تمایز توابع. تمایز توابع دیفرانسیل های مرتبه های مختلف

محتویات مقاله

مشتق- مشتق تابع y = f(x، در یک بازه زمانی مشخص داده می شود ( الف, ب) در نقطه xبه این فاصله حدی گفته می شود که نسبت افزایش تابع به آن میل می کند fدر این مرحله به افزایش متناظر آرگومان هنگامی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند.

مشتق معمولاً به صورت زیر نشان داده می شود:

نامگذاری های دیگر نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند:

سرعت لحظه ای

بگذارید نکته مدر یک خط مستقیم حرکت می کند فاصله سنقطه متحرک، از یک موقعیت اولیه شمارش می شود م 0 ، بستگی به زمان دارد تی، یعنی ستابع زمان وجود دارد تی: س= f(تی). اجازه دهید در یک نقطه از زمان تینقطه متحرک مدر فاصله ای بود ساز موقعیت شروع م 0 و در لحظه ای دیگر تی+دی تیخود را در موقعیتی یافت م 1 - در فاصله س+دی ساز موقعیت اولیه ( عکس را ببینید.).

بنابراین، در یک دوره زمانی D تیفاصله سبه مقدار D تغییر کرد س. در این مورد آنها می گویند که در طول دوره زمانی D تیبزرگی سافزایش D را دریافت کرد س.

سرعت متوسط در همه موارد نمی تواند به طور دقیق سرعت حرکت یک نقطه را مشخص کند مدر نقطه ای از زمان تی. اگر مثلاً بدن در ابتدای بازه D تیبسیار سریع و در پایان بسیار آهسته حرکت کرد، آنگاه سرعت متوسط نمی‌تواند ویژگی‌های مشخص شده حرکت نقطه را منعکس کند و تصوری از سرعت واقعی حرکت آن در لحظه ارائه دهد. تی. برای بیان دقیق تر سرعت واقعی با استفاده از سرعت متوسط، باید مدت زمان کوتاهتری را در نظر بگیرید تی. به طور کامل سرعت حرکت یک نقطه را در لحظه مشخص می کند تیحدی که سرعت متوسط به D میل می کند تی® 0. این حد را سرعت جاری می نامند:

بنابراین، سرعت حرکت در یک لحظه معین، حد نسبت افزایش مسیر D نامیده می شود سبه افزایش زمان D تی، زمانی که افزایش زمان به صفر میل می کند. چون

معنای هندسی مشتق. مماس بر نمودار یک تابع.

ساخت خطوط مماس یکی از آن مشکلاتی است که منجر به تولد حساب دیفرانسیل شد. اولین اثر منتشر شده مربوط به حساب دیفرانسیل که توسط لایب نیتس نوشته شده بود، عنوان شد روش جدید ماکزیمم و کمینه و همچنین مماس که نه کمیت کسری و نه غیرمنطقی مانعی برای آن نیست و نوع خاصی از حساب برای این کار.

بگذارید منحنی نمودار تابع باشد y =f(x) در یک سیستم مختصات مستطیلی ( سانتی متر. برنج.).

به مقداری xعملکرد مهم است y =f(x). این ارزش ها xو yنقطه روی منحنی مطابقت دارد م 0(x, y). اگر استدلال xدادن افزایش D x، سپس مقدار جدید آرگومان x+دی xبا مقدار تابع جدید مطابقت دارد y+ D y = f(x + D x). نقطه متناظر منحنی نقطه خواهد بود م 1(x+دی x,y+دی y). اگر سکانت بکشید م 0م 1 و با j نشان داده می شود زاویه ای که توسط یک عرضی با جهت مثبت محور تشکیل می شود گاو نر، بلافاصله از شکل مشخص است که .

اگر الان دی xبه سمت صفر میل می کند، سپس نقطه م 1 در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود م 0 و زاویه j با D تغییر می کند x. در Dx® 0 زاویه j به حد معینی a و خط مستقیمی که از نقطه عبور می کند میل می کند م 0 و جزء با جهت مثبت محور x، زاویه a، مماس مورد نظر خواهد بود. شیب آن عبارت است از:

از این رو، f´( x) = tga

آن ها ارزش مشتق f´( x) برای یک مقدار آرگومان داده شده xبرابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس بر نمودار تابع است f(x) در نقطه مربوطه م 0(x,y) با جهت محور مثبت گاو نر.

تمایز توابع

تعریف. اگر تابع y = f(x) در نقطه مشتق دارد x = x 0، سپس تابع در این نقطه قابل تفکیک است.

تداوم تابعی که مشتق دارد. قضیه.

اگر تابع y = f(x) در نقطه ای قابل تمایز است x = x 0، سپس در این نقطه پیوسته است.

بنابراین، تابع نمی تواند در نقاط ناپیوستگی مشتق داشته باشد. نتیجه مخالف نادرست است، یعنی. از این واقعیت که در مقطعی x = xعملکرد 0 y = f(x) پیوسته بودن به این معنی نیست که در این نقطه قابل تمایز است. به عنوان مثال، تابع y = |x| مستمر برای همه x(–Ґ x x = 0 هیچ مشتقی ندارد. در این مرحله هیچ مماس بر نمودار وجود ندارد. یک مماس راست و یک چپ وجود دارد، اما آنها بر هم منطبق نیستند.

چند قضیه در مورد توابع متمایز قضیه بر ریشه های مشتق (قضیه رول).اگر تابع f(x) روی قطعه پیوسته است [الف,ب]، در تمام نقاط داخلی این قطعه و در انتها قابل تمایز است x = الفو x = ببه صفر می رسد ( f(الف) = f(ب) = 0)، سپس در داخل بخش [ الف,ب] حداقل یک نکته وجود دارد x= با, الفج ب، که در آن مشتق fў( x) به صفر می رسد، یعنی. fў( ج) = 0.

قضیه افزایش محدود (قضیه لاگرانژ).اگر تابع f(x) در بازه [ الف, ب] و در تمام نقاط داخلی این بخش، سپس در داخل قطعه [ الف, ب] حداقل یک نکته وجود دارد با, الفج ب که

f(ب) – f(الف) = fў( ج)(ب– الف).

قضیه نسبت افزایش دو تابع (قضیه کوشی).اگر f(x) و g(x) – دو تابع پیوسته روی قطعه [الف, ب] و قابل تمایز در تمام نقاط داخلی این بخش، و gў( x) در هیچ جای این بخش ناپدید نمی شود، سپس در داخل قطعه [ الف, ب] چنین نکته ای وجود دارد x = با, الفج ب که

مشتقات سفارشات مختلف.

اجازه دهید تابع y =f(x) در برخی بازه ها قابل تمایز است [ الف, ب]. مقادیر مشتق f ў( x)، به طور کلی، بستگی به x، یعنی مشتق f ў( x) نیز تابعی از x. هنگام تمایز این تابع، به اصطلاح مشتق دوم تابع را به دست می آوریم f(x) که نشان داده می شود f ўў ( x).

مشتق n-ترتیب کارکرد f(x) مشتق ( مرتبه اول) مشتق نامیده می شود n- 1- th و با نماد نشان داده می شود y(n) = (y(n– 1)) •.

دیفرانسیل سفارشات مختلف

دیفرانسیل عملکرد y = f(x، کجا x– متغیر مستقل، بله دو = f ў( x)dx, برخی از عملکرد از x, اما از xتنها عامل اول می تواند بستگی داشته باشد f ў( xعامل دوم ( dx) افزایش متغیر مستقل است xو به مقدار این متغیر بستگی ندارد. چون دویک تابع از وجود دارد x، سپس می توانیم دیفرانسیل این تابع را تعیین کنیم. دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم این تابع می نامند و نشان می دهند. د 2y:

د(dx) = د 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

دیفرانسیل n-از مرتبه اول اولین دیفرانسیل دیفرانسیل نامیده می شود n- 1- مرتبه:

d n y = د(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

مشتق جزئی.

اگر یک تابع نه به یک، بلکه به چندین آرگومان وابسته باشد x i(مناز 1 تا n,من= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n، سپس در حساب دیفرانسیل مفهوم مشتق جزئی معرفی می شود که سرعت تغییر یک تابع از چندین متغیر را هنگامی که فقط یک آرگومان تغییر می کند مشخص می کند، به عنوان مثال، x i. مشتق جزئی مرتبه 1 با توجه به x iبه عنوان یک مشتق معمولی تعریف می شود و فرض بر این است که همه آرگومان ها به جز x i، مقادیر را ثابت نگه دارید. برای مشتقات جزئی، نماد معرفی شده است

مشتقات جزئی مرتبه اول که به این ترتیب تعریف می شوند (به عنوان توابع همان آرگومان ها) به نوبه خود می توانند مشتقات جزئی نیز داشته باشند، این مشتقات جزئی مرتبه دوم و غیره هستند. چنین مشتقاتی که از استدلال های مختلف گرفته شده اند، مختلط نامیده می شوند. مشتقات مخلوط پیوسته از یک مرتبه به ترتیب تمایز بستگی ندارند و با یکدیگر برابر هستند.

آنا چوگاینووا

مشتق توابعدر یک نقطه حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نامیده می شود، مشروط بر اینکه به سمت صفر گرایش داشته باشد.

قوانین اساسی برای یافتن مشتق

اگر - و - توابع قابل تمایز در نقطه هستند (یعنی توابعی که مشتقاتی در نقطه دارند)، پس:

4) .

جدول مشتقات توابع پایه

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

قاعده تمایز تابع پیچیده. اگر و، یعنی ، کجا و مشتقات داشته باشید، سپس

تمایز یک تابع مشخص شده به صورت پارامتری. اجازه دهید وابستگی یک متغیر به یک متغیر به صورت پارامتریک با استفاده از پارامتر مشخص شود:

وظیفه 3. مشتقات این توابع را بیابید.

راه حل. با اعمال قانون 2 برای یافتن مشتقات و فرمول های 1 و 2 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

راه حل.با اعمال قانون 4 برای یافتن مشتقات و فرمول های 1 و 13 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

راه حل.با اعمال قانون 3 برای یافتن مشتقات و فرمول های 5 و 11 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

راه حل.با فرض اینکه، با توجه به فرمول برای یافتن مشتق یک تابع مختلط، به دست می آوریم:

راه حل. داریم: سپس با توجه به فرمول یافتن مشتق تابعی که به صورت پارامتریک مشخص شده است، به دست می آوریم:

4. مشتقات مرتبه بالاتر. قانون L'Hopital.

مشتق مرتبه دوم تابعرا مشتق مشتق آن می گویند، یعنی. . نمادهای زیر برای مشتق دوم استفاده می شود: یا , یا .

مشتق مرتبه اول تابعمشتق مشتق مرتبه هفتم آن نامیده می شود. برای مشتق مرتبه هفتم، از نمادهای زیر استفاده می شود: یا، یا .

قانون L'Hopital.اجازه دهید توابع و در همسایگی نقطه متمایز شوند و مشتق ناپدید نمی شود. اگر توابع و به طور همزمان یا بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ در هستند، و حدی از نسبت در وجود دارد، پس محدودیتی برای نسبت در نیز وجود دارد. علاوه بر این

این قانون همچنین زمانی اعمال می شود که .

توجه داشته باشید که در برخی موارد، افشای عدم قطعیت هایی از نوع یا ممکن است مستلزم اعمال مکرر قانون L'Hopital باشد.

عدم قطعیت های نوع و غیره با کمک تبدیل های ابتدایی می توان آنها را به راحتی به عدم قطعیت های شکل یا .

وظیفه 4. با استفاده از قانون L'Hopital حد را پیدا کنید.

راه حلدر اینجا ما عدم قطعیت فرم را داریم، زیرا در . بیایید قانون L'Hopital را اعمال کنیم:

پس از اعمال قانون L'Hopital، ما دوباره عدم قطعیت فرم را به دست آوردیم، زیرا در . با اعمال مجدد قانون L'Hopital، دریافت می کنیم:

5. مطالعه عملکرد

الف) توابع افزایش و کاهش

تابع فراخوانی می شود افزایش می یابددر بخش ، اگر برای هر نقطه و از بخش ، جایی که ، نابرابری برقرار است. اگر تابعی در یک بازه و برای یک پیوسته باشد، در بازه افزایش می یابد.

تابع فراخوانی می شود در حال کاهش استدر بخش ، اگر برای هر نقطه و از بخش ، جایی که ، نابرابری برقرار است. اگر تابعی در یک بازه و برای یک پیوسته باشد، در بازه کاهش می یابد.

اگر تابعی در یک بازه معین فقط در حال افزایش یا کاهش باشد، آنگاه فراخوانی می شود یکنواختدر فاصله

ب) افراطی توابع

حداقل امتیازتوابع .

اگر یک -همسایگی نقطه وجود دارد به طوری که برای تمام نقاط این همسایگی نابرابری برقرار است، آنگاه نقطه فراخوانی می شود حداکثر امتیازتوابع .

نقاط حداکثر و حداقل یک تابع را آن می نامند نقاط افراطی

نقطه نامیده می شود نقطه ثابت،اگر وجود داشته باشد یا نباشد.

اگر یک همسایگی یک نقطه ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای و برای، آنگاه حداکثر نقطه تابع است.

اگر یک همسایگی یک نقطه ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای و برای، آنگاه نقطه -مینیمم تابع است.

الف) جهت محدب. نقاط عطف

محدبدر فاصله , اگر زیر مماس رسم شده بر نمودار تابع در هر نقطه از این بازه قرار گیرد.

شرط کافی برای تحدب رو به بالا نمودار یک تابع در یک بازه، تحقق نابرابری برای هر یک از بازه های در نظر گرفته شده است.

نمودار یک تابع متمایز نامیده می شود محدب به پاییندر فاصله , اگر بالای مماس رسم شده بر نمودار تابع در هر نقطه از این بازه قرار گیرد.

شرط کافی برای تحدب رو به پایین نمودار یک تابع در یک بازه، تحقق نابرابری برای هر یک از بازه های در نظر گرفته شده است.

به نقطه ای که جهت تحدب نمودار یک تابع تغییر می کند گفته می شود نقطه عطف

نقطه ای که وجود ندارد یا وجود ندارد، در صورتی که علائم سمت چپ و راست آن متفاوت باشد، ابسیسا نقطه عطف است.

د) مجانب

اگر فاصله یک نقطه از نمودار یک تابع تا یک خط مستقیم خاص با دور شدن بی‌نهایت نقطه از مبدأ به صفر برسد، خط مستقیم نامیده می‌شود. مجانبی از نمودار تابع.

اگر عددی وجود داشته باشد که , آنگاه خط است مجانب عمودی

اگر محدودیت هایی وجود دارد ، سپس خط است مجانبی مورب (افقی در k=0).

ه) مطالعه کلی عملکرد

1. دامنه تابع

2. نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات

3. مطالعه تابع برای تداوم، زوج/فرد و تناوب

4. فواصل یکنواختی یک تابع

5. نقاط افراطی تابع

6. فواصل تحدب و نقاط عطف یک نمودار تابع

7. مجانب نمودار یک تابع

8. نمودار تابع.

وظیفه 5. تابع را کاوش کرده و نمودار آن را بسازید.

راه حل. 1) تابع در کل خط عددی تعریف می شود به جز نقطه ای که مخرج کسر به صفر می رسد. . داریم: به دامنه تعریف این تابع تعلق ندارد. در نتیجه، نقاط ثابت این تابع، نقاطی هستند که حداقل مقدار را دارند (همانطور که در شکل نشان داده شده است).

8) با استفاده از داده های به دست آمده، بیایید یک نمودار از تابع اصلی بسازیم: