Презентация скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов, презентация Презентация на тему скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух ненулевых векторов
называется произведение их длин на косинус угла между
ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то
скалярное произведение таких векторов считается
равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначается. По
определению, a a | a | | a | cos .
1
2
1
2
Произведение называется скалярным квадратом и
обозначается a 2 . Из формулы скалярного произведения
следует равенство a 2 | a |2 .
Для скалярного произведения векторов имеет место
формула a1 a2 x1 x2 y1 y2 , где a1 (x1 , y1), a2 (x2 , y2).

Физический смысл

Скалярное произведение векторов имеет простой
физический смысл и связывает работу A, производимую
постоянной силой F при перемещении тела на вектор a ,
составляющий с направлением силы угол, а именно,
имеет место следующая формула: A F a | F | | a | cos .

Пример 1

Дан вектор m(a, b). Найдите координаты
перпендикулярного к нему вектора.
Решение: Для искомого вектора n (x, y) должно
выполняться равенство ax + by = 0. Например, этому
равенству удовлетворяют x = b, y = –a. Следовательно,
искомый вектор имеет координаты n (b, a).

Пример 2

Найдите угол A треугольника с вершинами
1
A(1, 3), B (1, 3), C (, 3).
2
Решение: Воспользуемся определением скалярного
произведения векторов AB и AC . Имеем
AB AC | AB | | AC | cos A. Вычислим это скалярное
произведение через координаты векторов. Вектор AB
имеет координаты (2, 2 3), вектор AC имеет
координаты (3/ 2, 0). Следовательно, скалярное
произведение данных векторов равно 3. Их длины
равны соответственно 4 и 3/2. Подставляя эти данные в
формулу скалярного произведения, получим cos A 1
2
о
и, следовательно, A = 60 .

Упражнение 1

Вычислите скалярное произведение двух
векторов a и b , если | a | = 2, | b | = 3, а угол
между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
Ответ: а) 3 2 ; б) 0; в) 3 2 .

Упражнение 2

В равностороннем треугольнике АВС со
стороной 1 проведена высота BD. Вычислите
скалярное произведение векторов:
а) AC и CB;
б) AC и BD;
в) AC и AC .
1
Ответ: а) ; б) 0; в) 1.
2

Упражнение 3

Найдите скалярное произведение векторов
a1 (-1, 2) и a2 (2,-1).
Ответ: –4.

Упражнение 4

Охарактеризуйте угол между векторами a и b,
если:
о< < 90о;
Ответ:
а)
0
а) a b 0;
б)
a b 0;
в)
a b 0;
г)
a b | a | | b |.
б) 90о< < 180о;
в) = 90о;
г) = 180о.

Упражнение 5

Длины векторов a и b равны 1. При каком угле
между ними скалярное произведение будет: а)
наибольшим; б) наименьшим?
Ответ: а) = 0о;
б) = 180о.

Упражнение 6

Найдите угол между векторами a (1, 2) и b (1, 0).
5
Ответ: cos .
5

Упражнение 7

Какой угол образуют единичные векторы a и
b , если известно, что a 2b и 5a 4b взаимно
перпендикулярны.
Ответ: 60о.

Упражнение 8

При каком значении t вектор 2a tb
перпендикулярен вектору b a, если
a (2, -1), b (4, 3).
Ответ: t = 0.

Упражнение 9

Для прямоугольника ABCD со сторонами AB = 6
см, AD = 8 см найдите скалярное произведение:
а)
AB BE;
б)
BE BD;
в)
BF BD;
г)
BE BF ,
где E и F – середины сторон AD и CD
соответственно.
Ответ: а) 36; б) 68; в) 82; г) 50.

Упражнение 10

Вычислите, какую работу A производит сила
F (-3, 4), когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из
положения B(5, -1) в положение C(2, 1).
Ответ: A = 17.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Скалярное произведение векторов. МБОУ Красногорская СОШ № 2

Цели урока: Познакомить учащихся с понятием «угол между векторами». Ввести понятие скалярного произведения двух векторов, скалярного квадрата вектора. Показать применение скалярного произведения векторов при решении задач

Дано: АВС D – параллелограмм Найти: 1) векторы, коллинеарные вектору ОС; 2) векторы, сонаправленные вектору АВ; 3) векторы, противоположно направленные вектору ВС; 4) векторы, равные вектору ВО; 5) В D , если АВ = 4, АД= 5, ВА D = 60 0 ; А С В D О

Угол между векторами. О А В

Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются Возьмите на заметку!

Ответьте на вопросы: О Чему равен угол между векторами а и b ? Каков угол между векторами b и с? Угол между векторами c и d ? Угол между векторами с и f острый или тупой? Определите угол между векторами а и d . Угол между векторами а и f ?

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Если, то Если, то Если, то Если, то Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора

Пример применения скалярного произведение векторов в физике. α Если, то Скалярное произведение векторов.

Какие из представленных на рисунке векторов перпендикулярны? О а и c 2. b и d 3. с и d b и с f и d

Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой. О c и f 0 o d и a 45 o a и f 180 o a и b 135 o 45 0

Выберите правильный ответ; Известно, что Скалярное произведение векторов равно: а) б) в)

Домашнее задание? Вот оно: п.101,102 повт. П.87 №№ 1039(в,г) 1040(г); 1042(а,б) Спасибо за урок!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Скалярное произведение векторов

Конспект урока по теме "Скалярное произведение векторов". Тип урока - самостоятельное изучение нового материала....

В работе представлен сценарий урока по геометрии в 11 классе на тему: "Скалярное произведение векторов". Помимо сценария в работе имеется презентация к уроку....

Данная работа ориентирована на учебник под редакцией Л.С.Атанасяна, составлена в четырех равноценных вариантах. Включает в себя задания на нахождение координат вектора, длины вектора, координат середи...

МОУ СОШ №256 г.Фокино

Познакомить учащихся с понятием «угол между векторами».
Ввести понятие скалярного произведения двух векторов, скалярного квадрата вектора.

Задача 1. Дано: АВС D – параллелограмм

Найти:

а) векторы, коллинеарные вектору ОС;

б) векторы, сонаправленные вектору АВ;

в) векторы, противоположно направленные вектору ВС;

г) векторы, равные вектору ВО;

д) В D , если АВ = 4, ВС = 5, ВА D = 60 0 ;

, если АВ = 4, ВС = 5, АС = 6.

Задача 2. Дано: АВС D – квадрат. АВ =

а) ВО;

б) угол АВО, угол АОВ;

Угол между векторами.

Ответьте на вопросы:

Чему равен угол между

векторами а и b ?

Каков угол между

векторами b и с?

Угол между векторами

c и d ?

Угол между векторами

с и f острый или тупой?

Определите угол между

векторами а и d .

Угол между векторами

а и f ?

Возьмите на заметку!

Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением

двух векторов называется

произведение их длин

на косинус угла между

ними.

Скалярное произведение

называется

скалярным квадратом вектора

Примечание:

В термине

« скалярное произведение » первое слово указывает на то, что результат действия есть скаляр , т.е. действительное число. Второе слово подчеркивает, что для этого действия имеют силу основные свойства обычного умножения.

Свойства умножения:

Переместительное свойство

Сочетательное свойство

распределительное

свойство

Тест:

Вставьте пропущенное слово:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на __________ угла между ними.

Вектор а скалярно умножили на вектор b . Как можно охарактеризовать результат этого действия?

Результат действия есть вектор.
Результат действия есть скаляр.
Результат действия есть скаляр, если векторы а и b коллинеарные, или вектор, если векторы а и b не являются коллинеарными.

Какие из представленных на рисунке векторов перпендикулярны ?

а и c

2. b и d

3. с и d

b и с
f и d

Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.

c и f 0 o

d и a 45 o

a и f 180 o

a и b 135 o

Выберите правильный ответ;

Известно, что

Скалярное произведение

векторов равно:

а)

б)

в)

Вставьте пропущенное слово:

Скалярное произведение называется

Квадратом вектора

Скалярный ___________ вектора равен

квадрату его модуля.

скалярным

квадрат

Домашнее задание?

Спасибо за урок!

Вот оно: п.101,102 №№ 1040; 1042