همه عملکردهای یکنواخت ویژگی های تابع

پنهان کردن نمایش

روش های تعیین یک تابع

اجازه دهید تابع با فرمول داده شود: y=2x^(2)-3. با اختصاص دادن هر مقدار به متغیر مستقل x، می توانید با استفاده از این فرمول، مقادیر مربوط به متغیر وابسته y را محاسبه کنید. به عنوان مثال، اگر x=-0.5، پس با استفاده از فرمول، متوجه می‌شویم که مقدار مربوط به y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 است.

با گرفتن هر مقداری که توسط آرگومان x در فرمول y=2x^(2)-3 گرفته می شود، می توانید تنها یک مقدار از تابع مربوط به آن را محاسبه کنید. تابع را می توان به صورت جدول نشان داد:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

با استفاده از این جدول، می توانید ببینید که برای مقدار آرگومان -1 مقدار تابع -3 مطابقت دارد. و مقدار x=2 با y=0 و غیره مطابقت دارد. همچنین مهم است که بدانید هر مقدار آرگومان در جدول تنها با یک مقدار تابع مطابقت دارد.

توابع بیشتری را می توان با استفاده از نمودارها مشخص کرد. با استفاده از یک نمودار مشخص می شود که کدام مقدار تابع با مقدار خاصی x ارتباط دارد. اغلب، این مقدار تقریبی تابع خواهد بود.

تابع زوج و فرد

تابع است حتی عملکرد، زمانی که f(-x)=f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی در مورد محور Oy متقارن خواهد بود.

تابع است تابع فرد، زمانی که f(-x)=-f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی نسبت به مبدا O متقارن خواهد بود (0;0).

تابع است نه حتی, نه عجیب و غریبو نامیده می شود تابع نمای کلی ، زمانی که در مورد محور یا مبدا تقارن نداشته باشد.

اجازه دهید تابع زیر را برای برابری بررسی کنیم:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) با دامنه تعریف متقارن نسبت به مبدا. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

این بدان معناست که تابع f(x)=3x^(3)-7x^(7) فرد است.

تابع دوره ای

تابع y=f(x) که در حوزه آن برابری f(x+T)=f(x-T)=f(x) برای هر x برقرار است، نامیده می شود. تابع دوره ایبا دوره T \neq 0 .

تکرار نمودار یک تابع در هر بخش از محور x که طول T دارد.

فواصل زمانی که تابع مثبت است، یعنی f(x) > 0، بخش هایی از محور آبسیسا هستند که با نقاط نمودار تابعی که بالای محور آبسیسا قرار دارند مطابقت دارند.

f(x) > 0 روشن است (x_(1)؛ x_(2) \ cup (x_(3); +\infty)

فواصل زمانی که تابع منفی است، یعنی f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ cup (x_(2); x_(3))

عملکرد محدود

از پایین محدود شده استزمانی که یک عدد A وجود دارد که نابرابری f(x) \geq A برای هر x \در X وجود دارد، مرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را فراخوانی کنیم.

مثالی از یک تابع محدود شده از زیر: y=\sqrt(1+x^(2)) زیرا y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 برای هر x.

از بالا محدود شده استیک تابع y=f(x)، x \in X زمانی فراخوانی می‌شود که یک عدد B وجود داشته باشد که نابرابری f(x) \neq B برای هر x \در X وجود دارد.

مثالی از تابعی که در زیر محدود شده است: y=\sqrt(1-x^(2))، x \in [-1;1]از آنجایی که y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 برای هر x \in [-1;1] .

محدودمرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را زمانی که یک عدد K > 0 وجود دارد که نابرابری \left | f(x)\right | \neq K برای هر x \در X.

مثالی از یک تابع محدود: y=\sin x در کل محور اعداد محدود است، زیرا \ چپ | \sin x \راست | \neq 1.

عملکرد افزایش و کاهش

مرسوم است که از تابعی صحبت کنیم که در بازه مورد نظر به عنوان افزایش می یابد افزایش عملکردسپس، زمانی که مقدار بزرگتر x با مقدار بزرگتری از تابع y=f(x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه از آرگومان x_(1) و x_(2) از بازه مورد نظر، با x_(1) > x_(2)، نتیجه y(x_(1)) خواهد شد. y (x_(2)).

تابعی که در بازه مورد نظر کاهش می یابد نامیده می شود عملکرد کاهشیوقتی مقدار بزرگتر x با مقدار کوچکتر تابع y (x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه آرگومان x_(1) و x_(2) از بازه مورد بررسی، با x_(1) > x_(2)، نتیجه y(x_(1)) خواهد بود.< y(x_{2}) .

ریشه های تابعمرسوم است که نقاطی را که تابع F=y(x) محور آبسیسا را ​​قطع می کند نامیده می شود (آنها با حل معادله y(x)=0 به دست می آیند).

الف) اگر برای x > 0 یک تابع زوج افزایش یابد، آنگاه برای x کاهش می یابد< 0

ب) وقتی یک تابع زوج در x > 0 کاهش می یابد، آنگاه در x افزایش می یابد< 0

ج) هنگامی که یک تابع فرد در x > 0 افزایش می یابد، آنگاه در x نیز افزایش می یابد< 0

د) وقتی یک تابع فرد برای x > 0 کاهش می یابد، آنگاه برای x نیز کاهش می یابد< 0

افراطی عملکرد

حداقل نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) > f خواهد بود. راضی (x_(0)) . y_(min) - تعیین تابع در نقطه min.

حداکثر نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) برآورده می شود.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

پیش نیاز

طبق قضیه فرما: f"(x)=0 زمانی که تابع f(x) که در نقطه x_(0) قابل تفکیک است در این نقطه یک انتها داشته باشد.

شرایط کافی

1. هنگامی که مشتق علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، آنگاه x_(0) حداقل نقطه خواهد بود.
2. x_(0) - تنها زمانی یک نقطه حداکثر خواهد بود که مشتق هنگام عبور از نقطه ثابت x_(0) علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهد.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه

مراحل محاسبه:

1. مشتق f"(x) جستجو می شود.
2. ثابت و نقاط بحرانیتوابع را انتخاب کنید و آنهایی که به بخش تعلق دارند را انتخاب کنید.
3. مقادیر تابع f(x) در نقاط ثابت و بحرانی و انتهای قطعه یافت می شود. کوچکتر از نتایج به دست آمده خواهد بود کوچکترین مقدار تابع، و بیشتر - بزرگترین.

وابستگی متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد تابع نامیده می شود. برای تعیین از علامت y=f(x) استفاده کنید. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است.

نگاهی دقیق تر به ویژگی برابری بیندازید.

یک تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند:

2. مقدار تابع در نقطه x، متعلق به حوزه تعریف تابع، باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x باید برابری زیر از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = f(-x).

نمودار یک تابع زوج

اگر نموداری از یک تابع زوج را رسم کنید، نسبت به محور Oy متقارن خواهد بود.

برای مثال تابع y=x^2 زوج است. بیایید آن را بررسی کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=3 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. بنابراین f(x) = f(-x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نمودار تابع y=x^2 آمده است.

شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است.

نمودار یک تابع فرد

تابع y=f(x) اگر دو شرط زیر را داشته باشد فرد نامیده می شود:

1. دامنه تعریف یک تابع معین باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تعریف تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تعریف تعلق داشته باشد. از تابع داده شده

2. برای هر نقطه x، برابری زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = -f(x).

نمودار یک تابع فرد با توجه به نقطه O - مبدأ مختصات متقارن است. برای مثال، تابع y=x^3 فرد است. بیایید آن را بررسی کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=2 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. بنابراین f(x) = -f(x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نمودار تابع y=x^3 آمده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y=x^3 نسبت به مبدا متقارن است.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• مفهوم برابری و غریبی یک تابع را تشکیل می دهد، توانایی تعیین و استفاده از این ویژگی ها را آموزش می دهد تحقیق عملکرد، نقشه کشیدن
• توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، تفکر منطقی، توانایی مقایسه و تعمیم.
• پرورش کار سخت و فرهنگ ریاضی؛ توسعه مهارت های ارتباطی .

تجهیزات:نصب چند رسانه ای، تخته سفید تعاملی، جزوات.

اشکال کار:جبهه ای و گروهی با عناصر جستجو و فعالیت های تحقیقاتی.

منابع اطلاعاتی:

1. جبر نهم کلاس A.G. Mordkovich. کتاب درسی.
2. جبر کلاس نهم A.G. Mordkovich. کتاب مسائل.
3. جبر پایه نهم. وظایف برای یادگیری و توسعه دانش آموزان. بلنکوا ای.یو. لبدینتسوا E.A.

پیشرفت درس

1. لحظه سازمانی

تعیین اهداف و مقاصد برای درس.

2. بررسی تکالیف

شماره 10.17 (کتاب مسائل پایه نهم. A.G. Mordkovich).

الف) در = f(X), f(X) =

ب) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

ج) 1. د( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 در X ~ 0,4
4. f(X) > 0 در X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. تابع با افزایش می یابد X € [– 2; + ∞)
6. عملکرد از زیر محدود شده است.
7. در naim = – 3، درنایب وجود ندارد
8. تابع پیوسته است.

(آیا از الگوریتم کاوش تابع استفاده کرده اید؟) اسلاید.

2. بیایید جدولی را که از اسلاید از شما خواسته شده است بررسی کنیم.

جدول را پر کنید
	حوزه تعریف	تابع صفرها	فواصل پایداری علامت		مختصات نقاط تقاطع نمودار با Oy
		x = -5، x = 2	x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ∞ -5، x ≠ 2		x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ≠ -5، x ≠ 2		x € (–∞؛ –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. به روز رسانی دانش

- توابع داده شده است.
– محدوده تعریف را برای هر تابع مشخص کنید.
– مقدار هر تابع را برای هر جفت از مقادیر آرگومان مقایسه کنید: 1 و – 1. 2 و - 2.
- برای کدام یک از این کارکردها در حوزه تعریف، برابری ها برقرار است f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (داده های به دست آمده را در جدول وارد کنید) اسلاید

		f(1) و f(– 1)	f(2) و f(– 2)	گرافیک	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		و تعریف نشده است

4. مواد جدید

- در حین انجام این کار، بچه ها، ما ویژگی دیگری از تابع را شناسایی کردیم که برای شما ناآشنا بود، اما از بقیه مهمتر نبود - این یکنواختی و عجیب بودن تابع است. موضوع درس را بنویسید: "توابع زوج و فرد"، وظیفه ما این است که یاد بگیریم یکنواختی و عجیب بودن یک تابع را تعیین کنیم، تا اهمیت این ویژگی را در مطالعه توابع و رسم نمودارها بیابیم.
پس بیایید تعاریف کتاب درسی را پیدا کنیم و بخوانیم (ص 110) . اسلاید

Def. 1تابع در = f (X، تعریف شده در مجموعه X نامیده می شود حتی، اگر برای هر مقدار XЄ X اجرا می شود برابری f(–x)= f(x). مثال بزنید.

Def. 2تابع y = f(x)تعریف شده بر روی مجموعه X نامیده می شود عجیب و غریب، اگر برای هر مقدار XЄ X برابری f(–х)= –f(х) برقرار است. مثال بزنید.

اصطلاحات زوج و فرد را کجا دیدیم؟
به نظر شما کدام یک از این توابع زوج خواهد بود؟ چرا؟ کدام یک عجیب هستند؟ چرا؟
برای هر عملکردی از فرم در= x n، کجا n- یک عدد صحیح، می توان استدلال کرد که تابع زمانی که فرد است n- فرد و تابع زمانی است که زوج باشد n- حتی
- مشاهده توابع در= و در = 2X- 3 نه زوج هستند و نه فرد، زیرا برابری ها ارضا نمی شود f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

مطالعه زوج یا فرد بودن یک تابع را مطالعه برابری یک تابع می نامند.اسلاید

در تعاریف 1 و 2 ما در مورد مقادیر تابع در x و - x صحبت کردیم، بنابراین فرض می شود که تابع نیز در مقدار تعریف شده است. X، و در - X.

Def 3.اگر مجموعه شمارههمراه با هر یک از عناصر خود x نیز حاوی عنصر مقابل –x و سپس مجموعه است Xمجموعه متقارن نامیده می شود.

مثال ها:

(–2;2)، [–5;5]; (∞;∞) مجموعه‌های متقارن هستند و [–5;4] نامتقارن هستند.

- آیا توابع حتی دامنه تعریفی دارند که یک مجموعه متقارن است؟ عجیب و غریب؟
- اگر D( f) یک مجموعه نامتقارن است، پس تابع چیست؟
– بنابراین، اگر تابع در = f(X) – زوج یا فرد، پس دامنه تعریف آن D( f) یک مجموعه متقارن است. آیا عبارت معکوس درست است: اگر دامنه تعریف یک تابع یک مجموعه متقارن باشد، زوج است یا فرد؟
- به این معنی که وجود یک مجموعه متقارن از حوزه تعریف شرط لازم است، اما کافی نیست.
- پس چگونه یک تابع را برای برابری مطالعه کنیم؟ بیایید سعی کنیم یک الگوریتم ایجاد کنیم.

اسلاید

الگوریتم مطالعه تابع برای برابری

1. تعیین کنید که دامنه تعریف تابع متقارن است یا خیر. اگر نه، پس تابع نه زوج است و نه فرد. اگر بله، به مرحله 2 الگوریتم بروید.

2. یک عبارت برای f(–X).

3. مقایسه کنید f(–Xو f(X):

• اگر f(–X).= f(X، سپس تابع زوج است.
• اگر f(–X).= – f(X، سپس تابع فرد است.
• اگر f(–X) ≠ f(X) و f(–X) ≠ –f(X، سپس تابع نه زوج است و نه فرد.

مثال ها:

تابع a) را برای برابری بررسی کنید در= x 5 +; ب) در= V) در= .

راه حل.

الف) h(x) = x 5 +،

1) D(h) = (–∞؛ 0) U (0؛ +∞)، مجموعه متقارن.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)،

3) h(– x) = – h (x) => تابع h(x)= x 5 + فرد.

ب) y =،

در = f(X)، D(f) = (–∞؛ –9)؟ (-9؛ +∞)، یک مجموعه نامتقارن، به این معنی که تابع نه زوج است و نه فرد.

V) f(X) =، y = f (x)،

1) د( f) = (–∞؛ 3] ≠ ؛ ب) (∞؛ –2)، (–4؛ 4]؟

گزینه 2

1. آیا مجموعه داده شده متقارن است: a) [–2;2]; ب) (∞؛ 0]، (0؛ 7) ?

الف)؛ ب) y = x (5 – x 2). 2. تابع برابری را بررسی کنید:

الف) y = x 2 (2x - x 3)، ب) y =

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(X) برای همه X، ارضای شرط X? 0.
نمودار تابع در = f(X)، اگر در = f(X) یک تابع زوج است.

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(X، برای همه x که شرط x را برآورده می کنند؟ 0.
نمودار تابع در = f(X)، اگر در = f(X) یک تابع فرد است.

بررسی متقابل اسلاید

6. تکالیف: №11.11, 11.21,11.22;

اثبات معنای هندسی خاصیت برابری.

***(تخصیص گزینه آزمون یکپارچه دولتی).

1. تابع فرد y = f(x) در کل خط اعداد تعریف شده است. برای هر مقدار غیر منفی متغیر x، مقدار این تابع با مقدار تابع g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). مقدار تابع h ( X) = در X = 3.

7. جمع بندی

مطالعه عملکرد.

1) D(y) – دامنه تعریف: مجموعه تمام آن مقادیر متغیر x. که برای آن عبارات جبری f(x) و g(x) معنی دارند.

اگر تابعی با فرمول داده شود، دامنه تعریف شامل تمام مقادیر متغیر مستقلی است که فرمول برای آن معنا دارد.

2) ویژگی های تابع: زوج/فرد، تناوب:

عجیب و غریبو حتیتوابعی نامیده می شوند که نمودارهای آنها با توجه به تغییرات علامت آرگومان متقارن باشد.

تابع فرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل (متقارن نسبت به مرکز مختصات) مقدار را به عکس تغییر می دهد.

حتی عملکرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل، مقدار خود را تغییر نمی‌دهد (متقارن نسبت به مقدار).

نه تابع زوج و نه فرد (عملکرد عمومی)- تابعی که تقارن ندارد. این دسته شامل توابعی است که در 2 دسته قبلی قرار نمی گیرند.

توابعی که به هیچ یک از دسته های بالا تعلق ندارند نامیده می شوند نه زوج و نه فرد(یا توابع عمومی).

توابع فرد

توان فرد که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

حتی توابع

حتی قدرت که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

تابع دوره ای- تابعی که مقادیر خود را پس از یک بازه زمانی آرگومان منظم تکرار می کند، یعنی با اضافه کردن تعداد ثابت غیر صفر به آرگومان، مقدار خود را تغییر نمی دهد. دورهتوابع) در کل دامنه تعریف.

3) صفر (ریشه) یک تابع نقاطی هستند که در آن ها صفر می شود.

پیدا کردن نقطه تلاقی نمودار با محور اوه. برای این کار باید مقدار را محاسبه کنید f(0). همچنین نقاط تلاقی نمودار با محور را پیدا کنید گاو نر، چرا ریشه های معادله را پیدا کنید f(x) = 0 (یا مطمئن شوید که ریشه وجود ندارد).

نقاطی که نمودار محور را قطع می کند نامیده می شوند تابع صفر. برای پیدا کردن صفرهای یک تابع باید معادله را حل کنید، یعنی پیدا کنید آن معانی "x"، که در آن تابع صفر می شود.

4) فواصل ثبات علائم، نشانه ها در آنها.

بازه هایی که تابع f(x) علامت را حفظ می کند.

فاصله پایداری علامت فاصله است در هر نقطه از آنتابع مثبت یا منفی است.

بالای محور x.

زیر محور.

5) تداوم (نقاط انقطاع، ماهیت ناپیوستگی، مجانب).

عملکرد پیوسته- یک تابع بدون "پرش"، یعنی تابعی که در آن تغییرات کوچک در آرگومان منجر به تغییرات کوچک در مقدار تابع می شود.

نقاط شکست قابل جابجایی

اگر حد تابع وجود دارد، اما تابع در این نقطه تعریف نشده است، یا حد با مقدار تابع در این نقطه منطبق نیست:

,

سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه شکست قابل جابجاییتوابع (در تحلیل پیچیده، یک نقطه منفرد قابل جابجایی).

اگر تابع را در نقطه ناپیوستگی قابل جابجایی "تصحیح" کنیم و قرار دهیم ، سپس تابعی دریافت می کنیم که در یک نقطه معین پیوسته است. چنین عملیاتی بر روی یک تابع نامیده می شود گسترش تابع به پیوستهیا تعریف مجدد تابع بر اساس پیوستگی، که نام نقطه را به عنوان یک نقطه توجیه می کند قابل جابجاییپارگی

نقاط ناپیوستگی نوع اول و دوم

اگر تابعی در یک نقطه معین ناپیوستگی داشته باشد (یعنی حد تابع در یک نقطه مشخص وجود نداشته باشد یا با مقدار تابع در یک نقطه مشخص منطبق نباشد)، برای توابع عددی دو گزینه ممکن وجود دارد. مرتبط با وجود توابع عددی محدودیت های یک طرفه:

اگر هر دو حد یک طرفه وجود داشته باشند و محدود باشند، چنین نقطه ای نامیده می شود نقطه ناپیوستگی از نوع اول.

نقاط ناپیوستگی قابل جابجایی نقاط ناپیوستگی از نوع اول هستند. اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه وجود نداشته باشد یا یک مقدار محدود نباشد، چنین نقطه ای نامیده می شود..

نقطه ناپیوستگی نوع دوم - مجانبمستقیم ، که این خاصیت را دارد که فاصله یک نقطه از منحنی تا اینمستقیم

عمودی

مجانب عمودی - خط حد .

به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به این منظور انجام می‌شود تا مشخص شود که تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از جهات مختلف چگونه رفتار می‌کند. به عنوان مثال:

افقی

مجانب افقی - مجانبگونه ها، مشروط به وجود محدود کردن

.

مایل

مجانب مایل - مجانبگونه ها، مشروط به وجود محدودیت ها

نکته: یک تابع نمی تواند بیش از دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد.

نکته: اگر حداقل یکی از دو حد ذکر شده در بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد.

اگر در مورد 2.)، سپس، و حد با استفاده از فرمول مجانب افقی پیدا می شود، .

6) یافتن فواصل یکنواختیبازه های یکنواختی یک تابع را بیابید f(x)(یعنی فواصل افزایش و کاهش). این کار با بررسی علامت مشتق انجام می شود f(x). برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید f(x) و نابرابری را حل کنید f(x) 0. در فواصل زمانی که این نابرابری برقرار است، تابع f(x) افزایش می دهد. جایی که نابرابری معکوس برقرار است f(x)0، تابع f(x) در حال کاهش است.

یافتن یک اکستریم موضعیبا یافتن فواصل یکنواختی، می‌توانیم فوراً نقاط انتهایی محلی را تعیین کنیم که در آن افزایش با کاهش جایگزین می‌شود، حداکثرهای محلی قرار دارند و جایی که کاهش با افزایش جایگزین می‌شود، حداقل‌های محلی قرار دارند. مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید. اگر یک تابع دارای نقاط بحرانی است که نقاط اکستروم محلی نیستند، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است.

پیدا کردن بزرگترین و پایین ترین مقادیرتوابع y = f(x) در بازه(ادامه)

1. مشتق تابع را پیدا کنید: f(x). 2. نقاطی را که مشتق در آنها صفر است پیدا کنید: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. وابستگی نقاط را تعیین کنید X 1 ,X 2 , … بخش [ الف; ب]: اجازه دهید x 1الف;ب، A x 2الف;ب . 4. مقادیر تابع را در نقاط انتخاب شده و در انتهای بخش پیدا کنید: f(x 1), f(x 2),..., f(x الف),f(x ب), 5. انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع از میان مقادیر یافت شده. نظر دهید. اگر در بخش [ الف; ب] نقاط ناپیوستگی وجود دارد، پس باید حدود یک طرفه را در آنها محاسبه کرد و سپس در انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع، مقادیر آنها را در نظر گرفت.

7) یافتن فواصل تحدب و تقعر. این کار با بررسی علامت مشتق دوم انجام می شود f(x). نقاط عطف را در محل اتصال فواصل محدب و مقعر پیدا کنید. مقدار تابع را در نقاط عطف محاسبه کنید. اگر تابعی دارای نقاط پیوستگی دیگری باشد (به جز نقاط عطف) که در آن مشتق دوم 0 است یا وجود ندارد، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است. پیدا کردن f(x)، نابرابری را حل می کنیم f(x) 0. در هر یک از بازه های حل تابع به سمت پایین محدب خواهد بود. حل نابرابری معکوس f(x)0، بازه هایی را می یابیم که تابع به سمت بالا محدب است (یعنی مقعر). ما نقاط عطف را به عنوان نقاطی تعریف می کنیم که در آن تابع جهت تحدب را تغییر می دهد (و پیوسته است).

نقطه عطف یک تابع- این نقطه ای است که تابع پیوسته است و هنگام عبور از آن تابع جهت تحدب را تغییر می دهد.

شرایط وجود

شرط لازم برای وجود نقطه عطف:اگر تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه دو بار متمایز شود، سپس یا .

. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گراف استفاده کنید. هر تعداد از مقادیر متغیر مستقل را انتخاب کنید x (\displaystyle x)و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته را محاسبه کنید y (\displaystyle y). مختصات یافت شده نقاط را رسم کنید هواپیمای مختصاتو سپس این نقاط را وصل کنید تا تابع را نمودار کنید.

• موارد مثبت را در تابع جایگزین کنید مقادیر عددی x (\displaystyle x)و مقادیر عددی منفی مربوطه. به عنوان مثال، با توجه به تابع f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). مقادیر زیر را جایگزین آن کنید x (\displaystyle x):

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور Y متقارن است یا خیر.تقارن به معنای تصویر آینه‌ای از نمودار نسبت به مختصات است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور Y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با قسمت نمودار سمت چپ محور Y (مقادیر منفی متغیر مستقل) یکسان باشد. ) نمودار نسبت به محور Y متقارن است اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد، تابع زوج است.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر.مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدا به این معنی است که یک مقدار مثبت است y (\displaystyle y)(با ارزش مثبت x (\displaystyle x)) مربوط به یک مقدار منفی است y (\displaystyle y)(با مقدار منفی x (\displaystyle x)) و بالعکس. توابع فرددر مورد منشا تقارن دارند.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر.آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی هم نسبت به محور ارتین و هم نسبت به مبدا تصویر آینه ای وجود ندارد. به عنوان مثال، با توجه به تابع .

• چندین مقدار مثبت و منفی متناظر را در تابع جایگزین کنید x (\displaystyle x):
• با توجه به نتایج به دست آمده، هیچ تقارنی وجود ندارد. ارزش ها y (\displaystyle y)برای مقادیر مخالف x (\displaystyle x)منطبق نیستند و مخالف نیستند. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد.
• لطفا توجه داشته باشید که تابع f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)می توان اینگونه نوشت: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). وقتی به این شکل نوشته می شود، تابع حتی به دلیل وجود یک توان زوج ظاهر می شود. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد، نمی توان نوع تابع را به سرعت تعیین کرد. در این مورد، باید براکت ها را باز کنید و توان های به دست آمده را تجزیه و تحلیل کنید.