ارائه جالب در مورد مدل سازی ریاضی. ارائه با موضوع "روش مدل سازی ریاضی"

شی (روند حمل و نقل)

عملی

طرح محاسبه

مدل ریاضی

الگوریتم

برنامه

در مرحله اول مدل‌سازی ریاضی، انتقال از شی مدل‌سازی به طرح طراحی انجام می‌شود. نمودار طراحی یک مدل معنادار و/یا مفهومی از یک شی است. به عنوان مثال: طرح حمل بار، نقشه مسیر، جدول حمل و نقل و غیره.

در مرحله دوم، جستجو و شرح رسمی فرآیند (فرآیند) طرح طراحی با استفاده از یک مدل ریاضی انجام می شود.

در مرحله سوم، تحلیل کمی و کیفی مدل ریاضی شامل: 1) ساده سازی، 2) حل تناقض ها، 3) تصحیح انجام می شود.

در مرحله چهارم، یک الگوریتم موثر برای مدل‌سازی ریاضی ایجاد می‌شود که بر اساس آن در مرحله پنجم برنامه‌ای برای پیاده‌سازی مدل‌سازی ریاضی ایجاد می‌شود.

در مرحله ششم با استفاده از برنامه توصیه های عملی به دست می آید. توصیه های عملی نتیجه استفاده از یک مدل ریاضی برای یک هدف خاص در هنگام مطالعه یک شی (فرایند حمل و نقل) است.

اهداف مدل‌سازی ریاضی: 1) ایجاد مدل‌هایی از فرآیندهای حمل و نقل برای طراحی بیشتر فرآیندهای حمل و نقل بهینه (در زمان، در هزینه). 2) تجزیه و تحلیل ویژگی های فرآیندهای حمل و نقل فردی به منظور تخمین زمان و هزینه.

انواع مدلسازی ریاضی

	پارامتریک			تقلید
				مدل سازی
				مدل سازی

استاتیک		پویا



			ثابت		ناپایدار

پارامتریکمدل‌سازی مدل‌سازی بدون ارتباط دقیق با شی و فرآیند است. ارتباط فقط با پارامترها انجام می شود، به عنوان مثال: جرم، طول، فشار و غیره. انتزاعاتی وجود دارد: نقطه مادی، گاز ایده آل و غیره

مدل های پارامتریک استاتیک حاوی پارامتر "زمان" نیستند و به فرد اجازه می دهند تا ویژگی های سیستم را در حالت تعادل به دست آورد. مدل‌های پارامتری پویا حاوی پارامتر زمان هستند و به فرد اجازه می‌دهند ماهیت فرآیندهای گذرا سیستم را به دست آورند.

مدل سازی شبیه سازی(شبیه سازی) - مدل سازی ریاضی با در نظر گرفتن ویژگی های هندسی شی مدل سازی (اندازه، شکل) و همچنین توزیع چگالی با اتصال شرایط اولیه و مرزی (شرایط روی مرزهای هندسه شی) به اجسام.

فرآیندها

برنامه الگوریتم

مدل‌سازی ثابت به شما امکان می‌دهد ویژگی‌های یک شی را در یک بازه زمانی که به سمت صفر گرایش دارد، به دست آورید، یعنی «عکاسی» از ویژگی‌های شی. مدل سازی غیر ثابت به شما امکان می دهد تا ویژگی های یک شی را در طول زمان بدست آورید.

ساختار مدل ریاضی

پارامترهای ورودی	معادلات،	پارامترهای خروجی
	معادلات،
	وابستگی ها و غیره

ویژگی های مدل ریاضی:

1) کامل بودن - درجه انعکاس خصوصیات شناخته شده یک شی. 2) دقت - ترتیب تصادف بین واقعی (تجربی) و ویژگی های یافت شده با استفاده از مدل.

3) کفایت توانایی مدل برای توصیف پارامترهای خروجی با دقت ثابت برای پارامترهای ورودی ثابت (منطقه کفایت) است.

4) مقرون به صرفه بودن ارزیابی هزینه منابع محاسباتی برای به دست آوردن نتیجه در مقایسه با یک مدل ریاضی مشابه است.

5) استحکام - پایداری مدل ریاضی با توجه به خطاهای داده های منبع (به عنوان مثال، داده ها با فیزیک فرآیند مطابقت ندارند).

6) بهره وری اثر دقت داده های ورودی بر دقت داده های خروجی مدل است.

7) وضوح و سادگی مدل.

مدل های ریاضی (بر اساس روش تولید)

تئوری تجربی

نیمه تجربی © مؤسسه آموزشی بودجه ایالت فدرال آموزش عالی حرفه ای UGATU. بخش "مکانیک سیالات کاربردی" 16

مدل های تجربی ریاضی با پردازش و تجزیه و تحلیل نتایج داده های تجربی به دست می آیند. شناسایی اصلاح یک مدل ریاضی موجود با داده های تجربی است.

مدل های ریاضی نظری با استفاده از روش های نظری - تجزیه و تحلیل، سنتز، استقراء، استنتاج و غیره به دست می آیند.

ادبیات نظریه مدل سازی ریاضی و مدل های ریاضی:

1) Zarubin V.S. مدل‌سازی ریاضی در فناوری: کتاب درسی. برای دانشگاه ها / V. S. Zarubin. – ویرایش سوم - M.: انتشارات MSTU im. N.E. باومن. 2010. – 495 ص.

2) Cherepashkov A. A., Nosov N. V. فن آوری های کامپیوتری، مدل سازی و سیستم های خودکاردر مهندسی مکانیک: کتاب درسی. برای دانش آموزان بالاتر کتاب درسی موسسات – ولگوگراد: انتشارات Infolio، 2009. – 640 p.

4. Mathcad به عنوان یک ابزار برنامه نویسی کاربردی

Mathcad یک سیستم جبر رایانه ای از کلاس سیستم های طراحی به کمک رایانه است که بر تهیه اسناد تعاملی با محاسبات و پشتیبانی بصری تمرکز دارد و استفاده و کاربرد آسانی دارد.

Mathcad توسط آلن رازدوف از MIT ایده و نوشته شد.

توسعه دهنده: PTC انتشار اول: 1986.

حل عددی معادلات دیفرانسیل و جبری

روش ها؛
ساخت نمودارهای دو بعدی و سه بعدی توابع.

استفاده از الفبای یونانی؛

انجام محاسبات به صورت نمادین؛

پشتیبانی از زبان برنامه نویسی بومی

© FSBEI HPE UGATU; بخش "مکانیک سیالات کاربردی"

توابع عددیبرای محاسبه با روش های عددی در نظر گرفته شده است ریاضیات کاربردیریشه های معادلات، حل مسائل بهینه سازی، حل معادلات دیفرانسیلروش رانگ کوتا و غیره

توابع کاراکتربرای محاسبات تحلیلی در نظر گرفته شده اند که از نظر ساختار شبیه به تبدیل های ریاضی کلاسیک هستند.

متغیر سیستم TOL - خطای محاسباتی مجاز (پیش‌فرض 10-3).

تنظیم متغیرهای رتبه بندی شده با یک مرحله ثابت: x:=0، 0+0.01..10.

اگر متغیر یک آرایه است، می توانید با وارد کردن یک شاخص با استفاده از کلید [ به عنصری از آرایه دسترسی پیدا کنید.

ادبیات 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. مدل سازی ریاضی: ایده ها. روش ها مثالها - M.: Nauka, Volkov E. A. روشهای عددی. - M.: Nauka، Turchak L.I. مبانی روش های عددی. - M.: Nauka، Kopchenova N.V.، Maron I.A. ریاضیات محاسباتی در مثال ها و مسائل. - M.: Nauka، 1972.

تاریخچه کمی از دستکاری اشیاء تا دستکاری مفاهیم در مورد اشیاء، جایگزینی شیء، فرآیند یا پدیده مورد مطالعه با یک معادل ساده تر و در دسترس تر برای تحقیق، عدم امکان در نظر گرفتن مجموعه ای از عوامل تعیین کننده رفتار شی

نقش مدل‌ها ساختمان زشت، شکننده است یا با منظره اطراف سازگاری ندارد.

رابطه بین مدل و مدل اصلی ایجاد یک مدل مستلزم حفظ برخی از ویژگی های اصلی است و این ویژگی ها ممکن است در مدل های مختلف متفاوت باشد. ساختمان مقوایی بسیار کوچکتر از ساختمان واقعی است، اما به ما اجازه می دهد در مورد آن قضاوت کنیم ظاهر; پوستر سیستم گردش خون را قابل درک می کند، اگرچه ربطی به اندام ها و بافت ها ندارد. مدل هواپیما پرواز نمی کند، اما تنش های موجود در بدنه آن با شرایط پرواز مطابقت دارد.

چرا از مدل ها استفاده کنیم؟ 1. مدل برای تحقیق بیشتر از شی واقعی قابل دسترس است، 2. مطالعه مدل آسانتر و ارزانتر از اشیاء واقعی است، 3. برخی از اشیاء را نمی توان مستقیماً مطالعه کرد: برای مثال، ساختن یک هنوز ممکن نیست. وسیله ای برای همجوشی گرما هسته ای یا انجام آزمایش در اعماق ستارگان، 4. آزمایش با گذشته غیرممکن است، آزمایش با آزمایش های اقتصادی یا اجتماعی غیرقابل قبول است.

هدف از مدل ها 1. با استفاده از یک مدل، می توانید مهم ترین عواملی را که ویژگی های یک شی را شکل می دهند، شناسایی کنید. از آنجایی که مدل فقط برخی از ویژگی های شی اصلی را منعکس می کند، با تغییر مجموعه ای از این ویژگی ها در مدل، می توان میزان تأثیر عوامل خاصی را بر کفایت رفتار مدل تعیین کرد.

یک مدل مورد نیاز است: 1. برای درک چگونگی ساختار یک شی خاص: ساختار، خواص، قوانین توسعه و تعامل آن با جهان خارج چیست. 2. به منظور یادگیری نحوه مدیریت یک شی یا فرآیند و تعیین بهترین روش های مدیریت برای اهداف و معیارهای داده شده. 3. به منظور پیش بینی رفتار یک شی و ارزیابی پیامدهای روش ها و اشکال مختلف تاثیر بر جسم (مدل های هواشناسی، مدل های توسعه زیست کره).

ویژگی یک مدل صحیح یک مدل خوب و درست ساخته شده دارای یک ویژگی قابل توجه است: مطالعه آن به فرد اجازه می دهد تا دانش جدیدی در مورد شی - اصل آن به دست آورد، علیرغم این واقعیت که فقط برخی از ویژگی های اصلی اصلی برای ایجاد مدل استفاده شده است.

مدل سازی مواد این مدل پایه های هندسی، فیزیکی، دینامیکی و ویژگی های عملکردیاز شی مورد مطالعه، زمانی که شی واقعی با کپی بزرگ شده یا کوچک شده آن مقایسه می شود و امکان تحقیق را فراهم می کند شرایط آزمایشگاهیبا انتقال بعدی خواص فرآیندها و پدیده های مورد مطالعه از مدل به یک شی بر اساس تئوری شباهت (سیاره نما، مدل های ساختمان ها و دستگاه ها و غیره). فرآیند تحقیق در این مورد ارتباط نزدیکی با تأثیر مادی بر مدل دارد، یعنی از یک آزمایش در مقیاس کامل تشکیل شده است. بنابراین، مدل سازی مواد در طبیعت خود یک روش تجربی است.

انواع مدل‌سازی ایده‌آل شهودی - مدل‌سازی اشیایی که نمی‌توانند رسمی شوند یا به آن نیاز ندارند. تجربه زندگی یک فرد را می توان الگوی شهودی او از جهان اطراف در نظر گرفت - مدل سازی که از دگرگونی های نشانه به عنوان مدل استفاده می کند. انواع مختلف: نمودارها، نمودارها، نقشه‌ها، فرمول‌ها و غیره و حاوی مجموعه‌ای از قوانین است که با استفاده از آنها می‌توانید با عناصر مدل کار کنید.

مدل‌سازی ریاضی، مطالعه یک شیء بر اساس مدلی که به زبان ریاضی فرموله شده و با استفاده از روش‌های خاص ریاضی مورد مطالعه قرار می‌گیرد، انجام می‌شود زندگی عمومیبا استفاده از دستگاه های ریاضی و در حال حاضر، پیاده سازی این مدل ها با استفاده از کامپیوتر

طبقه بندی حصیر. مدل‌ها بر اساس هدف: شبیه‌سازی بهینه‌سازی توصیفی بر اساس ماهیت معادلات: خطی غیرخطی با در نظر گرفتن تغییرات سیستم در طول زمان: استاتیک پویا با خاصیت دامنه تعریف آرگومان‌ها: گسسته پیوسته براساس ماهیت فرآیند: تصادفی قطعی

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

مدل های ریاضی

05.05.17 مدل‌های ریاضی زبان اصلی مدل‌سازی اطلاعات در علم، زبان ریاضیات است. مدل هایی که با استفاده از مفاهیم و فرمول های ریاضی ساخته می شوند، مدل های ریاضی نامیده می شوند. مدل ریاضی یک مدل اطلاعاتی است که در آن پارامترها و وابستگی های بین آنها به صورت ریاضی بیان می شود.

05.05.17 به عنوان مثال، معادله شناخته شده S=vt، که در آن S فاصله است، v سرعت t زمان است، یک مدل است. حرکت یکنواخت، به شکل ریاضی بیان می شود.

05.05.17 با توجه به سیستم فیزیکی: جسمی به جرم m که تحت تأثیر نیروی F از یک صفحه شیبدار با شتاب a به پایین غلت می خورد، نیوتن رابطه F = ma را به دست آورد. این یک مدل ریاضی از یک سیستم فیزیکی است.

05.05.17 روش مدل سازی استفاده از دستگاه ریاضی را برای حل مسائل عملی ممکن می سازد. مفاهیم اعداد، شکل هندسیمعادلات، نمونه هایی از مدل های ریاضی هستند. به سوی یک روش مدل سازی ریاضی در فرآیند آموزشیهنگام حل هر مشکلی با محتوای کاربردی باید به آن متوسل شد. برای حل چنین مسئله ای با استفاده از ابزارهای ریاضی، ابتدا باید به زبان ریاضیات ترجمه شود (ساخت یک مدل ریاضی). مدل سازی ریاضی

05.05.17 در مدل سازی ریاضی، مطالعه یک شی با مطالعه یک مدل فرموله شده به زبان ریاضیات انجام می شود. مثال: شما باید سطح یک میز را تعیین کنید. طول و عرض جدول را اندازه بگیرید و سپس اعداد حاصل را ضرب کنید. این در واقع به این معنی است که شی واقعی - سطح جدول - با یک مدل ریاضی انتزاعی با یک مستطیل جایگزین می شود. مساحت این مستطیل به عنوان مساحت مورد نیاز در نظر گرفته می شود. از تمام خواص جدول، سه مورد مشخص شد: شکل سطح (مستطیل) و طول دو ضلع. نه رنگ میز، نه موادی که از آن ساخته شده است و نه نحوه استفاده از آن مهم نیست. با فرض اینکه سطح جدول مستطیل است، به راحتی می توان داده های اولیه و نتیجه را نشان داد. آنها با رابطه S = ab مرتبط هستند.

05.05.17 بیایید مثالی از آوردن راه حل برای یک مسئله خاص در یک مدل ریاضی را در نظر بگیریم. شما باید یک صندوق جواهرات را از پنجره یک کشتی غرق شده بیرون بکشید. برخی از فرضیات در مورد شکل قفسه سینه و پنجره های دریچه و داده های اولیه برای حل مشکل ارائه شده است. مفروضات: دریچه به شکل دایره است. سینه به شکل یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است. داده های اولیه: D - قطر سوراخ; x - طول قفسه سینه؛ y - عرض سینه؛ z ارتفاع قفسه سینه است. نتیجه نهایی: پیام: می توان یا نمی توان بیرون کشید.

05/05/17 اگر، پس می توان قفسه سینه را بیرون کشید، اما اگر، پس نمی توان. تجزیه و تحلیل سیستماتیک شرایط مشکل، ارتباط بین اندازه دریچه و ابعاد قفسه سینه را با در نظر گرفتن شکل آنها نشان داد. اطلاعات به دست آمده در نتیجه تجزیه و تحلیل در فرمول ها و روابط بین آنها نمایش داده شد و یک مدل ریاضی بوجود آمد. مدل ریاضی برای حل این مسئله وابستگی های زیر بین داده های اولیه و نتیجه است:

05.05.17 مثال 1: محاسبه مقدار رنگ برای پوشش کف در سالن بدنسازی. برای حل مشکل باید مساحت کف را بدانید. برای تکمیل این کار، طول و عرض کف را اندازه بگیرید و مساحت آن را محاسبه کنید. شی واقعی - کف سالن - توسط مستطیلی اشغال شده است که مساحت آن حاصل ضرب طول و عرض است. هنگام خرید رنگ، متوجه می شوند که چه مقدار مساحت را می توان با محتویات یک قوطی پوشاند و تعداد قوطی های مورد نیاز را محاسبه می کنند. A طول کف، B عرض کف، S 1 ناحیه ای که می توان با محتویات یک قوطی پوشانده شود، N تعداد قوطی ها باشد. مساحت کف را با استفاده از فرمول S = A×B و تعداد قوطی های مورد نیاز برای رنگ آمیزی سالن N = A×B / S 1 محاسبه می کنیم.

05/05/17 مثال 2: از طریق لوله اول استخر در 30 ساعت پر می شود، از طریق لوله دوم - در 20 ساعت. چند ساعت طول می کشد تا استخر از طریق دو لوله پر شود؟ راه حل: اجازه دهید زمان پر شدن استخر را از طریق لوله های اول و دوم به ترتیب A و B مشخص کنیم. اجازه دهید کل حجم استخر را 1 در نظر بگیریم و زمان مورد نیاز را با t نشان دهیم. از آنجایی که استخر از طریق اولین لوله در یک ساعت پر می شود، پس 1/A قسمتی از استخر است که توسط اولین لوله در 1 ساعت پر می شود. 1/B - قسمتی از استخر با لوله دوم در 1 ساعت پر می شود. بنابراین میزان پر شدن استخر با لوله اول و دوم با هم به صورت: 1/A+1/B خواهد بود. می توانید بنویسید: (1/A+1/B) t =1. یک مدل ریاضی را به دست آورد که فرآیند پر کردن یک استخر از دو لوله را توصیف می کند. زمان مورد نیاز را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

05.05.17 مثال 3: نقاط A و B در بزرگراه به فاصله 20 کیلومتر از یکدیگر قرار دارند. یک موتورسوار با سرعت 50 کیلومتر در ساعت نقطه B را در جهت مخالف A ترک کرد. بیایید یک مدل ریاضی ایجاد کنیم که موقعیت موتورسوار را نسبت به نقطه A بعد از t ساعت توصیف کند. در t ساعت موتورسوار 50 تن کیلومتر را طی خواهد کرد و در فاصله 50 تنی + 20 کیلومتری A قرار خواهد گرفت. اگر فاصله موتورسوار (بر حسب کیلومتر) تا نقطه A را با حرف s نشان دهیم، وابستگی این فاصله به زمان حرکت را می توان با فرمول: S=50t + 20 که t>0 بیان کرد.

05/05/17 عدد اول برابر با x و عدد دوم 2.5 بیشتر از عدد اول است. معلوم است که 1/5 عدد اول برابر است با 1/4 عدد دوم. از این موقعیت‌ها مدل‌های ریاضی بسازید: میشا دارای x و آندری یک و نیم برابر بیشتر است. اگر میشا به آندری 8 نمره بدهد، آنگاه آندری دو برابر امتیاز میشا خواهد داشت. کارگاه دوم x نفر، کارگاه اول 4 برابر دومی و کارگاه سوم 50 نفر بیشتر از دومی مشغول به کار هستند. در مجموع 470 نفر در سه کارگاه این کارخانه مشغول به کار هستند. بیایید بررسی کنیم: مدل ریاضی برای حل این مشکل وابستگی های زیر بین داده های اولیه و نتیجه است: میشا دارای x مارک بود. آندری 1.5 برابر دارد. میشا x-8 گرفت، آندری 1.5x+8 گرفت. با توجه به شرایط مسئله 1.5x+8=2(x-8). مدل ریاضی برای حل این مسئله وابستگی های زیر بین داده های اولیه و نتیجه است: x نفر در کارگاه دوم، 4 نفر در کارگاه اول و x+50 کار در کارگاه سوم. x+4x+x+50=470. مدل ریاضی برای حل این مسئله وابستگی های زیر بین داده های اولیه و نتیجه است: عدد اول x; دوم x+2.5. با توجه به شرایط مسئله x/5=(x+2.5)/4.

05.05.17 معمولاً ریاضیات به این صورت است زندگی واقعی. مدل‌های ریاضی نه تنها جبری (به شکل برابری با متغیرها، همانطور که در مثال‌های بالا مورد بحث قرار گرفته‌اند)، بلکه در اشکال دیگر نیز هستند: جدولی، گرافیکی و غیره. در درس بعدی با انواع دیگر مدل ها آشنا می شویم.

05.05.17 تکلیف: § 9 (ص 54-58) شماره، 2، 4 (ص. 60) در دفتر

05.05.17 با تشکر از درس!

05.05.17 منابع علوم کامپیوتر و فناوری اطلاعات و ارتباطات: کتاب درسی کلاس هشتم http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (نمودارها، نمودارها) http://images.yandex.ru (تصاویر)

الگوریتمترسیم یک مدل ریاضی:

یک بیانیه مختصر از شرایط مشکل بنویسید:

الف) دریابید که چند مقدار در مشکل دخیل است.

ب) ارتباط بین این مقادیر را شناسایی کنید.

2. یک نقاشی برای مسئله (در مسائل مربوط به حرکت یا در مسائل محتوای هندسی) یا یک جدول بسازید.

3. X را به عنوان یکی از کمیت ها (ترجیحاً کمیت کمتر) تعیین کنید.

4. با در نظر گرفتن اتصالات، یک مدل ریاضی ایجاد کنید.

مسأله 1. (شماره 86 (1)).

این آپارتمان دارای 3 اتاق با مساحت 42 متر مربع می باشد. اتاق اول 2 برابر کوچکتر از اتاق دوم است و اتاق دوم 3 متر مربع است. متر بیش از یک سوم مساحت هر اتاق در این آپارتمان چقدر است؟

مسأله 2. (شماره 86 (2)).

ساشا برای کتاب، خودکار و دفترچه 11200 روبل پرداخت کرد. یک خودکار 3 برابر گرانتر از یک نوت بوک است و 700 روبل قیمت دارد. ارزان تر از کتاب قیمت یک نوت بوک چقدر است؟

مسأله 3. (شماره 86 (3)).

موتورسوار مسافتی را بین دو شهر مسافت طی کرد

980 کیلومتر در 4 روز. در روز اول 80 کیلومتر کمتر از روز دوم، در روز سوم - نیمی از مسافت طی شده در دو روز اول و در روز چهارم - 140 کیلومتر باقی مانده را طی کرد. موتورسوار روز سوم چقدر مسافت را طی کرد؟

مسئله 4. (شماره 86 (4))

محیط چهارضلعی 46 dm است. ضلع اول آن 2 برابر کوچکتر از ضلع دوم و 3 برابر کوچکتر از ضلع سوم و ضلع چهارم آن 4 سانتی متر از ضلع اول بزرگتر است. طول اضلاع این چهارضلعی چقدر است؟

مسأله 5. (شماره 87)

یکی از اعداد 17 کوچکتر از دومی است و مجموع آنها 75 است. بزرگتر از این اعداد را بیابید.

مسئله 6. (شماره 99)

20 شرکت کننده در سه بخش این کنسرت به اجرای برنامه پرداختند. در قسمت دوم 3 برابر کمتر از قسمت اول و در قسمت سوم 5 شرکت کننده بیشتر از قسمت دوم بود. در هر بخش چند شرکت کننده کنسرت اجرا کردند؟

من می توانم (یا نه):

مهارت ها

امتیاز

0 یا 1

تعداد کمیت های درگیر در یک مشکل را شناسایی کنید

ارتباط بین کمیت ها را شناسایی کنید

منظورش را می فهمم

ب) "کل"

من می توانم یک مدل ریاضی بسازم

من می توانم با استفاده از یک مدل ریاضی معین یک مسئله جدید ایجاد کنم

تکالیف:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) یک مسئله برای مدل ریاضی مسئله بنویسید

مبانی مدلسازی ریاضی

S.V. زوونارف
مبانی ریاضیات
مدل سازی
سخنرانی شماره 2. مدل های ریاضی و طبقه بندی آنها
یکاترینبورگ
2012

هدف از سخنرانی

مفهوم مدل ریاضی را تعریف کنید.
یک مدل ریاضی تعمیم یافته را مطالعه کنید.
طبقه بندی مدل های ریاضی را در نظر بگیرید.
2 مدل ریاضی
مدل ریاضی تعمیم یافته
.
درجه مطابقت مدل ریاضی با شی.
طبقه بندی مدل های ریاضی
3

مدل ریاضی

مدل ریاضی
4

مدل ریاضی

مدل ریاضی مجموعه ای از معادلات است
یا سایر روابط ریاضی منعکس کننده پایه
ویژگی های شی یا پدیده مورد مطالعه در چارچوب مورد قبول
حدس و گمان
فیزیکی
مدل ها
و
ویژگی های خاص
او
تعاملات با محیط زیست
ویژگی های اصلی مدل های ریاضی عبارتند از:
کفایت؛
سادگی
فرآیند تدوین یک مدل ریاضی نامیده می شود
بیان مشکل
مدل ریاضی یک آنالوگ ریاضی است
از شی طراحی شده درجه کفایت شیء آن
با فرمول بندی و صحت راه حل های مسئله تعیین می شود
طراحی
5

مدل سازی ریاضی

مدل ریاضی یک شی فنی –
مجموعه ای از معادلات و روابط ریاضی
بین آنها، که به اندازه کافی خواص را منعکس می کند
موضوع مورد مطالعه، مورد علاقه محقق
(مهندس).
مدل سازی ریاضی ایده آل است
مدل سازی رسمی نمادین علمی، که در آن
شی به زبان ریاضیات توصیف شده است، و
تحقیق مدل با استفاده از آن یا انجام می شود
سایر روش های ریاضی
روش‌هایی برای یافتن منتهی الیه یک تابع از بسیاری
متغیرهایی با محدودیت های مختلف اغلب هستند
نامیده می شوند
روش ها
ریاضی
برنامه نویسی
6

مدل ریاضی تعمیم یافته

عناصر یک مدل ریاضی تعمیم یافته:
مجموعه ای از داده های ورودی (متغیرها) X,Y;
عملگر ریاضی L;
مجموعه ای از داده های خروجی (متغیرها) G(X,Y).
7

داده های ورودی

X مجموعه ای از متغیرهای متغیر است که
فضای پارامترهای متنوع Rx را تشکیل می دهد
(فضای جستجو) که متریک با
بعد
n
برابر با
شماره
متغیر
پارامترها
Y – مجموعه ای از متغیرهای مستقل (ثابت)،
که فضای متریک ورودی را تشکیل می دهد
داده رای. در صورتی که هر جزء
فضای Ry با محدوده ممکن داده می شود
ارزش ها،
بسیاری
مستقل
متغیرها
نمایش داده می شود
برخی
محدود است
زیرفضای فضای Ry.
8

متغیرهای مستقل Y

آنها محیط عملیاتی شی را تعیین می کنند، یعنی.
خارجی
شرایط،
V
که
خواهد شد
کار کردن
شی طراحی شده اینها ممکن است شامل موارد زیر باشد:
پارامترهای فنی شی که مشمول آن نیستند
تغییرات در طول فرآیند طراحی؛
فیزیکی
اختلالات محیطی،
شی طراحی تعامل دارد.
با
که
پارامترهای تاکتیکی که باید به آنها دست یافت
شی طراحی
9

عملگر و خروجی ریاضی

عملگر ریاضی L – سیستم کامل
عملیات ریاضی توصیف عددی یا
روابط منطقی بین مجموعه های ورودی و
داده های خروجی (متغیرها). داره تعریف میکنه
عملیات روی داده های ورودی
مجموعه داده های خروجی (متغیرها) G(X,Y)
مجموعه ای از توابع معیار است،
از جمله (در صورت لزوم) یک تابع هدف.
داده های خروجی مدل تعمیم یافته در حال بررسی
یک فضای متریک از معیار را تشکیل می دهند
نشانگرهای RG
10

غیر خطی بودن مدل های ریاضی

غیر خطی بودن مدل های ریاضی
- نقض اصل
برهم نهی ها، یعنی وقتی هیچ ترکیب خطی از راه حل ها نیست
راه حل مشکل است. بنابراین، دانش در مورد رفتار قطعه
یک شی، آگاهی از رفتار کل شی را تضمین نمی کند.
اکثریت
واقعی
فرآیندها
و
مربوطه
آنها
مدل های ریاضی خطی نیستند. مدل های خطی پاسخ می دهند
موارد بسیار خاص و، به عنوان یک قاعده، تنها در خدمت اولین
نزدیک شدن به واقعیت
مثال - مدل‌های جمعیت بلافاصله غیرخطی می‌شوند،
اگر در دسترس بودن محدود جمعیت ها را در نظر بگیریم
منابع
11

درجه مطابقت مدل های ریاضی با شی

مشکلات:
یک مدل ریاضی هرگز یکسان نیست
شی مورد نظر و تمام خواص آن را نمی رساند و
ویژگی ها
مدل ریاضی یک توصیف تقریبی است
شی و همیشه تقریبی است.
دقت مسابقه با درجه تطابق تعیین می شود،
کفایت مدل و شی روش ها:
استفاده از آزمایش (تمرین) برای مقایسه مدل ها و
انتخاب مناسب ترین
یکسان سازی مدل های ریاضی از طریق انباشت مجموعه ها
مدل های آماده
انتقال مدل های آماده از یک فرآیند به فرآیند دیگر،
یکسان، مشابه
استفاده حداقل مقدارتقریب ها و حسابداری
تاثیرات مزاحم
12

طبقه بندی مدل های ریاضی

طبقه بندی
مدل های ریاضی
13

کلاس های مدل های ریاضی

مدل های ریاضی به کلاس های در تقسیم می شوند
بسته به:
پیچیدگی شی مدل سازی؛
اپراتور مدل؛
پارامترهای ورودی و خروجی؛
اهداف مدل سازی؛
روش مطالعه مدل؛
اشیاء تحقیق؛
مدل متعلق به یک سطح سلسله مراتبی
توضیحات اشیاء؛
ماهیت ویژگی های نمایش داده شده؛
روش محاسبه؛
با استفاده از کنترل فرآیند
14

طبقه بندی بر اساس پیچیدگی شی

در
ساده
مدل ها
در
مدل سازی
نه
ساختار داخلی شی در نظر گرفته می شود، نه
برجسته شدن
اجزاء
او
عناصر
یا
فرآیندهای فرعی
سیستم شی یک سیستم به نسبت پیچیده تر است،
که مجموعه ای از به هم پیوسته است
عناصر، جدا شده از محیط زیستو
تعامل با آن به عنوان یک کل.
15

طبقه بندی بر اساس اپراتور مدل

ریاضی
مدل
تماس گرفت
خطی اگر اپراتور ارائه دهد
خطی
اعتیاد
آخر هفته
پارامترها
از
ارزش ها
ورودی
پارامترها
ریاضی
مدل
تماس گرفت
غیر خطی اگر اپراتور ارائه دهد
غیر خطی
اعتیاد
آخر هفته
پارامترها
از
ارزش ها
ورودی
پارامترها
اگر عملگر مدل باشد، مدل ریاضی ساده است
جبری
بیان،
منعکس کننده
کاربردی
وابستگی پارامترهای خروجی به پارامترهای ورودی
مدل شامل سیستم های دیفرانسیل و انتگرال
روابط پیچیده نامیده می شود.
زمانی که یک مدل امکان ساخت وجود داشته باشد، الگوریتمی نامیده می شود
شبیه‌ساز رفتار و ویژگی‌های یک شی با استفاده از یک الگوریتم.
16

طبقه بندی بر اساس پارامترهای ورودی و خروجی

طبقه بندی بر اساس ماهیت فرآیند مدل سازی شده

قطعی،
که
مکاتبه کنید
فرآیندهای قطعی که به شدت دارند
ارتباط بدون ابهام بین کمیت های فیزیکی،
توصیف وضعیت سیستم در هر
لحظه
زمان
قطعی
مدل
به شما امکان می دهد بدون ابهام محاسبه و پیش بینی کنید
مقادیر کمیت های خروجی بر اساس مقادیر ورودی
پارامترها و اقدامات کنترلی
نامشخص هایی که از این واقعیت ناشی می شوند
تغییر در تعیین کمیت ها رخ می دهد
به صورت تصادفی و مقادیر مقادیر خروجی
با ورودی مطابقت احتمالی دارند
ارزش ها هستند و منحصراً تعیین نمی شوند.
18

مدل های نامشخص

تصادفی - مقادیر تمام یا فردی پارامترها
مدل ها تعریف شده است متغیرهای تصادفی، داده شده است
چگالی احتمال
تصادفی - مقادیر همه یا پارامترهای مدل جداگانه
توسط متغیرهای تصادفی داده شده توسط تخمین ها تنظیم می شوند
چگالی احتمال به دست آمده در نتیجه پردازش
نمونه‌گیری تجربی محدود از این پارامترها.
فاصله - مقادیر همه یا پارامترهای فردی
مدل ها با مقادیر بازه مشخص شده توصیف می شوند
فاصله تشکیل شده توسط حداقل و حداکثر
مقادیر پارامتر ممکن
فازی - مقادیر همه یا پارامترهای مدل جداگانه
توسط توابع عضویت مربوطه توصیف می شوند
مجموعه فازی
19

طبقه بندی در رابطه با بعد فضا

تک بعدی.
دو بعدی.
سه بعدی.
این تقسیم بندی برای مدل ها از جمله
پارامترها
که
گنجانده شده است
مختصات
فضا
20

طبقه بندی بر حسب زمان

استاتیک. اگر وضعیت سیستم نیست

ایستا شبیه سازی استاتیک
برای توصیف وضعیت یک شی در آن عمل می کند
نقطه ثابت در زمان
پویا. اگر وضعیت سیستم
با گذشت زمان تغییر می کند، سپس مدل ها فراخوانی می شوند
پویا شبیه سازی دینامیک
برای مطالعه یک شی در زمان مفید است.
21

طبقه بندی بر اساس نوع مجموعه پارامترهای مورد استفاده

کیفیت بالا.
کمی.
گسسته.
مستمر.
مختلط.
22

طبقه بندی بر اساس اهداف مدل سازی

توصیفی. هدف از این گونه مدل ها وضع قوانین است
تغییرات در پارامترهای مدل مثال - مدل حرکت موشک بعد از
پرتاب از سطح زمین
بهینه سازی. مدل های مشابهی برای تعیین طراحی شده اند
پارامترهای بهینه از دیدگاه برخی معیارها
شی مدل شده یا برای جستجوی حالت بهینه
کنترل برخی از فرآیندها نمونه ای از چنین مدلی خواهد بود
به عنوان شبیه سازی فرآیند پرتاب یک موشک از سطح زمین با
هدف از بالا بردن آن به ارتفاع معین در حداقل زمان.
مدیریتی. از چنین مدل هایی برای اثربخشی استفاده می شود
تصمیمات مدیریتی در حوزه های مختلف هدف
23
فعالیت انسانی

طبقه بندی بر اساس روش اجرا

تحلیلی. روش های تحلیلیراحت تر برای
تجزیه و تحلیل بعدی نتایج، اما فقط برای
مدل های نسبتا ساده در صورت ریاضی
مسئله یک راه حل تحلیلی را می پذیرد، سپس مورد توجه قرار می گیرد
ارجح بر عددی
الگوریتمی. روش های الگوریتمی به
به برخی
الگوریتم
اجرا کردن
محاسباتی
24
آزمایش با استفاده از کامپیوتر

طبقه بندی بر اساس موضوعات مورد مطالعه

اشیاء با درجه بالااطلاعات اگر در حال انجام است
مدل سازی، سیستم های کامل معادلات شناخته شده است،
توصیف تمام جنبه های فرآیند شبیه سازی شده و همه
مقادیر عددی پارامترهای این معادلات.
اشیایی با سطح اطلاعات صفر ریاضی
مدل چنین جسمی بر اساس آمار ساخته شده است
داده های تجربی
اشیاء با الگوهای اولیه شناخته شده.
مقادیر ثابت ها در معادلات ریاضی توصیف
مدل ها از تجربه ایجاد شده اند.
اشیایی که رفتارشان مشخص است
ماهیت تجربی از روش هایی استفاده می کنند
مدل سازی فیزیکی با استفاده از ریاضی
برنامه ریزی آزمایش
25

طبقه بندی بر اساس اینکه آیا مدل به سطح سلسله مراتبی توصیف شی تعلق دارد یا خیر

سطح میکرو
(معمولی
فرآیندها
هستند
انتقال جرم،
ترموفیزیکی،
هیدرودینامیک).
مدل سازی
انجام شد
V
اهداف
سنتز
فرآیند فن آوری برای یک یا چند
واحدها
سطح کلان. شبیه سازی فرآیندهای دارای بیشتر
سطح بالای تجمع؛ از مدل ها برای سنتز استفاده می شود
مدیریت فعلی فرآیند تکنولوژیکیبرای یکی
واحد یا مجتمع فناورانهبه طور کلی
سطح متا. مدل سازی فرآیند یکپارچه
واحدها و اتصالات مواد و انرژی که آنها را به هم متصل می کند
جریان ها چنین مدل هایی در خدمت سنتز فناوری هستند
پیچیده به عنوان یک کل واحد، یعنی برای سنتز کنترل
توسعه
26

طبقه بندی بر اساس ماهیت ویژگی های مدل نمایش داده شده

عملکردی
مدل ها
استفاده می شوند
برای
توضیحات
فرآیندهای فیزیکی و اطلاعاتی که در طول
عملکرد تاسیسات
ساختاری
مدل ها
توصیف کنید
مرکب
و
روابط
عناصر سیستم (فرآیند، شی).
27

طبقه بندی بر اساس ترتیب محاسبات

مستقیم. برای تعیین جنبشی استفاده می شود،
الگوهای ایستا و پویا فرآیندها
معکوس
(وارونگی).
استفاده می شود
برای
تعیین مقدار پارامترهای ورودی یا موارد دیگر
خواص مشخص شده مواد فرآوری شده یا
محصولات، و همچنین برای تعیین قابل قبول است
انحراف از حالت های پردازش (مشکلات بهینه سازی
فرآیندها و پارامترهای دستگاه).
استقرایی.
درخواست کنید
برای
توضیحات
معادلات ریاضی سینتیک، استاتیک یا
پویایی فرآیند با استفاده از فرضیه های جدید یا
نظریه ها
28

طبقه بندی با استفاده از کنترل فرآیند

مدل‌های پیش‌بینی یا مدل‌های محاسباتی بدون کنترل.
هدف اصلی این مدل ها پیش بینی رفتار است
سیستم ها در زمان و مکان با دانستن حالت اولیه
و اطلاعاتی در مورد رفتار او در مرز. مثال ها - مدل ها
توزیع گرما، میدان الکتریکی، شیمیایی
سینتیک، هیدرودینامیک
مدل های بهینه سازی
– مدل های ثابت در سطح طراحی استفاده می شود
مختلف
تکنولوژیکی
سیستم ها
نمونه ها
‒
مسائل قطعی، تمام اطلاعات ورودی که در آن
کاملا قابل تعیین است
- غیر ثابت
مدل ها
استفاده می شود
در
سطح
طراحی، و عمدتا برای بهینه
مدیریت فرآیندهای مختلف - فن آوری،
اقتصادی و غیره در این مشکلات برخی از پارامترها هستند
ماهیت تصادفی یا حاوی عنصر عدم قطعیت است.
29 فرضیه.
مدل پدیدارشناختی
تقریب.
ساده سازی.
مدل اکتشافی
مقایسه.
آزمایش فکری
نمایش فرصت.
30

فرضیه

این مدل ها نشان دهنده یک آزمایش است
توصیف پدیده اگر چنین مدلی ساخته شود، پس
این بدان معناست که به طور موقت به عنوان حقیقت پذیرفته شده است
و می توانید روی مشکلات دیگر تمرکز کنید.
با این حال، این نمی تواند نقطه تحقیق باشد، اما
فقط یک مکث موقت: وضعیت مدل می تواند باشد
فقط موقت
مثال ها:
مدل منظومه شمسیبه گفته بطلمیوس
مدل کوپرنیک (بهسازی شده توسط کپلر).
مدل رادرفورد از اتم.
مدل بیگ بنگ.
و غیره
31

مدل پدیدارشناختی

این مدل دارای مکانیزمی برای توصیف پدیده است.
با این حال، این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست و نمی تواند باشد
توسط داده های موجود پشتیبانی می شود یا با آن سازگار نیست
نظریه های موجود و دانش انباشته شده در مورد شی.
بنابراین مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت موقتی دارند
تصمیمات نقش مدل در مطالعه ممکن است با
با گذشت زمان، ممکن است داده ها و نظریه های جدید اتفاق بیفتد
مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کرده و به ارتقاء می‌یابند
وضعیت فرضیه به همین ترتیب، دانش جدید می تواند به تدریج
با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول و آن‌ها در تضاد است
می توان به دومی منتقل کرد.
مثال ها:
مدل کالری.
مدل کوارک ذرات بنیادی.
و غیره
32

تقریب

یک تکنیک عمومی پذیرفته شده در مواردی که غیرممکن است
حتی معادلات را با استفاده از کامپیوتر حل کنید،
توصیف سیستم مورد مطالعه - استفاده
تقریب ها معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند.
یک مثال استاندارد قانون اهم است.
33

ساده سازی

در این مدل قطعاتی که هستند
می تواند تأثیر قابل توجهی داشته باشد و همیشه قابل کنترل نیست
نتیجه
مثال ها:
کاربرد مدل گاز ایده آلبه ناقص
معادله حالت واندروالس.
اکثر مدل های فیزیک حالت جامد
سیالات و فیزیک هسته ای مسیر از ریز توصیف به
ویژگی‌های اجسام (یا محیط‌ها) متشکل از تعداد زیادی
ذرات، بسیار طولانی بسیاری از آنها را باید دور انداخت
جزئیات
34

مدل اکتشافی

مدل اکتشافی فقط کیفی را حفظ می کند
ظاهری واقعیت دارد و پیش‌بینی می‌کند فقط «بر اساس
مرتبه بزرگی."
فرمول های ساده ای برای ضرایب می دهد
ویسکوزیته، انتشار، هدایت حرارتی، سازگار
با واقعیت به ترتیب بزرگی اما وقتی
ساختن یک فیزیک جدید فوراً کار نمی کند
مدلی که حداقل یک توصیف کیفی از شی ارائه می دهد.
یک مثال معمولی تقریب طول متوسط است
مسیر آزاد در نظریه جنبشی
35

مقایسه

این
مدل
برای اولین بار
بوجود آمد
چه زمانی
برهمکنش در سیستم نوترون پروتون آزمایش شد
از طریق تعامل یک اتم توضیح دهید
هیدروژن با یک پروتون این قیاس منجر به
نتیجه گیری که باید تبادل وجود داشته باشد
نیروهای برهمکنش بین نوترون و پروتون،
ناشی از انتقال یک الکترون بین دو
پروتون ها
36

آزمایش فکری و نمایش امکان

یک آزمایش فکری استدلال است
که در نهایت منجر به تناقض می شود.
نشان دادن امکان نیز ذهنی است
آزمایشات
با
خیالی
نهادها
نشان دادن
چی
فرض می شود
پدیده
سازگار با اصول اساسیو در داخل
سازگار یکی از معروف ترین اینها
آزمایشات - هندسه لوباچفسکی.
37

نتیجه گیری و نتیجه گیری

مفهوم یک مدل ریاضی در نظر گرفته شده است.
یک مدل ریاضی تعمیم یافته مورد مطالعه قرار گرفته است.
مفاهیم تعریف شده است: غیر خطی بودن مدل های ریاضی و درجه
مطابقت بین مدل ریاضی و شی
طبقه بندی مدل های ریاضی ارائه شده است.
38 سامارسکی، A.A. مدلسازی ریاضی / A.A. سامارا،
A.P. میخائیلوف - م.: علم. فیزمتلیت، 1997.
تاراسویچ، N.N. مدلسازی ریاضی و کامپیوتری
دوره مقدماتی / N.N. تاراسویچ. - M.: سرمقاله URSS، 2001.
مقدمه ای بر مدل سازی ریاضی: کتاب درسی. کمک هزینه / زیر
ویرایش شده توسط P.V. تروسوا. - م.: کتاب دانشگاه، آرم ها، 2007. -
440 صفحه