فرمول برای تمام نمودارهای توابع. چگونه نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ تابع توان با توان مثبت فرد

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دانش آموزان مدرسه در همان ابتدای مطالعه جبر با وظیفه ساختن نمودار یک تابع مواجه می شوند و سال به سال به ساخت آن ادامه می دهند. از نمودار یک تابع خطی، که برای آن فقط دو نقطه را باید بدانید، شروع کنید تا سهمی که قبلاً به 6 نقطه، یک هذلولی و یک موج سینوسی نیاز دارد. هر سال توابع پیچیده‌تر می‌شوند و دیگر نمی‌توان نمودارهای آن‌ها را با استفاده از یک الگو ساخت.

بیایید بفهمیم که چگونه نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ برای انجام این کار، بیایید با بیشتر شروع کنیم توابع سادهکه نمودارهای آن نقطه به نقطه ساخته می شود و سپس طرحی برای ساخت بیشتر در نظر خواهیم گرفت توابع پیچیده.

ترسیم یک تابع خطی

برای ساخت ساده ترین نمودارها، از جدول مقادیر تابع استفاده کنید. نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. بیایید سعی کنیم نقاط نمودار تابع y=4x+5 را پیدا کنیم.

1. برای انجام این کار، بیایید دو مقدار دلخواه از متغیر x بگیریم، آنها را یکی یکی در تابع جایگزین کنیم، مقدار متغیر y را پیدا کنیم و همه چیز را در جدول وارد کنیم.
2. مقدار x=0 را بگیرید و آن را به جای x - 0 در تابع قرار دهید. می‌گیریم: y=4*0+5، یعنی y=5، این مقدار را در جدول زیر 0 بنویسید. به همین ترتیب، x= را بگیرید. 0، y=4*1+5، y=9 را دریافت می کنیم.
3. حال برای ساختن نموداری از تابع، باید آن را بر روی آن رسم کنید هواپیمای مختصاتاین نکات سپس باید یک خط مستقیم بکشید.

نمودار یک تابع درجه دوم

تابع درجه دوم تابعی به شکل y=ax 2 +bx +c است که x یک متغیر است، a,b,c اعداد هستند (a برابر با 0 نیست). به عنوان مثال: y=x 2، y=x 2 +5، y=(x-3) 2، y=2x 2 +3x+5.

برای ساخت ساده ترین تابع درجه دوم y=x 2 معمولاً 5-7 امتیاز گرفته می شود. بیایید مقادیر متغیر x را در نظر بگیریم: -2، -1، 0، 1، 2 و مقادیر y را به همان روشی که هنگام ساخت اولین نمودار پیدا می کنیم، پیدا می کنیم.

نمودار تابع درجه دوم سهمی نامیده می شود. پس از ساخت نمودار توابع، دانش آموزان وظایف جدیدی در رابطه با نمودار دارند.

مثال 1: اگر مختصات y=x 2 باشد، ابسیسا را ​​پیدا کنید این معادله x=3 و x=-3. این را می توان در نمودار تابع نیز مشاهده کرد.

تحقیق در مورد یک تابع و ترسیم آن

برای رسم نمودارهای توابع پیچیده تر، لازم است چندین مرحله با هدف مطالعه آن انجام شود. برای انجام این کار شما نیاز دارید:

1. دامنه تعریف تابع را پیدا کنید. دامنه تعریف تمام مقادیری است که متغیر x می تواند بگیرد. آن نقاطی که در آن مخرج 0 می شود یا عبارت رادیکال منفی می شود باید از حوزه تعریف حذف شوند.
2. زوج یا فرد بودن تابع را تنظیم کنید. به یاد بیاورید که یک تابع زوج تابعی است که شرط f(-x)=f(x) را داشته باشد. نمودار آن نسبت به Oy متقارن است. اگر تابعی با شرط f(-x)=-f(x) باشد فرد خواهد بود. در این حالت، نمودار نسبت به مبدا متقارن است.
3. نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا کنید. برای یافتن آبسیسا نقطه تقاطع با محور Ox باید معادله f(x) = 0 را حل کرد (مرتب برابر با 0 است). برای یافتن مختصات نقطه تقاطع با محور Oy، باید به جای متغیر x عدد 0 را جایگزین تابع کرد (آبسیسا 0 است).
4. مجانب تابع را پیدا کنید. Asyptote خط مستقیمی است که نمودار به طور نامحدود به آن نزدیک می شود، اما هرگز از آن عبور نمی کند. بیایید بفهمیم که چگونه مجانب نمودار یک تابع را پیدا کنیم.
   • مجانب عمودی خط راست x=a
   • مجانب افقی - خط مستقیم y=a
   • مجانب مایل - خط مستقیم به شکل y=kx+b
5. نقاط انتهایی تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع را بیابید. بیایید نقاط انتهایی تابع را پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید اولین مشتق را پیدا کنید و آن را با 0 برابر کنید. در این نقاط است که تابع می تواند از افزایش به کاهش تغییر کند. اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم. اگر مشتق مثبت باشد، نمودار تابع افزایش می یابد، اگر منفی باشد، کاهش می یابد.
6. نقاط عطف نمودار تابع، فواصل تحدب رو به بالا و پایین را بیابید.

یافتن نقاط عطف اکنون ساده تر از همیشه است. فقط باید مشتق دوم را پیدا کنید، سپس آن را با صفر برابر کنید. بعد علامت مشتق دوم را در هر بازه پیدا می کنیم. اگر مثبت باشد، نمودار تابع به سمت پایین محدب است، اگر منفی باشد، به سمت بالا محدب است.

دانش اصلی توابع ابتدایی، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جداول ضرب نیست. آنها مانند پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله ما تمام توابع ابتدایی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و بدون نتیجه گیری یا اثبات ارائه می دهیم ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار یک تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط ناپیوستگی یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به مقاله تحدب یک تابع، جهت تحدب، نقاط عطف، شرایط تحدب و خمش مراجعه کنید).
• مجانب مورب و افقی؛
• نقاط منفرد توابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه nام، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول تعریف می شود که در آن C مقداری واقعی است. یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار C مرتبط می کند. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات (0,C) می گذرد. به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و را نشان خواهیم داد که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از عدد مفرد C.
• یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات می گذرد.

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیریم که با فرمول n - عدد طبیعی، بزرگتر از یک

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج از توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، در اینجا تصویری با تصاویر نمودارهای تابع آورده شده است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشه n برای زوج n.

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه n با یک توان ریشه فرد n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

برای سایر مقادیر فرد از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع ریشه n برای فرد n.

عملکرد قدرت.

عملکرد قدرتبا فرمولی از فرم داده می شود.

بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای نماهای مثبت زوج، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را اولاً برای a از صفر تا یک، ثانیاً برای بزرگتر از یک، ثالثا، برای a از منهای یک به صفر، چهارم، برای کمتر از منهای یک در نظر می گیریم.

در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح خواهیم داد.

تابع توان با توان مثبت فرد.

بیایید یک تابع توان با نما مثبت فرد، یعنی با a = 1،3،5،.... در نظر بگیریم.

در شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز نشان داده شده است. برای a=1 داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های یک تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

بیایید یک تابع توان با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a = 2،4،6،....

به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. برای a=2 یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان نگاه کنید، یعنی برای = -1، -3، -5، ....

شکل نمودارهای توابع قدرت را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی حتی.

بیایید به تابع توان برای a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه کن!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی مجموعه را حوزه های تعریف توابع توان با توان های مثبت کسری در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

اجازه دهید تابع توانی با توان منطقی یا غیرمنطقی a و را در نظر بگیریم.

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

اجازه دهید تابع توانی را با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه دهیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

>

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص تابع توان در .

تابع توان با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه کن!اگر a کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. . مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های تعریف توابع توان با نماهای منفی کسری کسری را به ترتیب یک مجموعه در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

بیایید به تابع قدرت، kgod برویم.

برای داشتن یک ایده خوب از شکل نمودارهای توابع قدرت برای، مثال هایی از نمودار توابع ارائه می دهیم. (منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

ویژگی های تابع توان با توان a، .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیر صحیح کمتر از منهای یک.

هنگامی که a = 0، یک تابع داریم - این یک خط مستقیم است که از آن نقطه (0;1) حذف می شود (توافق شد که به عبارت 0 0 اهمیتی داده نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی اصلی تابع نمایی است.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a اشکال متفاوتی دارد. بیایید این را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی از صفر تا یک مقدار بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهایی از تابع نمایی را برای a = 1/2 – خط آبی، a = 5/6 – خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

اجازه دهید به موردی برویم که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد، یعنی .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای سایر مقادیر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

تابع ابتدایی بعدی تابع لگاریتمی است، که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

برنامه ریزی کنید تابع لگاریتمیبسته به مقدار پایه a اشکال مختلفی دارد.

مختصات مطلقاً هر نقطه از صفحه با دو کمیت آن تعیین می شود: در امتداد محور آبسیسا و محور ارتین. مجموعه بسیاری از چنین نقاطی نمودار تابع را نشان می دهد. با توجه به تغییر مقدار X می توانید مقدار Y را مشاهده کنید.

دستورالعمل ها

• اگر نمودار آن یک خط مستقیم باشد، در مورد تابعی چه می توان گفت؟ ببینید آیا این خط از نقطه مبدا مختصات می گذرد (یعنی جایی که مقادیر X و Y برابر با 0 هستند). اگر بگذرد، چنین تابعی با معادله y = kx توصیف می شود. به راحتی می توان فهمید که هر چه مقدار k بیشتر باشد، این خط مستقیم به محور ارتین نزدیکتر خواهد بود. و خود محور Y در واقع با مقدار بی نهایت بزرگ k مطابقت دارد.
• به جهت تابع نگاه کنید. اگر از "از پایین چپ به سمت راست بالا"، یعنی از ربع مختصات 3 و 1 عبور کند، در حال افزایش است، اما اگر "از سمت چپ بالا به پایین سمت راست" (از ربع دوم و چهارم) برود، آنگاه در حال کاهش است.
• وقتی خطی از مبدأ عبور نمی کند، با معادله y = kx + b توصیف می شود. خط مستقیم محور y را در نقطه ای که y = b قطع می کند و مقدار y می تواند مثبت یا منفی باشد.
• اگر تابعی با معادله y = x^n توصیف شود سهمی نامیده می شود و شکل آن به مقدار n بستگی دارد. اگر n هر عدد زوج باشد (ساده ترین حالت این است تابع درجه دوم y = x^2)، نمودار تابع منحنی است که از نقطه مبدا و همچنین از نقاطی با مختصات (1;1)، (-1;1) عبور می کند، زیرا یک واحد به هر توانی باقی می ماند. واحد همه مقادیر y مربوط به هر مقدار X غیر صفر فقط می توانند مثبت باشند. تابع نسبت به محور Y متقارن است و نمودار آن در ربع مختصات 1 و 2 قرار دارد. به راحتی می توان فهمید که هر چه مقدار n بزرگتر باشد، نمودار به محور Y نزدیکتر خواهد بود.
• اگر n عددی فرد باشد، نمودار این تابع یک سهمی مکعبی است. منحنی در ربع مختصات 1 و 3 قرار دارد، در مورد محور Y متقارن است و از مبدا مختصات و همچنین از نقاط (-1;-1)، (1;1) عبور می کند. وقتی تابع درجه دوم معادله y = ax^2 + bx + c باشد، شکل سهمی مانند ساده ترین حالت (y = x^2) است، اما راس آن در مبدا نیست.
• اگر تابعی با معادله y = k/x توصیف شود، هذلولی نامیده می شود. شما به راحتی می توانید ببینید که با تمایل مقدار x به 0، مقدار y تا بی نهایت افزایش می یابد. نمودار یک تابع منحنی است که از دو شاخه تشکیل شده و در یک چهارم مختصات مختلف قرار دارد.