›

Երկչափ պատահական փոփոխական: Հավանականության բաշխման օրենքը դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականի համար

Թող տրվի $(X,Y)$ երկչափ պատահական փոփոխական:

Սահմանում 1

$(X,Y)$ երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը $(x_i,\ y_j)$ (որտեղ $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) և դրանց հնարավոր զույգ թվերի բազմությունն է։ հավանականություններ $p_(ij)$ .

Ամենից հաճախ երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը գրվում է աղյուսակի տեսքով (Աղյուսակ 1):

Նկար 1. Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը:

Եկեք հիմա հիշենք անկախ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը.

Թեորեմ 1

Անկախ իրադարձությունների վերջավոր թվի գումարի հավանականությունը $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ հաշվարկվում է բանաձևով.

Օգտագործելով այս բանաձևը, դուք կարող եք ստանալ բաշխման օրենքներ երկչափ պատահական փոփոխականի յուրաքանչյուր բաղադրիչի համար, այսինքն.

Այստեղից կհետևի, որ երկչափ համակարգի բոլոր հավանականությունների գումարն ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք մանրամասն քննարկենք (քայլ առ քայլ) խնդիրը՝ կապված երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքի հայեցակարգի հետ։

Օրինակ 1

Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը տրված է հետևյալ աղյուսակով.

Նկար 2.

Գտե՛ք $X,\ Y$, $X+Y$ պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքները և յուրաքանչյուր դեպքում ստուգե՛ք, որ հավանականությունների ընդհանուր գումարը հավասար է մեկի։

  1. Եկեք նախ գտնենք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխումը: Պատահական $X$ փոփոխականը կարող է վերցնել $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$ արժեքները: Բաշխումը գտնելու համար մենք կօգտագործենք թեորեմ 1:

Եկեք նախ գտնենք $x_1$ հավանականությունների գումարը հետևյալ կերպ.

Նկար 3.

Նմանապես, մենք գտնում ենք $P\left(x_2\right)$ և $P\left(x_3\right)$:

\ \

Նկար 4.

  1. Եկեք հիմա գտնենք $Y$ պատահական փոփոխականի բաշխումը: $Y$ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել $x_1=1, $$x_2=3$, $x_3=4$ արժեքները: Բաշխումը գտնելու համար մենք կօգտագործենք թեորեմ 1:

Եկեք նախ գտնենք $y_1$ հավանականությունների գումարը հետևյալ կերպ.

Նկար 5.

Նմանապես, մենք գտնում ենք $P\left(y_2\right)$ և $P\left(y_3\right)$:

\ \

Սա նշանակում է, որ $X$ արժեքի բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Նկար 6.

Եկեք ստուգենք հավանականությունների ընդհանուր գումարի հավասարությունը.

  1. Մնում է գտնել $X+Y$ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը։

Հարմարության համար նշենք այն $Z$-ով` $Z=X+Y$:

Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչ արժեքներ կարող է վերցնել այս քանակությունը: Դա անելու համար մենք զույգերով կավելացնենք $X$ և $Y$ արժեքները: Մենք ստանում ենք հետևյալ արժեքները՝ 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9: Այժմ, հրաժարվելով համապատասխան արժեքներից, մենք գտնում ենք, որ $X+Y$ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել $z_1 արժեքները: =3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Եկեք նախ գտնենք $P(z_1)$: Քանի որ $z_1$-ի արժեքը մեկ է, այն հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.

Նկար 7.

Բոլոր հավանականությունները, բացի $P(z_4)$-ից, գտնվել են նույն կերպ.

Եկեք հիմա գտնենք $P(z_4)$ հետևյալ կերպ.

Նկար 8.

Սա նշանակում է, որ $Z$ արժեքի բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Նկար 9.

Եկեք ստուգենք հավանականությունների ընդհանուր գումարի հավասարությունը.

X և Y պատահական փոփոխականների դասավորված զույգը (X, Y) կոչվում է երկչափ պատահական փոփոխական կամ պատահական վեկտոր երկչափ տարածության մեջ։ Երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) կոչվում է նաև X և Y պատահական փոփոխականների համակարգ: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն իրենց հավանականություններով կոչվում է այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք: Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը (X, Y) համարվում է տրված, եթե հայտնի է նրա բաշխման օրենքը.

P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Ծառայության նպատակը. Ծառայությունից օգտվելով, բաշխման տվյալ օրենքի համաձայն, կարող եք գտնել.

  • բաշխման սերիաներ X և Y, մաթեմատիկական ակնկալիք M[X], M[Y], շեղում D[X], D[Y];
  • կովարիանս cov(x,y), հարաբերակցության գործակից r x,y, պայմանական բաշխման շարք X, պայմանական ակնկալիք M;
Բացի այդ, տրված է «Արդյո՞ք պատահական փոփոխականները կախված են X և Y» հարցին:

Հրահանգներ. Նշեք հավանականության բաշխման մատրիցայի չափը (տողերի և սյունակների քանակը) և դրա տեսակը: Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում:

Օրինակ թիվ 1. Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունի բաշխման աղյուսակ.

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 ք
Գտե՛ք q-ի արժեքը և այս պատահական փոփոխականի հարաբերակցության գործակիցը:

Լուծում. Մենք գտնում ենք q-ի արժեքը Σp ij = 1 պայմանից
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Որտեղի՞ց է առաջանում q = 0.09:

Օգտագործելով ∑P(x ես, յ ժ) = p ես(j=1..n), գտնում ենք X բաշխման շարքը։

Ակնկալիք M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Տարբերակ D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Ստանդարտ շեղումσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Կովարիանս cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Հարաբերակցության գործակիցը r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Օրինակ 2. Տվյալներ վիճակագրական մշակում X և Y երկու ցուցանիշների վերաբերյալ տեղեկատվությունը արտացոլված է հարաբերակցության աղյուսակում: Պահանջվում է:

  1. գրել X-ի և Y-ի բաշխման շարքերը և հաշվարկել նմուշի միջինները և դրանց համար ստանդարտ շեղումները.
  2. գրել պայմանական բաշխման շարքը Y/x և հաշվարկել պայմանական միջինները Y/x;
  3. գրաֆիկորեն պատկերել պայմանական միջինների Y/x կախվածությունը X արժեքներից.
  4. հաշվարկել ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը Y X-ի վրա;
  5. գրել առաջընթաց ռեգրեսիայի հավասարման նմուշ;
  6. երկրաչափորեն պատկերել հարաբերակցության աղյուսակի տվյալները և կառուցել ռեգրեսիոն գիծ:
Լուծում. X և Y պատահական փոփոխականների դասավորված զույգը (X,Y) կոչվում է երկչափ պատահական փոփոխական կամ պատահական վեկտոր երկչափ տարածության մեջ։ Երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) կոչվում է նաև X և Y պատահական փոփոխականների համակարգ։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն իրենց հավանականություններով կոչվում է այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք:
Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) համարվում է տրված, եթե հայտնի է նրա բաշխման օրենքը.
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Իրադարձությունները (X=x i, Y=y j) կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ, հետևաբար բոլոր հավանականությունների գումարը p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) աղյուսակում նշվածը հավասար է 1-ի:
1. X և Y պատահական փոփոխականների կախվածությունը.
Գտեք X և Y բաշխման շարքերը:
Օգտագործելով ∑P(x ես, յ ժ) = p ես(j=1..n), գտնում ենք X բաշխման շարքը։ Ակնկալիք M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Տարբերակ D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Ստանդարտ շեղում σ(y).

Քանի որ P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, ապա պատահական X և Y փոփոխականները կախյալ.
2. Պայմանական բաշխման օրենքը X.
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Պայմանական բաշխման օրենքը Յ.
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Պայմանական շեղում D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Պայմանական տարբերություն D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Կովարիանս.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Եթե ​​պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա դրանց կովարիանսը զրո է: Մեր դեպքում cov(X,Y) ≠ 0:
Հարաբերակցության գործակիցը.


Գծային ռեգրեսիայի հավասարումը y-ից x-ն է.

X-ից y գծային ռեգրեսիայի հավասարումը հետևյալն է.

Գտնենք անհրաժեշտ թվային բնութագրերը։
Նմուշի միջին ցուցանիշները.
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Տարբերակներ:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25.3 2 = 24.01
Որտեղի՞ց ենք ստանում ստանդարտ շեղումները.
σ x = 9,99 և σ y = 4,9
և կովարիանս.
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 30 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Եկեք որոշենք հարաբերակցության գործակիցը.


Գրենք y(x) ռեգրեսիոն ուղիղների հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
y x = 0,38 x + 9,14
Գրենք x(y) ռեգրեսիոն տողերի հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
x y = 1,59 y + 2,15
Եթե ​​գծագրենք աղյուսակով և ռեգրեսիոն գծերով որոշված ​​կետերը, ապա կտեսնենք, որ երկու ուղիղներն էլ անցնում են կոորդինատներով կետով (42.3; 25.3), իսկ կետերը գտնվում են ռեգրեսիոն գծերին մոտ։
Հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը.

Օգտագործելով Student-ի աղյուսակը α=0.05 նշանակության մակարդակով և ազատության աստիճաններով k=100-m-1 = 98, մենք գտնում ենք t crit.
t crit (n-m-1; α/2) = (98;0.025) = 1.984
որտեղ m = 1 բացատրական փոփոխականների թիվն է:
Եթե ​​t դիտարկվում է > t կրիտիկական, ապա հարաբերակցության գործակիցի ստացված արժեքը համարվում է նշանակալի (զրոյական վարկածն այն մասին, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի, մերժվում է):
Քանի որ t obs > t crit, մենք մերժում ենք այն վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է 0-ի: Այսինքն՝ հարաբերակցության գործակիցը վիճակագրորեն նշանակալի է։

Զորավարժություններ. X և Y պատահական փոփոխականների արժեքների զույգերի հարվածների քանակը համապատասխան ինտերվալներում տրված է աղյուսակում: Օգտագործելով այս տվյալները՝ գտեք ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը և Y-ի ուղիղ ռեգրեսիոն գծերի օրինակելի հավասարումները X-ի և X-ի վրա Y-ի վրա:
Լուծում

Օրինակ. Երկչափ պատահական փոփոխականի (X, Y) հավանականության բաշխումը տրված է աղյուսակով։ Գտե՛ք X, Y բաղադրիչ մեծությունների բաշխման օրենքները և p(X, Y) հարաբերակցության գործակիցը։
Ներբեռնեք լուծում

Զորավարժություններ. Երկչափ դիսկրետ քանակություն(X, Y) տրված է բաշխման օրենքով: Գտե՛ք X և Y բաղադրիչների բաշխման օրենքները, կովարիանսը և հարաբերակցության գործակիցը:

երկչափ դիսկրետ բաշխում պատահական

Հաճախ փորձի արդյունքը նկարագրվում է մի քանի պատահական փոփոխականներով. Օրինակ, եղանակը տվյալ վայրում օրվա որոշակի ժամին կարող է բնութագրվել հետևյալ պատահական փոփոխականներով. X 1 - ջերմաստիճան, X 2 - ճնշում, X 3 - օդի խոնավություն, X 4 - քամու արագություն:

Այս դեպքում մենք խոսում ենք բազմաչափ պատահական փոփոխականի կամ պատահական փոփոխականների համակարգի մասին։

Դիտարկենք երկչափ պատահական փոփոխական, որի հնարավոր արժեքները զույգ թվեր են: Երկրաչափորեն երկչափ պատահական փոփոխականը կարող է մեկնաբանվել որպես հարթության վրա պատահական կետ:

Եթե ​​բաղադրիչները XԵվ Յդիսկրետ պատահական փոփոխականներ են, ապա՝ դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխական, և եթե XԵվ Յշարունակական են, ապա շարունակական երկչափ պատահական փոփոխական է:

Երկչափ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների համապատասխանությունն է:

Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել կրկնակի մուտքագրմամբ աղյուսակի տեսքով (տես Աղյուսակ 6.1), որտեղ է հավանականությունը, որ բաղադրիչը Xիմաստը վերցրեց x ես, և բաղադրիչը Յ- իմաստը y ժ .

Աղյուսակ 6.1.1.

y 1

y 2

y ժ

y մ

x 1

էջ 11

էջ 12

էջ 1ժ

էջ 1մ

x 2

էջ 21

էջ 22

էջ 2ժ

էջ 2 մ

x ես

էջ i1

էջ i2

էջ ij

էջ իմ

x n

էջ n1

էջ n2

էջ նջ

էջ նմ

Քանի որ իրադարձությունները կազմում են զույգ-անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ, հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի, այսինքն.

Աղյուսակ 6.1-ից կարող եք գտնել միաչափ բաղադրիչների բաշխման օրենքները XԵվ Յ.

Օրինակ 6.1.1 . Գտեք բաղադրիչների բաշխման օրենքները XԵվ Y,եթե երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխումը տրված է աղյուսակ 6.1.2-ի տեսքով.

Աղյուսակ 6.1.2.

Եթե, օրինակ, ֆիքսենք արգումենտներից մեկի արժեքը, ապա ստացված արժեքի բաշխումը Xկոչվում է պայմանական բաշխում: Նմանապես սահմանվում է պայմանական բաշխումը Յ.

Օրինակ 6.1.2 . Աղյուսակում տրված երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման համաձայն: 6.1.2, գտե՛ք՝ ա) բաղադրիչի պայմանական բաշխման օրենքը Xհաշվի առնելով, որ; բ) պայմանական բաշխման օրենքը Յպայմանով, որ.

Լուծում. Բաղադրիչների պայմանական հավանականությունները XԵվ Յհաշվարկված բանաձևերի միջոցով

Պայմանական բաշխման օրենքը Xպայմանով, որ այն ունի ձևը

Վերահսկում:

Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել ձևով բաշխման գործառույթները, որը յուրաքանչյուր զույգ թվի համար որոշում է դրա հավանականությունը Xկընդունի ավելի քիչ արժեք, քան X, և միևնույն ժամանակ Յկընդունի ավելի քիչ արժեք, քան y:

Երկրաչափական առումով ֆունկցիան նշանակում է պատահական կետի անվերջ քառակուսու մեջ ընկնելու հավանականությունը՝ իր գագաթնակետով կետում (նկ. 6.1.1):

Եկեք նշենք հատկությունները.

  • 1. Ֆունկցիայի արժեքների միջակայքն է, այսինքն. .
  • 2. Ֆունկցիա - յուրաքանչյուր արգումենտի համար չնվազող ֆունկցիա:
  • 3. Կան սահմանափակող հարաբերություններ.

Երբ համակարգի բաշխման ֆունկցիան հավասարվում է բաղադրիչի բաշխման ֆունկցիային X, այսինքն. .

Նմանապես, .

Իմանալով դա՝ դուք կարող եք գտնել ABCD ուղղանկյան մեջ պատահական կետի հավանականությունը:

Մասնավորապես,

Օրինակ 6.1.3. Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականը նշվում է բաշխման աղյուսակով

Գտեք բաշխման գործառույթը:

Լուծում. Արժեքը դիսկրետ բաղադրիչների դեպքում XԵվ ՅԳտնվում է բոլոր հավանականությունները ինդեքսներով գումարելով եսԵվ ժ, որի համար, . Հետո, եթե և, ապա (իրադարձությունները և անհնարին են): Նմանապես մենք ստանում ենք.

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա.

Ստացված արդյունքները ներկայացնենք արժեքների աղյուսակի (6.1.3) տեսքով.

Համար երկչափ շարունակականպատահական փոփոխական, ներդրվում է հավանականության խտության հասկացությունը

Երկրաչափական հավանականության խտությունը տարածության բաշխման մակերեսն է

Երկչափ հավանականության խտությունն ունի հետևյալ հատկությունները.

3. Բաշխման ֆունկցիան կարող է արտահայտվել բանաձևի միջոցով

4. Շարունակական պատահական փոփոխականի տարածաշրջան ընկնելու հավանականությունը հավասար է

5. Համաձայն ֆունկցիայի հատկության (4) գործում են հետևյալ բանաձևերը.

Օրինակ 6.1.4.Տրված է երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան

Սահմանում.Եթե ​​տարրական իրադարձությունների նույն տարածության վրա տրված են երկու պատահական փոփոխականներ XԵվ Y,հետո ասում են, որ տրված է երկչափ պատահական փոփոխական (X,Y) .

Օրինակ.Մեքենան կնքում է պողպատե սալիկներ: Վերահսկվող երկարություն Xև լայնությունը Յ. − երկչափ ՍՎ.

ՆԵ XԵվ Յունեն իրենց բաշխման գործառույթները և այլ բնութագրերը:

Սահմանում. Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա (X,Y) կոչվում է ֆունկցիա։

Սահմանում. Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը (X, Y) կոչվում է սեղան

…
…

Երկչափ դիսկրետ SV-ի համար:

Հատկություններ.

2) եթե, ապա ; եթե, ապա ;

4) − բաշխման ֆունկցիա X;

− բաշխման ֆունկցիա Յ.

Երկչափ SV արժեքների ուղղանկյունի մեջ ընկնելու հավանականությունը.

Սահմանում.Երկչափ պատահական փոփոխական (X,Y)կանչեց շարունակական , եթե դրա բաշխման ֆունկցիան շարունակական է և ունի ամենուր (բացի, հավանաբար, կորերի վերջավոր թվից) 2-րդ կարգի շարունակական խառը մասնակի ածանցյալ .

Սահմանում. Երկչափ շարունակական SV-ի համատեղ հավանականության բաշխման խտությունը կոչվում է ֆունկցիա։

Հետո ակնհայտորեն .

Օրինակ 1.Երկչափ շարունակական SV-ն նշվում է բաշխման ֆունկցիայով

Այնուհետև բաշխման խտությունը ձև ունի

Օրինակ 2.Երկչափ շարունակական SV-ն նշվում է բաշխման խտությամբ

Եկեք գտնենք դրա բաշխման գործառույթը.

Հատկություններ.

3) ցանկացած տարածքի համար.

Թող հայտնի լինի համատեղ բաշխման խտությունը: Այնուհետև երկչափ SV-ի բաղադրիչներից յուրաքանչյուրի բաշխման խտությունը հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.

Օրինակ 2 (շարունակություն):

Որոշ հեղինակներ անվանում են երկչափ SW բաղադրիչների բաշխման խտություն մարգինալհավանականության բաշխման խտությունները .

Դիսկրետ ՍՎ-ների համակարգի բաղադրիչների բաշխման պայմանական օրենքներ.

Պայմանական հավանականություն, որտեղ .

Բաղադրիչի պայմանական բաշխման օրենքը Xժամը՝

X …
Ռ …

Նմանապես, որտեղ:

Պայմանական բաշխման օրենք ստեղծենք Xժամը Y= 2.

Հետո պայմանական բաշխման օրենքը

X -1
Ռ

Սահմանում. X բաղադրիչի պայմանական բաշխման խտությունը տրված արժեքով Y=yկոչված .

Նմանատիպ:

Սահմանում. Պայմանական մաթեմատիկական սպասում է դիսկրետ SV Y at կոչվում է , որտեղ − տե՛ս վերևում։

Հետևաբար, .

Համար շարունակականՆԵ Յ .

Ակնհայտ է, որ փաստարկի ֆունկցիա է X. Այս ֆունկցիան կոչվում է Y-ի ռեգրեսիոն ֆունկցիա X-ի վրա .

Սահմանված է նմանապես ռեգրեսիոն X ֆունկցիա Y-ի վրա : .

Թեորեմ 5. (Անկախ ՍՎ-ների բաշխման ֆունկցիայի մասին)

ՆԵ XԵվ Յ

Հետևանք.Շարունակական ՍՎ XԵվ Յանկախ են, եթե և միայն եթե:

Օրինակ 1-ում. Հետեւաբար, Ս.Վ XԵվ Յանկախ.

Երկչափ պատահական փոփոխականի բաղադրիչների թվային բնութագրերը

Դիսկրետ SV-ի համար.

Շարունակական ԿԲ-ի համար.

Բոլոր SV-ների դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը որոշվում են մեզ հայտնի նույն բանաձևերով.

Սահմանում.Կետը կոչվում է ցրման կենտրոն երկչափ SV.

Սահմանում. Կովարիանս (կոռելյացիոն պահ) SV կոչվում է

Դիսկրետ SV-ի համար.

Շարունակական ԿԲ-ի համար.

Հաշվարկի բանաձև.

Անկախ SV-ների համար:

Բնութագրի անհարմարությունը նրա հարթությունն է (բաղադրիչների չափման միավորի քառակուսին): Հետևյալ քանակությունը զերծ է այս թերությունից.

Սահմանում. Հարաբերակցության գործակիցը ՆԵ XԵվ Յկանչեց

Անկախ SV-ների համար:

Ցանկացած զույգ SV-ի համար . Հայտնի է, որ եթե և միայն եթե, երբ, որտեղ:

Սահմանում.ՆԵ XԵվ Յկոչվում են անկապ , Եթե .

Հարաբերակցության և SV կախվածության միջև կապը.

- եթե Ս.Վ XԵվ Յփոխկապակցված, այսինքն. , ապա նրանք կախված են; հակառակը ճիշտ չէ.

- եթե Ս.Վ XԵվ Յանկախ են, ուրեմն ; հակառակը ճիշտ չէ.

Ծանոթագրություն 1.Եթե ​​ՆԵ XԵվ Յբաշխված ամբողջ նորմալ օրենքԵվ , ուրեմն անկախ են։

Ծանոթագրություն 2.Գործնական նշանակություն որպես կախվածության չափանիշ արդարացված է միայն այն դեպքում, երբ զույգի համատեղ բաշխումը նորմալ է կամ մոտավորապես նորմալ: Կամայական SV-ի համար XԵվ Յդուք կարող եք գալ սխալ եզրակացության, այսինքն. Կարող է լինել նույնիսկ երբ XԵվ Յկապված են խիստ ֆունկցիոնալ կախվածությամբ։

Ծանոթագրություն 3.Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ հարաբերակցությունը հավանականական (վիճակագրական) կախվածություն է մեծությունների միջև, որը, ընդհանուր առմամբ, չունի խիստ ֆունկցիոնալ բնույթ։ Հարաբերակցության կախվածությունը տեղի է ունենում, երբ մեծություններից մեկը կախված է ոչ միայն երկրորդից, այլ նաև մի շարք պատահական գործոններից, կամ երբ այն պայմաններից, որոնցից կախված է մեկ կամ մյուս մեծությունը, կան երկուսի համար ընդհանուր պայմաններ:

Օրինակ 4. SV-ի համար XԵվ Յօրինակ 3-ից գտնել .

Լուծում.

Օրինակ 5.Տրված է երկչափ ՍՎ-ի համատեղ բաշխման խտությունը.

X և Y պատահական փոփոխականների դասավորված զույգը (X, Y) կոչվում է երկչափ պատահական փոփոխական կամ պատահական վեկտոր երկչափ տարածության մեջ։ Երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) կոչվում է նաև X և Y պատահական փոփոխականների համակարգ: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն իրենց հավանականություններով կոչվում է այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք: Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը (X, Y) համարվում է տրված, եթե հայտնի է նրա բաշխման օրենքը.

P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Ծառայության նպատակը. Ծառայությունից օգտվելով, բաշխման տվյալ օրենքի համաձայն, կարող եք գտնել.

  • բաշխման սերիաներ X և Y, մաթեմատիկական ակնկալիք M[X], M[Y], շեղում D[X], D[Y];
  • կովարիանս cov(x,y), հարաբերակցության գործակից r x,y, պայմանական բաշխման շարք X, պայմանական ակնկալիք M;
Բացի այդ, տրված է «Արդյո՞ք պատահական փոփոխականները կախված են X և Y» հարցին:

Հրահանգներ. Նշեք հավանականության բաշխման մատրիցայի չափը (տողերի և սյունակների քանակը) և դրա տեսակը: Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում:

Օրինակ թիվ 1. Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունի բաշխման աղյուսակ.

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 ք
Գտե՛ք q-ի արժեքը և այս պատահական փոփոխականի հարաբերակցության գործակիցը:

Լուծում. Մենք գտնում ենք q-ի արժեքը Σp ij = 1 պայմանից
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Որտեղի՞ց է առաջանում q = 0.09:

Օգտագործելով ∑P(x ես, յ ժ) = p ես(j=1..n), գտնում ենք X բաշխման շարքը։

Ակնկալիք M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Տարբերակ D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Ստանդարտ շեղումσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Կովարիանս cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Հարաբերակցության գործակիցը r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Օրինակ 2. X և Y երկու ցուցանիշների վերաբերյալ տեղեկատվության վիճակագրական մշակման տվյալները արտացոլված են հարաբերակցության աղյուսակում: Պահանջվում է:

  1. գրել X-ի և Y-ի բաշխման շարքերը և հաշվարկել նմուշի միջինները և դրանց համար ստանդարտ շեղումները.
  2. գրել պայմանական բաշխման շարքը Y/x և հաշվարկել պայմանական միջինները Y/x;
  3. գրաֆիկորեն պատկերել պայմանական միջինների Y/x կախվածությունը X արժեքներից.
  4. հաշվարկել ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը Y X-ի վրա;
  5. գրել առաջընթաց ռեգրեսիայի հավասարման նմուշ;
  6. երկրաչափորեն պատկերել հարաբերակցության աղյուսակի տվյալները և կառուցել ռեգրեսիոն գիծ:
Լուծում. X և Y պատահական փոփոխականների դասավորված զույգը (X,Y) կոչվում է երկչափ պատահական փոփոխական կամ պատահական վեկտոր երկչափ տարածության մեջ։ Երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) կոչվում է նաև X և Y պատահական փոփոխականների համակարգ։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն իրենց հավանականություններով կոչվում է այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք:
Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) համարվում է տրված, եթե հայտնի է նրա բաշխման օրենքը.
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Իրադարձությունները (X=x i, Y=y j) կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ, հետևաբար բոլոր հավանականությունների գումարը p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) աղյուսակում նշվածը հավասար է 1-ի:
1. X և Y պատահական փոփոխականների կախվածությունը.
Գտեք X և Y բաշխման շարքերը:
Օգտագործելով ∑P(x ես, յ ժ) = p ես(j=1..n), գտնում ենք X բաշխման շարքը։ Ակնկալիք M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Տարբերակ D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Ստանդարտ շեղում σ(y).

Քանի որ P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, ապա պատահական X և Y փոփոխականները կախյալ.
2. Պայմանական բաշխման օրենքը X.
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Պայմանական բաշխման օրենքը Յ.
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Պայմանական շեղում D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Պայմանական տարբերություն D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Կովարիանս.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Եթե ​​պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա դրանց կովարիանսը զրո է: Մեր դեպքում cov(X,Y) ≠ 0:
Հարաբերակցության գործակիցը.


Գծային ռեգրեսիայի հավասարումը y-ից x-ն է.

X-ից y գծային ռեգրեսիայի հավասարումը հետևյալն է.

Գտնենք անհրաժեշտ թվային բնութագրերը։
Նմուշի միջին ցուցանիշները.
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Տարբերակներ:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25.3 2 = 24.01
Որտեղի՞ց ենք ստանում ստանդարտ շեղումները.
σ x = 9,99 և σ y = 4,9
և կովարիանս.
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 30 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Եկեք որոշենք հարաբերակցության գործակիցը.


Գրենք y(x) ռեգրեսիոն ուղիղների հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
y x = 0,38 x + 9,14
Գրենք x(y) ռեգրեսիոն տողերի հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
x y = 1,59 y + 2,15
Եթե ​​գծագրենք աղյուսակով և ռեգրեսիոն գծերով որոշված ​​կետերը, ապա կտեսնենք, որ երկու ուղիղներն էլ անցնում են կոորդինատներով կետով (42.3; 25.3), իսկ կետերը գտնվում են ռեգրեսիոն գծերին մոտ։
Հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը.

Օգտագործելով Student-ի աղյուսակը α=0.05 նշանակության մակարդակով և ազատության աստիճաններով k=100-m-1 = 98, մենք գտնում ենք t crit.
t crit (n-m-1; α/2) = (98;0.025) = 1.984
որտեղ m = 1 բացատրական փոփոխականների թիվն է:
Եթե ​​t դիտարկվում է > t կրիտիկական, ապա հարաբերակցության գործակիցի ստացված արժեքը համարվում է նշանակալի (զրոյական վարկածն այն մասին, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի, մերժվում է):
Քանի որ t obs > t crit, մենք մերժում ենք այն վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է 0-ի: Այսինքն՝ հարաբերակցության գործակիցը վիճակագրորեն նշանակալի է։

Զորավարժություններ. X և Y պատահական փոփոխականների արժեքների զույգերի հարվածների քանակը համապատասխան ինտերվալներում տրված է աղյուսակում: Օգտագործելով այս տվյալները՝ գտեք ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը և Y-ի ուղիղ ռեգրեսիոն գծերի օրինակելի հավասարումները X-ի և X-ի վրա Y-ի վրա:
Լուծում

Օրինակ. Երկչափ պատահական փոփոխականի (X, Y) հավանականության բաշխումը տրված է աղյուսակով։ Գտե՛ք X, Y բաղադրիչ մեծությունների բաշխման օրենքները և p(X, Y) հարաբերակցության գործակիցը։
Ներբեռնեք լուծում

Զորավարժություններ. Երկչափ դիսկրետ մեծություն (X, Y) տրվում է բաշխման օրենքով: Գտե՛ք X և Y բաղադրիչների բաշխման օրենքները, կովարիանսը և հարաբերակցության գործակիցը: