Radius des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises. Gleichseitiges Dreieck

Definition 2

Ein Polygon, das die Bedingung der Definition 1 erfüllt, heißt um einen Kreis umschrieben.

Abbildung 1. Eingeschriebener Kreis

Satz 1 (über einen Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist)

Satz 1

Sie können in jedes Dreieck einen Kreis einschreiben, und zwar nur in eines.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir darin Winkelhalbierende ein, die sich im Punkt $O$ schneiden, und zeichnen wir von dort aus Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks (Abb. 2).

Abbildung 2. Illustration von Satz 1

Existenz: Zeichnen wir einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Radius $OK.\ $Da der Punkt $O$ auf drei Winkelhalbierenden liegt, ist er von den Seiten des Dreiecks $ABC$ gleich weit entfernt. Das heißt, $OM=OK=OL$. Folglich verläuft der konstruierte Kreis auch durch die Punkte $M\ und\ L$. Da $OM,OK\ und\ OL$ Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks sind, berührt der konstruierte Kreis nach dem Kreistangentensatz alle drei Seiten des Dreiecks. Aufgrund der Beliebigkeit eines Dreiecks kann daher in jedes Dreieck ein Kreis eingeschrieben werden.

Eindeutigkeit: Angenommen, ein anderer Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O"$ kann in das Dreieck $ABC$ eingeschrieben werden. Sein Mittelpunkt ist von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt und fällt daher mit dem Punkt $O$ zusammen und hat einen Radius gleich Länge $OK$ Aber dann wird dieser Kreis mit dem ersten zusammenfallen.

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1: Der Mittelpunkt eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises liegt im Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Hier sind noch ein paar Fakten zum Konzept eines eingeschriebenen Kreises:

Nicht jedes Viereck passt in einen Kreis.

In jedem umschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.

Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines konvexen Vierecks gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

Definition 3

Liegen alle Eckpunkte eines Polygons auf einem Kreis, so heißt der Kreis umschrieben um das Polygon (Abb. 3).

Definition 4

Ein Polygon, das Definition 2 erfüllt, soll in einen Kreis eingeschrieben sein.

Abbildung 3. Umschriebener Kreis

Satz 2 (über den Umkreis eines Dreiecks)

Satz 2

Um jedes Dreieck herum kann man einen Kreis beschreiben, und zwar nur einen.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir darin senkrechte Winkelhalbierende, die sich im Punkt $O$ schneiden, und verbinden wir sie mit den Eckpunkten des Dreiecks (Abb. 4).

Abbildung 4. Illustration von Satz 2

Existenz: Konstruieren wir einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Radius $OC$. Der Punkt $O$ ist von den Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt, d. h. $OA=OB=OC$. Folglich geht der konstruierte Kreis durch alle Eckpunkte eines gegebenen Dreiecks, was bedeutet, dass er dieses Dreieck umschreibt.

Eindeutigkeit: Angenommen, ein weiterer Kreis kann um das Dreieck $ABC$ beschrieben werden, dessen Mittelpunkt im Punkt $O"$ liegt. Sein Mittelpunkt ist von den Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt und fällt daher mit dem Punkt $O$ zusammen und hat ein Radius gleich der Länge $OC $ Aber dann wird dieser Kreis mit dem ersten zusammenfallen.

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1: Der Mittelpunkt des um das Dreieck umschriebenen Kreises fällt mit dem Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden zusammen.

Hier sind ein paar weitere Fakten zum Konzept eines Kreises:

Es ist nicht immer möglich, einen Kreis um ein Viereck zu beschreiben.

In jedem zyklischen Viereck beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel $(180)^0$.

Wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks $(180)^0$ beträgt, kann ein Kreis darum gezeichnet werden.

Ein Beispiel für ein Problem zu den Konzepten eingeschriebener und umschriebener Kreise

Beispiel 1

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 8 cm und die Seite 5 cm. Ermitteln Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Lösung.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$. Aus Korollar 1 wissen wir, dass der Mittelpunkt des Inkreises im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden liegt. Zeichnen wir die Winkelhalbierenden $AK$ und $BM$, die sich im Punkt $O$ schneiden. Zeichnen wir eine Senkrechte $OH$ vom Punkt $O$ zur Seite $BC$. Lasst uns ein Bild zeichnen:

Abbildung 5.

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $BM$ sowohl der Median als auch die Höhe. Nach dem Satz des Pythagoras $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ – der erforderliche Radius des eingeschriebenen Kreises. Da $MC$ und $CH$ Segmente sich schneidender Tangenten sind, gilt nach dem Satz über sich schneidende Tangenten $CH=MC=4\cm$. Daher ist $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Aus dem Dreieck $OHB$ erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Antwort:$\frac(4)(3)$.

Definition 2

Ein Polygon, das die Bedingung der Definition 1 erfüllt, heißt um einen Kreis umschrieben.

Abbildung 1. Eingeschriebener Kreis

Satz 1 (über einen Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist)

Satz 1

Sie können in jedes Dreieck einen Kreis einschreiben, und zwar nur in eines.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir darin Winkelhalbierende ein, die sich im Punkt $O$ schneiden, und zeichnen wir von dort aus Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks (Abb. 2).

Abbildung 2. Illustration von Satz 1

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1: Der Mittelpunkt eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises liegt im Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Hier sind noch ein paar Fakten zum Konzept eines eingeschriebenen Kreises:

Nicht jedes Viereck passt in einen Kreis.

In jedem umschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.

Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines konvexen Vierecks gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

Definition 3

Liegen alle Eckpunkte eines Polygons auf einem Kreis, so heißt der Kreis umschrieben um das Polygon (Abb. 3).

Definition 4

Ein Polygon, das Definition 2 erfüllt, soll in einen Kreis eingeschrieben sein.

Abbildung 3. Umschriebener Kreis

Satz 2 (über den Umkreis eines Dreiecks)

Satz 2

Um jedes Dreieck herum kann man einen Kreis beschreiben, und zwar nur einen.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir darin senkrechte Winkelhalbierende, die sich im Punkt $O$ schneiden, und verbinden wir sie mit den Eckpunkten des Dreiecks (Abb. 4).

Abbildung 4. Illustration von Satz 2

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1: Der Mittelpunkt des um das Dreieck umschriebenen Kreises fällt mit dem Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden zusammen.

Hier sind ein paar weitere Fakten zum Konzept eines Kreises:

Es ist nicht immer möglich, einen Kreis um ein Viereck zu beschreiben.

In jedem zyklischen Viereck beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel $(180)^0$.

Wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks $(180)^0$ beträgt, kann ein Kreis darum gezeichnet werden.

Ein Beispiel für ein Problem zu den Konzepten eingeschriebener und umschriebener Kreise

Beispiel 1

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 8 cm und die Seite 5 cm. Ermitteln Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Lösung.

Abbildung 5.

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Antwort:$\frac(4)(3)$.

Beschriftetes Dreieck- ein Dreieck, dessen Eckpunkte alle auf dem Kreis liegen. Dann soll der Kreis das Dreieck umschreiben.
Offensichtlich ist der Abstand vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises zu jedem Eckpunkt des Dreiecks gleich und gleich dem Radius dieses Kreises.
Um jedes Dreieck herum kann man einen Kreis beschreiben, und zwar nur einen.

Kreis beschriftet in ein Dreieck, wenn es alle Seiten berührt. Dann wird das Dreieck selbst sein beschrieben um den Kreis herum. Der Abstand vom Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises zu jeder Seite des Dreiecks ist gleich dem Radius dieses Kreises.
Sie können in jedes Dreieck einen Kreis einschreiben, und zwar nur in eines.

Versuchen Sie, selbst einen Kreis um ein Dreieck zu beschreiben und eingeben Kreis in Dreieck verwandeln.
Warum ist Ihrer Meinung nach der Mittelpunkt des Inkreises der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks und der Mittelpunkt des Umkreises der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu seinen Seiten?

IN Probleme mit dem einheitlichen Staatsexamen Am häufigsten sind eingeschriebene und umschriebene regelmäßige Dreiecke.

Es gibt auch andere Aufgaben. Um sie zu lösen, benötigen Sie zwei weitere Formeln für die Fläche eines Dreiecks, und auch Sinussatz.

Quadrat Dreieck gleich dem halben Produkt aus Umfang und Radius des eingeschriebenen Kreises.

S = p r,
wobei p = ( a+b+c) - Halbumfang,
r ist der Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist.

Es gibt eine andere Formel, die hauptsächlich bei Problemen in Teil C verwendet wird:

Wo a, b, c- Seiten des Dreiecks, R - Radius des umschriebenen Kreises.

Gilt für jedes Dreieck Sinussatz:

1. Der Radius eines Kreises, der in ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt 2. Finden Sie die Hypotenuse c dieses Dreiecks. Bitte geben Sie in Ihrer Antwort an.

Das Dreieck ist rechteckig und gleichschenklig. Das bedeutet, dass seine Beine gleich sind. Lassen Sie jedes Bein gleich sein A. Dann ist die Hypotenuse gleich A .
Wir schreiben die Fläche des Dreiecks ABC auf zwei Arten:

Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir Folgendes. Seitdem verstehen wir das. Dann .
Wir schreiben die Antwort auf.

2. Die Seite AB eines stumpfen Dreiecks ABC ist gleich dem Radius des umschriebenen Kreises. Finden Sie den Winkel C. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Nach dem Sinusgesetz gilt

Wir erhalten die Sünde C = . Winkel C ist stumpf. Es beträgt also 150°.

Antwort: 150.

3. Die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind 40 und die Basis ist 48. Ermitteln Sie den Umkreis dieses Dreiecks.

Die Winkel des Dreiecks sind nicht angegeben. Nun, lassen Sie uns seinen Bereich auf zwei verschiedene Arten ausdrücken.

S = ah, wobei h die Höhe des Dreiecks ist. Das ist nicht schwer zu finden – schließlich ist in einem gleichschenkligen Dreieck die Höhe auch der Median, das heißt, sie teilt die Seite AB in zwei Hälften. Mit dem Satz des Pythagoras finden wir h = 32. Dann ist R = 25.

EGE-Studie » Lehrmaterialien» Geometrie: von Null bis C4 » Beschriftete und umschriebene Vierecke

In dieser Lektion erinnern wir uns an die Grundlagen, auf denen die Theorie der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise basiert, und erinnern uns an die Eigenschaften umschriebener und eingeschriebener Vierecke. Darüber hinaus werden wir Formeln zur Ermittlung der Radien des umschriebenen und eingeschriebenen Kreises in verschiedenen Fällen ableiten.

Thema: Kreis

Lektion: Eingeschriebene und umschriebene Kreise

Zunächst handelt es sich um eingeschriebene und umschriebene Kreise relativ zu einem Dreieck. Wir sind auf dieses Thema vorbereitet, weil wir die Eigenschaften von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten eines Dreiecks untersucht haben.

Ein Kreis kann in jedes Dreieck eingeschrieben werden (siehe Abb. 1).

Reis. 1

Nachweisen:

Wir wissen, dass sich alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden – sei es im Punkt O. Zeichnen wir die Winkelhalbierenden AO, BO, CO. Ihr Schnittpunkt O ist von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. Es ist von den Seiten des Winkels – AC und AB – gleich weit entfernt, da es zur Winkelhalbierenden dieses Winkels gehört. Ebenso ist es von den Seiten der Winkel und damit von den drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.

Lassen Sie uns die Senkrechten vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks fallen lassen – OM zur Seite AC, OL zur Seite BC, OK zur Seite AB. Diese Senkrechten sind die Abstände vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks und sie sind gleich:

Bezeichnen wir den Abstand vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks mit r und betrachten wir einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O und dem Radius r.

Der Kreis berührt die Gerade AB, weil hat mit ihm einen gemeinsamen Punkt K, und der zu diesem Punkt gezeichnete Radius OK steht senkrecht auf der Geraden AB. Ebenso berührt der Kreis die Linien AC und BC. Der Kreis berührt also alle Seiten des Dreiecks, ist also in das Dreieck eingeschrieben.

Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich also in einem Punkt, der der Mittelpunkt des Inkreises ist.

Betrachten wir einen anderen Satz, er betrifft den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks. Wir wissen, dass sie sich in einem Punkt schneiden, und dieser Punkt fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen, der das Dreieck umschreibt.

Um jedes Dreieck kann ein Kreis gezogen werden.

Es ist also ein Dreieck gegeben. Zeichnen wir die Winkelhalbierende p 1 zur Seite des Dreiecks BC, p 2 zur Seite AB, p 3 zur Seite AC (siehe Abb. 2).

Nach dem Satz über die Eigenschaften von Mittelsenkrechten ist ein Punkt, der zur Mittelsenkrechten eines Segments gehört, von den Enden des Segments gleich weit entfernt. Daher, weil Punkt Q gehört zur Mittelsenkrechten zum Segment AC. Ebenfalls. Somit ist der Punkt Q von den Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Daher sind QA, QB, QC Radien

Reis. 2

um ein Dreieck umschriebener Kreis. Bezeichnen wir den Radius als R. Der Punkt O des Schnittpunkts der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises.

Betrachten wir einen Kreis, der in ein bestimmtes Viereck eingeschrieben ist, und die Eigenschaften dieses Vierecks (siehe Abb. 3).

Erinnern wir uns an die Eigenschaften eines Punktes, der auf der Winkelhalbierenden liegt.

Ein Winkel ist gegeben, seine Winkelhalbierende ist AL, der Punkt M liegt auf der Winkelhalbierenden.

Liegt Punkt M auf der Winkelhalbierenden, dann ist er von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, d. h. die Abstände von Punkt M zu AC und zu BC der Seiten des Winkels sind gleich.

Reis. 3

Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Vom Punkt M zeichnen wir die Senkrechten MK zur Seite AB und MR zur Seite AC.

Betrachten Sie Dreiecke und . Das rechtwinklige Dreiecke, und sie sind gleich, weil haben eine gemeinsame Hypotenuse AM und die Winkel sind gleich, da AL die Winkelhalbierende ist. Rechtwinklige Dreiecke haben also die gleiche Hypotenuse und den gleichen spitzen Winkel. Daraus folgt, was bewiesen werden musste. Somit ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.

Außerdem die Beine. Somit sind die Tangentensegmente, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, gleich.

Kehren wir also zum Viereck zurück. Der erste Schritt besteht darin, darin Winkelhalbierende einzuzeichnen.

Alle Winkelhalbierenden eines Vierecks schneiden sich in einem Punkt – Punkt O, dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

Vom Punkt O senken wir die Senkrechten zu den Seiten des Vierecks auf die Punkte K, L, M, N und bestimmen die Tangentenpunkte (siehe Abb. 3).

Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, sind einander gleich, daher entsteht an jedem Scheitelpunkt ein Paar gleicher Tangenten: , , , .

Reis. 3

Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich. Es ist leicht zu beweisen:

Erweitern wir die Klammern:

Damit haben wir einen einfachen, aber wichtigen Satz bewiesen.

Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich.

Gerecht umgekehrter Satz.

Wenn in einem Viereck die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

Betrachten Sie einen Kreis, der von einem Viereck umschrieben wird.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt O und einem beliebigen Viereck ABCD. Betrachten wir die Eigenschaften dieses Vierecks. Alle vier Mittelsenkrechten eines gegebenen Vierecks schneiden sich in einem Punkt: Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises.

Es wäre mühsam zu beweisen, dass sich alle vier Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden. Es gibt ein weiteres Zeichen. Betrachten wir den Winkel ےА, das ist der eingeschriebene Winkel eines Kreises, er ruht auf dem Bogen und wird im halben Gradmaß dieses Bogens gemessen (siehe Abb. 4). Bezeichnen wir den Winkel ےА als , dann den Bogen . Ebenso bezeichnen wir den Gegenwinkel ےС als , er ist in den Kreis eingeschrieben und ruht auf dem Bogen . Daher der Bogen.

Reis. 4

Die Bögen bilden einen vollständigen Kreis. Von hier:

Teilen wir den resultierenden Ausdruck durch zwei, erhalten wir:

Damit haben wir den direkten Satz bewiesen.

Satz

Wenn ein Kreis ein Viereck umschreibt, beträgt die Summe seiner entgegengesetzten Winkel.

Dies ist ein notwendiges und ausreichendes Zeichen, das heißt, der umgekehrte Satz ist wahr.

Wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks beträgt, kann ein Kreis um dieses Viereck gezogen werden.

Basierend auf diesen Theoremen stellen wir fest, dass es unmöglich ist, einen Kreis um ein Parallelogramm zu beschreiben, da seine entgegengesetzten Winkel gleich sind und ihre Summe nicht gleich ist (siehe Abb. 5).

Reis. 5

Ein Kreis könnte um ein Parallelogramm beschrieben werden, wenn dessen entgegengesetzte Winkel 90° wären, das heißt, wenn es ein Rechteck wäre, könnte also ein Kreis um ein Rechteck beschrieben werden (siehe Abb. 6).

Reis. 6

Es ist auch unmöglich, einen Kreis um eine Raute zu beschreiben, aber er kann eingeschrieben werden, da alle Seiten einer Raute gleich sind und somit die Summen der gegenüberliegenden Seiten einer Raute gleich sind.

Darüber hinaus ist in einer Raute jede Diagonale eine Winkelhalbierende; der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist von allen Seiten der Raute gleich weit entfernt (siehe Abb. 7).

Reis. 7

Wir haben also bewiesen, dass in jedes Dreieck ein Kreis eingeschrieben werden kann und der Mittelpunkt dieses Kreises mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks zusammenfällt. Wir haben auch bewiesen, dass ein Kreis um jedes Dreieck beschrieben werden kann und sein Mittelpunkt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammenfällt. Darüber hinaus haben wir gesehen, dass einigen Vierecken ein Kreis eingeschrieben werden kann. Dazu ist es notwendig, dass die Summen der gegenüberliegenden Seiten des Vierecks gleich sind. Wir haben auch gezeigt, dass es um einige Vierecke möglich ist, einen Kreis zu beschreiben, und eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist die Gleichheit der Summe der entgegengesetzten Winkel.

Referenzen

Alexandrow A.D. und andere. Geometrie, 8. Klasse. - M.: Bildung, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, 8. Klasse. - M.: Bildung, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, 8. Klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Uztest.ru ().
Mschool.kubsu.ru ().
Ege-study.ru ().

Hausaufgaben

Dieser Artikel enthält den Mindestsatz an Kreisinformationen, der erforderlich ist erfolgreicher Abschluss Einheitliches Staatsexamen in Mathematik.

Umfang ist eine Menge von Punkten, die sich im gleichen Abstand von einem bestimmten Punkt befinden, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird.

Für jeden Punkt, der auf dem Kreis liegt, ist die Gleichheit erfüllt (Die Länge des Segments ist gleich dem Radius des Kreises.

Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, heißt Akkord.

Ein Akkord, der durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, heißt Durchmesser Kreis() .

Umfang:

Kreisfläche:

Kreisbogen:

Der Teil eines Kreises, der zwischen zwei Punkten eingeschlossen ist, heißt Bogen Kreise. Zwei Punkte auf einem Kreis definieren zwei Bögen. Der Akkord erstreckt sich über zwei Bögen: und . Gleiche Akkorde erstrecken sich über gleiche Bögen.

Der Winkel zwischen zwei Radien heißt Zentralwinkel :

Um die Bogenlänge zu ermitteln, bilden wir ein Verhältnis:

a) Der Winkel wird in Grad angegeben:

b) Der Winkel wird im Bogenmaß angegeben:

Durchmesser senkrecht zur Sehne , teilt diesen Akkord und die Bögen, die er umfasst, in zwei Hälften:

Wenn Akkorde Und Kreise schneiden sich in einem Punkt , dann sind die Produkte der Akkordsegmente, in die sie durch einen Punkt unterteilt werden, einander gleich:

Tangente an einen Kreis.

Eine Gerade, die mit einem Kreis einen gemeinsamen Punkt hat, heißt Tangente zum Kreis. Eine Gerade, die mit einem Kreis zwei gemeinsame Punkte hat, heißt Sekante

Eine Tangente an einen Kreis verläuft senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Wenn zwei Tangenten von einem bestimmten Punkt an einen Kreis gezogen werden, dann Tangentensegmente sind einander gleich und der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden mit dem Scheitelpunkt in diesem Punkt:

Wenn von einem gegebenen Punkt aus eine Tangente und eine Sekante zu einem Kreis gezogen werden, dann Quadrat der Tangentensegmentlänge gleich dem Produkt das gesamte Segment sekante zu seinem äußeren Teil :

Folge: Das Produkt des gesamten Segments einer Sekante und ihres äußeren Teils ist gleich dem Produkt des gesamten Segments einer anderen Sekante und ihres äußeren Teils:

Winkel im Kreis.

Das Gradmaß des Mittelpunktswinkels ist gleich dem Gradmaß des Bogens, auf dem er ruht:

Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten Sehnen enthalten, heißt beschrifteter Winkel . Ein eingeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, auf dem er liegt:

∠∠

Der durch den Durchmesser eingeschriebene Winkel ist richtig:

∠∠∠

Eingeschriebene Winkel, die von einem Bogen begrenzt werden, sind gleich :

Eingeschriebene Winkel, die von einer Sehne begrenzt werden, sind gleich oder ihre Summe ist gleich

∠∠

Die Eckpunkte von Dreiecken mit gegebener Grundfläche und gleichen Eckwinkeln liegen auf demselben Kreis:

Winkel zwischen zwei Akkorden (ein Winkel mit einem Scheitelpunkt innerhalb eines Kreises) ist gleich der Hälfte der Winkelwerte der Kreisbögen, die innerhalb eines bestimmten Winkels und innerhalb eines vertikalen Winkels enthalten sind.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Winkel zwischen zwei Sekanten (ein Winkel mit einem Scheitelpunkt außerhalb des Kreises) ist gleich der halben Differenz der Winkelwerte der im Winkel enthaltenen Kreisbögen.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Beschrifteter Kreis.

Der Kreis heißt in ein Polygon eingeschrieben , wenn es seine Seiten berührt. Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Polygons.

Nicht jedes Polygon passt in einen Kreis.

Fläche eines Polygons, in die ein Kreis eingeschrieben ist kann mit der Formel ermittelt werden

Hier ist der Halbumfang des Polygons und der Radius des eingeschriebenen Kreises.

Von hier eingeschriebener Kreisradius gleicht

Wenn ein Kreis in ein konvexes Viereck eingeschrieben ist, dann sind die Summen der Längen der gegenüberliegenden Seiten gleich . Umgekehrt: Wenn in einem konvexen Viereck die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich sind, kann in das Viereck ein Kreis eingeschrieben werden:

Sie können in jedes Dreieck einen Kreis einschreiben, und zwar nur in eines. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.

Eingeschriebener Kreisradius gleich . Hier

Umschriebener Kreis.

Der Kreis heißt über ein Polygon beschrieben , wenn es durch alle Eckpunkte des Polygons verläuft. Der Mittelpunkt des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Polygons. Der Radius wird als Radius des Kreises berechnet, der von dem Dreieck umschrieben wird, das durch drei beliebige Eckpunkte des gegebenen Polygons definiert wird:

Ein Kreis kann genau dann um ein Viereck beschrieben werden, wenn die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich ist .

Um jedes Dreieck herum kann man einen Kreis beschreiben, und zwar nur einen. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks:

Zirkumradius berechnet nach den Formeln:

Wo sind die Längen der Seiten des Dreiecks und seine Fläche?

Satz des Ptolemäus

In einem zyklischen Viereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte seiner gegenüberliegenden Seiten: