معادلات مثلثاتی کسینوس x برابر است با a. معادله cos x = a

می دانیم که مقادیر کسینوس در محدوده [-1; 1]، یعنی -1 ≤ cos α ≤ 1. بنابراین، اگر |a| > 1، پس معادله cos x = a ریشه ندارد. به عنوان مثال، معادله cos x = -1.5 ریشه ندارد.

بیایید چندین مشکل را در نظر بگیریم.

معادله cos x = 1/2 را حل کنید.

راه حل.

به یاد بیاورید که cos x آبسیسا یک نقطه روی یک دایره با شعاع برابر با 1 است که با چرخش نقطه P (1؛ 0) با زاویه x به دور مبدا به دست می آید.

آبسیسا 1/2 در دو نقطه دایره M 1 و M 2 قرار دارد. از آنجایی که 1/2 = cos π/3، می‌توانیم نقطه M 1 را از نقطه P (1؛ 0) با چرخش بر اساس زاویه x 1 = π/3 و همچنین با زوایای x = π/3 + 2πk بدست آوریم، که در آن k = +/-1، +/-2، …

نقطه M 2 از نقطه P (1؛ 0) با چرخش با یک زاویه x 2 = -π/3 و همچنین با زاویه -π/3 + 2πk به دست می آید که k = +/-1، +/-2 ،...

بنابراین، تمام ریشه های معادله cos x = 1/2 را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk،

دو فرمول ارائه شده را می توان در یکی ترکیب کرد:

x = +/-π/3 + 2πk، k € Z.

معادله cos x = -1/2 را حل کنید.

راه حل.

دو نقطه روی دایره M 1 و M 2 دارای ابسیسا برابر 1/2 – هستند. از آنجایی که -1/2 = cos 2π/3، پس زاویه x 1 = 2π/3، و بنابراین زاویه x 2 = -2π/3.

در نتیجه، تمام ریشه های معادله cos x = -1/2 را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: x = +/-2π/3 + 2πk، k € Z.

بنابراین، هر یک از معادلات cos x = 1/2 و cos x = -1/2 دارای تعداد نامتناهی ریشه است. در بازه 0 ≤ x ≤ π، هر یک از این معادلات فقط یک ریشه دارد: x 1 = π/3 ریشه معادله cos x = 1/2 و x 1 = 2π/3 ریشه معادله cos است. x = -1/2.

عدد π/3 را آرکوزین عدد 1/2 می گویند و نوشته می شود: arccos 1/2 = π/3 و عدد 2π/3 را آرکوزین عدد (-1/2) می گویند و نوشته می شود. : arccos (-1/2) = 2π/3 .

به طور کلی، معادله cos x = a، که در آن -1 ≤ a ≤ 1، تنها یک ریشه در بازه 0 ≤ x ≤ π دارد. اگر a ≥ 0 باشد، آنگاه ریشه در بازه موجود است. اگر الف< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

بنابراین، کسینوس قوس عدد a € [-1; 1 ] یک عدد a € است که کسینوس آن برابر با a است:

arccos а = α، اگر cos α = а و 0 ≤ а ≤ π (1).

به عنوان مثال، arccos √3/2 = π/6، زیرا cos π/6 = √3/2 و 0 ≤ π/6 ≤ π.
arccos (-√3/2) = 5π/6، زیرا cos 5π/6 = -√3/2 و 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

همانطور که در فرآیند حل مسائل 1 و 2 انجام شد، می توان نشان داد که تمام ریشه های معادله cos x = a، که در آن |a| ≤ 1، با فرمول بیان می شود

x = +/-arccos a + 2 πn، n € Z (2).

معادله cos x = 0.75- را حل کنید.

راه حل.

با استفاده از فرمول (2) x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn، n € Z را پیدا می کنیم.

مقدار arcos (-0.75) را می توان با اندازه گیری زاویه با استفاده از نقاله تقریباً در شکل پیدا کرد. مقادیر تقریبی کسینوس قوس را می توان با استفاده از جداول ویژه (جدول Bradis) یا یک ریزمحاسبه نیز یافت. به عنوان مثال، مقدار arccos (-0.75) را می توان در یک ریزمحاسبه محاسبه کرد تا مقدار تقریبی 2.4188583 را بدست آورد. بنابراین، arccos (-0.75) ≈ 2.42. بنابراین، آرکوس (-0.75) ≈ 139 درجه است.

پاسخ: arccos (-0.75) ≈ 139 درجه.

معادله (4cos x – 1) (2cos 2x + 1) = 0 را حل کنید.

راه حل.

1) 4cos x – 1 = 0، cos x = 1/4، x = +/-arcos 1/4 + 2 πn، n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0، cos 2x = -1/2، 2x = +/-2π/3 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn، n € Z.

پاسخ دهید. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn.

می توان ثابت کرد که برای هر یک € [-1; 1] فرمول arccos (-а) = π – arccos а (3) معتبر است.

این فرمول به شما امکان می دهد تا مقادیر کسینوس قوس اعداد منفی را از طریق مقادیر کسینوس قوس اعداد مثبت بیان کنید. به عنوان مثال:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

از فرمول (2) نتیجه می شود که ریشه های معادله، cos x = a برای a = 0، a = 1 و a = -1 را می توان با استفاده از فرمول های ساده تر پیدا کرد:

cos x = 0 x = π/2 + πn، n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn، n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn، n € Z (6).

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

ساده ترین معادلات مثلثاتی معادلات هستند

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) =a

معادله cos(x) = a

توضیح و دلیل

ریشه های معادله cosx = a. وقتی | یک | > 1 معادله ریشه ندارد، زیرا | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 یا در یک< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

اجازه دهید | یک |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. در بازه، تابع y = cos x از 1 به -1 کاهش می یابد. اما یک تابع کاهشی هر یک از مقادیر خود را فقط در یک نقطه از دامنه تعریف خود می گیرد، بنابراین معادله cos x = a تنها یک ریشه در این بازه دارد که طبق تعریف آرکوزین برابر است با: x 1 = arccos a (و برای این ریشه cos x = A).

کسینوس - حتی عملکردبنابراین، در بازه [-n; 0] معادله cos x = و همچنین فقط یک ریشه دارد - عدد مقابل x 1، یعنی

x 2 = -arccos a.

بنابراین، در بازه [-n; p] (طول 2p) معادله cos x = a با | یک |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

تابع y = cos x تناوبی با دوره 2n است، بنابراین همه ریشه های دیگر با ریشه های موجود در 2n (n € Z) تفاوت دارند. فرمول زیر را برای ریشه های معادله cos x = a when بدست می آوریم

x = ±arccos a + 2pp، n £ Z.

موارد خاص حل معادله cosx = a.

یادآوری نمادهای ویژه برای ریشه های معادله cos x = a when مفید است

a = 0، a = -1، a = 1، که به راحتی می توان با استفاده از دایره واحد به عنوان مرجع به دست آورد.

از آنجایی که کسینوس برابر با آبسیسا نقطه متناظر دایره واحد است، اگر و فقط اگر نقطه متناظر دایره نقطه A یا نقطه B باشد، cos x = 0 را بدست می آوریم.

به طور مشابه، cos x = 1 اگر و فقط اگر نقطه متناظر دایره واحد نقطه C باشد، بنابراین،

x = 2ππ، k € Z.

همچنین cos x = -1 اگر و تنها اگر نقطه متناظر دایره نقطه D باشد، بنابراین x = n + 2n،

معادله sin(x) = a

توضیح و دلیل

ریشه های معادله sinx = a. وقتی | یک | > 1 معادله ریشه ندارد، زیرا | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 یا در یک< -1 не пересекает график функции y = sinx).

در یک نقطه متمرکز شده است الف.
α - زاویه بیان شده در رادیان.

تعریف
سینوس (sin α)تابع مثلثاتی بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق است مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول ضلع مقابل |BC| به طول هیپوتنوز |AC|.

کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.

نمادهای پذیرفته شده

;
;
.

نمودار تابع سینوس، y = sin x

نمودار تابع کسینوس، y = cos x

خواص سینوس و کسینوس

دوره ای

توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.

	y= گناه x	y= cos x
دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
در حال افزایش است
نزولی
ماکسیما، y = 1
حداقل، y = - 1
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	y= 0	y= 1

فرمول های پایه

مجموع مجذورات سینوس و کسینوس

فرمول های سینوس و کسینوس از مجموع و تفاوت

;
;

فرمول های حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

بیان سینوس از طریق کسینوس

;
;
;
.

بیان کسینوس از طریق سینوس

;
;
;
.

بیان از طریق مماس

; .

وقتی، داریم:
; .

در:
; .

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

استخراج فرمول ها > > >

مشتقات مرتبه n:

سکانت، متقاطعبه سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

آرکسین، آرکسین

آرکوزین، آرکوس

ادبیات مورد استفاده:
I.N. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

می توانید سفارش دهید راه حل دقیقوظیفه شما!!!

تساوی حاوی مجهول زیر علامت تابع مثلثاتی(«sin x، cos x، tan x» یا «ctg x») یک معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات «sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a» نامیده می شوند، جایی که «x» زاویه ای است که باید پیدا شود، «a» هر عددی است. اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کوتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
«cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

"a sin x+b cos x=0" ( معادله همگندرجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

«tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
«tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

«tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \in Z»،
«tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ دهید. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

"sin x=0"، "x=\pi n"، "n \in Z".
«1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، "n \ در Z".

پاسخ دهید. `x=2\pi n`، `n \in Z`، `x=\pi /2+2\pi n`، `n \in Z`.

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون دولتی یکپارچه وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول ها را به خاطر بسپارید. معادلات مثلثاتی- آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

نوع درس:تنظیم یک کار یادگیری

اهداف درس:

آموزشی: نظام‌بندی دانش دانش‌آموزان در مورد روش‌های حل معادلات مثلثاتی ساده، تثبیت مهارت‌های کار با دایره و جدول.

رشدی: ادامه کار بر روی شکل گیری توانایی های فکری خلاق دانش آموزان با استفاده از تکنیک های مختلف برای حل معادلات مثلثاتی.

آموزشی: توسعه مهارت های فعالیت ذهنی جمعی، حمایت متقابل و پذیرش دیدگاهی متفاوت از دیدگاه خود.

پیشرفت درس

1. موقعیت موفقیت.

حل معادله: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.

2. موقعیت، شکاف» بین علم و جهل.

معادله را حل کنید: cosx=½; cosx=a.

بحث.

3. بیانیه تکلیف آموزشی.

چگونه یک معادله از این نوع را حل کنیم؟

1) ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد که با چرخش نقطه (1;0) به دور مبدا با زاویه ای برابر با: به دست می آید چقدر است؟

2). چه چیزی برابر است با: ?

پاسخ:

3) چه چیزی برابر است با: .

پاسخ:

;

;

(1) .

سخنان معلم: ریاضیدانان کلمات معکوس cos را "کلمه arccosine (arccos) نامیدند. کسینوس قوسی عددی است که کسینوس آن برابر با a باشد:
arccosa=α، اگر cosα=a و 0≤α≤π.

4). برابری (1) را با استفاده از نماد arccos بنویسید.

5). معادلات: cosx=½، cosx=α را حل کنید.

پاسخ: x=arccos½، x=arccosa.

6). زوایای چرخش نقطه (1;0) دایره واحد دارای آبسیسا برابر ½ را نام ببرید.

پاسخ: ابسیسا برابر ½ است که نقطه با زاویه ای برابر با π/3 و -π/3 بچرخد.

یعنی cosx=½ در x=±arccos½
cosx=a در x=±arccosa.

7). ابسیساهای نقاطی که با چرخش نقطه (1;0) بر اساس زاویه به دست می آیند چقدر هستند: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

پاسخ: آبسیسا ½ و cosx=½ در x=±arccos½+2πn است.
cosx=a در x=±arccosa+2πn،.

8). نتیجه گیری: معادله cosx=a

1) ریشه دارد اگر ≤1،
2) ریشه ندارد اگر > 1 باشد.

9). خلاصه درس:

الف) برابری arccosa = α برای کدام مقادیر a و α معنی دارد؟
ب) کسینوس قوس a نامیده می شود؟
ج) معادله cosx=a در چه مقادیری ریشه دارد؟
د) فرمول یافتن ریشه های معادله cosx=a.