ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՄԻԱՍՆԱԿԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ՔՆՆՈՒԹՅԱՆ Գ2 ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ ԳՏՆԵԼՈՒ ԿԵՏԻՑ ՄԻՆՉԵՎ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ.
Կուլիկովա Անաստասիա Յուրիևնա
5-րդ կուրսի մաթ. վերլուծություն, հանրահաշիվ և երկրաչափություն EI KFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Թաթարստանի Հանրապետություն, Էլաբուգա
Գանեևա Այգուլ Ռիֆովնա
գիտական ղեկավար, բ.գ.թ. պեդ. Գիտություններ, դոցենտ EI KFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Թաթարստանի Հանրապետություն, Էլաբուգա
IN Պետական միասնական քննության առաջադրանքներմաթեմատիկայի մեջ վերջին տարիներինխնդիրներ են առաջանում՝ հաշվարկելու կետից հարթություն հեռավորությունը: Այս հոդվածում, օգտագործելով մեկ խնդրի օրինակ, դիտարկվում են կետից հարթություն հեռավորությունը գտնելու տարբեր մեթոդներ: Ամենահարմար մեթոդը կարող է օգտագործվել տարբեր խնդիրների լուծման համար։ Խնդիրը լուծելով մեկ մեթոդով, կարող եք ստուգել արդյունքի ճիշտությունը մեկ այլ մեթոդով:
Սահմանում.Կետից մինչև այս կետը չպարունակող հարթության հեռավորությունը այս կետից մինչև տվյալ հարթությունը գծված ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է։
Առաջադրանք.Տրված է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ ԱԲՀԵՏԴ.Ա. 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 կողմերով ԱԲ=2, Ք.ա.=4, Ա.Ա. 1 = 6. Գտեք հեռավորությունը կետից Դդեպի ինքնաթիռ ACԴ 1 .
1 ճանապարհ. Օգտագործելով սահմանում. Գտեք հեռավորությունը r( Դ, ACԴ 1) կետից Դդեպի ինքնաթիռ ACԴ 1 (նկ. 1):
Նկար 1. Առաջին մեթոդ
Եկեք իրականացնենք Դ.Հ.⊥AC, հետևաբար, երեք ուղղանկյունների թեորեմով Դ 1 Հ⊥ACԵվ (DD 1 Հ)⊥AC. Եկեք իրականացնենք ուղիղ Դ.Տ.ուղղահայաց Դ 1 Հ. Ուղիղ Դ.Տ.ընկած է ինքնաթիռում DD 1 Հ, հետևաբար Դ.Տ.⊥A.C.. Հետևաբար, Դ.Տ.⊥ACԴ 1.
ԱDCեկեք գտնենք հիպոթենուսը ACև բարձրությունը Դ.Հ.
Ուղղանկյուն եռանկյունից Դ 1 Դ.Հ. եկեք գտնենք հիպոթենուսը Դ 1 Հև բարձրությունը Դ.Տ.
Պատասխան.
Մեթոդ 2.Ծավալի մեթոդ (օժանդակ բուրգի օգտագործումը). Այս տիպի խնդիրը կարող է կրճատվել մինչև բուրգի բարձրությունը հաշվարկելու խնդիր, որտեղ բուրգի բարձրությունը կետից մինչև հարթություն պահանջվող հեռավորությունն է: Ապացուցեք, որ այս բարձրությունը պահանջվող հեռավորությունն է. Գտե՛ք այս բուրգի ծավալը երկու եղանակով և արտահայտե՛ք այս բարձրությունը։
Նկատի ունեցեք, որ այս մեթոդով կարիք չկա տվյալ կետից տվյալ հարթությանը ուղղահայաց կառուցել։
Խորանարդը զուգահեռաբարձ է, որի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են:
ԱԲ=CD=2, Ք.ա.=մ.թ=4, Ա.Ա. 1 =6.
Պահանջվող հեռավորությունը կլինի բարձրությունը հբուրգեր ACD 1 Դ, վերեւից իջեցված Դհիմքի վրա ACD 1 (նկ. 2):
Հաշվենք բուրգի ծավալը ACD 1 Դերկու ճանապարհով.
Հաշվարկելիս առաջին ձևով հիմք ենք ընդունում ∆ ACD 1 ապա
Երկրորդ եղանակով հաշվարկելիս հիմք ենք ընդունում ∆ ACD, Հետո
Հավասարեցնենք վերջին երկու հավասարումների աջ կողմերը և ստացենք
Նկար 2. Երկրորդ մեթոդ
Սկսած ուղղանկյուն եռանկյուններ ACԴ, ԱՎԵԼԱՑՆԵԼ 1 , CDD 1 գտե՛ք հիպոթենուսը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը
ACD
Հաշվեք եռանկյան մակերեսը ACԴ 1 օգտագործելով Հերոնի բանաձևը
Պատասխան.
3 ճանապարհ. Կոորդինատիվ մեթոդ.
Թող մի միավոր տրվի Մ(x 0 ,y 0 ,զ 0) և հարթություն α , տրված հավասարմամբ կացին+կողմից+cz+դ=0 ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում: Հեռավորությունը կետից Մα հարթության վրա կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը.
Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ (նկ. 3): Կոորդինատների ծագումը մի կետում IN;
Ուղիղ ԱԲ- առանցք X, ուղիղ Արև- առանցք y, ուղիղ ԲԲ 1 - առանցք զ.
Նկար 3. Երրորդ մեթոդ
Բ(0,0,0), Ա(2,0,0), ՀԵՏ(0,4,0), Դ(2,4,0), Դ 1 (2,4,6).
Թող աx+կողմից+ cz+ դ=0 – հարթության հավասարում ACD 1. Փոխարինելով կետերի կոորդինատները դրա մեջ Ա, Գ, Դ 1 մենք ստանում ենք.
Հարթության հավասարում ACD 1-ը կվերցնի ձևը
Պատասխան.
4 ճանապարհ. Վեկտորային մեթոդ.
Ներկայացնենք հիմքը (նկ. 4) , .
Նկար 4. Չորրորդ մեթոդ
, Մրցույթ «Դասի ներկայացում»
Դասարան: 11
Ներկայացում դասի համար
Հետ առաջ
Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:
Նպատակները:
- ուսանողների գիտելիքների և հմտությունների ընդհանրացում և համակարգում.
- վերլուծելու, համեմատելու, եզրակացություններ անելու հմտությունների զարգացում.
Սարքավորումներ:
- մուլտիմեդիա պրոյեկտոր;
- համակարգիչ;
- խնդրահարույց տեքստերով թերթեր
ԴԱՍԱՐԱՆԻ ԱՌԱՋԸՆԹԱՑԸ
I. Կազմակերպչական պահ
II. Գիտելիքների թարմացման փուլ(սլայդ 2)
Կրկնում ենք, թե ինչպես է որոշվում կետից մինչև հարթության հեռավորությունը
III. Դասախոսություն(սլայդներ 3-15)
Այս դասում մենք կդիտարկենք տարբեր եղանակներ՝ գտնելու կետից հարթություն հեռավորությունը:
Առաջին մեթոդ. քայլ առ քայլ հաշվարկ
Հեռավորությունը M կետից α հարթություն.
– հավասար է α հարթության հեռավորությանը a կամայական P կետից, որը գտնվում է a ուղիղ գծի վրա, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է α հարթությանը.
– հավասար է α հարթության հեռավորությանը β հարթության վրա ընկած P կամայական կետից, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է α հարթությանը։
Մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրները.
№1. A...D 1 խորանարդում գտե՛ք C 1 կետից մինչև AB 1 C հարթությունը։
Մնում է հաշվարկել O 1 N հատվածի երկարության արժեքը:
№2. Կանոնավոր վեցանկյուն A...F 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք հեռավորությունը A կետից մինչև DEA 1 հարթությունը։
Հաջորդ մեթոդը. ծավալային մեթոդ.
Եթե ABCM բուրգի ծավալը հավասար է V-ի, ապա հեռավորությունը M կետից մինչև α հարթությունը, որը պարունակում է ∆ABC, հաշվարկվում է ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = բանաձևով:
Խնդիրներ լուծելիս մենք օգտագործում ենք մեկ գործչի ծավալների հավասարությունը՝ արտահայտված երկու տարբեր ձևերով։
Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.
№3. DABC բուրգի AD եզրը ուղղահայաց է բազային հարթությանը ABC: Գտե՛ք A-ից մինչև AB, AC և AD եզրերի միջնակետերով անցնող հարթությունը հեռավորությունը, եթե.
Խնդիրներ լուծելիս կոորդինատային մեթոդհեռավորությունը M կետից մինչև α հարթություն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով ρ(M; α) = բանաձևը , որտեղ M(x 0; y 0; z 0), իսկ հարթությունը տրված է ax + by + cz + d = 0 հավասարմամբ
Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.
№4. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք հեռավորությունը A 1 կետից մինչև BDC 1 հարթությունը:
Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ A կետի սկզբնավորմամբ, y առանցքը կանցնի AB եզրով, x առանցքը AD եզրով, իսկ z առանցքը AA 1 եզրով: Այնուհետև B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) կետերի կոորդինատները:
B, D, C 1 կետերով անցնող հարթության համար ստեղծենք հավասարում։
Այնուհետև – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0: Հետևաբար, ρ =
Հետևյալ մեթոդը, որը կարող է օգտագործվել այս տեսակի խնդիրների լուծման համար, հետևյալն է աջակցության մեթոդի խնդիրներ:
Այս մեթոդի կիրառումը բաղկացած է հայտնի հղումային խնդիրների կիրառումից, որոնք ձևակերպված են որպես թեորեմներ։
Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.
№5. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք D 1 կետից մինչև AB 1 C հարթությունը։
Դիտարկենք դիմումը վեկտորային մեթոդ.
№6. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք հեռավորությունը A 1 կետից մինչև BDC 1 հարթությունը:
Այսպիսով, մենք դիտարկեցինք տարբեր մեթոդներ, որոնք կարող են օգտագործվել այս տեսակի խնդիրների լուծման համար: Այս կամ այն մեթոդի ընտրությունը կախված է կոնկրետ առաջադրանքից և ձեր նախասիրություններից:
IV. Խմբային աշխատանք
Փորձեք խնդիրը լուծել տարբեր ձևերով։
№1. A...D 1 խորանարդի եզրը հավասար է . Գտե՛ք հեռավորությունը C գագաթից մինչև BDC 1 հարթությունը:
№2. Եզր ունեցող ABCD կանոնավոր քառաեդրոնում գտե՛ք հեռավորությունը A կետից մինչև BDC հարթությունը
№3. ABCA 1 B 1 C 1 կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք A-ից մինչև BCA 1 հարթությունը:
№4. SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք հեռավորությունը A-ից մինչև SCD հարթությունը:
V. Դասի ամփոփում, տնային աշխատանք, արտացոլում
Դիտարկենք որոշակի հարթություն π և կամայական M 0 կետ տարածության մեջ: Եկեք ընտրենք ինքնաթիռի համար միավոր նորմալ վեկտոր n հետ սկիզբըինչ-որ կետում M 1 ∈ π, և թող p(M 0 ,π) լինի M 0 կետից մինչև π հարթությունը: Այնուհետև (նկ. 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
քանի որ |n| = 1.
Եթե π հարթությունը տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ՝ իր ընդհանուր հավասարմամբ Ax + By + Cz + D = 0, ապա նրա նորմալ վեկտորը կոորդինատներով վեկտորն է (A; B; C) և մենք կարող ենք ընտրել.
Թող (x 0; y 0; z 0) և (x 1; y 1; z 1) լինեն M 0 և M 1 կետերի կոորդինատները: Այնուհետև գործում է Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 հավասարությունը, քանի որ M 1 կետը պատկանում է հարթությանը, և կարելի է գտնել M 1 M 0 վեկտորի կոորդինատները. M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; Ձայնագրում կետային արտադրանք nM 1 M 0 կոորդինատային ձևով և փոխակերպելով (5.8), մենք ստանում ենք
քանի որ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D: Այսպիսով, կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել կետի կոորդինատները. ընդհանուր հավասարումհարթություն, այնուհետև արդյունքի բացարձակ արժեքը բաժանեք նորմալացնող գործակցի վրա, որը հավասար է համապատասխան նորմալ վեկտորի երկարությանը: