Որտեղ է ընկնում բարձրությունը ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ:

Արվեստ

• Երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս օգտակար է հետևել նման ալգորիթմին. Խնդրի պայմանները կարդալիս անհրաժեշտ է
• Կատարեք նկարչություն: Գծանկարը պետք է հնարավորինս համապատասխանի խնդրի պայմաններին, ուստի նրա հիմնական խնդիրն է օգնել գտնել լուծումը
• Խնդրի դրույթից ստացված բոլոր տվյալները դրեք գծագրի վրա Գրեք ամեն ինչերկրաչափական հասկացություններ
• , որոնք հայտնվում են խնդրի մեջ
• Հիշեք բոլոր այն թեորեմները, որոնք վերաբերում են այս հասկացություններին Նկարի վրա նկարիր տարրերի միջև եղած բոլոր հարաբերություններըերկրաչափական պատկեր

, որոնք բխում են այս թեորեմներից

Օրինակ, եթե խնդիրը պարունակում է եռանկյան անկյան կիսադիր բառերը, դուք պետք է հիշեք կիսադիրի սահմանումը և հատկությունները և գծագրում նշեք հավասար կամ համաչափ հատվածներ և անկյուններ:

Այս հոդվածում դուք կգտնեք եռանկյունու հիմնական հատկությունները, որոնք դուք պետք է իմանաք խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար:

ԵՌԱՆԿՅՈՒՆ.

1. ,

Եռանկյունի մակերեսը.

2. ,

այստեղ - եռանկյունու կամայական կողմը, - բարձրությունն իջեցվել է այս կողմ:

3. այստեղ և եռանկյան կամայական կողմերն են, և այս կողմերի միջև եղած անկյունն է.

Հերոնի բանաձևը.

4. ,

Ահա եռանկյան կողմերի երկարությունները, եռանկյան կիսաշրջագիծն է,

ահա եռանկյան կիսաշրջագիծը և ներգծված շրջանագծի շառավիղն է։

Թող լինեն շոշափող հատվածների երկարությունները:

5.

6. ,

Այնուհետև Հերոնի բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

այստեղ - եռանկյան կողմերի երկարությունները, - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Եթե ​​եռանկյան կողմում վերցված է մի կետ, որը բաժանում է այս կողմը m:n հարաբերությամբ, ապա այս կետը հակառակ անկյան գագաթի հետ կապող հատվածը եռանկյունը բաժանում է երկու եռանկյունների, որոնց մակերեսները հարաբերությամբ են. m: n:

Նմանատիպ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն։

Եռանկյան միջն

Սա մի հատված է, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի կեսին:Եռանկյան միջինները

հատվում են մի կետում և բաժանվում են հատման կետի վրա 2:1 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով գագաթից:

Կանոնավոր եռանկյան միջնագծերի հատման կետը միջնագիծը բաժանում է երկու հատվածի, որոնցից փոքրը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղին, իսկ մեծը հավասար է շրջագծված շրջանագծի շառավղին։

Շրջագծված շրջանագծի շառավիղը երկու անգամ մեծ է ներգծված շրջանագծի շառավղից՝ R=2rՄիջին երկարությունը

,

կամայական եռանկյունի

այստեղ - դեպի կողմը գծված միջինը - եռանկյունու կողմերի երկարությունները:

Եռանկյան կիսադիր

այստեղ - դեպի կողմը գծված միջինը - եռանկյունու կողմերի երկարությունները:կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ հատվածների.

Եռանկյան կիսադիրներհատվում են մի կետում, որը ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է:

Անկյան բիսեկտորի բոլոր կետերը հավասար են անկյան կողմերից:

Եռանկյունի բարձրությունը

Սա եռանկյան գագաթից հակառակ կողմն ընկած ուղղահայաց հատված է կամ դրա շարունակությունը: Բութ եռանկյան մեջ սուր անկյան գագաթից գծված բարձրությունը գտնվում է եռանկյունուց դուրս:

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է եռանկյան ուղղանկյուն:

Եռանկյան բարձրությունը գտնելու համարձգված դեպի կողմը, դուք պետք է գտնեք դրա տարածքը ցանկացած մատչելի ձևով, այնուհետև օգտագործեք բանաձևը.

Եռանկյան շրջանագծի կենտրոն, գտնվում է եռանկյան կողմերին գծված ուղղահայաց կիսորդների հատման կետում։

Եռանկյան շրջագծի շառավիղը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

Ահա եռանկյան կողմերի երկարությունները և եռանկյան մակերեսն է:

,

որտեղ է եռանկյան կողմի երկարությունը և հակառակ անկյունը: (Այս բանաձևը բխում է սինուսների թեորեմից):

Եռանկյունի անհավասարություն

Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմ փոքր է գումարից և մեծ է մյուս երկուսի տարբերությունից։

Ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ ավելի մեծ է, քան երրորդ կողմի երկարությունը.

Ավելի մեծ կողմի դիմաց ավելի մեծ անկյունն է. Ավելի մեծ անկյան դիմաց ավելի մեծ կողմն է.

Եթե ​​, ապա հակառակը։

Սինուսների թեորեմ.

Եռանկյան կողմերը համաչափ են հակառակ անկյունների սինուսներին.

Կոսինուսի թեորեմ.

Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, առանց այս կողմերի արտադրյալի երկու անգամ նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսի.

Ուղղանկյուն եռանկյուն

- Սա եռանկյուն է, որի անկյուններից մեկը 90° է։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։

Հիպոթենուսը այն կողմն է, որը գտնվում է 90° անկյան հակառակ կողմում: Հիպոթենուսը ամենաերկար կողմն է:

Պյութագորասի թեորեմ.

հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է

,

ահա ներգծված շրջանագծի շառավիղը, - ոտքերը, - հիպոթենուսը.

Ուղղանկյուն եռանկյան շրջանագծի կենտրոն ընկած է հիպոթենուսի մեջտեղում.

Հիպոթենուսի վրա գծված ուղղանկյուն եռանկյան միջինը, հավասար է հիպոթենուսի կեսին։

Ուղղանկյուն եռանկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումընայիր

Ուղղանկյուն եռանկյունու տարրերի հարաբերակցությունը.

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության քառակուսին, որը կազմված է գագաթից ճիշտ անկյուն, արտադրանքին հավասարոտքերի կանխատեսումները հիպոթենուսի վրա.

Ոտքի քառակուսին հավասար է հիպոթենուսի արտադրյալին և ոտքի ելքին հիպոթենուսի վրա.

Ոտքը պառկած է անկյունի հակառակ կողմում հավասար է հիպոթենուզի կեսին.

Isosceles եռանկյունի.

Հիմքի վրա գծված հավասարաչափ եռանկյան կիսաչափը միջինն է և բարձրությունը:

Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են:

Գագաթային անկյուն:

Եվ - կողմերը,

Եվ - անկյունները հիմքում:

Բարձրությունը, բիսեկտորը և միջինը:

Ուշադրություն.Կողքի վրա գծված բարձրությունը, կիսանկյունը և միջինը չեն համընկնում:

Կանոնավոր եռանկյուն

(կամ հավասարակողմ եռանկյուն ) եռանկյուն է, որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են միմյանց։

Կանոնավոր եռանկյունու տարածքհավասար է

որտեղ է եռանկյան կողմի երկարությունը:

Կանոնավոր եռանկյունու մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոն, համընկնում է կանոնավոր եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնի հետ և գտնվում է միջնորների հատման կետում։

Կանոնավոր եռանկյան միջինների հատման կետըմիջնագիծը բաժանում է երկու հատվածի, որոնցից փոքրը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղին, իսկ մեծը հավասար է շրջագծված շրջանագծի շառավղին։

Եթե ​​հավասարաչափ եռանկյան անկյուններից մեկը 60° է, ապա եռանկյունը կանոնավոր է։

Եռանկյան միջին գիծ

Սա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է:

Նկարում DE - միջին գիծ ABC եռանկյունին.

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է երրորդ կողմին և հավասար է նրա կեսին՝ DE||AC, AC=2DE:

Եռանկյան արտաքին անկյուն

Սա եռանկյան ցանկացած անկյան հարակից անկյունն է:

Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու անկյունների գումարին:

Արտաքին անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

1 . Եթե ​​մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և մեկ այլ եռանկյունու նրանց միջև եղած անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

2 . Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և երկու կից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և երկու հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

3 Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

Կարևոր է.քանի որ ներս ուղղանկյուն եռանկյունՀայտնի է, որ երկու անկյունները հավասար են, ապա՝ համար երկու ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարությունպահանջվում է միայն երկու տարրերի հավասարություն՝ երկու կողմ, կամ կողմ և սուր անկյուն:

Եռանկյունների նմանության նշաններ.

1 . Եթե ​​մի եռանկյան երկու կողմերը համաչափ են մեկ այլ եռանկյան երկու կողմերին, և այդ կողմերի միջև անկյունները հավասար են, ապա այդ եռանկյունները նման են:

2 . Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համաչափ են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:

3 . Եթե ​​մի եռանկյան երկու անկյունները հավասար են մեկ այլ եռանկյան երկու անկյունների, ապա եռանկյունները նման են:

Կարևոր է.Նմանատիպ եռանկյուններում նմանատիպ կողմերը գտնվում են հակառակ հավասար անկյունների վրա:

Մենելաուսի թեորեմ

Թող ուղիղը հատի եռանկյունին, և այն կողմի հետ հատման կետն է, կողմի հետ հատման կետն է և կողմի շարունակության հետ հատման կետը: Հետո

Ուղղանկյուն եռանկյուն- սա եռանկյուն է, որի անկյուններից մեկը ուղիղ է, այսինքն, հավասար է 90 աստիճանի:

• Ուղղանկյունին հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս (նկարում նշված է որպես գկամ AB)
• Ուղղանկյունին հարող կողմը կոչվում է ոտք: Յուրաքանչյուր ուղղանկյուն եռանկյուն ունի երկու ոտք (նկարում դրանք նշված են որպես աև b կամ AC և BC)

Ուղղանկյուն եռանկյան բանաձևերը և հատկությունները

Բանաձևի նշանակումներ.

(տես նկարը վերևում)

ա, բ- ուղղանկյուն եռանկյունու ոտքեր

գ- հիպոթենուզա

α, β - եռանկյան սուր անկյուններ

Ս- քառակուսի

հ- ուղիղ անկյան գագաթից իջեցված բարձրություն մինչև հիպոթենուս

մ ա ահակառակ անկյունից ( α )

մ բ- միջին կողմը գծված է բհակառակ անկյունից ( β )

մ գ- միջին կողմը գծված է գհակառակ անկյունից ( γ )

IN ուղղանկյուն եռանկյուն ոտքերից որևէ մեկը պակաս է հիպոթենուսից(Ֆորմուլա 1 և 2): Այս հատկությունը Պյութագորասի թեորեմի հետևանք է։

Սուր անկյուններից որևէ մեկի կոսինուսըմեկից պակաս (Ֆորմուլա 3 և 4): Այս հատկությունը բխում է նախորդից: Քանի որ ցանկացած ոտք պակաս է հիպոթենուզայից, ոտքի և հիպոթենուզայի հարաբերակցությունը միշտ մեկից պակաս է:

Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին (Պյութագորասի թեորեմ): (Ֆորմուլա 5): Այս հատկությունը մշտապես օգտագործվում է խնդիրներ լուծելիս։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսըհավասար է ոտքերի արտադրյալի կեսին (Ֆորմուլա 6)

Քառակուսի միջինների գումարըմինչև ոտքերը հավասար է հիպոթենուսի միջնագծի հինգ քառակուսիների և հիպոթենուսի հինգ քառակուսիների՝ բաժանված չորսի (Բանաձև 7): Բացի վերը նշվածից, կա Եվս 5 բանաձև, հետևաբար, խորհուրդ է տրվում կարդալ նաև «Ուղղաձև եռանկյունի մեդիան» դասը, որն ավելի մանրամասն նկարագրում է միջնագծի հատկությունները։

ԲարձրությունՈւղղանկյուն եռանկյունը հավասար է ոտքերի արտադրյալին, որը բաժանվում է հիպոթենուսով (բանաձև 8)

Ոտքերի քառակուսիները հակադարձ համեմատական ​​են մինչև հիպոթենուս իջեցված բարձրության քառակուսին (Բանաձև 9): Այս ինքնությունը նույնպես Պյութագորասի թեորեմի հետևանքներից է։

Հիպոթենուզի երկարությունըհավասար է շրջագծված շրջանագծի տրամագծին (երկու շառավիղ) (Բանաձև 10): Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզա շրջանագծի տրամագիծն է. Այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է խնդիրների լուծման համար:

Գրված շառավիղՎ ուղղանկյուն եռանկյուն շրջանկարելի է գտնել որպես արտահայտության կեսը, ներառյալ այս եռանկյան ոտքերի գումարը՝ հանած հիպոթենուսի երկարությունը: Կամ որպես ոտքերի արտադրյալ՝ բաժանված տրված եռանկյան բոլոր կողմերի (պարագծի) գումարի վրա: (Ֆորմուլա 11)
Անկյունի սինուս առնչություն հակառակի հետայս անկյունը ոտքը դեպի հիպոթենուզիա(ըստ սինուսի սահմանման): (Ֆորմուլա 12): Այս հատկությունը օգտագործվում է խնդիրներ լուծելիս: Իմանալով կողմերի չափսերը՝ կարող եք գտնել նրանց կազմած անկյունը։

Ուղղանկյուն եռանկյան A անկյան կոսինուսը (α, ալֆա) հավասար կլինի վերաբերմունքը կիցայս անկյունը ոտքը դեպի հիպոթենուզ(ըստ սինուսի սահմանման): (Ֆորմուլա 13)

Գույք՝ 1.Ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունում աջ անկյունից վերցված բարձրությունը (հիպոթենուսով) ուղղանկյուն եռանկյունը բաժանում է երեք նմանատիպ եռանկյունների։

Գույք՝ 2.Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, իջեցված մինչև հիպոթենուսը, հավասար է հիպոթենուսի վրա ոտքերի ելքերի երկրաչափական միջինին (կամ այն ​​հատվածների երկրաչափական միջինին, որոնց բարձրությունը բաժանում է հիպոթենուսը):

Գույք՝ 3.Ոտքը հավասար է հիպոթենուսի երկրաչափական միջինին և այս ոտքի ելքին հիպոթենուսի վրա:

Գույք՝ 4. 30 աստիճանի անկյան հակառակ ոտքը հավասար է հիպոթենուսի կեսին:

Ֆորմուլա 1.

Ֆորմուլա 2., որտեղ է հիպոթենուսը; , ոտքեր.

Գույք՝ 5.Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ հիպոթենուսին գծված միջինը հավասար է դրա կեսին և հավասար է շրջագծված շրջանագծի շառավղին:

Հատկություն՝ 6. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների հարաբերությունը.

44. Կոսինուսների թեորեմ. Հետևություններ. զուգահեռագծի անկյունագծերի և կողմերի միջև կապը. եռանկյունու տեսակի որոշում; եռանկյան միջին երկարությունը հաշվարկելու բանաձև; Եռանկյան անկյան կոսինուսի հաշվարկ.

Աշխատանքի ավարտ -

Այս թեման պատկանում է բաժնին.

Դասարան. Հիմնական պլանաչափության կոլոկվիումային ծրագիր

Հարակից անկյունների հատկությունը.. երկու հարևան անկյունների սահմանումը, եթե նրանց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը ուղիղ գիծ են կազմում։

Եթե ​​պետք է լրացուցիչ նյութայս թեմայի վերաբերյալ, կամ չգտաք այն, ինչ փնտրում էիք, խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել որոնումը մեր աշխատանքների տվյալների բազայում.

Ի՞նչ ենք անելու ստացված նյութի հետ.

Եթե ​​այս նյութը օգտակար էր ձեզ համար, կարող եք այն պահել ձեր էջում սոցիալական ցանցերում.

Եռանկյուններ.

Հիմնական հասկացություններ.

Եռանկյուներեք հատվածներից և երեք կետերից բաղկացած պատկեր է, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա:

Հատվածները կոչվում են կուսակցություններ, իսկ կետերն են գագաթները.

Անկյունների գումարըեռանկյունը 180º է:

Եռանկյան բարձրությունը.

Եռանկյունի բարձրությունը- սա ուղղահայաց է, որը գծված է գագաթից դեպի հակառակ կողմը:

Սուր եռանկյունու դեպքում բարձրությունը պարունակվում է եռանկյան ներսում (նկ. 1):

Ուղղանկյուն եռանկյունում ոտքերը եռանկյան բարձրություններն են (նկ. 2):

Բութ եռանկյունում բարձրությունը տարածվում է եռանկյունուց դուրս (նկ. 3):

Եռանկյան բարձրության հատկությունները.

Եռանկյան կիսադիր:

այստեղ - դեպի կողմը գծված միջինը - եռանկյունու կողմերի երկարությունները:- սա մի հատված է, որը կիսում է գագաթի անկյունը կիսով չափ և միացնում է գագաթը հակառակ կողմի կետին (նկ. 5):

Բիսեկտորի հատկությունները.

Եռանկյան միջն.

Նմանատիպ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն։- սա գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատված է (նկ. 9ա):

Միջնագծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. 2բ 2 + 2գ 2 - ա 2 մ ա 2 = —————— 4 Որտեղ մ ա- միջին կողմը գծված է Ա. Ուղղանկյուն եռանկյունում, դեպի հիպոթենուս գծված միջինը հավասար է հիպոթենուզի կեսին. գ մ գ = — 2 Որտեղ մ գ- մեդիանը ձգված է դեպի հիպոթենուս գ(նկ.9գ) Եռանկյան միջնամասերը հատվում են մի կետում (եռանկյան զանգվածի կենտրոնում) և այս կետի վրա բաժանվում են 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով գագաթից։ Այսինքն՝ գագաթից դեպի կենտրոն հատվածը երկու անգամ ավելի մեծ է, քան կենտրոնից դեպի եռանկյան կողմ հատվածը (նկ. 9c): Եռանկյան երեք միջնամասերը այն բաժանում են վեց հավասար եռանկյունների։

Եռանկյան միջին գիծը.

Եռանկյան միջին գիծ- սա իր երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է (նկ. 10):

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է երրորդ կողմին և հավասար է կեսին

Եռանկյան արտաքին անկյուն.

Արտաքին անկյունեռանկյունը հավասար է երկու ոչ կից ներքին անկյունների գումարին (նկ. 11):

Եռանկյան արտաքին անկյունն ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոչ հարակից անկյուն:

Ուղղանկյուն եռանկյուն.

Ուղղանկյուն եռանկյունեռանկյուն է, որն ունի ուղիղ անկյուն (նկ. 12):

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմը կոչվում է ուղիղ անկյան դիմաց հիպոթենուզա.

Մյուս երկու կողմերը կոչվում են ոտքերը.

Համամասնական հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ:

1) Ուղղանկյուն եռանկյունում ուղղանկյունից գծված բարձրությունը կազմում է երեք նմանատիպ եռանկյունիներ՝ ABC, ACH և HCB (նկ. 14ա): Ըստ այդմ, բարձրությունից կազմված անկյունները հավասար են A և B անկյուններին։

Նկ.14ա

Isosceles եռանկյունի.

Isosceles եռանկյունիեռանկյուն է, որի երկու կողմերը հավասար են (նկ. 13):

Այս հավասար կողմերը կոչվում են կողմերըև երրորդը - հիմքեռանկյուն.

Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են: (Մեր եռանկյունում A անկյունը հավասար է C անկյունին):

Հավասարասրուն եռանկյունու մեջ դեպի հիմքը գծված միջնագիծը եռանկյան կիսաչափն է և բարձրությունը:

Հավասարակողմ եռանկյուն.

Հավասարակողմ եռանկյունը եռանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են (նկ. 14):

Հավասարակողմ եռանկյան հատկությունները.

Եռանկյունների ուշագրավ հատկությունները.

Եռանկյունները յուրահատուկ հատկություններ ունեն, որոնք կօգնեն ձեզ հաջողությամբ լուծել այս ձևերի հետ կապված խնդիրները: Այս հատկություններից մի քանիսը նկարագրված են վերևում: Բայց մենք նորից կրկնում ենք դրանք՝ ավելացնելով նրանց մի քանի այլ հրաշալի հատկություններ.

1) 90º, 30º և 60º ոտքերի անկյուններով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ. բ 30º անկյան դիմաց ընկած, հավասար է հիպոթենուսի կեսը. Մի ոտքա ավելի շատ ոտքբ√3 անգամ (նկ. 15 Ա) Օրինակ, եթե b ոտքը 5 է, ապա հիպոթենուսը գպարտադիր հավասար է 10-ի, իսկ ոտքը Ահավասար է 5√3: 2) 90º, 45º և 45º անկյուններով ուղիղ հավասարաչափ եռանկյունում հիպոթենուսը √2 անգամ մեծ է ոտքից (նկ. 15): բ) Օրինակ, եթե ոտքերը 5 են, ապա հիպոթենուսը 5√2 է: 3) Եռանկյան միջին գիծը հավասար է զուգահեռ կողմի կեսին (նկ. 15 Հետ) Օրինակ, եթե եռանկյան կողմը 10 է, ապա դրան զուգահեռ միջին ուղիղը 5 է։ 4) Ուղղանկյուն եռանկյունում դեպի հիպոթենուզը գծված միջինը հավասար է հիպոթենուզի կեսին (նկ. 9c). մ գ= s/2. 5) Մի կետում հատվող եռանկյան միջնամասերը բաժանվում են այս կետի վրա 2:1 հարաբերությամբ: Այսինքն՝ գագաթից մինչև միջնամասերի հատման կետը երկու անգամ ավելի մեծ է միջնամասերի հատման կետից մինչև եռանկյան կողմ հատվածը (նկ. 9c) 6) Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի կեսը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է (նկ. 15): դ).

Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

Հավասարության առաջին նշանըԵթե ​​մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև գտնվող մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

Հավասարության երկրորդ նշանԵթե ​​մի եռանկյան կողմը և նրա հարակից անկյունները հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և նրա հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

Հավասարության երրորդ նշանԵթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

Եռանկյունի անհավասարություն.

Ցանկացած եռանկյունում յուրաքանչյուր կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից:

Պյութագորասի թեորեմ.

Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին.

գ 2 = ա 2 + բ 2 .

ԵՌԱՆԿՅՈՒՆ.

1) Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա կողմի և այս կողմի բարձրության արտադրյալի կեսին.

ախ
Ս = ——
2

2) Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին.

1
Ս = — AB · A.C. · մեղք Ա
2

Եռանկյուն, որը շրջագծված է շրջանագծի շուրջ:

Շրջանակը կոչվում է ներգծված եռանկյունու մեջ, եթե այն դիպչում է նրա բոլոր կողմերին (նկ. 16 Ա).

Եռանկյուն, որը գծագրված է շրջանագծի մեջ:

Եռանկյունին ասում են, որ մակագրված է շրջանագծի մեջ, եթե այն դիպչում է նրան իր բոլոր գագաթներով (նկ. 17): ա).

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս (նկ. 18):

Սինուսսուր անկյուն x հակառակըոտքը դեպի հիպոթենուզիա.
Նշվում է հետևյալ կերպ՝ մեղքx.

Կոսինուսսուր անկյուն xՈւղղանկյուն եռանկյան հարաբերակցությունը կիցոտքը դեպի հիպոթենուզ:
Նշվում է հետևյալ կերպ՝ cos x.

Շոշափողսուր անկյուն x- սա հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է հարակից կողմի:
Այն նշանակված է հետևյալ կերպ. tgx.

Կոտանգենսսուր անկյուն x- սա հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է:
Այն նշանակված է հետևյալ կերպ. ctgx.

Կանոններ:

Ոտքը հակառակ անկյունում x, հավասար է հիպոթենուսի և մեղքի արտադրյալին x:

b = cմեղք x

Ոտքը կից անկյունում x, հավասար է հիպոթենուսի և cos-ի արտադրյալին x:

ա = գ cos x

Ոտքը հակառակ անկյունում x, հավասար է երկրորդ ոտքի արտադրյալին tg-ով x:

բ = ա tg x

Ոտքը կից անկյունում x, հավասար է երկրորդ ոտքի արտադրյալին ctg-ով x:

ա = բ· ctg x.

Ցանկացած սուր անկյան համար x:

մեղք (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = մեղք x