem Punkt einer Flüssigkeit im Gleichgewichtszustand wird ohne Änderungen auf alle anderen Punkte übertragen.

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass? = konst. Wenn Sie ein kommunizierendes Gefäß haben, das mit zwei Flüssigkeiten gefüllt ist? 1 ? ? 2 und der Außendruck p 0 = p 1 = p atm, dann nach (1):

1 gh = ? 2 gh, (3)

wobei h 1, h 2 – Höhe vom Flächenabschnitt bis zu den entsprechenden freien Flächen.

Druck ist eine physikalische Größe, die Kräfte charakterisiert, die von einem anderen Objekt senkrecht zur Oberfläche eines Objekts wirken.

Wenn die Kräfte normal und gleichmäßig verteilt sind, dann der Druck

wobei – F die gesamte aufgebrachte Kraft ist;

S ist die Fläche, auf die die Kraft ausgeübt wird.

Sind die Kräfte ungleichmäßig verteilt, spricht man vom durchschnittlichen Druckwert oder berechnet ihn an einem einzigen Punkt: zum Beispiel in einer viskosen Flüssigkeit.

Druckmessgeräte

Eines der Geräte zur Druckmessung ist ein Manometer.

Der Nachteil von Manometern besteht darin, dass sie einen großen Messbereich haben: 1-10 kPa.

Aus diesem Grund werden in Rohren Flüssigkeiten verwendet, die die Höhe „reduzieren“, wie zum Beispiel Quecksilber.

Das nächste Gerät zur Druckmessung ist ein Piezometer.

7. Analyse der Grundgleichung der Hydrostatik

Die Höhe des Drucks wird üblicherweise als piezometrische Höhe oder Druck bezeichnet.

Nach der Grundgleichung der Hydrostatik gilt

p 1 + ?gh A = p 2 + ?gh H ,

Wo? – Flüssigkeitsdichte;

g – Beschleunigung im freien Fall.

p2 ist in der Regel durch p 2 = p atm gegeben, daher ist es bei Kenntnis von h A und h H nicht schwierig, den gewünschten Wert zu bestimmen.

2. p 1 = p 2 = p atm. Ganz offensichtlich, welches davon? = const, g = const daraus folgt h A = h H . Diese Tatsache wird auch das Gesetz der kommunizierenden Gefäße genannt.

3. S. 1< p 2 = p атм.

Zwischen der Oberfläche der Flüssigkeit im Rohr und seinem geschlossenen Ende entsteht ein Vakuum. Solche Geräte werden Vakuummeter genannt; Sie werden verwendet, um Drücke zu messen, die unter dem Atmosphärendruck liegen.

Höhe, die ein Merkmal der Vakuumänderung ist:

Vakuum wird in denselben Einheiten wie Druck gemessen.

Piezometrischer Kopf

Kehren wir zur grundlegenden hydrostatischen Gleichung zurück. Dabei ist z die Koordinate des betrachteten Punktes, die von der XOY-Ebene aus gemessen wird. In der Hydraulik wird die XOY-Ebene als Referenzebene bezeichnet.

Die von dieser Ebene aus gemessene Z-Koordinate wird anders genannt: geometrische Höhe; Positionshöhe; geometrischer Druck des Punktes z.

In der gleichen Grundgleichung der Hydrostatik ist die Größe von p/gh auch die geometrische Höhe, auf die die Flüssigkeit unter dem Einfluss des Drucks p steigt. p/?gh wird wie die geometrische Höhe in Metern gemessen. Wenn am anderen Ende des Rohrs Atmosphärendruck auf die Flüssigkeit einwirkt, steigt die Flüssigkeit im Rohr auf eine Höhe p g/gh, die Vakuumhöhe genannt wird.

Die dem Druck pvac entsprechende Höhe wird als Vakuum bezeichnet.

In der Grundgleichung der Hydrostatik ist die Summe z + p/?gh die hydrostatische Förderhöhe H; es wird auch eine piezometrische Förderhöhe Hn unterschieden, die dem Atmosphärendruck p atm/?gh entspricht:

8. Hydraulische Presse

Eine hydraulische Presse wird verwendet, um mehr Arbeit auf kurze Distanz zu erledigen. Betrachten Sie den Betrieb einer hydraulischen Presse.

Damit am Körper gearbeitet werden kann, ist es erforderlich, mit einem bestimmten Druck P auf den Kolben einzuwirken. Dieser Druck entsteht wie P 2 wie folgt.

Wenn der Pumpenkolben mit der Bodenfläche S 2 ansteigt, schließt er das erste Ventil und öffnet das zweite. Nach dem Befüllen des Zylinders mit Wasser schließt das zweite Ventil und das erste öffnet sich.

Dadurch füllt Wasser den Zylinder durch das Rohr und drückt über den unteren Abschnitt S1 mit dem Druck P2 auf den Kolben.

Dieser Druck komprimiert wie der Druck P 1 den Körper.

Es ist ganz offensichtlich, dass P 1 den gleichen Druck hat wie P 2, der einzige Unterschied besteht darin, dass sie auf unterschiedlich große Flächen S 2 und S 1 wirken.

Mit anderen Worten, Druck:

P 1 = pS 1 und P 2 = pS 2 . (1)

Wenn wir p = P 2 /S 2 ausdrücken und in die erste Formel einsetzen, erhalten wir:

Aus der erhaltenen Formel ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung: Ein um ein Vielfaches größerer Druck als S 1 > S 2 wird von der Seite eines Kolbens mit einer kleineren Fläche S 2 auf einen Kolben mit einer größeren Fläche S 1 übertragen.

In der Praxis gehen jedoch aufgrund von Reibungskräften bis zu 15 % dieser übertragenen Energie verloren: Sie werden für die Überwindung des Widerstands der Reibungskräfte aufgewendet.

Dennoch haben hydraulische Pressen einen Wirkungsgrad von 85 % – ein recht hoher Wert.

In der Hydraulik wird Formel (2) wie folgt umgeschrieben:

wobei P 1 als R bezeichnet wird;

Hydrospeicher

Der Hydrospeicher dient der Aufrechterhaltung eines konstanten Drucks im angeschlossenen System.

Das Erreichen eines konstanten Drucks erfolgt auf folgende Weise: Eine Last P wirkt auf die Oberseite des Kolbens, auf dessen Fläche.

Das Rohr dient dazu, diesen Druck im gesamten System zu übertragen.

Befindet sich im System (Mechanismus, Installation) ein Flüssigkeitsüberschuss, gelangt der Überschuss durch das Rohr in den Zylinder und der Kolben steigt an.

Bei Flüssigkeitsmangel senkt sich der Kolben und der dabei entstehende Druck p wird nach dem Pascalschen Gesetz auf alle Teile des Systems übertragen.

9. Bestimmung der Druckkraft einer ruhenden Flüssigkeit auf ebenen Flächen. Druckzentrum

Um die Druckkraft zu bestimmen, betrachten wir eine relativ zur Erde ruhende Flüssigkeit. Wenn wir eine beliebige horizontale Fläche in der Flüssigkeit wählen, vorausgesetzt, dass auf die freie Oberfläche p atm = p 0 einwirkt, auf? es herrscht Überdruck:

P izb = ?gh?. (1)

Da in (1) ?gh ? ist nichts anderes als mg, da h? und?V = m, der Überdruck ist gleich dem Gewicht der im Volumen h enthaltenen Flüssigkeit? . Verläuft die Wirkungslinie dieser Kraft durch die Mitte der Fläche? und ist senkrecht zur horizontalen Fläche gerichtet.

Formel (1) enthält keine einzelne Größe, die die Form des Gefäßes charakterisieren würde. Folglich ist P unabhängig von der Form des Gefäßes. Daher folgt aus Formel (1) eine äußerst wichtige Schlussfolgerung, die sogenannte hydraulisches Paradoxon– bei unterschiedlichen Gefäßformen, wenn auf der freien Oberfläche das gleiche p 0 erscheint, dann bei gleichen Dichten?, Flächen? und Höhen h ist der auf den horizontalen Boden ausgeübte Druck gleich.

Wenn die Bodenebene geneigt ist, erfolgt eine Benetzung der Oberfläche mit einer Fläche von ?. Daher kann im Gegensatz zum vorherigen Fall, wenn der Boden in einer horizontalen Ebene lag, nicht gesagt werden, dass der Druck konstant ist.

Um es zu bestimmen, teilen wir die Fläche auf? auf elementaren Bereichen d?, von denen jeder Druck ausgesetzt ist

Per Definition der Druckkraft ist

und dP ist normal zur Site gerichtet?.

Wenn wir nun die Gesamtkraft bestimmen, die auf die Fläche wirkt, dann ist ihre Größe:

Nachdem wir den zweiten Term in (3) bestimmt haben, finden wir R abs.

Pabs = ?(p 0 + h c. e). (4)

Wir haben die erforderlichen Ausdrücke zur Bestimmung der Drücke erhalten, die horizontal und geneigt wirken

Ebenen: R g und R abs.

Betrachten wir einen weiteren Punkt C, der zur Fläche gehört?, genauer gesagt, den Punkt des Schwerpunkts der benetzten Fläche?. An diesem Punkt ist die Kraft P0 = ? 0?.

Die Kraft wirkt an jedem anderen Punkt, der nicht mit Punkt C zusammenfällt.

10. Bestimmung der Druckkraft bei Berechnungen von Wasserbauwerken

Bei Berechnungen im Wasserbau ist die Kraft des Überdrucks P von Interesse, bei:

p 0 = p atm,

Dabei ist p0 der auf den Schwerpunkt ausgeübte Druck.

Wenn wir von Kraft sprechen, meinen wir die Kraft, die im Druckzentrum wirkt, obwohl wir damit die Kraft des Überdrucks meinen.

Zur Bestimmung von P abs verwenden wir Satz der Momente, aus der theoretischen Mechanik: Das Moment der Resultierenden relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich der Summe der Momente der Komponentenkräfte relativ zu derselben Achse.

Nach diesem resultierenden Drehmomentsatz gilt nun:

Da bei p 0 = p atm, P = ?gh c. e.?, also dP = ?ghd ? = ?gsin?ld ? , daher (im Folgenden werden wir der Einfachheit halber nicht zwischen p ex und p abs unterscheiden), unter Berücksichtigung von P und dP aus (2) sowie nach Transformationen folgt:

Wenn wir nun die Achse des Trägheitsmoments, also die Linie des Flüssigkeitsrandes (O Y-Achse), zum Schwerpunkt?, also zum Punkt C, verschieben, dann ist relativ zu dieser Achse das Trägheitsmoment der Der Druckmittelpunkt von Punkt D liegt bei J 0.

Daher hat der Ausdruck für den Druckmittelpunkt (Punkt D), ohne die Achse des Trägheitsmoments von derselben Kantenlinie zu übertragen, die mit der O Y-Achse zusammenfällt, die Form:

I y = I 0 + ?l 2 c.t.

Die endgültige Formel zur Bestimmung der Lage des Druckzentrums ausgehend von der Achse des Flüssigkeitsrandes:

l c. d. = l c. g.+ I 0 /S.

wobei S = ?l c.d. – Statistischer Moment.

Die endgültige Formel für l c.d. ermöglicht die Bestimmung des Druckmittelpunkts bei der Berechnung von Wasserbauwerken: Dazu wird der Abschnitt in Teilabschnitte unterteilt und für jeden Abschnitt l Zentraldruck ermittelt. relativ zur Schnittlinie dieses Abschnitts (Sie können die Fortsetzung dieser Linie verwenden) mit der freien Oberfläche.

Die Druckmittelpunkte der einzelnen Abschnitte liegen unterhalb des Schwerpunkts der benetzten Fläche entlang der geneigten Wand, genauer gesagt entlang der Symmetrieachse, im Abstand I 0 /?l c.u.

11. Allgemeine Methode zur Bestimmung von Kräften auf gekrümmten Oberflächen

1. Im Allgemeinen beträgt dieser Druck:

wobei Wg das Volumen des betrachteten Prismas ist.

In einem bestimmten Fall hängen die Richtungen der Krafteinwirkungslinien auf eine gekrümmte Oberfläche eines Körpers, des Drucks, von den Richtungskosinussen der folgenden Form ab:

Die Druckkraft auf eine Zylinderfläche mit horizontaler Erzeugender ist vollständig definiert. Im betrachteten Fall ist die O Y-Achse parallel zur horizontalen Generatrix gerichtet.

2. Betrachten Sie nun eine zylindrische Oberfläche mit einer vertikalen Mantellinie und richten Sie die Achse O Z parallel zu dieser Mantellinie aus. Was bedeutet das? z = 0.

Daher gilt analog wie im vorherigen Fall:

wobei h" c.t. die Tiefe des Schwerpunkts der Projektion unter der piezometrischen Ebene ist;

h" c.t. – das Gleiche, nur für? y.

Ebenso wird die Richtung durch den Richtungskosinus bestimmt

Betrachten wir eine zylindrische Oberfläche, genauer gesagt einen volumetrischen Sektor, mit einem Radius? und Höhe h, mit einer vertikalen Erzeugenden, dann

h" c.t. = 0,5h.

3. Es bleibt die Verallgemeinerung der erhaltenen Formeln für die praktische Anwendung einer beliebigen gekrümmten Oberfläche:

12. Gesetz des Archimedes. Auftriebsbedingungen für untergetauchte Körper

Es ist notwendig, die Gleichgewichtsbedingungen eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers und die sich aus diesen Bedingungen ergebenden Konsequenzen zu klären.

Die auf den eingetauchten Körper wirkende Kraft ist die Resultierende der vertikalen Komponenten P z1, P z2, d. h. z.B.:

P z1 = P z1 – P z2 = ?gW T. (1)

wobei P z1, P z2 nach unten und oben gerichtete Kräfte sind.

Dieser Ausdruck charakterisiert eine Kraft, die allgemein als archimedische Kraft bezeichnet wird.

Die archimedische Kraft ist eine Kraft, die dem Gewicht des eingetauchten Körpers (oder eines Teils davon) entspricht: Diese Kraft wirkt auf den Schwerpunkt, ist nach oben gerichtet und entspricht quantitativ dem Gewicht der Flüssigkeit, die vom eingetauchten Körper oder einem Teil davon verdrängt wird Es. Wir haben das Gesetz von Archimedes formuliert.

Schauen wir uns nun die Rahmenbedingungen für den Auftrieb eines Körpers an.

1. Das von einem Körper verdrängte Flüssigkeitsvolumen wird als volumetrische Verdrängung bezeichnet. Der Schwerpunkt der volumetrischen Verschiebung fällt mit dem Druckmittelpunkt zusammen: Im Druckmittelpunkt wirkt die resultierende Kraft.

2. Wenn der Körper vollständig eingetaucht ist, dann stimmt das Volumen des Körpers W mit W Т überein, wenn nicht, dann W< W Т, то есть P z = ?gW.

3. Der Körper schwimmt nur, wenn das Körpergewicht vorhanden ist

G T = P z = ?gW, (2)

d.h. gleich der archimedischen Kraft.

4. Schwimmen:

1) unter Wasser, d. h. der Körper ist vollständig eingetaucht, wenn P = G t, was bedeutet (wenn der Körper homogen ist):

GW = ? t gW T, von wo

Wo?,? T – Dichte der Flüssigkeit bzw. des Körpers;

W – volumetrische Verdrängung;

W Т – Volumen des am weitesten untergetauchten Körpers;

2) über Wasser, wenn der Körper teilweise untergetaucht ist; In diesem Fall wird die Eintauchtiefe des tiefsten Punktes der benetzten Körperoberfläche als Tiefgang des Schwimmkörpers bezeichnet.

Die Wasserlinie ist die Schnittlinie eines eingetauchten Körpers entlang des Umfangs mit der freien Oberfläche der Flüssigkeit.

Die Wasserlinienfläche ist die durch die Wasserlinie begrenzte Fläche des eingetauchten Körperteils.

Die Linie, die durch die Schwerpunkte des Körpers und des Drucks verläuft, wird Schwimmachse genannt und ist vertikal, wenn der Körper im Gleichgewicht ist.

13. Metazentrum und metazentrischer Radius

Die Fähigkeit eines Körpers, seinen ursprünglichen Gleichgewichtszustand nach Wegfall äußerer Einflüsse wiederherzustellen, wird als Stabilität bezeichnet.

Basierend auf der Art der Aktion wird zwischen statistischer und dynamischer Stabilität unterschieden.

Da wir uns im Rahmen der Hydrostatik befinden, befassen wir uns mit der statistischen Stabilität.

Wenn die nach äußerer Einwirkung gebildete Rolle irreversibel ist, ist die Stabilität instabil.

Wenn es nach dem Aufhören des äußeren Einflusses erhalten bleibt, das Gleichgewicht wiederhergestellt wird, ist die Stabilität stabil.

Voraussetzung für statistische Stabilität ist Schwimmen.

Beim Schwimmen unter Wasser sollte der Schwerpunkt unterhalb des Verschiebungszentrums auf der Schwimmachse liegen. Dann wird der Körper schweben. Wenn über Wasser, dann hängt die Stabilität von welchem ​​Winkel ab? Der Körper drehte sich um seine Längsachse.

Bei?< 15 o , после прекращения внешнего воздействия равновесие тела восстанавливается; если? >= 15 o, dann ist die Rolle irreversibel.

Der Schnittpunkt der archimedischen Kraft mit der Schwimmachse wird Metazentrum genannt: Er verläuft auch durch das Druckzentrum.

Der metazentrische Radius ist der Radius des Kreises, dessen Teil der Bogen ist, entlang dem sich der Druckmittelpunkt zum Metazentrum bewegt.

Folgende Notationen werden akzeptiert: Metazentrum – M, metazentrischer Radius – ? M.

Bei?< 15 о

wobei I 0 das Zentralmoment der Ebene relativ zur Längsachse in der Wasserlinie ist.

Nach der Einführung des Konzepts des „Metazentrums“ ändern sich die Stabilitätsbedingungen etwas: Oben wurde gesagt, dass für eine stabile Stabilität der Schwerpunkt über dem Druckzentrum auf der Navigationsachse liegen muss. Nehmen wir nun an, dass der Schwerpunkt nicht höher als das Metazentrum liegen sollte. Andernfalls erhöhen die Kräfte die Rollbewegung.

Wie offensichtlich ist die Rolldistanz? zwischen dem Schwerpunkt und dem Druckzentrum variiert innerhalb?< ? м.

In diesem Fall wird der Abstand zwischen dem Schwerpunkt und dem Metazentrum als metazentrische Höhe bezeichnet, die unter Bedingung (2) positiv ist. Je größer die metazentrische Höhe ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schwimmkörper rollt. Das Vorhandensein einer Stabilität relativ zur Längsachse einer Ebene, die eine Wasserlinie enthält, ist eine notwendige und ausreichende Voraussetzung für die Stabilität relativ zur Querachse derselben Ebene.

14. Methoden zur Bestimmung der Flüssigkeitsbewegung

Die Hydrostatik untersucht Flüssigkeiten in ihrem Gleichgewichtszustand.

Die Fluidkinematik untersucht Flüssigkeiten in Bewegung, ohne die Kräfte zu berücksichtigen, die diese Bewegung erzeugten oder begleiteten.

Die Hydrodynamik untersucht ebenfalls die Bewegung einer Flüssigkeit, jedoch abhängig vom Einfluss der auf die Flüssigkeit ausgeübten Kräfte.

In der Kinematik wird ein kontinuierliches Modell einer Flüssigkeit verwendet: ein Teil ihres Kontinuums. Nach der Kontinuitätshypothese handelt es sich bei dem Kontinuum um ein flüssiges Teilchen, in dem sich eine große Anzahl von Molekülen ständig bewegt; Es gibt keine Brüche oder Lücken darin.

Wenn in den vorherigen Fragen beim Studium der Hydrostatik ein kontinuierliches Medium als Modell für die Untersuchung einer Flüssigkeit im Gleichgewicht genommen wurde, dann wird hier am Beispiel desselben Modells eine Flüssigkeit in Bewegung untersucht und die Bewegung ihrer Partikel untersucht .

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Bewegung eines Teilchens und damit einer Flüssigkeit zu beschreiben.

1. Lagrange-Methode. Diese Methode wird bei der Beschreibung von Wellenfunktionen nicht verwendet. Der Kern der Methode ist wie folgt: Es ist erforderlich, die Bewegung jedes Teilchens zu beschreiben.

Der Anfangszeitpunkt t 0 entspricht den Anfangskoordinaten x 0 , y 0 , z 0 .

Zum Zeitpunkt t sind sie jedoch bereits unterschiedlich. Wie Sie sehen, sprechen wir über die Bewegung jedes einzelnen Teilchens. Diese Bewegung kann als eindeutig angesehen werden, wenn es möglich ist, die Koordinaten x, y, z für jedes Teilchen zu einem beliebigen Zeitpunkt t als kontinuierliche Funktionen von x 0 , y 0 , z 0 anzugeben.

x = x(x 0 , y 0 , z 0 , t)

y =y (x 0 , y 0 , z 0 , t)

z = z(x 0 , y 0 , z 0 , t) (1)

Die Variablen x 0 , y 0 , z 0 , t heißen Lagrange-Variablen.

2. Methode zur Bestimmung der Bewegung von Teilchen nach Euler. Die Bewegung der Flüssigkeit erfolgt dabei in einem bestimmten stationären Bereich der Flüssigkeitsströmung, in dem sich die Partikel befinden. Punkte in den Partikeln werden zufällig ausgewählt. Der Zeitpunkt t als Parameter wird in jeder Zeit der betrachteten Region angegeben, die die Koordinaten x, y, z hat.

Der betrachtete Bereich befindet sich, wie bereits bekannt, innerhalb der Strömung und ist bewegungslos. Die Geschwindigkeit eines Fluidteilchens u in diesem Bereich zu jedem Zeitpunkt t wird als momentane lokale Geschwindigkeit bezeichnet.

Das Geschwindigkeitsfeld ist die Menge aller Momentangeschwindigkeiten. Das Ändern dieses Feldes wird durch das folgende System beschrieben:

u x = u x (x,y,z,t)

u y = u y (x,y,z,t)

u z = u z (x,y,z,t)

Die Variablen in (2) x, y, z, t heißen Euler-Variablen.

15. Grundkonzepte der Fluidkinematik

Die Essenz des oben erwähnten Geschwindigkeitsfeldes sind Vektorlinien, die oft als Stromlinien bezeichnet werden.

Eine Stromlinie ist eine gekrümmte Linie für jeden Punkt, deren lokaler Geschwindigkeitsvektor zu einem ausgewählten Zeitpunkt tangential gerichtet ist (wir sprechen nicht von der normalen Geschwindigkeitskomponente, da diese gleich Null ist).

Formel (1) ist die Differentialgleichung der Stromlinie zum Zeitpunkt t. Folglich ist es möglich, eine Stromlinie zu konstruieren, indem man ein anderes ti als das erhaltene i angibt, wobei i = 1,2, 3, ...: Es handelt sich dabei um die Hülle einer gestrichelten Linie bestehend aus i.

Stromlinien kreuzen sich aufgrund der Bedingung in der Regel nicht? 0 oder? ?. Wenn diese Bedingungen jedoch verletzt werden, schneiden sich die Stromlinien: Der Schnittpunkt wird als speziell (oder kritisch) bezeichnet.

1. Instationäre Bewegung, die so genannt wird, weil sich die lokalen Geschwindigkeiten an den betrachteten Punkten des ausgewählten Bereichs im Laufe der Zeit ändern. Eine solche Bewegung wird vollständig durch ein Gleichungssystem beschrieben.

2. Stetige Bewegung: Da bei einer solchen Bewegung die lokalen Geschwindigkeiten nicht von der Zeit abhängen und konstant sind:

u x = u x (x,y,z)

u y = u y (x,y,z)

u z = u z (x,y,z)

Die Stromlinien und Teilchenbahnen fallen zusammen und die Differentialgleichung für die Stromlinie hat die Form:

Die Gesamtheit aller Stromlinien, die durch jeden Punkt der Strömungskontur verlaufen, bildet eine Fläche, die Strömungsröhre genannt wird. In diesem Rohr bewegt sich die darin enthaltene Flüssigkeit, was als Rinnsal bezeichnet wird.

Ein Rinnsal gilt als elementar, wenn die betrachtete Kontur unendlich klein ist, und als endlich, wenn die Kontur eine endliche Fläche hat.

Der Querschnitt des Stroms, der an jedem Punkt der Stromlinien normal ist, wird als lebender Querschnitt des Stroms bezeichnet. Abhängig von der Endlichkeit oder unendlichen Kleinheit wird die Fläche des Stroms üblicherweise mit ? bezeichnet. und d?.

Ein bestimmtes Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch den stromführenden Abschnitt fließt, wird als Strömungsgeschwindigkeit Q bezeichnet.

16. Wirbelbewegung

Merkmale der in der Hydrodynamik betrachteten Bewegungsarten.

Folgende Bewegungsarten lassen sich unterscheiden.

Instationär, basierend auf dem Verhalten von Geschwindigkeit, Druck, Temperatur usw.; stetig, entsprechend den gleichen Parametern; ungleichmäßig, abhängig vom Verhalten derselben Parameter in einem stromführenden Abschnitt mit Fläche; einheitlich, nach den gleichen Merkmalen; Druck, wenn Bewegung unter Druck p > p atm stattfindet (z. B. in Rohrleitungen); drucklos, wenn die Bewegung der Flüssigkeit nur unter dem Einfluss der Schwerkraft erfolgt.

Die Hauptbewegungsarten sind jedoch trotz der Vielzahl ihrer Varianten Wirbel- und Laminarbewegung.

Die Bewegung, bei der sich Flüssigkeitsteilchen um Momentanachsen drehen, die durch ihre Pole verlaufen, wird Wirbelbewegung genannt.

Diese Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens wird durch W(Komponenten) charakterisiert, die sind:

Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit selbst steht immer senkrecht zur Ebene, in der die Drehung erfolgt.

Wenn wir den Modul der Winkelgeschwindigkeit bestimmen, dann

Durch Verdoppelung der Projektionen auf die entsprechenden Achskoordinaten? X, ? y, ? z erhalten wir die Komponenten des Wirbelvektors

Die Menge der Wirbelvektoren wird als Vektorfeld bezeichnet.

Analog zum Geschwindigkeitsfeld und zur Stromlinie gibt es auch eine Wirbellinie, die das Vektorfeld charakterisiert.

Dies ist eine Linie, in der für jeden Punkt der Winkelgeschwindigkeitsvektor gleichgerichtet mit der Tangente an diese Linie ist.

Die Gerade wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:

wobei die Zeit t als Parameter betrachtet wird.

Wirbellinien verhalten sich in vielerlei Hinsicht genauso wie Stromlinien.

Wirbelbewegungen werden auch turbulent genannt.

17. Laminare Strömung

Diese Bewegung wird auch als potentielle (rotationsfreie) Bewegung bezeichnet.

Bei dieser Bewegung gibt es keine Rotation der Teilchen um Momentanachsen, die durch die Pole der Flüssigkeitsteilchen verlaufen. Aus diesem Grund:

X = 0; ? y = 0; ? z = 0. (1)

X = ? y = ? z = 0.

Oben wurde darauf hingewiesen, dass sich bei der Bewegung einer Flüssigkeit nicht nur die Position der Teilchen im Raum ändert, sondern auch ihre Verformung gemäß linearen Parametern. Wenn die oben diskutierte Wirbelbewegung eine Folge einer Änderung der räumlichen Position eines Flüssigkeitspartikels ist, dann ist die laminare (potentielle oder rotationsfreie) Bewegung eine Folge von Verformungsphänomenen linearer Parameter, beispielsweise Form und Volumen.

Die Wirbelbewegung wurde durch die Richtung des Wirbelvektors bestimmt

Wo? – Winkelgeschwindigkeit, die ein Merkmal von Winkelverformungen ist.

Die Verformung dieser Bewegung ist durch die Verformung dieser Komponenten gekennzeichnet

Aber seit wann mit laminarer Strömung? x =? y = ? z = 0, dann:

Aus dieser Formel ist klar: Da es in Formel (4) partielle Ableitungen gibt, die miteinander in Beziehung stehen, gehören diese partiellen Ableitungen zu einer Funktion.

18. Geschwindigkeitspotential und Beschleunigung bei laminarer Bewegung

? = ?(x, y, z) (1)

Funktion? Geschwindigkeitspotential genannt.

In diesem Sinne, die Komponenten? sieht aus wie das:

Formel (1) beschreibt die instationäre Bewegung, da sie den Parameter t enthält.

Beschleunigung bei laminarer Strömung

Die Beschleunigung eines Flüssigkeitsteilchens hat die Form:

Dabei sind du/dt Gesamtableitungen nach der Zeit.

Die Beschleunigung kann in dieser Form dargestellt werden, basierend auf

Komponenten der gewünschten Beschleunigung

Formel (4) enthält Informationen über die Gesamtbeschleunigung.

Die Terme ?u x /?t, ?u y /?t, ?u z /?t werden am betrachteten Punkt als lokale Beschleuniger bezeichnet, die die Änderungsgesetze im Geschwindigkeitsfeld charakterisieren.

Wenn die Bewegung gleichmäßig ist, dann

Das Geschwindigkeitsfeld selbst kann als Konvektion bezeichnet werden. Daher werden die verbleibenden Teile der Summen, die jeder Zeile von (4) entsprechen, Konvektionsbeschleunigungen genannt. Genauer gesagt durch Projektionen der konvektiven Beschleunigung, die die Inhomogenität des Geschwindigkeitsfeldes (oder der Konvektion) zu einem bestimmten Zeitpunkt t charakterisiert.

Die Gesamtbeschleunigung selbst kann als eine bestimmte Substanz bezeichnet werden, die die Summe der Projektionen ist

du x /dt, du y /dt, du z /dt,

19. Fluidkontinuitätsgleichung

Beim Lösen von Problemen müssen Sie häufig unbekannte Funktionen definieren wie:

1) p = p (x, y, z, t) – Druck;

2) n x (x, y, z, t), ny(x, y, z, t), n z (x, y, z, t) – Projektionen der Geschwindigkeit auf den Koordinatenachsen x, y, z;

3) ? (x, y, z, t) – Flüssigkeitsdichte.

Diese Unbekannten, es gibt insgesamt fünf, werden mithilfe des Euler-Gleichungssystems bestimmt.

Es gibt nur drei Euler-Gleichungen, aber wie wir sehen, gibt es fünf Unbekannte. Zur Bestimmung dieser Unbekannten fehlen zwei weitere Gleichungen. Die Kontinuitätsgleichung ist eine der beiden fehlenden Gleichungen. Als fünfte Gleichung wird die Zustandsgleichung des Kontinuums verwendet.

Formel (1) ist die Kontinuitätsgleichung, also die erforderliche Gleichung für den allgemeinen Fall. Im Fall der Flüssigkeitsinkompressibilität ist ??/dt = 0, da? = const, daher folgt aus (1):

denn diese Terme sind, wie aus der höheren Mathematik bekannt, die Änderungsrate der Länge eines Einheitsvektors in einer der Richtungen X, Y, Z.

Die Gesamtsumme in (2) drückt die Rate der relativen Volumenänderung dV aus.

Diese Volumenänderung wird unterschiedlich genannt: Volumenausdehnung, Divergenz, Divergenz des Geschwindigkeitsvektors.

Für ein Rinnsal lautet die Gleichung:

wobei Q die Flüssigkeitsmenge (Durchfluss) ist;

? – Winkelgeschwindigkeit des Strahls;

L ist die Länge des Elementarabschnitts des betrachteten Baches.

Ist der Druck konstant oder die offene Querschnittsfläche? = const also?? /?t = 0, d. h. nach (3),

Q/?l = 0, also

20. Eigenschaften der Flüssigkeitsströmung

Unter einer Strömung versteht man in der Hydraulik die Bewegung einer Masse, wenn diese Masse begrenzt ist:

1) harte Oberflächen;

2) Oberflächen, die verschiedene Flüssigkeiten trennen;

3) freie Oberflächen.

Je nachdem, durch welche Oberflächen oder Kombinationen davon das bewegte Fluid begrenzt wird, werden folgende Arten von Strömungen unterschieden:

1) freier Fluss, wenn der Fluss durch eine Kombination aus festen und freien Oberflächen begrenzt wird, zum Beispiel ein Fluss, ein Kanal, ein Rohr mit unvollständigem Querschnitt;

2) Druck, zum Beispiel ein Rohr mit vollem Querschnitt;

3) hydraulische Strahlen, die auf flüssige (wie wir später sehen werden, werden solche Strahlen als geflutete Strahlen bezeichnet) oder gasförmige Medien beschränkt sind.

Freier Querschnitt und hydraulischer Strömungsradius. Kontinuitätsgleichung in hydraulischer Form

Der Abschnitt der Strömung, von dem aus alle Stromlinien normal (d. h. senkrecht) verlaufen, wird als lebender Abschnitt bezeichnet.

Das Konzept des hydraulischen Radius ist in der Hydraulik äußerst wichtig.

Für eine Druckströmung mit kreisförmigem Strömungsquerschnitt, Durchmesser d und Radius r0 wird der hydraulische Radius ausgedrückt

Bei der Ableitung von (2) haben wir berücksichtigt

Die Durchflussrate ist die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch den stromführenden Abschnitt fließt.

Für eine aus Elementarströmen bestehende Strömung beträgt die Durchflussmenge:

wobei dQ = d? – Durchflussmenge des Elementarstroms;

U ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in einem bestimmten Abschnitt.

21. Bewegungsvariation

Abhängig von der Art der Änderung des Geschwindigkeitsfeldes werden folgende Arten stetiger Bewegung unterschieden:

1) einheitlich, wenn die Hauptmerkmale der Strömung die Form und Fläche des lebenden Querschnitts, die durchschnittliche Geschwindigkeit der Strömung, einschließlich entlang der Länge, die Tiefe der Strömung (wenn die Bewegung frei fließend ist) sind. - konstant sind und sich nicht ändern; außerdem sind die lokalen Geschwindigkeiten über die gesamte Länge der Strömung entlang der Stromlinie gleich, es treten jedoch keinerlei Beschleunigungen auf;

2) ungleichmäßig, wenn keiner der für eine gleichförmige Bewegung aufgeführten Faktoren erfüllt ist, einschließlich der Bedingung der Parallelität der Stromlinien.

Es gibt eine sanft variierende Bewegung, die immer noch als ungleichmäßige Bewegung betrachtet wird; Bei einer solchen Bewegung wird davon ausgegangen, dass die Stromlinien ungefähr parallel verlaufen und alle anderen Änderungen reibungslos erfolgen. Wenn daher die Bewegungsrichtung und die OX-Achse gleichgerichtet sind, werden einige Größen vernachlässigt

Ux? U; Uy = Uz = 0. (1)

Die Kontinuitätsgleichung (1) für sanft variierende Bewegungen hat die Form:

Ähnliches gilt für andere Richtungen.

Daher wird diese Art der Bewegung als gleichmäßig geradlinig bezeichnet;

3) Wenn die Bewegung instationär oder instationär ist, wenn sich die lokalen Geschwindigkeiten im Laufe der Zeit ändern, werden folgende Bewegungsarten unterschieden: sich schnell ändernde Bewegung, sich langsam ändernde Bewegung oder, wie es oft genannt wird, quasistationär.

Der Druck wird abhängig von der Anzahl der Koordinaten in den ihn beschreibenden Gleichungen unterteilt in: räumlich, wenn die Bewegung dreidimensional ist; flach, wenn die Bewegung zweidimensional ist, d. h. Uх, Uy oder Uz gleich Null ist; eindimensional, wenn die Bewegung nur von einer der Koordinaten abhängt.

Abschließend stellen wir die folgende Kontinuitätsgleichung für eine Strömung fest, vorausgesetzt, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist, d. h. ?= const; für eine Strömung hat diese Gleichung die Form:

Q = ? 1 ? 1 = ? 2? 2 = … = ? ich? i = idem, (3)

Wo? ich? i – Geschwindigkeit und Fläche desselben Abschnitts mit der Nummer i.

Gleichung (3) wird in hydraulischer Form Kontinuitätsgleichung genannt.

22. Differentialgleichungen der Bewegung einer nichtviskosen Flüssigkeit

Die Euler-Gleichung ist neben der Bernoulli-Gleichung und einigen anderen eine der grundlegenden Gleichungen der Hydraulik.

Das Studium der Hydraulik als solche beginnt praktisch mit der Euler-Gleichung, die als Ausgangspunkt für den Zugang zu anderen Ausdrücken dient.

Versuchen wir, diese Gleichung abzuleiten. Lassen Sie uns ein unendlich kleines Parallelepiped mit Flächen dxdydz in einer dünnflüssigen Flüssigkeit mit der Dichte? haben. Es ist mit Flüssigkeit gefüllt und bewegt sich wie Komponente fließen. Welche Kräfte wirken auf das ausgewählte Objekt? Dabei handelt es sich um Massenkräfte und Flächendruckkräfte, die von der Seite der Flüssigkeit, in der sich das gewählte dV befindet, auf dV = dxdydz wirken. So wie Massenkräfte proportional zur Masse sind, sind Oberflächenkräfte proportional zu den unter Druck stehenden Flächen. Diese Kräfte werden entlang der Normalen nach innen auf die Flächen gerichtet. Lassen Sie uns den mathematischen Ausdruck dieser Kräfte bestimmen.

Benennen wir, wie bei der Kontinuitätsgleichung, die Flächen des Parallelepipeds:

1, 2 – senkrecht zur O-X-Achse und parallel zur O-Y-Achse;

3, 4 – senkrecht zur O-Y-Achse und parallel zur O-X-Achse;

5, 6 – senkrecht zur O Z-Achse und parallel zur O X-Achse.

Jetzt müssen wir bestimmen, welche Kraft auf den Massenschwerpunkt des Parallelepipeds ausgeübt wird.

Die auf den Massenschwerpunkt des Parallelepipeds ausgeübte Kraft, die diese Flüssigkeit in Bewegung versetzt, ist also die Summe der auftretenden Kräfte

Dividiere (1) durch die Masse?dxdydz:

Das resultierende Gleichungssystem (2) ist die gewünschte Bewegungsgleichung einer reibungsfreien Flüssigkeit – die Euler-Gleichung.

Zu den drei Gleichungen (2) werden zwei weitere Gleichungen hinzugefügt, da es fünf Unbekannte gibt, und ein System aus fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten wird gelöst: Eine der beiden zusätzlichen Gleichungen ist die Kontinuitätsgleichung. Eine andere Gleichung ist die Zustandsgleichung. Beispielsweise kann für eine inkompressible Flüssigkeit die Zustandsgleichung die Bedingung sein? = konst.

Die Zustandsgleichung muss so gewählt werden, dass sie mindestens eine der fünf Unbekannten enthält.

23. Eulers Gleichung für verschiedene Zustände

Eulers Gleichung für verschiedene Staaten verfügt über unterschiedliche Aufnahmeformen. Da die Gleichung selbst für den allgemeinen Fall ermittelt wurde, betrachten wir mehrere Fälle:

1) instationäre Bewegung.

2) Flüssigkeit im Ruhezustand. Daher ist Ux = Uy = Uz = 0.

In diesem Fall wird die Eulersche Gleichung zur Gleichung einer einheitlichen Flüssigkeit. Diese Gleichung ist ebenfalls Differentialgleichung und ein System aus drei Gleichungen;

3) Die Flüssigkeit ist nicht viskos. Für eine solche Flüssigkeit hat die Bewegungsgleichung die Form

wobei Fl die Projektion der Massenkraftverteilungsdichte auf die Richtung ist, entlang der die Tangente an die Stromlinie gerichtet ist;

dU/dt – Teilchenbeschleunigung

Wenn wir U = dl/dt in (2) einsetzen und (?U/?l)U = 1/2(?U 2 /?l) berücksichtigen, erhalten wir die Gleichung.

Wir haben drei Formen der Euler-Gleichung für drei Spezialfälle angegeben. Aber das ist nicht die Grenze. Die Hauptsache besteht darin, die Zustandsgleichung korrekt zu bestimmen, die mindestens einen unbekannten Parameter enthielt.

Die Eulersche Gleichung in Kombination mit der Kontinuitätsgleichung kann auf jeden Fall angewendet werden.

Zustandsgleichung in allgemeiner Form:

Zur Lösung vieler hydrodynamischer Probleme reichen daher die Euler-Gleichung, die Kontinuitätsgleichung und die Zustandsgleichung aus.

Mit fünf Gleichungen lassen sich leicht fünf Unbekannte finden: p, Ux, Uy, Uz, ?.

Eine dünnflüssige Flüssigkeit kann auch durch eine andere Gleichung beschrieben werden

24. Gromeki-Form der Bewegungsgleichung einer dünnflüssigen Flüssigkeit

Gromekas Gleichungen sind einfach eine andere, leicht veränderte Schreibweise der Euler-Gleichung.

Zum Beispiel für die x-Koordinate

Zur Umrechnung werden die Gleichungen der Wfür die Wirbelbewegung verwendet.

Nachdem wir die y-te und z-te Komponente auf genau die gleiche Weise transformiert haben, gelangen wir schließlich zur Gromeko-Form der Euler-Gleichung

Die Euler-Gleichung wurde 1755 vom russischen Wissenschaftler L. Euler ermittelt und 1881 vom russischen Wissenschaftler I. S. Gromeka erneut in die Form (2) umgewandelt

Gromeko-Gleichung (unter dem Einfluss von Massenkräften auf die Flüssigkeit):

Weil das

– dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, (4)

dann können wir für die Komponenten Fy, Fz die gleichen Ausdrücke wie für Fx ableiten und durch Einsetzen in (2) gelangen wir zu (3).

25. Bernoulli-Gleichung

Die Gromeka-Gleichung eignet sich zur Beschreibung der Bewegung einer Flüssigkeit, wenn die Komponenten der Bewegungsfunktion eine Art Wirbelgröße enthalten. Diese Wirbelgröße ist beispielsweise in den Komponenten ?x, ?y, ?z der Winkelgeschwindigkeit w enthalten.

Voraussetzung dafür, dass die Bewegung stabil ist, ist das Fehlen einer Beschleunigung, d. h. die Bedingung, dass die partiellen Ableitungen aller Geschwindigkeitskomponenten gleich Null sind:

Wenn wir jetzt hinzufügen

dann bekommen wir

Wenn wir die Verschiebung um einen infinitesimalen Wert dl auf die Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir:

dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)

Lassen Sie uns nun jede Gleichung (3) mit dx, dy, dz multiplizieren und addieren:

Unter der Annahme, dass die rechte Seite Null ist, was möglich ist, wenn die zweite oder dritte Zeile Null ist, erhalten wir:

Wir haben die Bernoulli-Gleichung erhalten

26. Analyse der Bernoulli-Gleichung

Diese Gleichung ist nichts anderes als die Gleichung einer Stromlinie bei stetiger Bewegung.

Dies führt zu folgenden Schlussfolgerungen:

1) Wenn die Bewegung stetig ist, sind die erste und dritte Linie in der Bernoulli-Gleichung proportional.

2) Die Zeilen 1 und 2 sind proportional, d. h.

Gleichung (2) ist die Wirbelliniengleichung. Die Schlussfolgerungen aus (2) ähneln denen aus (1), lediglich Stromlinien ersetzen Wirbellinien. Kurz gesagt, in diesem Fall ist Bedingung (2) für Wirbellinien erfüllt;

3) Die entsprechenden Terme der Zeilen 2 und 3 sind proportional, d.h.

wobei a ein konstanter Wert ist; Wenn wir (3) in (2) einsetzen, erhalten wir die Stromliniengleichung (1), denn aus (3) folgt:

X = aUx; ? y = aUy; ? z = aUz. (4)

Daraus folgt eine interessante Schlussfolgerung, dass die Vektoren der Lineargeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit gleichgerichtet, also parallel, sind.

In einem weiteren Verständnis muss man sich Folgendes vorstellen: Da die betrachtete Bewegung stetig ist, stellt sich heraus, dass sich die Partikel der Flüssigkeit spiralförmig bewegen und ihre Flugbahnen entlang der Spirale Stromlinien bilden. Daher sind Stromlinien und Teilchenbahnen ein und dasselbe. Diese Art der Bewegung nennt man spiralförmig.

4) Die zweite Zeile der Determinante (genauer gesagt die Terme der zweiten Zeile) ist gleich Null, d.h.

X = ? y = ? z = 0. (5)

Aber das Fehlen einer Winkelgeschwindigkeit ist gleichbedeutend mit dem Fehlen einer Wirbelbewegung.

5) Zeile 3 sei gleich Null, d.h.

Ux = Uy = Uz = 0.

Aber das ist, wie wir bereits wissen, die Voraussetzung für das Flüssigkeitsgleichgewicht.

Die Analyse der Bernoulli-Gleichung ist abgeschlossen.

27. Beispiele für angewandte Anwendungen der Bernoulli-Gleichung

In allen Fällen ist es notwendig, die mathematische Formel der Potentialfunktion zu bestimmen, die in der Bernoulli-Gleichung enthalten ist: Diese Funktion hat jedoch in verschiedenen Situationen unterschiedliche Formeln. Ihre Art hängt davon ab, welche Massenkräfte auf die jeweilige Flüssigkeit wirken. Betrachten wir daher zwei Situationen.

Eine Massenkraft

In diesem Fall ist die Schwerkraft impliziert, die als einzige Massenkraft wirkt. Es ist offensichtlich, dass in diesem Fall die Z-Achse und die Verteilungsdichte Fz der Kraft P entgegengesetzt gerichtet sind, also

Fx = Fy = 0; Fz = -g.

Da – dP = Fxdx + Fydy + Fzdz, dann – dP = Fzdz, schließlich dP = -gdz.

Integrieren wir den resultierenden Ausdruck:

П = -gz + C, (1)

wobei C eine Konstante ist.

Wenn wir (1) in die Bernoulli-Gleichung einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck für den Fall der Wirkung nur einer Massenkraft auf die Flüssigkeit:

Wenn wir Gleichung (2) durch g dividieren (da es konstant ist), dann

Wir haben eine der am häufigsten verwendeten Formeln zur Lösung hydraulischer Probleme erhalten und sollten uns daher besonders gut daran erinnern.

Wenn es notwendig ist, den Ort eines Teilchens an zwei verschiedenen Orten zu bestimmen, dann ist die Beziehung für die Koordinaten Z 1 und Z 2 erfüllt, die diese Orte charakterisieren

Sie können (4) in einer anderen Form umschreiben

28. Fälle, in denen mehrere Massenkräfte vorliegen

In diesem Fall komplizieren wir die Aufgabe. Auf die Flüssigkeitsteilchen wirken folgende Kräfte: Schwerkraft; Zentrifugalkraft der Trägheit (überträgt die Bewegung vom Zentrum); Coriolis-Trägheitskraft, die eine Rotation der Partikel um die Z-Achse bei gleichzeitiger Translationsbewegung bewirkt.

In diesem Fall konnten wir uns eine Schraubenbewegung vorstellen. Die Drehung erfolgt mit der Winkelgeschwindigkeit w. Sie müssen sich einen gekrümmten Abschnitt einer Flüssigkeitsströmung vorstellen; in diesem Abschnitt scheint sich die Strömung mit Winkelgeschwindigkeit um eine bestimmte Achse zu drehen.

Ein Sonderfall einer solchen Strömung kann als hydraulischer Strahl betrachtet werden. Betrachten wir also einen elementaren Flüssigkeitsstrom und wenden wir die Bernoulli-Gleichung darauf an. Dazu platzieren wir einen elementaren hydraulischen Strahl im XYZ-Koordinatensystem, sodass sich die YOX-Ebene um die O-Z-Achse dreht.

Fx 1 = Fy 1 = 0; Fz 1 =-g -

Komponenten der Schwerkraft (d. h. ihre Projektion auf die Koordinatenachsen), bezogen auf eine Flüssigkeitsmasseeinheit. Wirkt auf die gleiche Masse eine zweite Kraft – die Trägheitskraft? 2 r, wobei r der Abstand vom Teilchen zur Rotationsachse seiner Komponente ist.

Fx 2 = ? 2x; Fy 2 = ? 2 Jahre; Fz 2 = 0

aufgrund der Tatsache, dass sich die OZ-Achse „nicht dreht“.

Endlich die Bernoulli-Gleichung. Für den vorliegenden Fall:

Oder, was dasselbe ist, nach der Division durch g

Wenn wir zwei Abschnitte eines Elementarstroms betrachten, ist es mit dem oben genannten Mechanismus leicht, dies zu überprüfen

wobei z 1, h 1, U 1, V 1, z 2, h 2, U 2, V 2 die Parameter der entsprechenden Abschnitte sind

29. Energiebedeutung der Bernoulli-Gleichung

Lassen Sie uns nun eine stetige Bewegung einer Flüssigkeit haben, die nicht viskos und inkompressibel ist.

Und sei es unter dem Einfluss von Schwerkraft und Druck, dann hat die Bernoulli-Gleichung die Form:

Jetzt müssen Sie jeden einzelnen Begriff identifizieren. Die potentielle Energie der Position Z ist die Höhe des Elementarstroms über der horizontalen Bezugsebene. Eine Flüssigkeit mit der Masse M in einer Höhe Z von der Referenzebene hat eine gewisse potentielle Energie MgZ. Dann

Dies ist die gleiche potentielle Energie pro Masseneinheit. Daher heißt Z die spezifische potentielle Energie des Ortes.

Ein bewegtes Teilchen mit der Masse Mie und der Geschwindigkeit u hat das Gewicht MG und die kinematische Energie U2/2g. Wenn wir kinematische Energie mit Einheitsmasse in Beziehung setzen, dann

Der resultierende Ausdruck ist nichts anderes als der letzte, dritte Term in Bernoullis Gleichung. Daher ist U 2 / 2 die spezifische kinetische Energie des Stroms. Somit ist die allgemeine Energiebedeutung der Bernoulli-Gleichung wie folgt: Die Bernoulli-Gleichung ist eine Summe, die die gesamte spezifische Energie des Fluidquerschnitts in der Strömung enthält:

1) Wenn die Gesamtenergie auf die Einheitsmasse bezogen ist, dann ist sie die Summe gz + p/? + U 2 / 2;

2) wenn die Gesamtenergie auf eine Volumeneinheit bezogen ist, dann?gz + p + pU 2 / 2;

3) Wenn die Gesamtenergie auf eine Gewichtseinheit bezogen ist, dann ist die Gesamtenergie die Summe z + p/?g + U 2 / 2g. Wir sollten nicht vergessen, dass die spezifische Energie relativ zur Vergleichsebene bestimmt wird: Diese Ebene wird willkürlich und horizontal gewählt. Für jedes Punktpaar, das willkürlich aus einer Strömung ausgewählt wird, in der eine stetige Bewegung vorliegt und die sich in einem Potentialwirbel bewegt, und die Flüssigkeit nicht viskos-inkompressibel ist, sind die Gesamtenergie und die spezifische Energie gleich, d. h. gleichmäßig entlang der Strömung verteilt fließen.

30. Geometrische Bedeutung der Bernoulli-Gleichung

Grundlage des theoretischen Teils dieser Interpretation ist der hydraulische Druckbegriff, der üblicherweise mit dem Buchstaben H bezeichnet wird, wobei

Die hydrodynamische Förderhöhe H besteht aus folgenden Druckarten, die als Terme in die Formel (198) eingehen:

1) piezometrischer Druck, wenn in (198) p = p Biegung, oder hydrostatischer Druck, wenn p ? p izg;

2) U 2 /2g – Geschwindigkeitsdruck.

Alle Begriffe haben eine lineare Dimension und können als Höhen betrachtet werden. Nennen wir diese Höhen:

1) z – geometrische Höhe oder Positionshöhe;

2) p/?g – Höhe entsprechend dem Druck p;

3) U 2 /2g – Geschwindigkeitshöhe entsprechend der Geschwindigkeit.

Die geometrische Lage der Enden der Höhe H entspricht einer bestimmten horizontalen Linie, die üblicherweise als Drucklinie oder spezifische Energielinie bezeichnet wird.

In gleicher Weise (analog) werden die geometrischen Orte der Enden des piezometrischen Drucks üblicherweise als piezometrische Linie bezeichnet. Die Druck- und Piezometerlinien liegen im Abstand (Höhe) p atm /?g voneinander, da p = p izg + pat, d.h.

Beachten Sie, dass die horizontale Ebene, die die Drucklinie enthält und über der Vergleichsebene liegt, als Druckebene bezeichnet wird. Die Charakteristik der Ebene bei verschiedenen Bewegungen wird als piezometrische Steigung J p bezeichnet und zeigt, wie sich der piezometrische Druck (oder die piezometrische Linie) pro Längeneinheit ändert:

Die piezometrische Steigung gilt als positiv, wenn sie entlang der Strömung des Rinnsals (oder der Strömung) abnimmt, daher das Minuszeichen in Formel (3) vor dem Differential. Damit J p positiv bleibt, muss die Bedingung erfüllt sein

31. Bewegungsgleichungen einer viskosen Flüssigkeit

Um die Bewegungsgleichung einer viskosen Flüssigkeit zu erhalten, betrachten wir das gleiche Flüssigkeitsvolumen dV = dxdydz, das zur viskosen Flüssigkeit gehört (Abb. 1).

Wir bezeichnen die Seiten dieses Bandes als 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Reis. 1. Kräfte, die auf das Elementarvolumen einer viskosen Flüssigkeit in einer Strömung wirken

Xy = ? yx; ? xz = ? zx ; ? yz = ? zy. (1)

Dann bleiben von sechs Tangentialspannungen nur noch drei übrig, da sie paarweise gleich sind. Um die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit zu beschreiben, reichen daher nur sechs unabhängige Komponenten aus:

p xx, p yy, p zz, ? xy (oder? yx), ? xz (? zx), ? yz (? zy).

Eine ähnliche Gleichung lässt sich leicht für die O Y- und O Z-Achsen erhalten; Wenn wir alle drei Gleichungen zu einem System kombinieren, erhalten wir (nach Division durch?)

Das resultierende System heißt Bewegungsgleichung einer viskosen Flüssigkeit bei Spannungen.

32. Verformung in einer sich bewegenden viskosen Flüssigkeit

In einer viskosen Flüssigkeit gibt es Reibungskräfte, aufgrund derer beim Bewegen eine Schicht die andere verlangsamt. Dadurch kommt es zu einer Kompression und Verformung der Flüssigkeit. Aufgrund dieser Eigenschaft wird die Flüssigkeit als viskos bezeichnet.

Erinnern wir uns an das Hookesche Gesetz aus der Mechanik, so ist demnach die Spannung, die in einem Festkörper entsteht, proportional zur entsprechenden relativen Verformung. Bei einer viskosen Flüssigkeit wird die relative Dehnung durch die Dehnungsrate ersetzt. Wir sprechen von der Winkelverformungsrate eines Flüssigkeitsteilchens d?/dt, die auch Scherverformungsrate genannt wird. Isaac Newton stellte ein Gesetz über die Proportionalität der inneren Reibungskraft, der Kontaktfläche der Schichten und der Relativgeschwindigkeit der Schichten auf. Sie haben auch installiert

Proportionalitätskoeffizient der dynamischen Viskosität der Flüssigkeit.

Wenn wir die Scherspannung in ihren Komponenten ausdrücken, dann

Die Normalspannungen (? - das ist die tangentiale Komponente der Verformung), die von der Wirkungsrichtung abhängen, hängen auch von der Fläche ab, auf die sie wirken. Diese Eigenschaft wird Invarianz genannt.

Summe der Normalspannungswerte

Um schließlich die Abhängigkeit zwischen pud?/dt durch die Abhängigkeit zwischen normal festzustellen

(p xx , p yy , p zz) und Tangenten (? xy = ? yx; ? yx = ? xy; ? zx = ? xz), darstellend aus (3)

p xx = -p + p? xx, (4)

Wo ist p? xx – zusätzliche Normalspannungen, die von der Schlagrichtung abhängen, gem

In Analogie zu Formel (4) erhalten wir:

Nachdem wir das Gleiche für die Komponenten p yy, p zz gemacht hatten, erhielten wir das System.

33. Bernoulli-Gleichung für die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit

Elementarstrom mit stetiger Bewegung einer viskosen Flüssigkeit

Die Gleichung für diesen Fall hat die Form (wir präsentieren sie ohne Ableitung, da ihre Ableitung die Verwendung einiger Operationen erfordert, deren Reduzierung den Text komplizieren würde)

Der Druckverlust (oder die spezifische Energie) h Pp entsteht dadurch, dass ein Teil der Energie von mechanisch in thermisch umgewandelt wird. Da der Vorgang irreversibel ist, kommt es zu einem Druckverlust.

Dieser Vorgang wird Energiedissipation genannt.

Mit anderen Worten kann h Pr als Differenz zwischen der spezifischen Energie zweier Abschnitte betrachtet werden; wenn sich die Flüssigkeit von einem zum anderen bewegt, tritt ein Druckverlust auf. Spezifische Energie ist die in einer Masseneinheit enthaltene Energie.

Fließen mit gleichmäßiger, sanft variierender Bewegung. Spezifischer kinematischer Energiekoeffizient X

Um in diesem Fall die Bernoulli-Gleichung zu erhalten, muss man von Gleichung (1) ausgehen, also vom Rinnsal zum Fließen übergehen. Dazu müssen Sie jedoch entscheiden, wie hoch die Strömungsenergie (die aus der Summe potenzieller und kinematischer Energien besteht) bei einer sich gleichmäßig ändernden Strömung ist

Schauen wir uns die potentielle Energie an: bei einer sanften Bewegungsänderung, wenn der Fluss gleichmäßig ist

Schließlich verteilt sich bei der betrachteten Bewegung der Druck über den lebenden Querschnitt nach dem hydrostatischen Gesetz, d. h.

wobei der Wert X als kinetischer Energiekoeffizient oder Coriolis-Koeffizient bezeichnet wird.

Der Koeffizient X ist immer größer als 1. Aus (4) folgt:

34. Hydrodynamischer Schock. Hydro- und Piezo-Steigungen

Aufgrund der gleichmäßigen Bewegung der Flüssigkeit für jeden Punkt im lebenden Querschnitt ist die potentielle Energie Ep = Z + p/?g. Spezifische Kinetik Ek= X? 2/2g. Daher für Querschnitt 1–1 die gesamte spezifische Energie

Die Summe der rechten Seite von (1) wird auch hydrodynamische Förderhöhe H genannt. Im Fall einer nicht viskosen Flüssigkeit U 2 = x? 2. Jetzt muss noch der Druckverlust h in der Flüssigkeit beim Übergang zum Abschnitt 2–2 (oder 3–3) berücksichtigt werden.

Zum Beispiel für Abschnitt 2–2:

Es ist zu beachten, dass die Bedingung der glatten Variabilität nur in den Abschnitten 1–1 und 2–2 erfüllt sein muss (nur in den betrachteten Abschnitten): Zwischen diesen Abschnitten ist die Bedingung der glatten Variabilität nicht erforderlich.

In Formel (2) wurde die physikalische Bedeutung aller Größen bereits früher angegeben.

Im Grunde ist alles wie bei einer nicht viskosen Flüssigkeit, der Hauptunterschied besteht darin, dass nun die Drucklinie E = H = Z + p/?g + X? 2 /2g ist nicht parallel zur horizontalen Vergleichsebene, da ein Druckverlust auftritt

Der Grad des Druckverlusts hpr entlang der Länge wird als hydraulische Steigung J bezeichnet. Wenn der Druckverlust hpr gleichmäßig auftritt, dann

Der Zähler in Formel (3) kann als Zuwachs des Drucks dH über die Länge dl betrachtet werden.

Daher im allgemeinen Fall

Das Minuszeichen vor dH/dl liegt daran, dass die Druckänderung entlang des Durchflusses negativ ist.

Wenn wir die Änderung des piezometrischen Drucks Z + p/?g betrachten, dann wird der Wert (4) als piezometrische Steigung bezeichnet.

Die Drucklinie, auch spezifische Energielinie genannt, liegt um eine Höhe u 2 /2g über der piezometrischen Linie: hier dasselbe, aber die Differenz zwischen diesen Linien ist jetzt gleich x? 2/2g. Dieser Unterschied bleibt auch bei frei fließender Bewegung bestehen. Nur in diesem Fall fällt die piezometrische Linie mit der freien Oberfläche der Strömung zusammen.

35. Bernoullis Gleichung für die instationäre Bewegung einer viskosen Flüssigkeit

Um die Bernoulli-Gleichung zu erhalten, müssen wir sie für eine Elementarströmung mit instationärer Bewegung einer viskosen Flüssigkeit bestimmen und sie dann auf die gesamte Strömung erweitern

Erinnern wir uns zunächst an den Hauptunterschied zwischen instationärer und stetiger Bewegung. Wenn sich im ersten Fall an irgendeinem Punkt der Strömung die lokalen Geschwindigkeiten im Laufe der Zeit ändern, gibt es im zweiten Fall keine derartigen Änderungen.

Wir präsentieren die Bernoulli-Gleichung für ein elementares Rinnsal ohne Ableitung:

was wird hier berücksichtigt?? = Q; ?Q = m; M? = (CD) ? .

Betrachten Sie (KD) genau wie im Fall der spezifischen kinetischen Energie? Es ist nicht so einfach. Um zu zählen, müssen Sie es mit (CD) verknüpfen? . Dies geschieht mithilfe des Impulskoeffizienten

Koeffizient a? Er wird allgemein auch als Businesq-Koeffizient bezeichnet. Unter Berücksichtigung von a?, dem durchschnittlichen Trägheitsdruck über dem spannungsführenden Abschnitt

Schließlich hat die Bernoulli-Gleichung für den Fluss, deren Ermittlung die Aufgabe der betrachteten Frage war, die folgende Form:

(5) ergibt sich aus (4) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass dQ = wdu; Wenn wir dQ in (4) einsetzen und ? streichen, gelangen wir zu (6).

Der Unterschied zwischen hin und hpr besteht hauptsächlich darin, dass es nicht irreversibel ist. Wenn sich die Flüssigkeit mit Beschleunigung bewegt, was bedeutet d?/t > 0, dann ist h in > 0. Wenn die Bewegung langsam ist, ist das du/t< 0, то h ин < 0.

Gleichung (5) bezieht sich nur auf die Strömungsparameter zu einem bestimmten Zeitpunkt. Für einen weiteren Moment ist es möglicherweise nicht mehr zuverlässig.

36. Laminare und turbulente Arten der Flüssigkeitsbewegung. Reynolds Nummer

Wie aus dem obigen Experiment leicht zu verifizieren war, wenn wir zwei Geschwindigkeiten in den Vorwärts- und Rückwärtsbewegungsübergängen in laminare -> turbulente Modi festlegen, dann

Wo? 1 – Geschwindigkeit, bei der der Übergang vom laminaren in den turbulenten Modus beginnt;

2 – das Gleiche gilt für den umgekehrten Übergang.

Allgemein, ? 2< ? 1 . Это можно понять из определения основных видов движения.

Unter laminar (von lateinisch lamina – Schicht) versteht man eine Bewegung, bei der keine Vermischung von Flüssigkeitspartikeln in einer Flüssigkeit stattfindet; Im Folgenden nennen wir solche Veränderungen Pulsationen.

Die Bewegung einer Flüssigkeit ist turbulent (von lateinisch turbulentus – ungeordnet), wenn das Pulsieren lokaler Geschwindigkeiten zu einer Durchmischung der Flüssigkeit führt.

Übergangsgeschwindigkeiten? 1 , ? 2 heißen:

1 – obere kritische Geschwindigkeit und wird bezeichnet als? V. kr, das ist die Geschwindigkeit, mit der laminare Bewegung in turbulente Bewegung übergeht;

2 – niedrigere kritische Geschwindigkeit und wird als bezeichnet? N. cr, bei dieser Geschwindigkeit erfolgt der umgekehrte Übergang von turbulent zu laminar.

Bedeutung? V. kr hängt von äußeren Bedingungen (thermodynamische Parameter, mechanische Bedingungen) und den Werten?n ab. kr hängen nicht von äußeren Bedingungen ab und sind konstant.

Es wurde empirisch festgestellt, dass:

wobei V die kinematische Viskosität der Flüssigkeit ist;

d – Rohrdurchmesser;

R – Proportionalitätskoeffizient.

Zu Ehren des Forschers der Hydrodynamik im Allgemeinen und dieses Themas im Besonderen wurde der Koeffizient, der un entspricht. cr heißt die kritische Reynolds-Zahl Re cr.

Wenn Sie V und d ändern, ändert sich Re kr nicht und bleibt konstant.

Wenn Re< Re кр, то режим движения жидкости ламинарный, поскольку? < ? кр; если Re >Re kr, dann ist der Fahrmodus turbulent, weil?> ? cr.

37. Durchschnittsgeschwindigkeiten. Pulsationskomponenten

In der Theorie der turbulenten Bewegung hängt viel mit dem Namen des Forschers dieser Bewegung, Reynolds, zusammen. Unter Berücksichtigung chaotischer turbulenter Bewegungen stellte er die Momentangeschwindigkeiten als bestimmte Summen dar. Diese Beträge sehen so aus:

wo u x , u y , u z – Momentanwerte der Geschwindigkeitsprojektionen;

P, ? – das Gleiche, jedoch für Druck- und Reibungsbeanspruchungen;

Der Balken über den Werten bedeutet, dass der Parameter über die Zeit gemittelt wird. y Mengen u? x, du? ja, du? z , p?, ?? Der Überstrich bedeutet, dass wir die Pulsationskomponente des entsprechenden Parameters („additiv“) meinen.

Die Mittelung der Parameter über die Zeit erfolgt nach folgenden Formeln:

– Zeitintervall, in dem die Mittelung durchgeführt wird.

Aus den Formeln (1) folgt, dass nicht nur die Geschwindigkeitsprojektionen pulsieren, sondern auch die normalen Tangentialwinkel? Stromspannung. Die Werte der zeitlich gemittelten „Additionen“ müssen gleich Null sein: zum Beispiel für die x-te Komponente:

Das Zeitintervall T wird als ausreichend bestimmt, damit sich bei wiederholter Mittelung der Wert des „Additivs“ (pulsierender Anteil) nicht ändert.

Turbulente Bewegung gilt als instationäre Bewegung. Trotz der möglichen Konstanz der gemittelten Parameter pulsieren die momentanen Parameter immer noch. Es sollte beachtet werden: Gemittelte (im Laufe der Zeit und an einem bestimmten Punkt) und durchschnittliche (in einem bestimmten Live-Abschnitt) Geschwindigkeiten sind nicht dasselbe:

Q ist die Fließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit, die mit einer Geschwindigkeit fließt? über w.

38. Standardabweichung

Es wurde ein Standard namens Standardabweichung eingeführt. Für x

Um eine Formel für einen beliebigen „additiven“ Parameter aus Formel (1) zu erhalten, genügt es, u x in (1) durch den gewünschten Parameter zu ersetzen.

Die Standardabweichung kann den folgenden Geschwindigkeiten zugeordnet werden: der durchschnittlichen lokalen Geschwindigkeit eines bestimmten Punktes; vertikaler Durchschnitt; durchschnittlicher Live-Bereich; maximale Geschwindigkeit.

Normalerweise werden die maximalen und vertikalen Durchschnittsgeschwindigkeiten nicht verwendet; Es werden zwei der oben genannten charakteristischen Geschwindigkeiten verwendet. Darüber hinaus wird auch dynamische Geschwindigkeit verwendet

wobei R der hydraulische Radius ist;

J – hydraulische Neigung.

Die auf die Durchschnittsgeschwindigkeit bezogene Standardabweichung beträgt beispielsweise für die x-te Komponente:

Die besten Ergebnisse werden jedoch erzielt, wenn Standardabweichung beziehen sich beispielsweise auf u x, also die dynamische Geschwindigkeit

Bestimmen wir den Grad (die Intensität) der Turbulenz, wie der Wert e genannt wird

Bessere Ergebnisse erhält man jedoch, wenn man als Geschwindigkeitsmaßstab (also die charakteristische Geschwindigkeit) die dynamische Geschwindigkeit u x annimmt.

Eine weitere Eigenschaft der Turbulenz ist die Frequenz der Geschwindigkeitspulsationen. Mittlere Pulsationsfrequenz an einem Punkt mit Radius r von der Strömungsachse:

wobei N die Hälfte des Extremums außerhalb der Momentangeschwindigkeitskurve ist;

T – Mittelungszeitraum;

T/N = 1/w – Pulsationsperiode.

39. Geschwindigkeitsverteilung für gleichmäßige stetige Bewegung. Laminarer Film

Doch trotz der oben genannten und anderer Merkmale, die nicht erwähnt werden, weil sie nicht gefragt sind, ist das Hauptmerkmal der turbulenten Bewegung die Vermischung von Flüssigkeitspartikeln.

Es ist üblich, von dieser mengenmäßigen Vermischung als Vermischung von Molen Flüssigkeit zu sprechen.

Wie wir oben gesehen haben, nimmt die Intensität der Turbulenz mit zunehmender Re-Zahl nicht zu. Trotzdem gibt es beispielsweise in der Nähe der Innenfläche eines Rohrs (oder einer anderen festen Wand) eine bestimmte Schicht, in der alle Geschwindigkeiten, einschließlich der Pulsations-„Additive“, gleich Null sind: Dies ist ein sehr interessantes Phänomen.

Diese Schicht wird üblicherweise als viskose Unterschicht der Strömung bezeichnet.

Natürlich hat diese viskose Unterschicht an der Kontaktgrenze mit der Hauptmasse der Strömung immer noch eine gewisse Geschwindigkeit. Folglich werden alle Änderungen der Hauptströmung auf die Unterschicht übertragen, ihre Bedeutung ist jedoch sehr gering. Dadurch können wir die Bewegung der Schicht als laminar betrachten.

Da diese Übertragungen auf die Unterschicht fehlten, wurde die Schicht früher als laminare Folie bezeichnet. Nun ist es leicht zu erkennen, dass aus Sicht der modernen Hydraulik die Laminarität der Bewegung in dieser Schicht relativ ist (die Intensität in der Trägerschicht (laminarer Film) kann einen Wert von 0,3 erreichen. Für laminare Bewegung ist dies ein ziemlich großer Wert)

Strumpfhalterschicht? sehr dünn im Vergleich zum Hauptfaden. Es ist das Vorhandensein dieser Schicht, die Druckverluste (spezifische Energie) erzeugt.

Wie sieht es mit der Schichtdicke aus? c, dann ist sie umgekehrt proportional zur Zahl Re. Dies wird deutlicher aus dem folgenden Vergleich der Dicke in Strömungszonen während turbulenter Bewegung.

Viskose (laminare) Schicht – 0< ua / V < 7.

Wechselzone – 7< ua/V < 70.

Turbulenter Kern – ua/V< 70.

In diesen Beziehungen ist u die dynamische Strömungsgeschwindigkeit, a der Abstand von der festen Wand und V die kinematische Viskosität.

Lassen Sie uns ein wenig in die Geschichte der Turbulenztheorie eintauchen: Diese Theorie umfasst eine Reihe von Hypothesen, auf deren Grundlage die Abhängigkeiten zwischen den Hauptparametern u i,? turbulente Strömungsbewegung.

Verschiedene Forscher haben unterschiedliche Ansätze zu diesem Thema gewählt. Unter ihnen sind der deutsche Wissenschaftler L. Prandtl, der sowjetische Wissenschaftler L. Landau und viele andere.

Wenn vor Beginn des 20. Jahrhunderts. Die laminare Schicht war laut Wissenschaftlern eine Art tote Schicht, in deren Übergang (oder von welcher) es eine Art Diskontinuität der Geschwindigkeiten gibt, das heißt, die Geschwindigkeit ändert sich abrupt, wie es in der modernen Hydraulik so ist völlig anderer Standpunkt.

Ein Fluss ist ein „lebendiges“ Phänomen: Alle vorübergehenden Prozesse in ihm sind kontinuierlich.

40. Geschwindigkeitsverteilung im „lebenden“ Strömungsabschnitt

Der modernen Hydrodynamik gelang es, diese Probleme mit der Methode zu lösen statistische Analyse. Das Hauptwerkzeug dieser Methode besteht darin, dass der Forscher über traditionelle Ansätze hinausgeht und bestimmte zeitlich gemittelte Strömungseigenschaften für die Analyse verwendet.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Es ist klar, dass an jedem Punkt im offenen Abschnitt jede Momentangeschwindigkeit in die Komponenten u x , u y , u z zerlegt werden kann.

Die Momentangeschwindigkeit wird durch die Formel bestimmt:

Die resultierende Geschwindigkeit kann als zeitlich gemittelte Geschwindigkeit oder lokaler Durchschnitt bezeichnet werden; diese Geschwindigkeit u x ist fiktiv konstant und ermöglicht eine Beurteilung der Strömungseigenschaften.

Durch die Berechnung von u y ,u x ​​können wir den gemittelten Geschwindigkeitsvektor erhalten

Schubspannungen? = ? + ? ,

Lassen Sie uns den Gesamtwert der Scherspannung bestimmen? Da diese Spannung durch das Vorhandensein innerer Reibungskräfte entsteht, wird die Flüssigkeit als Newtonsche Flüssigkeit betrachtet.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Kontaktfläche eine Einheit ist, dann ist die Widerstandskraft

Wo? – dynamische Viskosität der Flüssigkeit;

d?/dy – Geschwindigkeitsänderung. Diese Größe wird oft als Geschwindigkeitsgradient oder Scherrate bezeichnet.

Derzeit orientieren sie sich an dem Ausdruck, der in der oben genannten Prandtl-Gleichung erhalten wird:

Wo ist die Dichte der Flüssigkeit?

l ist die Länge des Weges, entlang dem die Bewegung betrachtet wird.

Ohne Herleitung präsentieren wir die endgültige Formel für die pulsierende „Addition“ von Schubspannung:

42. Durchflussparameter, von denen der Druckverlust abhängt. Dimensionsmethode

Eine unbekannte Abhängigkeitsart wird mit der Dimensionsmethode ermittelt. Dafür gibt es einen Satz: Wenn ein bestimmtes physikalisches Muster durch eine Gleichung mit k-dimensionalen Größen ausgedrückt wird und diese n Größen mit unabhängigen Dimensionen enthält, dann kann diese Gleichung in eine Gleichung umgewandelt werden, die (k-n) unabhängige, aber dimensionslose Komplexe enthält.

Warum definieren wir: Wovon hängt der Druckverlust bei stetiger Bewegung in einem Schwerkraftfeld ab?

Diese Parameter.

1. Geometrische Abmessungen der Strömung:

1) charakteristische Abmessungen des Wohnabschnitts l 1 l 2;

2) die Länge des betrachteten Abschnitts l;

3) die Winkel, mit denen der Live-Abschnitt endet;

4) Rauheitseigenschaften: ? – Höhe des Vorsprungs und l? – die Art der Längsgröße des Rauheitsvorsprungs.

2. Physikalische Eigenschaften:

1) ? - Dichte;

2) ? – dynamische Viskosität der Flüssigkeit;

3) ? – Oberflächenspannungskraft;

4) Ef – Elastizitätsmodul.

3. Der Grad der Turbulenzintensität, dessen Charakteristik der quadratische Mittelwert der Pulsationskomponenten ist?u.

Wenden wir nun den ?-Satz an.

Basierend auf den oben genannten Parametern haben wir 10 verschiedene Werte:

l, l 2 , ?, l ? , ?p, ?, ?, E w,? du, t.

Zusätzlich zu diesen haben wir drei weitere unabhängige Parameter: l 1, ?, ?. Addieren wir die Fallbeschleunigung g.

Insgesamt haben wir k = 14 dimensionale Größen, von denen drei unabhängig sind.

Es ist erforderlich, (kkp) dimensionslose Komplexe oder, wie sie genannt werden?-Mitglieder zu erhalten.

Dazu bezeichnen wir jeden Parameter aus 11, der nicht Teil der unabhängigen Parameter (in diesem Fall l 1, ?, ?) wäre, als N i, nun können wir einen dimensionslosen Komplex definieren, der dafür charakteristisch ist Parameter N i, das heißt, ich- ty?-Mitglied:

Hier sind die Winkel der Dimension der Grundgrößen:

Die allgemeine Form der Abhängigkeit für alle 14 Parameter lautet wie folgt:

43. Gleichmäßige Bewegung und Luftwiderstandsbeiwert über die gesamte Länge. Chezy-Formel. Durchschnittliche Geschwindigkeit und Durchflussmenge

Bei laminarer Bewegung (wenn sie gleichmäßig ist) ändern sich weder der effektive Querschnitt noch die Durchschnittsgeschwindigkeit noch das Geschwindigkeitsdiagramm über die Länge mit der Zeit.

Bei gleichmäßige Bewegung piezometrische Steigung

wo l 1 – Fließlänge;

h l – Druckverlust auf der Länge L;

r 0 d – der Radius bzw. der Durchmesser des Rohrs.

Ist in Formel (2) der dimensionslose Koeffizient? wird als hydraulischer Reibungskoeffizient oder Darcy-Koeffizient bezeichnet.

Wenn in (2) d durch den hydraulischen Radius ersetzt wird, dann sollten wir das tun

Lassen Sie uns die Notation einführen

dann unter Berücksichtigung der Tatsache, dass

hydraulische Neigung

Diese Formel wird Chezy-Formel genannt.

wird als Chezy-Koeffizient bezeichnet.

Ist der Darcy-Koeffizient? – dimensionsloser Wert

dann hat der Chezy-Koeffizient c die Dimension

Bestimmen wir die Durchflussmenge unter Beteiligung des Koeffizienten

Ficient Shezi:

Lassen Sie uns die Chezy-Formel in die folgende Form umwandeln:

Größe

dynamische Geschwindigkeit genannt

44. Hydraulische Ähnlichkeit

Das Konzept der Ähnlichkeit. Hydrodynamische Modellierung

Um den Bau von Wasserkraftwerken zu untersuchen, wird die Methode der hydraulischen Ähnlichkeiten verwendet, deren Kern darin liegt Laborbedingungen Es werden exakt die gleichen Bedingungen wie in der Natur simuliert. Dieses Phänomen wird als physikalische Modellierung bezeichnet.

Damit beispielsweise zwei Threads ähnlich sind, benötigen Sie sie:

1) geometrische Ähnlichkeit, wenn

wobei die Indizes n, m jeweils „Natur“ und „Modell“ bedeuten.

Allerdings ist die Einstellung

was bedeutet, dass die relative Rauheit im Modell die gleiche ist wie in der Natur;

2) kinematische Ähnlichkeit, wenn die Flugbahnen der entsprechenden Teilchen und die entsprechenden Stromlinien ähnlich sind. Wenn die entsprechenden Teile außerdem ähnliche Distanzen zurückgelegt haben l n, l m, dann ist das Verhältnis der entsprechenden Bewegungszeiten wie folgt

wobei M i die Zeitskala ist

Die gleiche Ähnlichkeit besteht für die Geschwindigkeit (Geschwindigkeitsskala)

und Beschleunigung (Beschleunigungsskala)

3) dynamische Ähnlichkeit, wenn es erforderlich ist, dass die entsprechenden Kräfte ähnlich sind, beispielsweise im Ausmaß der Kräfte

Wenn also Flüssigkeitsströme mechanisch ähnlich sind, dann sind sie auch hydraulisch ähnlich; Koeffizienten Ml, Mt, M? , M p und andere werden Skalenfaktoren genannt.

45. Hydrodynamische Ähnlichkeitskriterien

Die Bedingungen der hydrodynamischen Ähnlichkeit erfordern die Gleichheit aller Kräfte, was jedoch praktisch unmöglich ist.

Aus diesem Grund wird die Ähnlichkeit durch eine dieser Kräfte hergestellt, die in diesem Fall vorherrscht. Darüber hinaus sind Eindeutigkeitsbedingungen erforderlich, zu denen Strömungsrandbedingungen, grundlegende physikalische Eigenschaften und Anfangsbedingungen gehören.

Betrachten wir einen Sonderfall.

Der Einfluss der Schwerkraft überwiegt beispielsweise beim Durchströmen von Löchern oder Wehren

Wenn wir uns der Beziehung zwischen P n und P m zuwenden und sie in Skalierungsfaktoren ausdrücken, dann

Nach der notwendigen Transformation sollten Sie

Wenn wir nun von den Skalenfaktoren auf die Beziehungen selbst übergehen, dann unter Berücksichtigung der Tatsache, dass l die charakteristische Größe des Wohnabschnitts ist, dann

In (4) komplex? 2 /gl heißt Froudi-Kriterium, das wie folgt formuliert ist: Strömungen, in denen die Schwerkraft vorherrscht, sind geometrisch ähnlich, wenn

Dies ist die zweite Bedingung der hydrodynamischen Ähnlichkeit.

Wir haben drei Kriterien für hydrodynamische Ähnlichkeit erhalten

1. Newton-Kriterium (allgemeine Kriterien).

2. Froude-Kriterium.

3. Darcy-Kriterium.

Wir stellen nur fest: In bestimmten Fällen kann hydrodynamische Ähnlichkeit auch durch festgestellt werden

wo? – absolute Rauheit;

R – hydraulischer Radius;

J – hydraulische Neigung

46. ​​​​Verteilung der Tangentialspannungen bei gleichförmiger Bewegung

Bei gleichförmiger Bewegung ist der Druckverlust über eine Länge l er bestimmt durch:

Wo? – benetzter Umfang,

w – offene Querschnittsfläche,

l he – Länge des Strömungswegs,

G – Flüssigkeitsdichte und Erdbeschleunigung,

0 – Scherspannung in der Nähe der Innenwände des Rohrs.

Wo unter Berücksichtigung

Basierend auf den Ergebnissen für? 0 , Schubspannungsverteilung? an einem willkürlich gewählten Punkt des gewählten Volumens, zum Beispiel am Punkt r 0 – r = t, ist dieser Abstand gleich:

Dadurch wird eine Tangentialspannung t auf die Oberfläche des Zylinders eingeführt, die auf einen Punkt bei r 0 – r= t wirkt.

Aus den Vergleichen (4) und (3) folgt:

Wenn wir r= r 0 – t in (5) einsetzen, erhalten wir

1) Bei gleichförmiger Bewegung folgt die Verteilung der Tangentialspannung entlang des Rohrradius einem linearen Gesetz;

2) An der Rohrwand ist die Tangentialspannung maximal (bei r 0 = r, also t = 0), an der Rohrachse ist sie Null (bei r 0 = t).

R ist der hydraulische Radius des Rohrs, das erhalten wir

47. Turbulentes gleichmäßiges Strömungsregime

Wenn wir eine ebene Bewegung betrachten (d. h. eine potentielle Bewegung, wenn die Flugbahnen aller Teilchen parallel zur gleichen Ebene verlaufen und Funktionen ihrer beiden Koordinaten sind und wenn die Bewegung instationär ist), ist diese gleichzeitig in der XYZ-Koordinate gleichmäßig turbulent System, wenn die Stromlinien parallel zur OX-Achse verlaufen

Durchschnittsgeschwindigkeit bei stark turbulenter Bewegung.

Dieser Ausdruck ist das logarithmische Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung für turbulente Bewegungen.

Bei der Bewegung unter Druck besteht die Strömung hauptsächlich aus fünf Bereichen:

1) laminar: paraxialer Bereich, in dem die lokale Geschwindigkeit maximal ist, in diesem Bereich? lam = f(Re), wobei Reynolds-Zahl Re< 2300;

2) Im zweiten Bereich beginnt die Strömung von laminar zu turbulent überzugehen, daher steigt auch die Re-Zahl;

3) hier ist die Strömung völlig turbulent; In diesem Bereich werden die Rohre hydraulisch glatt genannt (Rauheit? Weniger als die Dicke der viskosen Schicht? In, das heißt?< ? в).

Falls wann?> ? c, das Rohr gilt als „hydraulisch rau“.

Was wäre, wenn denn? lam = f(Re –1), dann in diesem Fall? wobei = f(Re – 0,25);

4) Dieser Bereich liegt auf dem Weg des Strömungsübergangs zur Unterschicht: in diesem Bereich? lam = (Re, ?/r0). Wie Sie sehen, beginnt der Darcy-Koeffizient bereits von der absoluten Rauheit abzuhängen?;

5) Dieser Bereich wird als quadratischer Bereich bezeichnet (der Darcy-Koeffizient hängt nicht von der Reynolds-Zahl ab, sondern wird fast ausschließlich durch die Scherspannung bestimmt) und liegt wandnah.

Dieser Bereich heißt selbstähnlich, also unabhängig von Re.

Im Allgemeinen gilt bekanntlich der Chezy-Koeffizient

Pawlowski-Formel:

wobei n der Rauheitskoeffizient ist;

R – hydraulischer Radius.

Bei 0,1

und bei R< 1 м

48. Ungleichmäßige Bewegung: Weisbachs Formel und ihre Anwendung

Bei gleichmäßiger Bewegung wird der Druckverlust üblicherweise durch die Formel ausgedrückt

wobei der Druckverlust h pr von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt; es ist konstant, weil die Bewegung gleichmäßig ist.

Folglich hat auch Formel (1) die entsprechenden Formen.

In der Tat, wenn im ersten Fall

dann im zweiten Fall

Wie Sie sehen, unterscheiden sich die Formeln (2) und (3) nur im Widerstandskoeffizienten x.

Formel (3) wird Weisbach-Formel genannt. In beiden Formeln, wie auch in (1), ist der Widerstandskoeffizient eine dimensionslose Größe und wird für praktische Zwecke in der Regel aus Tabellen ermittelt.

Um ein Experiment zur Bestimmung von xm durchzuführen, ist die Reihenfolge der Aktionen wie folgt:

1) Die Gleichmäßigkeit der Strömung im untersuchten Strukturelement muss gewährleistet sein. Es ist auf ausreichenden Abstand zum Eingang der Piezometer zu achten.

2) Für die stetige Bewegung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit zwischen zwei Abschnitten (in unserem Fall ist dies der Eingang mit x 1 ? 1 und der Ausgang mit x 2 ? 2) wenden wir die Bernoulli-Gleichung an:

In den betrachteten Abschnitten sollte sich die Strömung reibungslos ändern. Zwischen den Schnitten kann alles passieren.

Da der totale Druckverlust

dann finden wir Druckverluste im gleichen Bereich;

3) Mit Formel (5) finden wir h m = h pr – hl, danach ermitteln wir mit Formel (2) den erforderlichen Koeffizienten

Widerstand

49. Lokaler Widerstand

Was passiert, nachdem die Strömung mit einem gewissen Druck und einer gewissen Geschwindigkeit in die Rohrleitung gelangt ist?

Es hängt von der Art der Bewegung ab: Wenn die Strömung laminar ist, das heißt, ihre Bewegung wird durch ein lineares Gesetz beschrieben, dann ist ihre Kurve eine Parabel. Der Druckverlust während dieser Bewegung erreicht (0,2 x 0,4) x (? 2 / 2g).

In turbulenter Bewegung, wenn es beschrieben wird logarithmische Funktion, Druckverlust – (0,1 x 1,5) x (? 2 /2g).

Nach solchen Druckverlusten stabilisiert sich die Strömungsbewegung, das heißt, die laminare bzw. turbulente Strömung stellt sich wieder ein, wie es auch die Eingangsströmung war.

Der Abschnitt, in dem die oben genannten Druckverluste auftreten, wird in der Natur wiederhergestellt, die vorherige Bewegung wird als Anfangsabschnitt bezeichnet.

Wie lang ist der Anfangsabschnitt l beg.

Die turbulente Strömung wird bei gleichen hydraulischen Begleitdaten fünfmal schneller wiederhergestellt als die laminare Strömung.

Betrachten wir einen Sonderfall, bei dem sich die Strömung nicht wie oben beschrieben verengt, sondern plötzlich ausdehnt. Warum kommt es bei dieser Strömungsgeometrie zu Druckverlusten?

Für den allgemeinen Fall:

Um die lokalen Widerstandskoeffizienten zu bestimmen, transformieren wir (1) in die folgende Form: Division und Multiplikation durch? 12

Sollen wir es definieren? 2/? 1 aus der Kontinuitätsgleichung

1 w 1 = ?2w2 wie? 2/? 1 = w 1 /w 2 und setze in (2) ein:

Es bleibt die Schlussfolgerung

50. Berechnung von Rohrleitungen

Probleme bei der Pipelineberechnung.

Folgende Aufgaben müssen gelöst werden:

1) Es ist erforderlich, den Durchfluss Q zu bestimmen, während der Druck H gegeben ist; Rohrlänge l; Rohrrauheit?; Flüssigkeitsdichte r; Flüssigkeitsviskosität V (kinematisch);

2) Es ist notwendig, den Druck H zu bestimmen. Der Durchfluss Q wird angegeben; Pipeline-Parameter: Länge l; Durchmesser d; Rauheit?; Flüssigkeitsparameter: ? Dichte; Viskosität V;

3) Es ist notwendig, den erforderlichen Durchmesser der Rohrleitung d zu bestimmen. Durchflussmenge Q wird angegeben; Kopf H; Rohrlänge l; seine Rauheit?; Flüssigkeitsdichte?; seine Viskosität beträgt V.

Die Methodik zur Lösung von Problemen ist dieselbe: die gemeinsame Anwendung von Bernoulli- und Kontinuitätsgleichungen.

Der Druck wird durch den Ausdruck bestimmt:

Flüssigkeitsverbrauch

da J = H/l

Ein wichtiges Merkmal einer Rohrleitung ist ein Wert, der einige Parameter der Rohrleitung basierend auf dem Rohrdurchmesser kombiniert (wir betrachten einfache Rohre, bei denen der Durchmesser l über die gesamte Länge konstant ist). Dieser Parameter k wird als Strömungskennlinie bezeichnet:

Wenn wir mit der Beobachtung ganz am Anfang der Pipeline beginnen, werden wir sehen: Ein Teil der Flüssigkeit erreicht während des Transports unverändert das Ende der Pipeline.

Diese Größe sei Q t (Transitfluss).

Die Flüssigkeit wird auf dem Weg teilweise an die Verbraucher verteilt: Wir bezeichnen diesen Teil als Q p (Reisestrom).

Unter Berücksichtigung dieser Bezeichnungen am Anfang der Pipeline

Q = Q t + Q p,

entsprechend am Ende die Durchflussmenge

Q – Q p = Q t.

Was den Druck in der Rohrleitung betrifft, dann gilt:

51. Wasserschlag

Die häufigste, d. h. am häufigsten vorkommende Art der instationären Bewegung ist der Wasserschlag. Dies ist ein typisches Phänomen beim schnellen oder allmählichen Schließen von Toren (eine starke Geschwindigkeitsänderung in einem bestimmten Strömungsabschnitt führt zu einem Wasserschlag). Dadurch entstehen Drücke, die sich wellenförmig über die gesamte Rohrleitung ausbreiten.

Diese Welle kann zerstörerisch sein, wenn keine besonderen Maßnahmen ergriffen werden: Rohre können reißen, Pumpstationen können ausfallen, gesättigte Dämpfe können entstehen mit allen zerstörerischen Folgen usw.

Wasserschläge können zu Flüssigkeitsbrüchen in einer Rohrleitung führen – ein Unfall, der nicht weniger schwerwiegend ist als ein Rohrbruch.

Die häufigsten Ursachen für Wasserschläge sind: plötzliches Schließen (Öffnen) von Toren, plötzliches Anhalten von Pumpen, wenn die Rohrleitungen mit Wasser gefüllt sind, Entweichen von Luft durch Hydranten im Bewässerungsnetz, Starten einer Pumpe bei geöffnetem Tor.

Wenn dies bereits geschehen ist, wie entsteht dann ein Wasserschlag und welche Folgen hat er?

All dies hängt von der Ursache des Wasserschlags ab. Betrachten wir die wichtigsten dieser Gründe. Die Entstehungs- und Verlaufsmechanismen aus anderen Gründen sind ähnlich.

Sofortiges Schließen des Verschlusses

Der dabei auftretende Wasserschlag ist ein äußerst interessantes Phänomen.

Stellen wir uns ein offenes Reservoir vor, von dem ein hydraulisches gerades Rohr abzweigt; In einiger Entfernung vom Tank befindet sich in der Leitung ein Ventil. Was passiert, wenn es sofort geschlossen wird?

Sagen wir zunächst:

1) das Reservoir ist so groß, dass sich die in der Rohrleitung ablaufenden Prozesse nicht in der Flüssigkeit (im Reservoir) widerspiegeln;

2) Der Druckverlust vor dem Schließen des Ventils ist vernachlässigbar, daher fallen die piezometrische und die horizontale Linie zusammen

3) Der Flüssigkeitsdruck in der Rohrleitung tritt nur mit einer Koordinate auf, die anderen beiden Projektionen der lokalen Geschwindigkeiten sind gleich Null; die Bewegung wird nur durch die Längskoordinate bestimmt.

Zweitens schließen wir nun plötzlich den Verschluss – zum Zeitpunkt t 0 ; zwei Dinge können passieren:

1) Wenn die Wände der Rohrleitung absolut unelastisch sind, also E = ?, und die Flüssigkeit inkompressibel ist (E x = ?), dann stoppt auch die Bewegung der Flüssigkeit plötzlich, was zu einem starken Druckanstieg am Ventil führt , die Folgen können destruktiv sein.

Druckanstieg während eines hydraulischen Schocks nach der Formel von Schukowski:

P = ?C? 0 + ?? 0 2 .

52. Geschwindigkeit der Ausbreitung von Wasserschlagwellen

Bei hydraulischen Berechnungen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Stoßwelle eines Wasserstoßes sowie der Wasserstoß selbst von erheblichem Interesse. Wie kann man es feststellen? Betrachten Sie dazu einen kreisförmigen Querschnitt in einer elastischen Rohrleitung. Wenn wir einen Abschnitt der Länge betrachten, dann bewegt sich die Flüssigkeit über diesem Abschnitt im Laufe der Zeit immer noch mit einer Geschwindigkeit? 0, übrigens das gleiche wie vor dem Schließen des Verschlusses.

Daher ist in der entsprechenden Länge l das Volumen?V? Flüssigkeit tritt ein Q = ? 0 ? 0, d.h.

V? = Q?t = ? 0 ? 0 ?t, (1)

wobei die kreisförmige Querschnittsfläche das Volumen ist, das durch erhöhten Druck und infolgedessen durch Dehnungsstreifen der Rohrleitungswand entsteht? V 1. Das durch den Druckanstieg auf?p entstandene Volumen wird mit?V 2 bezeichnet. Dies bedeutet, dass das Volumen, das nach dem hydraulischen Schock entstand, beträgt

V = ?V 1 + ?V 2 , (2)

V? enthalten in?V.

Lassen Sie uns jetzt entscheiden: Was wird gleich sein?V 1 und?V 2.

Durch die Dehnung des Rohres vergrößert sich der Rohrradius um ?r, d. h. der Radius wird gleich r= ​​r 0 + ?r. Dadurch vergrößert sich der kreisförmige Querschnitt um ?? = ?– ? 0 . All dies wird zu einer Erhöhung des Volumens führen

V 1 = (?– ? 0)?l = ???l. (3)

Es ist zu beachten, dass der Index Null bedeutet, dass der Parameter zum Ausgangszustand gehört.

Was die Flüssigkeit betrifft, so verringert sich ihr Volumen um?V 2 aufgrund des Druckanstiegs um?p.

Die erforderliche Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wasserschlagwelle

Wo ist die Dichte der Flüssigkeit?

D/l ist ein Parameter, der die Dicke der Rohrwand charakterisiert.

Offensichtlich ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle C umso geringer, je größer D/l ist. Wenn das Rohr absolut starr ist, also E = ?, dann folgt aus (4)

53. Differentialgleichungen instationärer Bewegung

Um eine Gleichung für jede Art von Bewegung zu erstellen, müssen Sie alle wirkenden Kräfte auf das System projizieren und ihre Summe mit Null gleichsetzen. Das werden wir tun.

Stellen wir uns eine Druckrohrleitung mit kreisförmigem Querschnitt vor, in der eine instationäre Flüssigkeitsbewegung herrscht.

Die Strömungsachse fällt mit der l-Achse zusammen. Wenn Sie auf dieser Achse das Element dl auswählen, können Sie gemäß der obigen Regel eine Bewegungsgleichung erstellen

In der obigen Gleichung sind die Projektionen der vier Kräfte, die auf die Strömung, genauer gesagt on?l, wirken, gleich Null:

1) ?M – auf das Element dl wirkende Trägheitskräfte;

2) ?p – hydrodynamische Druckkräfte;

3) ?T – Tangentialkräfte;

4) ?G – Schwerkraft: Wenn wir hier von Kräften sprechen, meinen wir die Projektionen der Kräfte, die auf das Element wirken.

Kommen wir zur Formel (1), direkt zu den Projektionen der einwirkenden Kräfte auf das Element?t, auf die Bewegungsachse.

1. Projektionen von Oberflächenkräften:

1) Für hydrodynamische Kräfte?p wird die Projektion sein

2) für Tangentialkräfte?T

Die Projektion der Tangentialkräfte hat die Form:

2. Projektion der Schwerkraft? ?G pro Element? ?

3. Projektion von Trägheitskräften? ?M ist gleich

54. Flüssigkeitsfluss bei konstantem Druck durch ein kleines Loch

Wir betrachten den Abfluss, der durch ein kleines, nicht überflutetes Loch erfolgt. Damit ein Loch als klein gilt, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1) Druck im Schwerpunkt H >> d, wobei d die Höhe des Lochs ist;

2) Der Druck an jedem Punkt im Loch ist nahezu gleich dem Druck im Schwerpunkt H.

Unter Überschwemmung versteht man den Abfluss unterhalb des Flüssigkeitsspiegels, sofern sich mit der Zeit Folgendes nicht ändert: die Lage der freien Flächen vor und nach den Löchern, der Druck auf die freien Flächen vor und nach den Löchern, und der atmosphärische Druck auf beiden Seiten der Löcher.

Wir haben also ein Reservoir mit einer Flüssigkeit der Dichte ?, aus der unterhalb des Spiegels durch ein kleines Loch ein Abfluss erfolgt. Der Druck H im Schwerpunkt des Lochs ist konstant, was bedeutet, dass die Ausflussgeschwindigkeiten konstant sind. Daher ist die Bewegung gleichmäßig. Die Bedingung für die Gleichheit der Geschwindigkeiten an gegenüberliegenden vertikalen Rändern der Löcher ist die Bedingung d

Es ist klar, dass unsere Aufgabe darin besteht, die Durchflussmenge und Fließgeschwindigkeit der darin enthaltenen Flüssigkeit zu bestimmen.

Der Querschnitt des Strahls, der sich in einem Abstand von 0,5 d von der Innenwand des Tanks befindet, wird als komprimierter Querschnitt des Strahls bezeichnet, der durch das Kompressionsverhältnis charakterisiert wird

Formeln zur Bestimmung von Strömungsgeschwindigkeit und Durchflussmenge:

Wo? 0 wird als Geschwindigkeitskoeffizient bezeichnet.

Lassen Sie uns nun die zweite Aufgabe erledigen, die Durchflussrate Q bestimmen. Per Definition

Bezeichnen wir es als E? 0 = ? 0 , wo? 0 – Durchflusskoeffizient also

Es werden folgende Komprimierungsarten unterschieden:

1. Vollständige Kompression ist eine Kompression, die entlang des gesamten Umfangs des Lochs auftritt, andernfalls wird die Kompression als unvollständige Kompression betrachtet.

2. Die perfekte Komprimierung ist eine von zwei Arten der vollständigen Komprimierung. Von Kompression spricht man, wenn die Krümmung der Flugbahn und damit der Grad der Kompression des Strahls am größten ist.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass unvollständige und unvollkommene Formen der Komprimierung zu einer Erhöhung des Komprimierungsverhältnisses führen. Charakteristisches Merkmal Eine perfekte Kompression ist, dass abhängig vom Einfluss der Kräfte der Ausfluss erfolgt.

55. Abfluss durch ein großes Loch

Ein Loch gilt als klein, wenn seine vertikalen Abmessungen d< 0,1Н. Большим отверстием будем считать такое отверстие, для которого тот же d>0,1 N.

Bei der Betrachtung des Abflusses durch ein kleines Loch wurde der Geschwindigkeitsunterschied an verschiedenen Stellen des Strahlquerschnitts praktisch vernachlässigt. In diesem Fall können wir das nicht tun.

Die Aufgabe ist dieselbe: die Durchflussmenge und Geschwindigkeit im komprimierten Abschnitt zu bestimmen.

Daher wird die Durchflussmenge folgendermaßen bestimmt: Es wird eine unendlich kleine horizontale Höhe dz ermittelt. Dadurch entsteht ein horizontaler Streifen mit variabler Länge bz. Durch Integration über die Länge können wir dann die elementare Durchflussrate ermitteln

wobei Z der variable Druck entlang der Höhe des Lochs ist; die Oberseite des ausgewählten Streifens wird bis zu dieser Tiefe eingetaucht;

? – Durchflusskoeffizient durch das Loch;

b z – variable Länge (oder Breite) des Streifens.

Wir können den Durchfluss Q (1) bestimmen, wenn? = const und die Formel b z = f(z) ist bekannt. Im Allgemeinen wird die Durchflussrate durch die Formel bestimmt

Wenn die Lochform rechteckig ist, dann ist bz= b = const, wenn wir (2) integrieren, erhalten wir:

wobei H 1, H 2 Drücke auf den Niveaus am oberen bzw. unteren Rand des Lochs sind;

Nc – Druck über der Mitte des Lochs;

d – Höhe des Rechtecks.

Formel (3) hat eine vereinfachte Form:

Im Falle des Abflusses durch ein rundes Loch sind die Integrationsgrenzen in (2) H 1 = N c – r; N 2 = N c + r; Z = N c – rcos?; d z = ?sin?d?; b z = 2r?sin?.

Wir vermeiden mathematische Übertreibungen und präsentieren die endgültige Formel:

Wie aus Vergleichen der Formeln hervorgeht, gibt es keinen besonderen Unterschied in den Formeln für die Durchflussrate, nur für große und kleine Löcher sind die Durchflusskoeffizienten unterschiedlich

56. Systemdurchflusskoeffizient

Die Frage der Durchflussmenge muss geklärt werden, wenn der Abfluss über Rohre erfolgt, die zu einem System verbunden sind, aber unterschiedliche geometrische Daten aufweisen. Hier müssen wir jeden Fall einzeln betrachten. Lassen Sie uns einige davon auflisten.

1. Der Abfluss erfolgt zwischen zwei Reservoirs bei konstantem Druck durch ein System von Rohren mit unterschiedlichen Durchmessern und Längen. In diesem Fall ist die Ausgabe des Systems E = 1, also numerisch? = ?, wobei E, ?, ? – Kompressions-, Durchfluss- und Geschwindigkeitskoeffizienten.

2. Der Abfluss erfolgt durch ein Rohrsystem mit unterschiedlicher Querschnittsfläche: In diesem Fall wird der Gesamtwiderstandskoeffizient des Systems ermittelt, der aus den gleichen Koeffizienten besteht, jedoch für jeden Abschnitt separat.

Der Abfluss in die Atmosphäre erfolgt durch ein ungeflutetes Loch. In diesem Fall

wobei Н = z = const – Druck; ?, ? – Durchflusskoeffizient und Querschnittsfläche.

da in (2) der Coriolis-Koeffizient (oder die kinetische Energie) x auf den Austrittsabschnitt bezogen ist, wobei in der Regel x? 1.

Der gleiche Abfluss erfolgt durch ein überflutetes Loch

In diesem Fall wird die Durchflussrate durch Formel (3) bestimmt. Wo? = ? syst, ? – Auslassquerschnittsfläche. Wenn im Empfänger oder Rohr keine oder nur eine unbedeutende Geschwindigkeit herrscht, wird der Durchflusskoeffizient durch ersetzt

Sie müssen nur bedenken, dass das Loch überflutet ist? out = 1, und dieser?out ist im?System enthalten.